Текущая стоимость

Экономическая концепция

В экономике и финансах текущая стоимость ( PV ), также известная как текущая дисконтированная стоимость , — это стоимость ожидаемого потока доходов, определяемая на дату оценки. Текущая стоимость обычно меньше будущей стоимости, поскольку деньги имеют потенциальный доход в виде процентов , характеристика, называемая временной стоимостью денег , за исключением периодов отрицательных процентных ставок, когда текущая стоимость будет равна или больше будущей стоимости. ^[1] Временную стоимость можно описать упрощенной фразой: «Сегодняшний доллар стоит больше, чем завтрашний доллар». Здесь «стоит больше» означает, что его стоимость больше, чем завтра. Сегодняшний доллар стоит больше, чем завтрашний доллар, поскольку доллар можно инвестировать и заработать дневной процент, в результате чего общая сумма к завтрашнему дню будет накапливаться до стоимости, превышающей доллар. Проценты можно сравнить с арендной платой . ^[2] Так же, как арендатор платит арендодателю арендную плату без передачи права собственности на актив, заемщик платит кредитору проценты, который получает доступ к деньгам на некоторое время, прежде чем вернуть их. Предоставляя заемщику доступ к деньгам, кредитор жертвует обменной стоимостью этих денег и получает за это компенсацию в виде процентов. Первоначальная сумма заемных средств (текущая стоимость) меньше общей суммы денег, уплаченной кредитору.

Расчеты текущей стоимости, а также расчеты будущей стоимости используются для оценки кредитов , ипотечных кредитов , аннуитетов , амортизационных фондов , бессрочных рент , облигаций и многого другого. Эти расчеты используются для сравнения денежных потоков, которые не происходят в одно и то же время, ^[1] поскольку время и даты должны быть согласованы для сравнения значений. При принятии решения о выборе проектов для инвестирования выбор может быть сделан путем сравнения соответствующих текущих стоимостей таких проектов путем дисконтирования ожидаемых потоков доходов по соответствующей процентной ставке проекта или норме прибыли . Следует выбрать проект с самой высокой текущей стоимостью, т. е. наиболее ценный сегодня.

Фон

Если вам предложат выбор между 100 долларами сегодня и 100 долларами через год, а реальная процентная ставка будет положительной в течение года, рациональный человек выберет 100 долларов сегодня. Экономисты называют это временным предпочтением . Временное предпочтение можно измерить, продав на аукционе безрисковые ценные бумаги, например казначейские векселя США. Если 100-долларовая купюра с нулевым купоном, подлежащая оплате через год, продается за 80 долларов сейчас, то 80 долларов — это текущая стоимость купюры, которая будет стоить 100 долларов через год. Это связано с тем, что деньги можно положить на банковский счет или в любую другую (безопасную) инвестицию, которая принесет проценты в будущем.

У инвестора, имеющего деньги, есть два варианта: потратить их прямо сейчас или сберечь. Но финансовая компенсация за их сберечь (а не потратить) заключается в том, что денежная стоимость будет накапливаться через сложные проценты , которые он или она получит от заемщика (банковского счета, на котором у него лежат деньги).

Таким образом, чтобы оценить реальную стоимость суммы денег сегодня по истечении определенного периода времени, экономические агенты начисляют сумму денег по заданной (процентной) ставке. Большинство актуарных расчетов используют безрисковую процентную ставку , которая соответствует минимальной гарантированной ставке, предоставляемой сберегательным счетом банка, например, предполагая отсутствие риска дефолта банка по возврату денег владельцу счета в срок. Для сравнения изменения покупательной способности следует использовать реальную процентную ставку ( номинальную процентную ставку за вычетом ставки инфляции ).

Операция оценки текущей стоимости в будущую стоимость называется капитализацией (сколько будут стоить сегодняшние 100 долларов через 5 лет?). Обратная операция — оценка текущей стоимости будущей суммы денег — называется дисконтированием (сколько будут стоить сегодняшние 100 долларов, полученные через 5 лет, например, в лотерее?).

