Правильный додекаэдр

Выпуклый многогранник с 12 правильными пятиугольными гранями

Правильный додекаэдр или пентагональный додекаэдр — это додекаэдр , состоящий из правильных пятиугольных граней, три из которых сходятся в каждой вершине . Это пример Платоновых тел , описанных Платоном в его диалогах как космическая звездчатость, и он использовался как часть Солнечной системы, предложенной Иоганном Кеплером . Однако правильный додекаэдр, включая другие Платоновы тела, уже был описан другими философами со времен античности.

Правильный додекаэдр является семейством усеченных трапецоэдров , поскольку он является результатом усечения осевых вершин пятиугольного трапецоэдра . Он также является многогранником Голдберга, поскольку является исходным многогранником для построения новых многогранников путем снятия фасок . Он имеет связь с другими Платоновыми телами, одним из которых является правильный икосаэдр как его двойственный многогранник . Другие новые многогранники могут быть построены с использованием правильного додекаэдра.

Метрические свойства и конструкция правильного додекаэдра связаны с золотым сечением . Правильный додекаэдр можно найти во многих популярных культурах: римский додекаэдр , детская история, игрушки и живопись. Его также можно найти в природе и супрамолекулах, а также в форме вселенной. Скелет правильного додекаэдра можно представить в виде графа, называемого додекаэдрическим графом , платоновым графом . Его свойство гамильтониана , путь посещает все его вершины ровно один раз, можно найти в игрушке под названием икосианская игра .

Как Платоново тело

Правильный додекаэдр — многогранник с двенадцатью пятиугольными гранями, тридцатью ребрами и двадцатью вершинами. ^[1] Это одно из Платоновых тел , набор многогранников, в котором грани являются правильными многоугольниками , которые конгруэнтны и одинаковое количество граней сходится в вершине. ^[2] Этот набор многогранников назван в честь Платона . В «Теэтете» , диалоге Платона, Платон выдвинул гипотезу, что классические элементы были сделаны из пяти однородных правильных тел. Платон описал правильный додекаэдр, неясно заметив: «... бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе». Тимей , как персонаж диалога Платона, связывает четыре других платоновских тела — правильный тетраэдр , куб , правильный октаэдр и правильный икосаэдр — с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятая модель тела, которая, хотя обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда напрямую не упоминается как таковая; «этот Бог использовал при описании вселенной». ^[3] Аристотель также постулировал, что небеса были сделаны из пятого элемента, который он назвал aithêr ( эфир на латыни, ether в американском английском). ^[4]

После того, как Платон приписал его природе, Иоганн Кеплер в своей книге Harmonices Mundi набросал каждое из Платоновых тел, одно из которых — правильный додекаэдр. ^[5] В своей книге Mysterium Cosmographicum Кеплер также предложил Солнечную систему , используя Платоновы тела, помещая их в другое и разделяя их шестью сферами, напоминающими шесть планет. Упорядоченные тела начинались от самых внутренних к самым внешним: правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр, правильный тетраэдр и куб. ^[6]

3D модель правильного додекаэдра

Многие философы древности описывали правильный додекаэдр, включая остальные Платоновы тела. Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственен за первое известное доказательство того, что не существует других выпуклых правильных многогранников. Евклид полностью математически описал Платоновы тела в « Началах» , последняя книга (Книга XIII) которых посвящена их свойствам. Предложения 13–17 в Книге XIII описывают конструкцию тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в этом порядке. Для каждого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В Предложении 18 он утверждает, что нет других выпуклых правильных многогранников. Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагореец, погиб в море, потому что он хвастался, что он первым разгласил «сферу с двенадцатью пятиугольниками». ^[7]

