Оператор трансляции (квантовая механика)

Оператор, смещающий частицы и поля на определенную величину в определенном направлении

В квантовой механике оператор трансляции определяется как оператор , который сдвигает частицы и поля на определенную величину в определенном направлении. Это частный случай оператора сдвига из функционального анализа.

Более конкретно, для любого вектора смещения существует соответствующий оператор трансляции , который сдвигает частицы и поля на величину . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Например, если действует на частицу, находящуюся в позиции , результатом будет частица в позиции . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$

Операторы перевода являются унитарными .

Операторы переноса тесно связаны с оператором импульса ; например, оператор переноса, который перемещается на бесконечно малую величину в направлении , имеет простую связь с -компонентой оператора импульса. Благодаря этой связи сохранение импульса выполняется, когда операторы переноса коммутируют с гамильтонианом, т.е. когда законы физики инвариантны относительно переноса. Это пример теоремы Нётер . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Действие на собственные функции положения и волновые функции

Оператор трансляции перемещает частицы и поля на величину . Таким образом, если частица находится в собственном состоянии оператора положения (т.е. точно расположена в положении ), то после действия на нее частица оказывается в положении : ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int \!d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle .}$$

Альтернативный (и эквивалентный) способ описания того, что определяет оператор трансляции, основан на волновых функциях пространства положения . Если частица имеет волновую функцию пространства положения и действует на частицу, новая волновая функция пространства положения определяется как ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).}$$

Это соотношение легче запомнить, так как его можно прочитать как: «Значение новой волновой функции в новой точке равно значению старой волновой функции в старой точке». ^[1] ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} +\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {r} ),}$

Вот пример, показывающий, что эти два описания эквивалентны. Состояние соответствует волновой функции (где — дельта-функция Дирака ), тогда как состояние соответствует волновой функции Они действительно удовлетворяют ${\displaystyle |\mathbf {a} \rangle }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {a} \rangle =|\mathbf {a} +\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -(\mathbf {a} +\mathbf {x} )).}$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).}$

Импульс как генератор переводов

В вводной физике импульс обычно определяется как масса, умноженная на скорость. Однако существует более фундаментальный способ определения импульса в терминах операторов трансляции. Это более конкретно называется каноническим импульсом , и он обычно, но не всегда, равен массе, умноженной на скорость. Одно заметное исключение относится к заряженной частице в магнитном поле, в котором канонический импульс включает как обычный импульс, так и второй член, пропорциональный магнитному векторному потенциалу. ^[1] Это определение импульса особенно важно, поскольку закон сохранения импульса применим только к каноническому импульсу и не является универсально действительным, если импульс определяется вместо этого как масса, умноженная на скорость (так называемый «кинетический импульс»), по причинам, объясненным ниже.

(Канонический) оператор импульса определяется как градиент операторов переноса вблизи начала координат:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} \equiv i\hbar \left(\nabla {\hat {T}}(\mathbf {x} )\right)_{{\text{at }}\mathbf {x} =\mathbf {0} }}$

где приведенная постоянная Планка . Например, каков результат, когда оператор действует на квантовое состояние? Чтобы найти ответ, переместите состояние на бесконечно малую величину в -направлении, вычислите скорость изменения состояния и умножьте результат на . Например, если состояние вообще не меняется при перемещении на бесконечно малую величину в -направлении, то его -компонента импульса равна 0. ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i\hbar }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Более конкретно, является векторным оператором (т.е. векторным оператором, состоящим из трех операторов ), компоненты которого задаются следующим образом: где — оператор тождественности , а — единичный вектор в -направлении. ( и определяются аналогично.) ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle ({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {{\hat {T}}(a\mathbf {\hat {x}} )-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{z}}$