Из этого следует, что если нужно выбрать между получением $100 сегодня и $100 через год, рациональным решением будет выбрать $100 сегодня. Если деньги должны быть получены через год и если процентная ставка по сберегательному счету составляет 5%, человеку нужно предложить не менее $105 через год, чтобы два варианта были эквивалентны (либо получение $100 сегодня, либо получение $105 через год). Это потому, что если $100 положить на сберегательный счет, то через год их стоимость составит $105, опять же, если не предполагать риска потери первоначальной суммы из-за дефолта банка.

Процентные ставки

Проценты — это дополнительная сумма денег, полученная между началом и концом периода времени. Проценты представляют собой временную стоимость денег и могут рассматриваться как арендная плата, которая требуется от заемщика для использования денег от кредитора. ^{[2] [3]} Например, когда человек берет банковский кредит, с него взимаются проценты. В качестве альтернативы, когда человек вносит деньги в банк, деньги приносят проценты. В этом случае банк является заемщиком средств и несет ответственность за зачисление процентов владельцу счета. Аналогично, когда человек инвестирует в компанию (через корпоративные облигации или через акции ), компания занимает средства и должна выплачивать проценты человеку (в форме купонных платежей, дивидендов или повышения цены акций). ^[1] Процентная ставка — это изменение, выраженное в процентах, в сумме денег в течение одного периода начисления процентов. Период начисления процентов — это промежуток времени, который должен пройти, прежде чем проценты будут начислены или добавлены к общей сумме. ^[2] Например, проценты, которые начисляются ежегодно, начисляются один раз в год, а период начисления составляет один год. Проценты, которые начисляются ежеквартально, начисляются четыре раза в год, а период начисления составляет три месяца. Период начисления может быть любой продолжительности, но некоторые общие периоды — это ежегодно, полугодично, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно и даже непрерывно.

Существует несколько типов и терминов, связанных с процентными ставками:

• Сложный процент , процент, который увеличивается экспоненциально в течение последующих периодов,
• Простые проценты , аддитивные проценты, которые не увеличиваются
• Эффективная процентная ставка , эффективный эквивалент по сравнению с несколькими периодами сложных процентов
• Номинальный годовой процент , простая годовая процентная ставка за несколько периодов начисления процентов
• Ставка дисконтирования , обратная процентная ставка при выполнении расчетов в обратном порядке
• Непрерывно начисляемые сложные проценты — математический предел процентной ставки с периодом, равным нулю.
• Реальная процентная ставка , учитывающая инфляцию.

Расчет

Операция оценки текущей суммы денег в будущем называется капитализацией (сколько будут стоить 100 сегодня через пять лет?). Обратная операция — оценка текущей стоимости будущей суммы денег — называется дисконтированием (сколько будут стоить 100 сегодня, полученные через пять лет?). ^[3]

Электронные таблицы обычно предлагают функции для вычисления текущей стоимости. В Microsoft Excel есть функции текущей стоимости для отдельных платежей - "=NPV(...)" и серии равных периодических платежей - "=PV(...)". Программы будут гибко рассчитывать текущую стоимость для любого денежного потока и процентной ставки или для графика различных процентных ставок в разное время.

Текущая стоимость единовременной суммы

Наиболее часто применяемая модель текущей оценки использует сложный процент . Стандартная формула:

${\displaystyle PV={\frac {C}{(1+i)^{n}}}\,}$

Где — будущая сумма денег, которая должна быть дисконтирована, — количество периодов начисления процентов между текущей датой и датой, когда сумма будет стоить , — процентная ставка за один период начисления процентов (конец периода начисления процентов — это момент начисления процентов, например, ежегодно, раз в полгода, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно). Процентная ставка, , указывается в процентах, но в этой формуле выражается десятичной дробью. ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,i\,}$ ${\displaystyle \,i\,}$

Часто его называют фактором текущей стоимости ^[2]. ${\displaystyle v^{n}=\,(1+i)^{-n}}$

Это также определяется из формулы для будущей стоимости при отрицательном времени.