Связь с правильным икосаэдром

Правильный икосаэдр внутри правильного додекаэдра

Двойственный многогранник додекаэдра — это правильный икосаэдр . Одним из свойств двойственного многогранника обычно является то, что исходный многогранник и его двойственный многогранник имеют одну и ту же трехмерную группу симметрии . В случае правильного додекаэдра он имеет ту же симметрию, что и правильный икосаэдр, — икосаэдрическую симметрию . ^[8] Правильный додекаэдр имеет десять осей третьего порядка, проходящих через пары противоположных вершин, шесть осей пятеричного порядка, проходящих через центры противоположных граней, и пятнадцать осей двойного порядка, проходящих через середины противоположных сторон. ^[9] ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$

Когда правильный додекаэдр вписан в сферу , он занимает большую часть объема сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%). ^[10] Получение объемов обеих сфер изначально началось с задачи древних греков, определяющих, какая из двух фигур имеет больший объем: икосаэдр, вписанный в сферу, или додекаэдр, вписанный в ту же сферу. Задача была решена Героном Александрийским , Паппом Александрийским и Фибоначчи , среди прочих. ^[11] Аполлоний Пергский обнаружил любопытный результат, что отношение объемов этих двух фигур такое же, как отношение их площадей поверхности. ^[12] Оба объема имеют формулы, включающие золотое сечение, но взяты в разных степенях. ^[1]

Золотой прямоугольник также может быть связан как с правильным икосаэдром, так и с правильным додекаэдром. Правильный икосаэдр может быть построен путем пересечения трех золотых прямоугольников перпендикулярно, расположенных в ортогональности два на два, и соединения каждой из вершин золотого прямоугольника с сегментной линией. Существует 12 вершин правильного икосаэдра, рассматриваемых как центры 12 граней правильного додекаэдра. ^[13]

Связь с правильным тетраэдром

Пять тетраэдров, вписанных в додекаэдр. Пять противолежащих тетраэдров (не показаны) также могут быть вписаны.

Так как два противостоящих тетраэдра можно вписать в куб, а пять кубов можно вписать в додекаэдр, десять тетраэдров в пяти кубах можно вписать в додекаэдр: два противостоящих набора по пять, каждый набор охватывает все 20 вершин, а каждая вершина находится в двух тетраэдрах (по одному из каждого набора, но не из противостоящей пары). Как цитируют Коксетер и др. (1938), ^[14]

«Точно так же, как тетраэдр может быть вписан в куб, так и куб может быть вписан в додекаэдр. Взаимно-поступательным движением это приводит к октаэдру, описанному около икосаэдра. Фактически, каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдра в соответствии с «золотым сечением ». Учитывая икосаэдр, описанный октаэдр может быть выбран пятью способами, давая соединение пяти октаэдров , которое подпадает под наше определение звездчатого икосаэдра . (Взаимное соединение пяти кубов, вершины которых принадлежат додекаэдру, является звездчатым триаконтаэдром .) Другой звездчатый икосаэдр может быть сразу выведен, путем звездообразования каждого октаэдра в звездчатом октаэдр , таким образом образуя соединение десяти тетраэдров . Далее, мы можем выбрать один тетраэдр из каждой звездчатой ​​октаэдрической формы, чтобы получить соединение из пяти тетраэдров , которое все еще имеет всю вращательную симметрию икосаэдра (т. е. икосаэдрическую группу), хотя и потеряло отражения. Отражая эту фигуру в любой плоскости симметрии икосаэдра, мы получаем дополнительный набор из пяти тетраэдров. Эти два набора из пяти тетраэдров являются энантиоморфными, т. е. не прямо конгруэнтными, но связанными как пара обуви. [Такая] фигура, которая не имеет плоскости симметрии (так что она энантиоморфна своему зеркальному отображению), называется хиральной .