Уравнение выше является наиболее общим определением . В частном случае одной частицы с волновой функцией , может быть записано в более конкретной и полезной форме. В одном измерении: В то время как в трех измерениях, как оператор, действующий на волновые функции позиционного пространства. Это знакомое квантово-механическое выражение для , но мы вывели его здесь из более базовой отправной точки. ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}({\hat {p}}\psi )(r)&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {({\hat {T}}(a)\psi )(r)-\psi (r)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {\psi (r-a)-\psi (r)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial r}}\psi (r).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

Теперь мы определили в терминах операторов переноса. Также возможно записать оператор переноса как функцию от . Метод состоит в рассмотрении бесконечно малого действия на волновую функцию и разложении преобразованной волновой функции как суммы исходной волновой функции и пертурбативной поправки первого порядка; а затем выражении конечного переноса как огромного числа последовательных крошечных переносов, а затем использовании того факта, что бесконечно малые переносы могут быть записаны в терминах . Из того, что было сказано ранее, мы знаем из вышеизложенного, что если действует на , то результат будет Правую часть можно записать в виде ряда Тейлора Мы предполагаем, что для бесконечно малого переноса члены более высокого порядка в ряду становятся последовательно меньше. Из чего мы записываем С этим предварительным результатом мы переходим к записи бесконечного количества бесконечно малых действий как Правая часть является в точности рядом для экспоненты. Следовательно, ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle {\widehat {T}}(d\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -d\mathbf {x} ).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} )-d\mathbf {x} \cdot {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {x} \right)^{2}\left({\frac {\partial \psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r} }}\right)^{2}+\cdots .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )-d\mathbf {x} \cdot {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} )}{\partial \mathbf {r} }}=\left(1-{\frac {id\mathbf {x} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}}{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}(\mathbf {x} )&=\lim _{N\to \infty }({\hat {T}}(\mathbf {x} /N))^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}.}$$

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)=1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}-{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\frac {i(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{3}}{6\hbar ^{3}}}+\cdots }$

где — операторная экспонента , а правая часть — разложение в ряд Тейлора . Для очень малых можно использовать приближение: ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\approx 1-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} /\hbar ~~{\text{for}}~~\mathbf {x} \to \mathbf {0} }$$

Операторное уравнение

${\displaystyle \exp \left(-\mathbf {x} \cdot {\frac {i\mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )\,}$

является операторной версией теоремы Тейлора ; и, следовательно, действительна только при оговорках о том, что является аналитической функцией . Сосредоточившись на операторной части, она показывает, что является бесконечно малым преобразованием, генерирующим переносы действительной линии через экспоненту . Именно по этой причине оператор импульса называется генератором переноса . ^[2] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\frac {i\mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}}$

Хороший способ дважды проверить правильность этих соотношений — выполнить разложение Тейлора оператора трансляции, действующего на волновую функцию позиционного пространства. Расширяя экспоненту до всех порядков, оператор трансляции генерирует точно полное разложение Тейлора тестовой функции: Таким образом, каждый оператор трансляции генерирует точно ожидаемое смещение тестовой функции, если функция аналитична в некоторой области комплексной плоскости. $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )&={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )\\&=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\psi (\mathbf {r} )-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{2}\psi (\mathbf {r} )-\dots \end{aligned}}}$$

Характеристики

Последовательные переводы

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$$

Другими словами, если частицы и поля перемещаются на величину , а затем на величину , в целом они перемещаются на величину . Для математического доказательства можно посмотреть, что эти операторы делают с частицей в собственном состоянии положения: Поскольку операторы и оказывают одинаковое влияние на каждое состояние в собственном базисе, то отсюда следует, что операторы равны. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})|\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle }$$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$

Перевод идентичности

Перевод , т.е. перевод на расстояние 0, аналогичен оператору тождества, который оставляет все состояния неизменными. ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {0} )={\hat {\mathbb {I} }}}$

Обратный

Операторы трансляции обратимы, а их обратные операторы: $${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$$

Это следует из свойства «последовательных переводов» выше и тождественного перевода.