Например, если вы должны получить 1000 долларов через пять лет, а эффективная годовая процентная ставка в течение этого периода составляет 10% (или 0,10), то текущая стоимость этой суммы составляет

${\displaystyle PV={\frac {\$1000}{(1+0.10)^{5}}}=\$620.92\,}$

Интерпретация заключается в том, что при эффективной годовой процентной ставке 10% человеку будет безразлично получить 1000 долларов США через пять лет или 620,92 доллара США сегодня. ^[1]

Покупательную способность сегодняшних денег для определенной суммы денег через несколько лет можно рассчитать по той же формуле, где в данном случае — предполагаемый будущий уровень инфляции . ${\displaystyle \,C\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,i\,}$

Если мы используем более низкую ставку дисконтирования ( i ), то это позволяет текущим значениям в будущем дисконтирования иметь более высокие значения.

Чистая текущая стоимость потока денежных средств

Денежный поток — это сумма денег, которая выплачивается или получается, дифференцируемая по отрицательному или положительному знаку, в конце периода. Традиционно полученные денежные потоки обозначаются положительным знаком (общая сумма денег увеличилась), а выплаченные денежные потоки обозначаются отрицательным знаком (общая сумма денег уменьшилась). Денежный поток за период представляет собой чистое изменение денег за этот период. ^[3] Расчет чистой приведенной стоимости, , потока денежных потоков состоит из дисконтирования каждого денежного потока до настоящего момента с использованием коэффициента приведенной стоимости и соответствующего количества периодов начисления процентов, а также объединения этих значений. ^[1] ${\displaystyle \,NPV\,}$

Например, если поток денежных потоков состоит из +$100 в конце первого периода, -$50 в конце второго периода и +$35 в конце третьего периода, а процентная ставка за период начисления процентов составляет 5% (0,05), то текущая стоимость этих трех денежных потоков составляет:

${\displaystyle PV_{1}={\frac {\$100}{(1.05)^{1}}}=\$95.24\,}$

${\displaystyle PV_{2}={\frac {-\$50}{(1.05)^{2}}}=-\$45.35\,}$

${\displaystyle PV_{3}={\frac {\$35}{(1.05)^{3}}}=\$30.23\,}$ соответственно

Таким образом, чистая текущая стоимость будет равна:

${\displaystyle NPV=PV_{1}+PV_{2}+PV_{3}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {-50}{(1.05)^{2}}}+{\frac {35}{(1.05)^{3}}}=95.24-45.35+30.23=80.12,}$

Необходимо учесть несколько соображений.

• Периоды могут не быть последовательными. Если это так, показатели степени изменятся, чтобы отразить соответствующее количество периодов
• Процентные ставки за период могут быть разными. Денежный поток должен быть дисконтирован с использованием процентной ставки за соответствующий период: если процентная ставка изменяется, сумма должна быть дисконтирована к периоду, в котором происходит изменение, с использованием второй процентной ставки, а затем дисконтирована обратно к настоящему времени с использованием первой процентной ставки. ^[2] Например, если денежный поток за период один составляет 100 долларов США, и 200 долларов США за период два, а процентная ставка за первый период составляет 5%, а за второй — 10%, то чистая приведенная стоимость будет равна:

${\displaystyle NPV=100\,(1.05)^{-1}+200\,(1.10)^{-1}\,(1.05)^{-1}={\frac {100}{(1.05)^{1}}}+{\frac {200}{(1.10)^{1}(1.05)^{1}}}=\$95.24+\$173.16=\$268.40}$

• Процентная ставка обязательно должна совпадать с периодом платежа. Если нет, необходимо изменить либо период платежа, либо процентную ставку. Например, если указанная процентная ставка является эффективной годовой процентной ставкой, но денежные потоки поступают (и/или выплачиваются) ежеквартально, необходимо рассчитать процентную ставку за квартал. Это можно сделать, преобразовав эффективную годовую процентную ставку, , в номинальную годовую процентную ставку, начисляемую ежеквартально: ${\displaystyle \,i\,}$