Матрица конфигурации

Матрица конфигурации — это матрица , в которой строки и столбцы соответствуют элементам многогранника, как вершинам, ребрам и граням. Диагональ матрицы обозначает количество каждого элемента, который появляется в многограннике, тогда как недиагональ матрицы обозначает количество элементов столбца, которые встречаются в элементе строки или рядом с ним. Правильный додекаэдр можно представить в следующей матрице: ^{[15] [16]} $${\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}$$

Отношение к золотому сечению

Золотое сечение — это отношение двух чисел, равное отношению их суммы к большей из двух величин. ^[17] Это один из двух корней многочлена, выражаемого как . ^[18] Золотое сечение можно применить к метрическим свойствам правильного додекаэдра, а также для построения правильного додекаэдра. ${\textstyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

Площадь поверхности и объем правильного додекаэдра с длиной ребра равны: ^[19] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}a^{2},\qquad V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}a^{3}.}$$

Декартовы координаты правильного додекаэдра в следующем виде:

•  : оранжевые вершины лежат в точках (±1, ±1, ±1) .
•  : зеленые вершины лежат в (0, ± ϕ , ± ⁠1/ϕ⁠ ) ​​и образуют прямоугольник на плоскости yz .
•  : синие вершины лежат в (± ⁠1/ϕ⁠ , 0, ± ϕ ) и образуют прямоугольник на плоскости xz .
•  : розовые вершины лежат в (± ϕ , ± ⁠1/ϕ⁠ , 0) и образуют прямоугольник на плоскости xy .

Следующие декартовы координаты определяют двадцать вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим образом масштабированного и ориентированного: ^[20] $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}$$

Если длина ребра правильного додекаэдра равна , то радиус описанной сферы ( той, которая касается правильного додекаэдра во всех вершинах), радиус вписанной сферы ( касающейся каждой из граней правильного додекаэдра) и средний радиус (тот, который касается середины каждого ребра) равны: ^[21] Обратите внимание, что для правильного додекаэдра с длиной ребра один — радиус описанной сферы вокруг куба с длиной ребра , а — апофема правильного пятиугольника с длиной ребра . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{u}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \phi }$

Двугранный угол правильного додекаэдра между любыми двумя соседними пятиугольными гранями равен приблизительно 116,565°. ${\displaystyle 2\arctan(\phi )}$

Другие связанные геометрические объекты

Правильный додекаэдр можно интерпретировать как усеченный трапецоэдр . Это набор многогранников, которые могут быть построены путем усечения двух осевых вершин трапецоэдра . Здесь правильный додекаэдр построен путем усечения пятиугольного трапецоэдра.

Правильный додекаэдр можно интерпретировать как многогранник Голдберга . Это набор многогранников, содержащих шестиугольные и пятиугольные грани. За исключением двух Платоновых тел — тетраэдра и куба — правильный додекаэдр является начальной конструкцией многогранника Голдберга, а следующий многогранник получается путем усечения всех его ребер, процесс, называемый фаской . Этот процесс может непрерывно повторяться, в результате чего получаются новые многогранники Голдберга. Эти многогранники классифицируются как первый класс многогранников Голдберга. ^[22]

Звездчатые формы правильного додекаэдра составляют три из четырех многогранников Кеплера-Пуансо . Первая звездчатая форма правильного додекаэдра образуется путем присоединения его слоя с пятиугольными пирамидами, образуя малый звездчатый додекаэдр . Вторая звездчатая форма образуется путем присоединения малого звездчатого додекаэдра с клиньями , образуя большой додекаэдр . Третья звездчатая форма образуется путем присоединения большого додекаэдра с острыми треугольными пирамидами, образуя большой звездчатый додекаэдр . [ ^23]

Появления

В изобразительном искусстве

Римский додекаэдр

Правильные додекаэдры использовались в качестве игральных костей и, вероятно, также в качестве гадательных устройств. В эллинистическую эпоху изготавливались небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. ^{[24] [25]} Их назначение не определено.

В искусстве 20-го века додекаэдр появляется в работах М. К. Эшера , таких как его литографии «Рептилии» (1943) и «Гравитация» (1952). На картине Сальвадора Дали «Таинство Тайной Вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Жерар Карис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пентагоне, представленном как новое художественное движение, придуманное как пентагонизм.

