Дзета-функция Дедекинда

Обобщение дзета-функции Римана для полей алгебраических чисел

В математике дзета-функция Дедекинда алгебраического числового поля K , обычно обозначаемая ζ _K ( s ), является обобщением дзета-функции Римана (которая получается в случае, когда K — поле рациональных чисел Q ). Она может быть определена как ряд Дирихле , имеет разложение в произведение Эйлера , удовлетворяет функциональному уравнению , имеет аналитическое продолжение до мероморфной функции на комплексной плоскости C с единственным простым полюсом в s  = 1, и ее значения кодируют арифметические данные K . Расширенная гипотеза Римана утверждает, что если ζ _K ( s ) = 0 и 0 < Re( s ) < 1, то Re( s ) = 1/2.

Дзета-функция Дедекинда названа в честь Рихарда Дедекинда , который представил ее в своем приложении к книге Питера Густава Лежена Дирихле « Vorlesungen über Zahlentheorie» . ^[1]

Определение и основные свойства

Пусть K — алгебраическое числовое поле . Его дзета-функция Дедекинда сначала определяется для комплексных чисел s с действительной частью Re( s ) > 1 с помощью ряда Дирихле

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbf {Q} }(I))^{s}}}}$

где I пробегает ненулевые идеалы кольца целых чисел O _K кольца K , а N _{K / Q} ( I ) обозначает абсолютную норму I ( которая равна как индексу [ O K _:  I  ] кольца I в O _K , так и, что эквивалентно, мощности факторкольца O _K  /  I ). Эта сумма сходится абсолютно для всех комплексных чисел s с действительной частью Re( s ) > 1. В случае K  =  Q это определение сводится к определению дзета - функции Римана.

произведение Эйлера

Дзета-функция Дедекинда имеет произведение Эйлера, которое является произведением по всем ненулевым простым идеалам ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-N_{K/\mathbf {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}},{\text{ for Re}}(s)>1.}$

Это аналитическое выражение единственности разложения идеалов в . Для не равно нулю. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)}$

Аналитическое продолжение и функциональное уравнение

Эрих Гекке первым доказал, что ζ _K ( s ) имеет аналитическое продолжение до мероморфной функции, которая является аналитической во всех точках комплексной плоскости, за исключением одного простого полюса при s  = 1. Вычет в этом полюсе задается аналитической формулой числа классов и состоит из важных арифметических данных, включающих инварианты единичной группы и группы классов K .

Дзета-функция Дедекинда удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему ее значения в s и 1 −  s . В частности, пусть Δ K обозначает дискриминант K _, пусть r 1 ( соответственно _r 2 ) _{обозначает} число действительных мест (соответственно комплексных мест) K , и пусть

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}$

и

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {C} }(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)}$

где Γ( s ) — гамма-функция . Тогда функции

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }(s)^{r_{1}}\Gamma _{\mathbf {C} }(s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)\qquad \Xi _{K}(s)={\tfrac {1}{2}}(s^{2}+{\tfrac {1}{4}})\Lambda _{K}({\tfrac {1}{2}}+is)}$

удовлетворяют функциональному уравнению

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s).\qquad \Xi _{K}(-s)=\Xi _{K}(s)\;}$

Особые ценности

Аналогично дзета-функции Римана, значения дзета-функции Дедекинда в целых числах кодируют (по крайней мере предположительно) важные арифметические данные поля K. Например, аналитическая формула числа классов связывает остаток при s  = 1 с числом классов h ( K ) поля K , регулятором R ( K ) поля K , числом w ( K ) корней из единицы в K , абсолютным дискриминантом поля K и числом действительных и комплексных мест поля K . Другой пример — при s  = 0, где он имеет ноль, порядок которого r равен рангу единичной группы поля O _K , а ведущий член задается выражением

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}s^{-r}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.}$

Из функционального уравнения следует, что . Объединение функционального уравнения и того факта, что Γ( s ) бесконечно для всех целых чисел, меньших или равных нулю, дает, что ζ _K ( s ) обращается в нуль для всех отрицательных четных целых чисел. Он даже обращается в нуль для всех отрицательных нечетных целых чисел, если только K не является полностью действительным (т. е. r ₂  = 0; например, Q или действительное квадратичное поле ). В полностью действительном случае Карл Людвиг Зигель показал, что ζ _K ( s ) является ненулевым рациональным числом для отрицательных нечетных целых чисел. Стивен Лихтенбаум предположил конкретные значения для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K- теории K . ${\displaystyle r=r_{1}+r_{2}-1}$