${\displaystyle (1+i)=\left(1+{\frac {i^{4}}{4}}\right)^{4}}$^[2]

Здесь — номинальная годовая процентная ставка, начисляемая ежеквартально, а процентная ставка за квартал равна ${\displaystyle i^{4}}$ ${\displaystyle {\frac {i^{4}}{4}}}$

Текущая стоимость аннуитета

Многие финансовые соглашения (включая облигации, другие займы, лизинг, зарплаты, членские взносы, аннуитеты, включая аннуитеты с немедленной выплатой и аннуитеты с выплатой по факту, линейные амортизационные отчисления) предусматривают структурированные графики платежей; платежи одинаковой суммы через регулярные промежутки времени. Такое соглашение называется аннуитетом . Выражения для текущей стоимости таких платежей представляют собой суммы геометрических рядов .

Существует два типа аннуитетов: аннуитет-немедленный и аннуитет-срочный. Для аннуитета-немедленного платежи поступают (или выплачиваются) в конце каждого периода, в моменты времени от 1 до , тогда как для аннуитета-срочного платежи поступают (или выплачиваются) в начале каждого периода, в моменты времени от 0 до . ^[3] Это тонкое различие необходимо учитывать при расчете текущей стоимости. ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,n\,}$ ${\displaystyle \,n-1\,}$

Аннуитет с выплатой процентов — это аннуитет с немедленным выплатой процентов с одним дополнительным периодом. Таким образом, две приведенные стоимости отличаются на коэффициент : ${\displaystyle (1+i)}$

${\displaystyle PV_{\text{annuity due}}=PV_{\text{annuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

Текущая стоимость немедленной ренты — это стоимость в момент времени 0 потока денежных средств:

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {C}{(1+i)^{k}}}=C\left[{\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\right],\qquad (1)}$

где:

${\displaystyle \,n\,}$= количество периодов,

${\displaystyle \,C\,}$= сумма денежных потоков,

${\displaystyle \,i\,}$= эффективная периодическая процентная ставка или норма прибыли.

Приблизительная оценка для расчета аннуитета и кредита

Вышеуказанная формула (1) для немедленных расчетов аннуитета дает мало информации для среднего пользователя и требует использования некоторой формы вычислительной техники. Существует приближение, которое менее пугающе, проще для вычисления и дает некоторую информацию для неспециалиста. Оно дается как ^[4]

${\displaystyle C\approx PV\left({\frac {1}{n}}+{\frac {2}{3}}i\right)}$

Где, как и выше, C — аннуитетный платеж, PV — основная сумма, n — количество платежей, начиная с конца первого периода, а i — процентная ставка за период. Эквивалентно C — периодическое погашение кредита для кредита PV, распространяющегося на n периодов по процентной ставке i. Формула верна (для положительных n, i) для ni≤3. Для полноты, для ni≥3 приближение равно . ${\displaystyle C\approx PVi}$

Формула может, при некоторых обстоятельствах, свести расчет к одному только устному счету. Например, каковы (приблизительные) выплаты по кредиту PV = $10,000, выплачиваемые ежегодно в течение n = десять лет под 15% годовых (i = 0,15)? Применимая приблизительная формула C ≈ 10,000*(1/10 + (2/3) 0,15) = 10,000*(0,1+0,1) = 10,000*0,2 = $2000 в год, вычисленная только устным счетом. Истинный ответ — $1993, очень близко.

Общая аппроксимация имеет точность в пределах ±6% (для всех n≥1) для процентных ставок 0≤i≤0,20 и в пределах ±10% для процентных ставок 0,20≤i≤0,40. Однако она предназначена только для «грубых» расчетов.

Текущая стоимость бессрочной ренты

Perpetuity относится к периодическим платежам, которые могут быть получены в течение неопределенного времени, хотя таких инструментов существует немного. Текущая стоимость perpetuity может быть рассчитана путем взятия предела из приведенной выше формулы, когда n стремится к бесконечности.