В игрушках и популярной культуре

В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется как двенадцатигранная кость, одна из наиболее распространенных многогранных костей . Извилистая головоломка Megaminx имеет форму правильного додекаэдра наряду с его аналогами большего и меньшего порядка.

В детском романе «Призрачная будка » правильный додекаэдр появляется как персонаж в стране Математики. Каждая грань правильного додекаэдра описывает различные выражения лица , поворачиваясь вперед по мере необходимости, чтобы соответствовать его настроению. ^{[ необходима цитата ]}

В природе и супрамолекулах

Ископаемая кокколитофорида Braarudosphaera bigelowii (см. рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет оболочку из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой размером около 10 микрометров в поперечнике. ^[27]

Некоторые квазикристаллы и клетки имеют додекаэдрическую форму (см. рисунок). Некоторые обычные кристаллы, такие как гранат и алмаз , также, как говорят, демонстрируют «додекаэдрическую» форму , но это утверждение на самом деле относится к форме ромбического додекаэдра . ^{[28] [26]}

Форма вселенной

Были предложены различные модели для глобальной геометрии Вселенной. Эти предложения включают в себя додекаэдрическое пространство Пуанкаре , положительно искривленное пространство, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют (с небольшим поворотом). Это было предложено Жаном-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году, ^{[29] [30]} и оптимальная ориентация на небе для этой модели была оценена в 2008 году. ^[31]

В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: Видение профессора Скверпунта» число 5 говорит: «Я — число пальцев на руке. Я создаю пятиугольники и пентаграммы. И если бы не я, додекаэдры не могли бы существовать; и, как всем известно, вселенная — это додекаэдр. Так что, если бы не я, не могло бы существовать никакой вселенной». ^{[ требуется цитата ]}

Додекаэдрический граф

Гамильтоново свойство додекаэдрического графа и математическая игрушечная игра Icosian

Согласно теореме Штейница , граф можно представить как скелет многогранника; грубо говоря, каркас многогранника. Такой граф обладает двумя свойствами. Он является планарным , то есть ребра графа соединены с каждой вершиной, не пересекая другие ребра. Он также является трехсвязным графом , то есть всякий раз, когда граф имеет более трех вершин, и две из вершин удаляются, ребра остаются соединенными. ^{[32] [33]} Скелет правильного додекаэдра можно представить как граф, и он называется додекаэдрическим графом , платоновым графом . ^[34]

Этот граф также можно построить как обобщенный граф Петерсена , где вершины десятиугольника соединены с вершинами двух пятиугольников, один пятиугольник соединен с нечетными вершинами десятиугольника, а другой пятиугольник соединен с четными вершинами. ^[35] Геометрически это можно визуализировать как десятивершинный экваториальный пояс додекаэдра, соединенный с двумя полярными областями с пятью вершинами, по одной с каждой стороны. ${\displaystyle G(10,2)}$

Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, которые являются дистанционно-транзитивными , дистанционно-регулярными и симметричными . Группа автоморфизмов имеет порядок сто двадцать. Вершины могут быть окрашены в 3 цвета, как и ребра, а диаметр равен пяти. ^[36]

Додекаэдрический граф является гамильтоновым , то есть путь посещает все его вершины ровно один раз. Название этого свойства дано в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , который изобрел математическую игру, известную как икосианская игра . Целью игры было найти гамильтонов цикл по ребрам додекаэдра. ^[37]

Смотрите также

• 120-ячейковый , правильный полихорон (4D-политоп, поверхность которого состоит из ста двадцати додекаэдрических ячеек)
• Braarudosphaera bigelowii — кокколитофор в форме додекаэдра( одноклеточные водоросли фитопланктона ).
• Додекаэдр (молекула)
• Пентакисдодекаэдр
• Плосконосый додекаэдр
• Усеченный додекаэдр

