Синтоническая запятая

Синтоническая запятая (81:80) на C

В теории музыки синтоническая комма , также известная как хроматическая диеза , дидимеева комма , птолемеева комма или диатоническая комма ^[2], представляет собой небольшой интервал типа запятой между двумя музыкальными нотами , равный отношению частот ⁠81/80⁠ (= 1,0125) (около 21,51 цента ). Две ноты, которые отличаются на этот интервал, будут звучать по-разному даже для нетренированного уха,^[3], но будут достаточно близки, чтобы их с большей вероятностью интерпретировали как расстроенные версии одной и той же ноты, чем как разные ноты. Комма также называется дидимовой коммой , потому что это величина, на которую Дидим скорректировал пифагорейскую большую терцию ( ⁠81/64⁠ , около 407,82 центов)^[4] до ровной / гармонически согласной большой терции ( ⁠5/4⁠ , около 386,31 цента).

Слово «запятая» пришло из латыни от греческого $κόμμα$ , от более раннего $*κοπ-μα$ = «отрезанная вещь» или «волосок», как в выражении «отрезанный всего на волосок».

Отношения

Простые множители справедливого интервала ⁠81/80⁠ известный как синтоническая запятая, может быть разделен и восстановлен в различные последовательности из двух или более интервалов, которые приходят к запятой, например $⁠$ $81 / 1 ⁠ \times ⁠ 1 / 80 ⁠$ или (полностью развернуто и отсортировано по простоте) $⁠$ $3 \times 3 \times 3 \times 3 / 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 ⁠$ .Все последовательности нот, которые образуют эту дробь, математически верны, но некоторые из более музыкальных последовательностей, которые люди используют для запоминания и объяснения состава, появления и использования запятой, перечислены ниже:

Соотношение двух видов большой секунды , которые встречаются в настройке 5-го предела : больший тон (9:8, около 203,91 центов, или C ↗ D в простом C мажоре) и меньший тон (10:9, около 182,40 центов, или D ↗ E ). А именно, 9:8 ÷ 10:9 = 81:80, или, что эквивалентно, повышение на запятую повышает меньшую большую секунду до большей секунды $⁠$ $10 / 9 ⁠ \times ⁠ 81 / 80 ⁠ = ⁠ 9 / 8 ⁠$ .^[4]
Разница в размере между пифагорейским дитоном ( частотное отношение 81:64, или около 407,82 центов ) и просто большой терцией (5:4, или около 386,31 центов). А именно, $⁠$ $81 / 64 ⁠ \div ⁠ 5 / 4 ⁠ = ⁠ 81 / 80 ⁠$ .
Разница между четырьмя правильно настроенными чистыми квинтами и двумя октавами плюс правильно настроенная большая терция . Чистая чистая квинта имеет размер 3:2 (около 701,96 цента), а четыре из них равны 81:16 (около 2807,82 цента). Чистая большая терция имеет размер 5:4 (около 386,31 цента), а одна из них плюс две октавы (4:1 или ровно 2400 центов) равна 5:1 (около 2786,31 цента). Разница между ними — синтоническая запятая. А именно, 81:16 ÷ 5:1 = 81:80.
Разница между одной октавой плюс правильно настроенная малая терция (12:5, около 1515,64 центов) и тремя правильно настроенными чистыми четвертями (64:27, около 1494,13 центов). А именно, 12:5 ÷ 64:27 = 81:80.
Разница между пифагорейской большой секстой (27:16, около 905,87 центов) и правильно настроенной или «чистой» большой секстой (5:3, около 884,36 центов). А именно, 27:16 ÷ 5:3 = 81:80. ^[4]

На клавиатуре фортепиано (обычно настроенной с 12-тоновой равномерной темперацией ) стек из четырех квинт (700 × 4 = 2800 центов) в точности равен двум октавам (1200 × 2 = 2400 центов) плюс большая терция (400 центов). Другими словами, начиная с C, обе комбинации интервалов закончатся в E. Однако использование справедливо настроенных октав (2:1), квинт (3:2) и терций (5:4) дает две немного разные ноты. Соотношение между их частотами, как объяснялось выше, является синтонической коммой (81:80). Пифагорейская настройка также использует справедливо настроенные квинты (3:2), но использует относительно сложное соотношение 81:64 для больших терций. Quarter-comma meanone использует справедливо настроенные большие терции (5:4), но сглаживает каждую из квинт на четверть синтонической коммы относительно их справедливого размера (3:2). Другие системы используют другие компромиссы. Это одна из причин, по которой 12-тоновая равномерная темперация в настоящее время является предпочтительной системой для настройки большинства музыкальных инструментов ^{[ требуется разъяснение ]} .

