Оператор смены

Линейный математический оператор, который преобразует функцию

В математике , и в частности в функциональном анализе , оператор сдвига , также известный как оператор трансляции , представляет собой оператор , который переводит функцию x ↦ f ( x ) в ее трансляцию x ↦ f ( x + a ) . ^[1] В анализе временных рядов оператор сдвига называется оператором запаздывания .

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов , важных своей простотой и естественным возникновением. Действие оператора сдвига на функции действительной переменной играет важную роль в гармоническом анализе , например, оно появляется в определениях почти периодических функций , положительно определенных функций , производных и свертки . ^[2] Сдвиги последовательностей (функций целочисленной переменной) появляются в различных областях, таких как пространства Харди , теория абелевых многообразий и теория символической динамики , для которых отображение пекаря является явным представлением. Понятие триангулированной категории является категоризированным аналогом оператора сдвига.

Определение

Функции действительной переменной

Оператор сдвига T ^t (где ⁠ ⁠ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ) переводит функцию f на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ее сдвиг f _t ,

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

Практическое операционное исчисление представления линейного оператора T ^t в терминах простой производной ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$ было введено Лагранжем ,

${\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}$

который может быть интерпретирован операционально через его формальное разложение Тейлора по t ; и действие которого на моном x ⁿ очевидно из биномиальной теоремы , и, следовательно, на все ряды по x , и, следовательно, на все функции f ( x ) , как указано выше. ^[3] Таким образом, это является формальным кодированием разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор обеспечивает прототип ^[4] для знаменитого адвективного потока Ли для абелевых групп ,

${\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

где канонические координаты h ( функции Абеля ) определены таким образом, что

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

Например, легко следует, что дает масштабирование, ${\displaystyle \beta (x)=x}$

${\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}$

отсюда (четность); аналогично, дает ^[5] ${\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$

${\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}$урожайность

${\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$урожайность

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

и т. д.

Начальное условие потока и групповое свойство полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение уравнения функционального переноса ^[6]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

Последовательности

Оператор сдвига влево действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

и на двусторонних бесконечных последовательностях по

${\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

Оператор сдвига вправо действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

и на двусторонних бесконечных последовательностях по

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы

В общем случае, как показано выше, если F — функция на абелевой группе G , а h — элемент G , оператор сдвига T ^g отображает F в ^{[6] [7]}

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

Свойства оператора сдвига

Оператор сдвига, действующий на действительные или комплексные функции или последовательности, является линейным оператором, который сохраняет большинство стандартных норм , которые появляются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с нормой один.

Действие в гильбертовых пространствах

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}$ Оператор сдвига, действующий на функции действительной переменной, является унитарным оператором на ⁠ ⁠ ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$

В обоих случаях оператор (левого) сдвига удовлетворяет следующему коммутационному соотношению с преобразованием Фурье: где M ^t — оператор умножения на exp( itx ) . Следовательно, спектр T ^t — единичная окружность. $${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$

Односторонний сдвиг S , действующий на ⁠ ⁠, ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}$ является собственной изометрией с диапазоном , равным всем векторам, которые обращаются в нуль в первой координате . Оператор S является сжатием T ⁻¹ , в том смысле, что где y — вектор в ⁠ ⁠ с y _i = x _i для i ≥ 0 и y _i = 0 для i < 0 . Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных дилатаций изометрий. $${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$ ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}$

Спектр S — единичный круг . Сдвиг S — один из примеров оператора Фредгольма ; он имеет индекс Фредгольма −1 .

Обобщение

Жан Дельсарт ввел понятие обобщенного оператора сдвига (также называемого обобщенным оператором смещения ); оно было далее развито Борисом Левитаном . ^{[2] [8] [9]}

Семейство операторов , действующих ${\displaystyle \{L^{x}\}_{x\in X}}$ на пространстве Φ функций из множества X в , ${\displaystyle \mathbb {C} }$ называется семейством операторов обобщенного сдвига, если выполняются следующие свойства :

1. Ассоциативность : пусть Тогда ${\displaystyle (R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).}$ ${\displaystyle L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.}$
2. Существует e в X, такой что L ^e является тождественным оператором .

В этом случае множество X называется гипергруппой .

Смотрите также

• Арифметический сдвиг
• Логический сдвиг
• Матрицы часов и сдвига
• Конечная разность
• Оператор трансляции (квантовая механика)

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Оператор сдвига». MathWorld .
2. Марченко, ВА (2006). "Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи". Математические события двадцатого века . Берлин: Springer. С. 145–162. doi :10.1007/3-540-29462-7_8. ISBN 978-3-540-23235-3. МР  2182783.
3. Джордан, Чарльз, (1939/1965). Исчисление конечных разностей , (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 . 
4. M Hamermesh (1989), Теория групп и ее применение к физическим проблемам (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, гл. 8–6, стр. 294–5, онлайн.
5. стр. 75 Георга Шефферса (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen , Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 онлайн 
6. Aczel, J (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), Гл. 6, ISBN 978-0486445236 . 
7. «Однопараметрическая непрерывная группа эквивалентна группе переводов». M Hamermesh, там же .
8. Левитан, Б.М .; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], "Обобщенные операторы смещения", Энциклопедия математики , EMS Press
9. Бредихина, Е.А. (2001) [1994], "Почти-периодическая функция", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС

Библиография

• Партингтон, Джонатан Р. (15 марта 2004 г.). Линейные операторы и линейные системы . Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511616693. ISBN 978-0-521-83734-7.
• Марвин Розенблюм и Джеймс Ровняк, Классы Харди и теория операторов , (1985) Oxford University Press.