${\displaystyle PV\,=\,{\frac {C}{i}}.\qquad (2)}$

Формулу (2) можно также найти, вычитая из (1) текущую стоимость бессрочной ренты, отложенной на n периодов, или напрямую суммируя текущую стоимость платежей

${\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {C}{(1+i)^{k}}}={\frac {C}{i}},\qquad i>0,}$

которые образуют геометрическую прогрессию .

Опять же, есть разница между бессрочной немедленной ставкой — когда платежи получены в конце периода — и бессрочной немедленной ставкой — платеж, полученный в начале периода. И аналогично расчетам аннуитета, бессрочная немедленной ставкой и бессрочная немедленной ставкой отличаются на коэффициент : ${\displaystyle (1+i)}$

${\displaystyle PV_{\text{perpetuity due}}=PV_{\text{perpetuity immediate}}(1+i)\,\!}$^[2]

Текущая стоимость облигации

См.: Оценка облигаций#Подход на основе текущей стоимости

Корпорация выпускает облигацию , долговую ценную бумагу, приносящую процентный доход, инвестору для привлечения средств. ^[3] Облигация имеет номинальную стоимость, , купонную ставку, и дату погашения, которая в свою очередь дает количество периодов до наступления срока погашения долга и необходимости его погашения. Держатель облигации будет получать купонные платежи раз в полгода (если не указано иное) в размере , до наступления срока погашения облигации, после чего держатель облигации получит окончательный купонный платеж и номинальную стоимость облигации, . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Fr}$ ${\displaystyle F(1+r)}$

Текущая стоимость облигации — это цена покупки. ^[2] Цена покупки может быть рассчитана следующим образом:

${\displaystyle PV=\left[\sum _{k=1}^{n}Fr(1+i)^{-k}\right]}$ ${\displaystyle +F(1+i)^{-n}}$

Цена покупки равна номинальной стоимости облигации, если ставка купона равна текущей процентной ставке рынка, и в этом случае говорят, что облигация продана «по номиналу». Если ставка купона меньше рыночной процентной ставки, цена покупки будет меньше номинальной стоимости облигации, и говорят, что облигация продана «со скидкой» или ниже номинала. Наконец, если ставка купона больше рыночной процентной ставки, цена покупки будет больше номинальной стоимости облигации, и говорят, что облигация продана «с премией» или выше номинала. ^[3]

Технические подробности

Текущая стоимость является аддитивной . Текущая стоимость пакета денежных потоков является суммой текущей стоимости каждого из них. См. временную стоимость денег для дальнейшего обсуждения. Эти расчеты следует применять осторожно, поскольку существуют базовые предположения:

• Нет необходимости учитывать инфляцию цен , или, в качестве альтернативы, стоимость инфляции включена в процентную ставку; см. Облигации, индексированные на инфляцию .
• Вероятность получения платежей высока — или, в качестве альтернативы, риск дефолта включен в процентную ставку; см. Анализ рисков корпоративных облигаций .

(На самом деле, текущая стоимость денежного потока при постоянной процентной ставке математически является одной точкой в ​​преобразовании Лапласа этого денежного потока, оцененной с помощью переменной преобразования (обычно обозначаемой «s»), равной процентной ставке. Полное преобразование Лапласа представляет собой кривую всех текущих значений, построенную как функция процентной ставки. Для дискретного времени, когда платежи разделены большими временными периодами, преобразование сводится к сумме, но когда платежи продолжаются на почти непрерывной основе, математика непрерывных функций может быть использована в качестве приближения.)

Варианты/подходы

В основном существует два вида текущей стоимости. Всякий раз, когда есть неопределенность как по срокам, так и по объему денежных потоков, подход ожидаемой текущей стоимости часто будет подходящим методом. При текущей стоимости в условиях неопределенности будущие дивиденды заменяются их условным ожиданием.