Математически, по теореме Штёрмера , 81:80 является ближайшим возможным суперчастным отношением с обычными числами в качестве числителя и знаменателя. Суперчастное отношение — это такое отношение, числитель которого на 1 больше знаменателя, например, 5:4, а регулярное число — это такое отношение, простые множители которого ограничены 2, 3 и 5. Таким образом, хотя меньшие интервалы могут быть описаны в настройках предела 5, их нельзя описать как суперчастные отношения.

Синтоническая запятая в истории музыки

Синтоническая комма, например, между мажорным и минорным тонами 9/8 (приблизительно 203,91 цента) и 10/9 (приблизительно 182,40 цента) (вверху), темперируется в 12TET, оставляя один тон в 200 центов (внизу).

Синтоническая комма играет решающую роль в истории музыки. Это величина, на которую некоторые ноты, произведенные в пифагорейской настройке, были сглажены или заострены, чтобы произвести только малые и большие терции. В пифагорейской настройке единственными высококонсонантными интервалами были чистая квинта и ее обращение, чистая кварта . Пифагорейская большая терция (81:64) и малая терция (32:27) были диссонансными , и это мешало музыкантам использовать трезвучия и аккорды , заставляя их на протяжении столетий писать музыку с относительно простой текстурой .

Синтоническая темперация восходит к Дидиму Музыканту , чья настройка диатонического рода тетрахорда заменила один интервал 9:8 на интервал 10:9 ( меньший тон ), получив только большую терцию (5:4) и полутон (16:15). Это было позже пересмотрено Птолемеем (поменяв местами два тона) в его «синтонической диатонической» гамме (συντονόν διατονικός, syntonón diatonikós , от συντονός + διάτονος). Термин syntonón был основан на труде Аристоксена и может быть переведен как «напряжённый» (традиционно «интенсивный»), относящийся к натянутым струнам (следовательно, более резкий), в отличие от μαλακόν ( malakón , от μαλακός), переводимого как «расслабленный» (традиционно «мягкий»), относящегося к более свободным струнам (следовательно, более плоский или «мягче»).

Это было заново открыто в позднем Средневековье , когда музыканты поняли, что, слегка смягчая высоту некоторых нот, пифагорейские терции можно сделать консонантными . Например, если частота E уменьшается синтонической коммой (81:80), CE (большая терция) и EG (малая терция) становятся справедливыми. А именно, CE сужается до справедливо интонированного соотношения

{81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}={5 \over 4}

и в то же время EG расширяется до справедливого соотношения

{32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}={6 \over 5}

Недостатком является то, что квинты AE и EB, уплощая E, становятся почти такими же диссонирующими, как пифагорейская волчья квинта . Но квинта CG остается консонантной, поскольку уплощена только E (CE × EG = 5/4 × 6/5 = 3/2), и может использоваться вместе с CE для получения до- мажорного трезвучия (CEG). Эти эксперименты в конечном итоге привели к созданию новой системы настройки , известной как четверть-комма значащая тон , в которой количество больших терций было максимизировано, а большинство малых терций были настроены в соотношении, которое было очень близко к всего лишь 6:5. Этот результат был получен путем сужения каждой квинты на четверть синтонической коммы, величина, которая считалась незначительной, и позволяла полностью развивать музыку со сложной текстурой , такую как полифоническая музыка или мелодия с инструментальным сопровождением . С тех пор были разработаны другие системы настройки, и синтоническая комма использовалась в качестве опорного значения для темперирования чистых квинт в целом их семействе. А именно, в семействе, принадлежащем к континууму синтонической темперации , включая мезонинные темперации .

Запятая насос

Синтоническая комма возникает в последовательностях comma pump ( comma drift ), таких как CGDAEC, когда каждый интервал от одной ноты до следующей играется с определенными интервалами в простом интонационном тюнинге. Если мы используем частотное соотношение 3/2 для чистых квинт (CG и DA), 3/4 для нисходящих чистых кварт (GD и AE) и 4/5 для нисходящей большой терции (EC), то последовательность интервалов от одной ноты до следующей в этой последовательности будет 3/2, 3/4, 3/2, 3/4, 4/5. Они умножаются вместе, чтобы дать

{3 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {4 \over 5}={81 \over 80}

что является синтонической коммой (музыкальные интервалы, сложенные таким образом, умножаются друг на друга). «Дрейф» создается путем объединения пифагорейских и 5-предельных интервалов в простой интонации и не возникнет в пифагорейской настройке из-за использования только пифагорейской большой терции (64/81), которая, таким образом, вернет последний шаг последовательности к исходной высоте тона.