Отношения с другимиЛ-функции

Для случая, когда K является абелевым расширением Q , его дзета-функция Дедекинда может быть записана как произведение L-функций Дирихле . Например, когда K является квадратичным полем, это показывает , что отношение

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbf {Q} }(s)}}}$

есть L -функция L ( s , χ), где χ — символ Якоби , используемый в качестве символа Дирихле . То, что дзета-функция квадратичного поля является произведением дзета-функции Римана и некоторой L -функции Дирихле, является аналитической формулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем случае, если K является расширением Галуа Q с группой Галуа G , то его дзета-функция Дедекинда является L -функцией Артина регулярного представления G и , следовательно, имеет факторизацию в терминах L -функций Артина неприводимых представлений Артина G.

Связь с L-функциями Артина показывает, что если L / K является расширением Галуа, то оно голоморфно ( «делится» ): для общих расширений результат будет следовать из гипотезы Артина для L-функций . ^[2] ${\displaystyle {\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}}$ ${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$ ${\displaystyle \zeta _{L}(s)}$

Кроме того, ζ _K ( s ) является дзета-функцией Хассе–Вейля Spec O _K ^[3] и мотивной L -функцией мотива, исходящего из когомологий Spec K . ^[4 ]

Арифметически эквивалентные поля

Два поля называются арифметически эквивалентными, если они имеют одинаковую дзета-функцию Дедекинда. Виб Босма и Барт де Смит (2002) использовали тройки Гассмана , чтобы привести несколько примеров пар неизоморфных полей, которые арифметически эквивалентны. В частности, некоторые из этих пар имеют разные номера классов, поэтому дзета-функция Дедекинда числового поля не определяет его номер класса.

Перлис (1977) показал, что два числовых поля K и L арифметически эквивалентны тогда и только тогда, когда все, кроме конечного числа простых чисел p, имеют одинаковые степени инерции в двух полях, т. е. если — простые идеалы в K , лежащие над p , то кортежи должны быть одинаковыми для K и для L для почти всех p . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle (\dim _{\mathbf {Z} /p}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i})}$

Примечания

1. Наркевич 2004, §7.4.1
2. Мартинет (1977) стр.19
3. Денингер 1994, §1
4. Флах 2004, §1.1

Ссылки

• Босма, Виб; де Смит, Барт (2002), «Об арифметически эквивалентных числовых полях малой степени», в Кохель, Дэвид Р.; Фикер, Клаус (ред.), Алгоритмическая теория чисел (Сидней, 2002) , Lecture Notes in Comput. Sci., т. 2369, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 67–79, doi :10.1007/3-540-45455-1_6, ISBN 978-3-540-43863-2, МР  2041074
• Раздел 10.5.1 из книги Коэн, Анри (2007), Теория чисел, Том II: Аналитические и современные инструменты , Graduate Texts in Mathematics , т. 240, Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/978-0-387-49894-2, ISBN 978-0-387-49893-5, г-н  2312338
• Денингер, Кристофер (1994), « L -функции смешанных мотивов», Яннсен, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер (ред.), Мотивы, Часть 1 , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 55, Американское математическое общество , стр. 517–525, ISBN. 978-0-8218-1635-6
• Флах, Матиас (2004), «Гипотеза об эквивариантном числе Тамагавы: обзор», в Бернс, Дэвид; Попеску, Кристиан; Сэндс, Джонатан; и др. (ред.), Предположения Старка: недавние работы и новые направления (PDF) , Contemporary Mathematics, т. 358, Американское математическое общество , стр. 79–125, ISBN 978-0-8218-3480-0
• Мартине, Дж. (1977), «Теория характеров и L-функции Артина», в Fröhlich, A. (ред.), Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975 , Academic Press, стр. 1–87, ISBN 0-12-268960-7, Збл  0359.12015
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Springer Monographs in Mathematics (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, Глава 7, ISBN 978-3-540-21902-6, МР  2078267
• Перлис, Роберт (1977), «Об уравнении », Журнал теории чисел , 9 (3): 342–360, doi : 10.1016/0022-314X(77)90070-1 ${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta _{K'}(s)}$