Штамм (механика)

Симметричная тензорная величина деформации, вызванной напряжением в веществе

В механике деформация определяется как относительная деформация по сравнению с конфигурацией исходного положения . Для выражения поля деформаций можно сделать различный эквивалентный выбор в зависимости от того, определяется ли оно относительно начальной или конечной конфигурации тела и от того, рассматривается ли метрический тензор или его двойник.

Деформация имеет размерность отношения длин с базовой единицей СИ метр на метр (м/м) . Следовательно, деформации безразмерны и обычно выражаются десятичной дробью или процентом . Также используется обозначение частей на миллион , например, частей на миллион или частей на миллиард (иногда называемых «микродеформациями» и «нанодеформациями» соответственно), что соответствует мкм /м и нм /м.

Деформацию можно сформулировать как пространственную производную смещения :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},}$$

Iтождественный тензорx = F ( X )X^[1]

Деформация, вообще говоря, является тензорной величиной. Физическое понимание деформаций можно получить, наблюдая, что данную деформацию можно разложить на нормальную и сдвиговую компоненты. Величина растяжения или сжатия вдоль линейных элементов или волокон материала представляет собой нормальную деформацию , а величина искажения, связанная со скольжением плоских слоев друг по другу, представляет собой деформацию сдвига внутри деформирующегося тела. ^[2] Это может быть применено путем удлинения, укорочения, изменения объема или углового искажения. ^[3]

Деформированное состояние в материальной точке сплошного тела определяется как совокупность всех изменений длины материальных линий или волокон, нормальная деформация , проходящая через эту точку, а также совокупность всех изменений угла между пары линий, первоначально перпендикулярных друг другу, — деформация сдвига , исходящая из этой точки. Однако достаточно знать нормальную и сдвиговую составляющие деформации на множестве трех взаимно перпендикулярных направлений.

Если длина материальной линии увеличивается, нормальная деформация называется деформацией растяжения ; в противном случае, если длина материальной линии уменьшается или сжимается, это называется деформацией сжатия .

Деформационные режимы

В зависимости от величины деформации или локальной деформации анализ деформации подразделяется на три теории деформации:

• Теория конечных деформаций , также называемая теорией больших деформаций , теорией больших деформаций , имеет дело с деформациями, в которых как вращение, так и деформации сколь угодно велики. При этом недеформированная и деформированная конфигурации континуума существенно различаются и между ними необходимо проводить четкое различие. Обычно это происходит с эластомерами , пластически деформирующими материалами и другими жидкостями и биологическими мягкими тканями .
• Теория бесконечно малых деформаций , также называемая теорией малых деформаций , теорией малых деформаций, теорией малых смещений или теорией малых градиентов смещений, где деформации и вращения малы. В этом случае недеформированную и деформированную конфигурации тела можно считать одинаковыми. Теория бесконечно малых деформаций используется при анализе деформаций материалов, проявляющих упругое поведение, таких как материалы, используемые в машиностроении и гражданском строительстве, например, бетон и сталь.
• Теория большого смещения или большого вращения , которая предполагает небольшие деформации, но большие вращения и смещения.

Меры по деформации

В каждой из этих теорий деформация определяется по-разному. Инженерная деформация — наиболее распространенное определение, применяемое к материалам, используемым в машиностроении и строительстве, которые подвергаются очень небольшим деформациям. С другой стороны, для некоторых материалов, например эластомеров и полимеров, подвергающихся большим деформациям, инженерное определение деформации неприменимо, например, типичная инженерная деформация превышает 1%; ^[4] поэтому требуются другие, более сложные определения деформации, такие как растяжение , логарифмическая деформация , деформация Грина и деформация Альманси .

Инженерное напряжение

Инженерная деформация , также известная как деформация Коши , выражается как отношение общей деформации к начальному размеру материального тела, к которому приложены силы. В случае элемента материальной линии или волокна, нагруженного в осевом направлении, его удлинение вызывает инженерную нормальную деформацию или инженерную деформацию растяжения e , которая равна относительному удлинению или изменению длины Δ L на единицу исходной длины L линии. элемент или волокна (в метрах на метр). Нормальная деформация положительна, если волокна материала растянуты, и отрицательна, если они сжаты. Таким образом, мы имеем

$${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}$$

eинженерная нормальная деформацияLl

Истинная деформация сдвига определяется как изменение угла (в радианах) между двумя элементами линии материала, первоначально перпендикулярными друг другу в недеформированной или исходной конфигурации. Инженерная деформация сдвига определяется как тангенс этого угла и равна максимальной длине деформации, деленной на длину перпендикуляра в плоскости приложения силы, что иногда облегчает расчет.