Итак, в этой последовательности вторая нота C выше первой C на синтоническую запятую Play ^ⓘ . Эта последовательность или любая ее транспозиция известна как comma pump. Если музыкальная строка следует этой последовательности, и если каждый из интервалов между соседними нотами правильно настроен, то каждый раз, когда следует эта последовательность, высота тона пьесы повышается на синтоническую запятую (примерно на одну пятую полутона).

Изучение насоса запятой началось, по крайней мере, в шестнадцатом веке, когда итальянский ученый Джованни Баттиста Бенедетти сочинил музыкальное произведение, иллюстрирующее синтонический дрейф запятой. ^[5]

Обратите внимание, что нисходящая чистая кварта (3/4) — это то же самое, что нисходящая октава (1/2), за которой следует восходящая чистая квинта (3/2). А именно, (3/4) = (1/2) × (3/2). Аналогично, нисходящая большая терция (4/5) — это то же самое, что нисходящая октава (1/2), за которой следует восходящая малая секста (8/5). А именно, (4/5) = (1/2) × (8/5). Следовательно, вышеупомянутая последовательность эквивалентна:

{3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {8 \over 5}={81 \over 80}

или, группируя похожие интервалы,

{3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {8 \over 5}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={81 \over 80}

Это означает, что если все интервалы правильно настроены, то синтоническую комму можно получить с помощью стека из четырех чистых квинт плюс одна малая секста, за которыми следуют три нисходящие октавы (другими словами, четыре P5 плюс одна m6 минус три P8 ).

Обозначение

Мориц Гауптман разработал метод нотации, используемый Германом фон Гельмгольцем . Основываясь на пифагорейском строе, затем добавляются нижние индексные числа, указывающие количество синтонических запятых, на которые нужно понизить ноту. Таким образом, пифагорейский строй — это CDEFGAB, в то время как простой строй — это CDE ₁ FGA ₁ B ₁ . Карл Эйц разработал похожую систему, используемую Дж. Мюрреем Барбуром . Добавляются верхние индексные положительные и отрицательные числа, указывающие количество синтонических запятых, на которые нужно повысить или понизить ноту от пифагорейского строя. Таким образом, пифагорейский строй — это CDEFGAB, в то время как 5-предельный птолемеевский строй — это CDE ⁻¹ FGA ⁻¹ B ⁻¹ .

В нотации Гельмгольца-Эллиса синтоническая запятая обозначается стрелками вверх и вниз, добавленными к традиционным знакам альтерации. Таким образом, пифагорейская шкала — CDEFGAB, а птолемеевская шкала с 5-ю пределами — CDEFGAБ.

Композитор Бен Джонстон использует «−» в качестве знака альтерации, чтобы указать, что нота понижена синтонической запятой, или «+», чтобы указать, что нота повышена синтонической запятой. ^[1] Таким образом, пифагорейская гамма — это CD E+ FG A+ B+, в то время как птолемеевская гамма с 5-ю пределами — это CDEFGA B.

Смотрите также

Ссылки

^ ab John Fonville . "Расширенная четкая интонация Бена Джонстона – руководство для интерпретаторов", стр. 109, Perspectives of New Music , т. 29, № 2 (лето 1991 г.), стр. 106-137. и Johnston, Ben и Gilmore, Bob (2006). "Система нотации для расширенной четкой интонации" (2003), "Максимальная ясность" и другие сочинения о музыке , стр. 78. ISBN 978-0-252-03098-7 .
^ Джонстон, Б. (2006), Гилмор, Б. (ред.), «Максимальная ясность» и другие сочинения о музыке , Урбана, Иллинойс: Издательство Иллинойсского университета, ISBN 0-252-03098-2
^ "Sol-Fa – The Key to Temperament", bbc.co.uk , BBC , архивировано с оригинала 8 февраля 2005 г.
^ abc Ллойд, Ллевелин Саутворт (1937), Музыка и звук , Books for Libraries Press, стр. 12, ISBN 0-8369-5188-3
^ ab Wild, Jonathan; Schubert, Peter (весна–осень 2008 г.), «Исторически обоснованная перенастройка полифонического вокального исполнения» (PDF) , Journal of Interdisciplinary Music Studies , 2 (1&2): 121–139 [127], архивировано из оригинала (PDF) 11 сентября 2010 г. , извлечено 5 апреля 2013 г., арт. №0821208.

Внешние ссылки

Школа музыки при Университете Индианы: Мастерская по ремонту фортепиано: Настройка, ремонт и темперация клавесина: «Что такое синтоническая комма?»
Tonalsoft: "Syntonic-comma"
Объяснение смещения запятой