В евклидовой геометрии перенос — это геометрическое преобразование , которое перемещает каждую точку фигуры, формы или пространства на одно и то же расстояние в заданном направлении . Перенос также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как смещение начала координатной системы . В евклидовом пространстве любой перенос является изометрией .
Если — фиксированный вектор, известный как вектор переноса , и — начальное положение некоторого объекта, то функция переноса будет работать как .
Если — это перевод, то изображение подмножества под функцией — это перевод по . Перевод по часто записывается как .
В классической физике поступательное движение — это движение, которое изменяет положение объекта, в отличие от вращения . Например, по Уиттекеру: [1]
Если тело перемещается из одного положения в другое и линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых линий длины ℓ , так что ориентация тела в пространстве не изменяется, то перемещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .
Перевод — это операция изменения положения всех точек объекта в соответствии с формулой
где — один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор перемещения, общий для всех точек объекта, описывает определенный тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, включающих в себя вращение, называемых угловыми смещениями.
При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.
Оператор трансляции превращает функцию исходного положения, , в функцию конечного положения, . Другими словами, определяется таким образом, что Этот оператор более абстрактен, чем функция, поскольку определяет связь между двумя функциями, а не самими лежащими в их основе векторами. Оператор трансляции может действовать на многие виды функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.
Множество всех трансляций образует группу трансляций , которая изоморфна самому пространству, и нормальную подгруппу евклидовой группы . Фактор -группа по изоморфна группе жестких движений, которые фиксируют определенную начальную точку, ортогональной группе :
Поскольку трансляция коммутативна , группа трансляций абелева . Существует бесконечное число возможных трансляций, поэтому группа трансляций является бесконечной группой .
В теории относительности , в связи с трактовкой пространства и времени как единого пространства-времени , переносы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают переносы относительно времени.
Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляций являются решеточные группы , которые являются бесконечными группами , но в отличие от групп трансляций, являются конечно порожденными . То есть, конечный порождающий набор порождает всю группу.
Перевод — это аффинное преобразование без фиксированных точек . Умножение матриц всегда имеет начало координат в качестве фиксированной точки. Тем не менее, существует общий обходной путь с использованием однородных координат для представления перевода векторного пространства с матричным умножением : Запишите 3-мерный вектор, используя 4 однородные координаты, как . [2]
Чтобы переместить объект с помощью вектора , каждый однородный вектор (записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :
Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:
Обратную матрицу трансляции можно получить, изменив направление вектора на противоположное:
Аналогично, произведение матриц трансляции получается путем сложения векторов:
Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц переноса также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).
В то время как геометрический перенос часто рассматривается как активное преобразование , которое изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут пассивным преобразованием , которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического переноса известна как перенос осей .
Объект, который выглядит одинаково до и после трансляции, называется трансляционной симметрией . Распространенным примером является периодическая функция , которая является собственной функцией оператора трансляции.
График действительной функции f , множество точек , часто изображается в действительной координатной плоскости, где x — горизонтальная координата, а — вертикальная координата.
Начиная с графика функции f , горизонтальный перенос означает составление функции f с функцией для некоторого постоянного числа a , что приводит к графику, состоящему из точек . Каждая точка исходного графика соответствует точке на новом графике, что наглядно приводит к горизонтальному сдвигу.
Вертикальный перенос означает составление функции с f , для некоторой константы b , что приводит к графику, состоящему из точек . Каждая точка исходного графика соответствует точке на новом графике, что наглядно приводит к вертикальному сдвигу. [3]
Например, взяв квадратичную функцию , график которой представляет собой параболу с вершиной в , горизонтальный перенос на 5 единиц вправо будет новой функцией , вершина которой имеет координаты . Вертикальный перенос на 3 единицы вверх будет новой функцией , вершина которой имеет координаты .
Первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и , следовательно, являются вертикальными переносами друг друга. [4]
Для описания динамики транспортного средства (или движения любого твердого тела ), включая динамику корабля и динамику самолета , обычно используют механическую модель, состоящую из шести степеней свободы , которая включает перемещения вдоль трех осей отсчета (а также вращения вокруг этих трех осей). Эти перемещения часто называют всплеском , колебанием и вертикальной качкой .