Операторы перевода работают друг с другом

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {T}}(\mathbf {y} )={\hat {T}}(\mathbf {y} ){\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$потому что обе стороны равны . ^[1] ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$

Операторы перевода являются унитарными

Чтобы показать, что операторы переноса унитарны, мы сначала должны доказать, что оператор импульса является эрмитовым. Затем мы можем доказать, что оператор переноса удовлетворяет двум критериям, которые необходимы, чтобы быть унитарным оператором. ${\displaystyle {\widehat {p}}}$

Начнем с того, что оператор линейного импульса — это правило, которое присваивает любому в области один вектор в кодомене. Так как поэтому оператор линейного импульса , по сути, является эрмитовым оператором. Подробные доказательства этого можно найти во многих учебниках и в Интернете (например, https://physics.stackexchange.com/a/832341/194354). ${\displaystyle {\widehat {p}}:L^{2}([-\infty ,\infty ],\mu )\to L^{2}([-\infty ,\infty ],\mu )}$ ${\displaystyle \psi (r)}$ $${\displaystyle \psi '(r)=\left[{\widehat {p}}\psi \right](r)=\left[-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi \right](r)}$$ $${\displaystyle \langle {\widehat {p}}\psi ,\phi \rangle =\langle \psi ,{\widehat {p}}\phi \rangle ,\quad {\text{for all}}~\psi ,\phi \in L^{2}([-\infty ,\infty ],\mu )}$$ ${\displaystyle {\widehat {p}}}$

Имея на руках, что оператор импульса является эрмитовым, мы можем доказать, что оператор переноса является унитарным оператором. Во-первых, нужно показать, что оператор переноса является ограниченным оператором. Достаточно сказать, что при всем этом Во-вторых, нужно (и можно) показать, что Подробное доказательство можно найти в ссылке https://math.stackexchange.com/a/4990451/309209. ${\displaystyle \psi \in L^{2}([a,b],\mu )}$ $${\displaystyle \left\|\left[{\widehat {T}}_{\mathbf {x} }\psi \right]\!(r)\left\|_{L^{2}([a,b],\mu )}=\right\|\psi (r)\right\|_{L^{2}([a,b],\mu )}.}$$ $${\displaystyle {\widehat {T}}_{\mathbf {x} }^{\dagger }{\widehat {T}}_{\mathbf {x} }={\widehat {T}}_{\mathbf {x} }{\widehat {T}}_{\mathbf {x} }^{\dagger }=\mathbb {I} .}$$

Переводчик, оперирующий бюстгальтером

Оператор перевода, действующий на бюстгальтер в положении собственного базиса, дает: ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$$

Доказательство

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle }$$Его сопряженное выражение: Используя результаты выше, : Заменяем на , $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$$ ${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(-\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle -\mathbf {x} }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$$

Разделение перевода на компоненты

Согласно свойству «последовательных переносов», приведенному выше, перенос по вектору можно записать в виде произведения переносов по направлениям компонентов: где — единичные векторы. ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )={\hat {T}}(x\mathbf {\hat {x}} )\,{\hat {T}}(y\mathbf {\hat {y}} )\,{\hat {T}}(z\mathbf {\hat {z}} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$

Коммутатор с позиционным оператором

Предположим, что есть собственный вектор оператора положения с собственным значением . Имеем при этом ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} |\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle ={\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle =(\mathbf {x} +\mathbf {r} )|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$

Следовательно, коммутатор между оператором перевода и оператором позиции имеет вид: Это также можно записать (используя приведенные выше свойства) как: где — оператор тождества . $${\displaystyle [\mathbf {\hat {r}} ,{\hat {T}}(\mathbf {x} )]\equiv \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )-{\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {x} {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {x} {\hat {\mathbb {I} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