Ссылки

1. Sutton, Daud (2002). Платоновы и архимедовы тела. Деревянные книги. Bloomsbury Publishing USA. стр. 55. ISBN 9780802713865.
2. Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп. Тейлор и Фрэнсис. стр. 252. ISBN 978-1-4665-5464-1.
3. Платон, Тимей , перевод Джоветта [строки 1317–138]; греческое слово, переведенное как «описание», — это диазографейн , живопись, подобная жизни.
4. Вильдберг, Кристиан (1988). Критика Иоанном Филопоном теории эфира Аристотеля. Вальтер де Грюйтер . стр. 11–12. ISBN 9783110104462.
5. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press. стр. 57. ISBN 978-0-521-55432-9.
6. Ливио (2003), стр. 147.
7. Флориан Каджори , История математики (1893)
8. Эриксон, Мартин (2011). Прекрасная математика. Математическая ассоциация Америки . стр. 62. ISBN 978-1-61444-509-8.
9. Weils, David (1991). Словарь Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books. стр. 57–58. ISBN 9780140118131.
10. Buker, WE; Eggleton, RB (1969). «Платоновы тела (решение задачи E2053)». American Mathematical Monthly . 76 (2): 192. doi :10.2307/2317282. JSTOR  2317282.
11. Герц-Фишлер, Роджер (2013). Математическая история золотого числа. Courier Dover Publications. С. 138–140. ISBN 9780486152325.
12. Симмонс, Джордж Ф. (2007). Драгоценные камни исчисления: краткие жизни и памятные математические произведения. Математическая ассоциация Америки. стр. 50. ISBN 9780883855614.
13. Марар, Тон (2022). Игровое путешествие в геометрическую топологию. Cham: Springer. стр. 23. doi :10.1007/978-3-031-07442-4. ISBN 978-3-031-07442-4.
14. Коксетер, Х. С. М .; Дю Валь, Патрик ; Флатер, Х. Т.; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том 6. Исследования Университета Торонто (Математическая серия). стр. 4.
15. Coxeter, HSM (1973) [1948]. "§1.8 Конфигурации". Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications .
16. Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . стр. 117.
17. Шилак, Винсент П. (1987). «Последовательность Фибоначчи и золотое сечение». Учитель математики . 80 (5): 357–358. doi :10.5951/MT.80.5.0357. JSTOR  27965402.В этом источнике содержится элементарный вывод значения золотого сечения.
18. Питерс, Дж. М. Х. (1978). «Приблизительное соотношение между π и золотым сечением». The Mathematical Gazette . 62 (421): 197–198. doi :10.2307/3616690. JSTOR  3616690. S2CID  125919525.
19. Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: История Фи, самого удивительного числа в мире (первое коммерческое издание в мягкой обложке). Нью-Йорк: Broadway Books . стр. 70–71. ISBN 0-7679-0816-3.
20. Paeth, Alan W. (1991). "Точная двугранная метрика для обычных многогранников". В Arvo, James (ред.). Graphics Gems II . Academic Press . стр. 177. Bibcode :1991grge.book.....A.
21. Coxeter (1973) Таблица I(i), стр. 292–293. См. столбцы , помеченные , и , обозначения Коксетера для описанной окружности, среднего радиуса и вписанного радиуса соответственно, также отмечая, что Коксетер использует в качестве длины ребра (см. стр. 2). ${\displaystyle {}_{0}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle {}_{2}\!\mathrm {R} /\ell }$ ${\displaystyle 2\ell }$
22. Харт, Джордж (2012). «Многогранники Голдберга». В Сенечал, Марджори (ред.). Shaping Space (2-е изд.). Springer. стр. 127. doi :10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN 978-0-387-92713-8.
23. Кромвель (1997), стр. 265.
24. Гуггенбергер, Майкл (2013). «Гало-римский додекаэдр». The Mathematical Intelligencer . 35 (4). Springer Science and Business Media LLC: 56–60. doi :10.1007/s00283-013-9403-7. ISSN  0343-6993. S2CID  122337773.