• Традиционный подход на основе приведенной стоимости . В этом подходе для оценки справедливой стоимости будет использоваться единый набор предполагаемых денежных потоков и единая процентная ставка (соразмерная риску, как правило, средневзвешенная величина компонентов затрат).
• Метод ожидаемой приведенной стоимости — в этом подходе для оценки справедливой стоимости используются несколько сценариев денежных потоков с различными/ожидаемыми вероятностями и безрисковая ставка с поправкой на кредит.

Выбор процентной ставки

Используемая процентная ставка является безрисковой процентной ставкой, если в проекте нет рисков. Норма прибыли от проекта должна быть равна или превышать эту норму прибыли, или было бы лучше инвестировать капитал в эти безрисковые активы. Если в инвестициях есть риски, это может быть отражено с помощью использования премии за риск . Требуемая премия за риск может быть найдена путем сравнения проекта с нормой прибыли, требуемой от других проектов с аналогичными рисками. Таким образом, инвесторы могут учитывать любую неопределенность, присутствующую в различных инвестициях.

Метод оценки по текущей стоимости

Инвестор, кредитор денег, должен решить, в какой финансовый проект вложить свои деньги, и текущая стоимость предлагает один из методов принятия решения. ^[1] Финансовый проект требует первоначальных затрат денег, таких как цена акций или цена корпоративной облигации. Проект претендует на возврат первоначальных затрат, а также некоторого излишка (например, процентов или будущих денежных потоков). Инвестор может решить, в какой проект инвестировать, рассчитав текущую стоимость каждого проекта (используя одну и ту же процентную ставку для каждого расчета), а затем сравнив их. Проект с наименьшей текущей стоимостью – наименьшими первоначальными затратами – будет выбран, поскольку он предлагает такую ​​же прибыль, как и другие проекты, за наименьшую сумму денег. ^[2]

Годы покупки

Традиционный метод оценки будущих потоков доходов как текущей суммы капитала заключается в умножении среднего ожидаемого годового денежного потока на множитель, известный как «годовая покупка». Например, при продаже третьей стороне имущества, сданного в аренду арендатору на условиях 99-летней аренды по арендной плате в размере 10 000 долларов США в год, сделка может быть заключена по принципу «20-летняя покупка», что оценит аренду в размере 20 * 10 000 долларов США, т. е. 200 000 долларов США. Это соответствует текущей стоимости, дисконтированной на постоянной основе по ставке 5%. Для более рискованных инвестиций покупатель потребовал бы заплатить меньшее количество лет покупки. Этот метод использовался, например, английской короной при установлении цен перепродажи для поместий, конфискованных при роспуске монастырей в начале 16 века. Стандартным использованием было 20-летнее приобретение. ^[5]

Смотрите также

• Составление бюджета капиталовложений
• Текущая доходность
• Пожизненная ценность
• Ликвидация
• Чистая текущая стоимость

Ссылки

1. Мойер, Чарльз; Уильям Кретлоу; Джеймс Макгиган (2011). Contemporary Financial Management (12-е изд.). Winsted: South-Western Publishing Co. стр. 147–498. ISBN 9780538479172.
2. Броверман, Сэмюэл (2010). Математика инвестиций и кредита . Winsted: ACTEX Publishers. стр. 4–229. ISBN 9781566987677.
3. Росс, Стивен; Рэндольф В. Вестерфилд; Брэдфорд Д. Джордан (2010). Основы корпоративных финансов (9-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. С. 145–287. ISBN 9780077246129.
4. Свинглер, Д.Н. (2014), «Приближенное эмпирическое правило для расчетов временной стоимости денег», Журнал личных финансов , том 13, выпуск 2, стр. 57-61
5. Юингс, Джойс, «Монастырские земли Девона: календарь сведений о грантах 1536–1558», Devon & Cornwall Record Society, New Series , Vol.1, 1955

Дальнейшее чтение

• Хендерсон, Дэвид Р. (2008). «Текущая стоимость». Краткая энциклопедия экономики (2-е изд.). Индианаполис: Библиотека экономики и свободы . ISBN 978-0865976658. OCLC  237794267.