Коммутатор с оператором импульса

Поскольку все операторы переноса коммутируют друг с другом (см. выше), и поскольку каждый компонент оператора импульса является суммой двух масштабированных операторов переноса (например, ), то отсюда следует, что все операторы переноса коммутируют с оператором импульса, т.е. эта коммутация с оператором импульса справедлива в общем случае, даже если система не изолирована, где энергия или импульс могут не сохраняться. ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {i\hbar }{\varepsilon }}\left({\hat {T}}((0,\varepsilon ,0))-{\hat {T}}((0,0,0))\right)}$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {p} }}{\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$

Группа переводов

Набор операторов переноса для всех с операцией умножения, определенной как результат последовательных переносов (т.е. композиция функций ), удовлетворяет всем аксиомам группы : ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Закрытие

Когда два перевода выполняются последовательно, результатом является один разный перевод. (См. свойство «последовательные переводы» выше.)

Существование идентичности

Перевод вектором — это оператор тождества , т.е. оператор, который ни на что не влияет. Он функционирует как элемент тождества группы. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Каждый элемент имеет обратный

Как доказано выше, любой оператор трансляции является обратным оператору обратной трансляции . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$

Ассоциативность

Это утверждение, что . Это верно по определению, как и в случае любой группы, основанной на композиции функций . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})\right)=\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})\right){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})}$

Следовательно, множество операторов трансляции для всех образует группу . ^[3] Поскольку существует непрерывно бесконечное число элементов, группа трансляции является непрерывной группой. Более того, операторы трансляции коммутируют между собой, т.е. произведение двух трансляций (переноса, за которым следует другой) не зависит от их порядка. Следовательно, группа трансляции является абелевой группой . ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Группа трансляций, действующая в гильбертовом пространстве собственных состояний положения, изоморфна группе векторных сложений в евклидовом пространстве .

Ожидаемые значения положения и импульса в переведенном состоянии

Рассмотрим отдельную частицу в одном измерении. В отличие от классической механики , в квантовой механике частица не имеет ни четко определенного положения, ни четко определенного импульса. В квантовой формулировке роль классических переменных играют ожидаемые значения ^[5] . Например, если частица находится в состоянии , то ожидаемое значение положения равно , где — оператор положения. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\mathbf {\hat {r}} |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

Если оператор перевода действует на состояние , создавая новое состояние , то математическое ожидание позиции для равно математическому ожиданию позиции для плюс вектор . Этот результат согласуется с тем, что можно было бы ожидать от операции, которая сдвигает частицу на эту величину. ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Доказательство того, что оператор перевода изменяет ожидаемое значение позиции так, как и ожидалось

Предположим, что, как указано выше, используем условие нормализации и результат коммутатора, доказанный в предыдущем разделе. ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{2}|{\hat {\mathbf {r} }}|\psi _{2}\rangle &=(\langle \psi |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }){\hat {\mathbf {r} }}({\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle )\\&=\langle \psi |{\hat {\mathbf {r} }}|\psi \rangle +\mathbf {x} \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$

С другой стороны, когда оператор трансляции действует на состояние, ожидаемое значение импульса не изменяется. Это можно доказать аналогично вышеприведенному способу, но используя тот факт, что операторы трансляции коммутируют с оператором импульса. Этот результат снова согласуется с ожиданиями: трансляция частицы не изменяет ее скорость или массу, поэтому ее импульс не должен меняться.

Трансляционная инвариантность

В квантовой механике гамильтониан представляет энергию и динамику системы. Пусть будет вновь переведенным состоянием (аргумент здесь не имеет значения и временно опущен для краткости). Гамильтониан называется инвариантным, если или Это подразумевает, что ${\displaystyle |\mathbf {r} _{T}\rangle \equiv {\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{T}|{\hat {H}}|\mathbf {r} _{T}\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$$ $${\displaystyle {\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}={\hat {H}}}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}{\hat {T}}-{\hat {T}}{\hat {H}}=[{\hat {H}},{\hat {T}}]=0}$$

Таким образом, если гамильтониан инвариантен относительно трансляции, то гамильтониан коммутирует с оператором трансляции (грубо говоря, если мы транслируем систему, затем измеряем ее энергию, а затем транслируем ее обратно, это равносильно простому измерению ее энергии напрямую).