25. Хилл, Кристофер (1994). «Галло-римские додекаэдры: отчет о ходе работы». The Antiquaries Journal . 74. Cambridge University Press : 289–292. doi :10.1017/s0003581500024458. ISSN  0003-5815. S2CID  161691752 .
26. Kai Wu; Jonathan Nitschke (2023). «Систематическое построение прогрессивно более крупных капсул из пятикратного связывающего пиррольного субкомпонента». Nature Synthesis . 2 (8): 789. Bibcode : 2023NatSy...2..789W. doi : 10.1038/s44160-023-00276-9.
27. Хагино К., Онума Р., Кавачи М. и Хоригучи Т. (2013) «Открытие эндосимбиотической азотфиксирующей цианобактерии UCYN-A у Braarudosphaera bigelowii (Prymnesiophyceae)». PLoS One , 8 (12): e81749. дои : 10.1371/journal.pone.0081749.
28. Додекаэдрическая кристаллическая габитус Архивировано 12 апреля 2009 г. на Wayback Machine
29. Дюме, Белль (8 октября 2003 г.). «Является ли Вселенная додекаэдром?». PhysicsWorld . Архивировано из оригинала 25.04.2012.
30. Люмине, Жан-Пьер ; Джефф Уикс; Ален Риасуэло; Ролан Леук; Жан-Филипп Узан (2003-10-09). «Топология додекаэдрического пространства как объяснение слабых широкоугольных температурных корреляций в космическом микроволновом фоне». Nature . 425 (6958): 593–5. arXiv : astro-ph/0310253 . Bibcode : 2003Natur.425..593L. doi : 10.1038/nature01944. PMID  14534579. S2CID  4380713.
31. Рукема, Будевейн; Збигнев Булинский; Агнешка Саневска; Николя Э. Годен (2008). «Проверка гипотезы топологии додекаэдрического пространства Пуанкаре с данными WMAP CMB». Астрономия и астрофизика . 482 (3): 747. arXiv : 0801.0006 . Бибкод : 2008A&A...482..747L. дои : 10.1051/0004-6361:20078777. S2CID  1616362.
32. Грюнбаум, Бранко (2003), «13.1 Теорема Стейница», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 235–244, ISBN. 0-387-40409-0
33. Циглер, Гюнтер М. (1995). "Глава 4: Теорема Штейница для 3-многогранников". Лекции по многогранникам . Выпускные тексты по математике . Том 152. Springer-Verlag. С. 103–126. ISBN 0-387-94365-X.
34. Рудольф, Майкл (2022). Математика конечных сетей: введение в теорию графов операторов. Cambridge University Press . стр. 25. doi :10.1007/9781316466919 (неактивен 21.08.2024). ISBN 9781316466919.{{cite book}}: CS1 maint: DOI inactive as of August 2024 (link)
35. Писански, Томаж; Серватиус, Бригитте (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Springer. стр. 81. doi :10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
36. Вайсштейн, Эрик В. «Додекаэдрический граф». MathWorld .
37. Бонди, JA ; Мурти, USR (1976), Теория графов с приложениями , Северная Голландия, стр. 53, ISBN 0-444-19451-7

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Правильный додекаэдр». MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «Трехмерные выпуклые однородные многогранники o3o5x – doe».
• Редактируемая печатная развертка додекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Однородные многогранники
• Многогранники оригами – Модели, созданные с помощью модульного оригами
• Додекаэдр – 3-D модель, которая работает в вашем браузере
• Виртуальная реальность Многогранники Энциклопедия многогранников
  • VRML #Правильный додекаэдр
• К. Дж. М. Маклин, Геометрический анализ пяти Платоновых тел и других полуправильных многогранников
• 3D визуализация додекаэдра
• Stella: Polyhedron Navigator: программное обеспечение, использованное для создания некоторых изображений на этой странице.
• Как сделать додекаэдр из куба из пенопласта
• Греческие, индийские и китайские элементы – Теория семи элементов