Коэффициент растяжения

Коэффициент растяжения или коэффициент растяжения (символ λ) является альтернативной мерой, связанной с растяжением или нормальной деформацией элемента дифференциальной линии с осевой нагрузкой. Она определяется как отношение конечной длины l к начальной длине L материальной линии.

$${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

Коэффициент растяжения λ связан с инженерной деформацией e соотношением

$${\displaystyle e=\lambda -1}$$

Коэффициент растяжения используется при анализе материалов, которые демонстрируют большие деформации, таких как эластомеры , которые могут выдерживать коэффициент растяжения 3 или 4, прежде чем они выйдут из строя. С другой стороны, традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, выходят из строя при гораздо более низких коэффициентах растяжения.

Логарифмическая деформация

Логарифмическая деформация ε , также называемая истинной деформацией или деформацией Хенки . ^[5] Учитывая возрастающую деформацию (Людвик)

$${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$

e^[2]

Зеленый штамм

Штамм Грина определяется как:

$${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

Штамм Альманси

Штамм Эйлера-Альманси определяется как

$${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

Тензор деформации

Тензор (бесконечно-малой) деформации (символ ) определен в Международной системе величин (ISQ), более конкретно в ISO 80000-4 (Механика), как «тензорная величина, представляющая деформацию материи, вызванную напряжением. Тензор деформации симметричен. и имеет три компонента линейной деформации и три компонента сдвиговой деформации (декартовы). ^[6] ISO 80000-4 далее определяет линейную деформацию как «коэффициент изменения длины объекта и его длины», а деформацию сдвига как «коэффициент параллельного смещения двух поверхностей слоя и толщины слоя». ^[6] Таким образом, деформации классифицируются как нормальные или сдвиговые . Нормальная деформация перпендикулярна грани элемента, а сдвиговая деформация параллельна ей. Эти определения согласуются с определениями нормального напряжения и напряжения сдвига . ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Тогда тензор деформации можно выразить через нормальные и сдвиговые компоненты следующим образом:

$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Геометрическая настройка

Двумерная геометрическая деформация бесконечно малого материального элемента

Рассмотрим двумерный бесконечно малый прямоугольный материальный элемент с размерами dx × dy , который после деформации принимает форму ромба . Деформация описывается полем перемещений u . Из геометрии соседней фигуры имеем

$${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle u_{x}}$

$${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

Нормальная нагрузка

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука , нормальное напряжение вызывает нормальную деформацию. Нормальные штаммы вызывают расширения .

Нормальная деформация в направлении x прямоугольного элемента определяется выражением

$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$

yz

$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

Сдвиговая деформация

Инженерная деформация сдвига ( γ _xy ) определяется как изменение угла между линиями AC и AB . Поэтому,

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

Из геометрии фигуры имеем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$

αβtan α ≈ αtan β ≈ β

$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

xyu _xu _yγ _xy = γ _yx

Аналогично для плоскостей yz и xz имеем

$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Объемная нагрузка

Объемная деформация, также называемая объемной деформацией, представляет собой относительное изменение объема, возникающее в результате расширения или сжатия ; это первый инвариант деформации или след тензора:

$${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$$

В действительности, если мы рассмотрим куб с длиной ребра a , то после деформации (изменение углов не изменяет объем) это будет квазикуб с размерами и V ₀ = a ³ , таким образом ${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$

$${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$$

поскольку мы рассматриваем малые деформации,

$${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$$

поэтому формула.

В случае чистого сдвига мы видим, что изменения объема нет.

Метрический тензор

Поле деформации, связанное со смещением, определяется в любой точке изменением длины касательных векторов , представляющих скорости произвольно параметризованных кривых, проходящих через эту точку. Основной геометрический результат Фреше , фон Неймана и Джордана гласит, что если длины касательных векторов удовлетворяют аксиомам нормы и закону параллелограмма , то длина вектора равна квадратному корню из значения квадратичная форма , связанная формулой поляризации с положительно определенным билинейным отображением , называемым метрическим тензором .

Смотрите также

• Стрессовые меры
• Скорость деформации
• Тензор деформации

Рекомендации

1. Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (пересмотренная ред.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2010 г.
2. Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
3. «Земля». Британская энциклопедия из Британской энциклопедии, DVD Ultimate Reference Suite 2006. [2009].
4. Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность: введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. п. 41. ИСБН 0-7506-8025-3. Архивировано из оригинала 22 декабря 2017 г.
5. Хенки, Х. (1928). «Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei Ideal Elastischen Stoffen». Zeitschrift für technische Physik . 9 : 215–220.
6. «ISO 80000-4:2019». ИСО . 20 августа 2013 г. Проверено 28 августа 2023 г.