Непрерывная трансляционная симметрия

Сначала рассмотрим случай, когда все операторы трансляции являются симметриями системы. Как мы увидим, в этом случае имеет место сохранение импульса .

Например, если — гамильтониан, описывающий все частицы и поля во вселенной, а — оператор трансляции, который одновременно сдвигает все частицы и поля во вселенной на одну и ту же величину, то это всегда симметрия: описывает полные законы физики в нашей вселенной, которые не зависят от местоположения. Как следствие, сохранение импульса универсально справедливо. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

С другой стороны, возможно , и относятся только к одной частице. Тогда операторы трансляции являются точными симметриями только если частица находится в вакууме одна. Соответственно, импульс отдельной частицы обычно не сохраняется (он изменяется, когда частица сталкивается с другими объектами), но сохраняется, если частица находится в вакууме одна. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

Поскольку гамильтониан коммутирует с оператором переноса, когда перенос инвариантен, он также коммутирует с оператором бесконечно малого переноса. Подводя итог, можно сказать, что всякий раз, когда гамильтониан для системы остается инвариантным при непрерывном переносе, то система имеет сохранение импульса , что означает, что математическое ожидание оператора импульса остается постоянным. Это пример теоремы Нётер . $${\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}(\mathbf {x} )\right]=0\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{N\hbar }}\right]=0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\end{aligned}}}$$

Дискретная трансляционная симметрия

Есть еще один особый случай, когда гамильтониан может быть трансляционно инвариантным. Этот тип трансляционной симметрии наблюдается всякий раз, когда потенциал является периодическим : ^[6] В общем случае гамильтониан не инвариантен относительно любого трансляционного представления с произвольным, где имеет свойство: и, (где — оператор тождества ; см. доказательство выше). $${\displaystyle V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})}$$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle }$$ $${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(x_{j}))^{\dagger }{\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

Но всякий раз, когда совпадает с периодом потенциала , Поскольку кинетическая часть энергии гамильтониана уже инвариантна относительно любого произвольного переноса, будучи функцией , весь гамильтониан удовлетворяет условию, Теперь гамильтониан коммутирует с оператором переноса, т.е. их можно одновременно диагонализировать . Следовательно, гамильтониан инвариантен относительно такого переноса (который больше не остается непрерывным). Перенос становится дискретным с периодом потенциала. ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ $${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}}$$

Дискретный перенос в периодическом потенциале: теорема Блоха

Ионы в идеальном кристалле расположены в регулярной периодической решетке. Таким образом, мы приходим к проблеме электрона в потенциале с периодичностью базовой решетки Браве для всех векторов решетки Браве ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=V(\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Однако идеальная периодичность — это идеализация. Реальные твердые тела никогда не бывают абсолютно чистыми, и в окрестностях примесных атомов твердое тело не такое, как в других местах кристалла. Более того, ионы на самом деле не неподвижны, а непрерывно подвергаются тепловым колебаниям около своих положений равновесия. Они разрушают идеальную трансляционную симметрию кристалла. Чтобы иметь дело с этим типом проблем, основная проблема искусственно делится на две части: (a) идеальный фиктивный идеальный кристалл, в котором потенциал действительно периодический, и (b) влияние на свойства гипотетического идеального кристалла всех отклонений от идеальной периодичности, рассматриваемых как малые возмущения.

Хотя проблема электронов в твердом теле в принципе является многоэлектронной проблемой, в приближении независимых электронов каждый электрон подчиняется одноэлектронному уравнению Шредингера с периодическим потенциалом и известен как блоховский электрон ^[7] (в отличие от свободных частиц , к которым блоховские электроны сводятся, когда периодический потенциал тождественно равен нулю).

Для каждого вектора решетки Браве мы определяем оператор переноса , который при работе с любой функцией сдвигает аргумент на : Поскольку все переносы образуют абелеву группу, результат применения двух последовательных переносов не зависит от порядка, в котором они применяются, т.е. Кроме того, поскольку гамильтониан является периодическим, мы имеем, Следовательно, для всех векторов решетки Браве и гамильтониан образуют набор коммутирующих операторов . Поэтому собственные состояния могут быть выбраны как одновременные собственные состояния всех : ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ $${\displaystyle {\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi }$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi }$$

Собственные значения операторов переноса связаны из-за условия: Имеем, И, Следовательно, следует, что, Теперь пусть 's будут тремя примитивными векторами для решетки Браве. При подходящем выборе , мы всегда можем записать в виде Если - общий вектор решетки Браве, заданный из него следует, то, Подставляя , получаем, где и 's - векторы обратной решетки, удовлетворяющие уравнению ${\displaystyle c(\mathbf {R} )}$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi &=c(\mathbf {R} _{1}){\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi \\&=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})\psi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }\psi =c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})\psi }$$ $${\displaystyle c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})}$ $${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1})c(n_{2}\mathbf {a} _{2})c(n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}}$

Следовательно, можно выбрать одновременные собственные состояния гамильтониана и так, что для каждого вектора решетки Браве , Итак, ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r+R} )&={\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\\&=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r+R} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )}$

Этот результат известен как теорема Блоха .

Временная эволюция и трансляционная инвариантность

Трансляционная инвариантность: временная эволюция волновых функций.

В пассивной картине преобразования трансляционная инвариантность требует, Отсюда следует, что где — унитарный оператор эволюции во времени. ^[8] Когда гамильтониан не зависит от времени , Если гамильтониан зависит от времени, указанное выше коммутационное соотношение выполняется, если или коммутирует с для всех t. $${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {H}}]=0}$$ $${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {U}}(t)]=0}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\right)}$$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$

Пример

Предположим, что в два наблюдателя A и B готовят идентичные системы в и (рис. 1), соответственно. Если - вектор состояния системы, подготовленной A, то вектор состояния системы, подготовленной B, будет задан как Обе системы выглядят идентичными для наблюдателей, которые их подготовили. По истечении времени векторы состояния эволюционируют в и соответственно. Используя вышеупомянутое коммутационное соотношение, последнее можно записать как, что является просто переведенной версией системы, подготовленной A в момент времени . Следовательно, две системы, которые отличались только переводом в , отличаются только одним и тем же переводом в любой момент времени. Временная эволюция обеих систем кажется одинаковой для наблюдателей, которые их подготовили. Можно сделать вывод, что трансляционная инвариантность гамильтониана подразумевает, что один и тот же эксперимент, повторенный в двух разных местах, даст один и тот же результат (как видят локальные наблюдатели). ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t){\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} ){\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=0}$

Смотрите также

• состояние Блоха
• Группа
• Периодическая функция
• Оператор смены
• Симметрии в квантовой механике
• Симметрия временного переноса
• Трансляционная симметрия

Ссылки

1. Конспект лекций Роберта Литтлджона
2. Малдерс, П.Дж. «Продвинутая квантовая механика» (PDF) . Свободный университет Амстердама . Проверено 22 марта 2022 г.
3. Страница 816, Глава 17, Математические методы для физиков, седьмое издание, Арфкен, Вебер и Харрис
4. Страница-47, Глава-1, Современная квантовая механика , Второе издание, Дж. Дж. Сакурай, Джим Дж. Наполитано
5. С. 127, Раздел 4.2, Р. Шанкар, Принципы квантовой механики
6. Глава 8, Физика твердого тела Нила У. Эшкрофта и Н. Дэвида Мермина
7. P-133, Глава 8, Физика твердого тела Нила У. Эшкрофта и Н. Дэвида Мермина
8. P. 308, Глава 3, Том 1, Клод Коэн-Таннуджи, Бернар Диу, Франк Лалоэ