Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма

Публикация по математике 1995 г.

Сэр Эндрю Джон Уайлс

Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма — это доказательство британского математика сэра Эндрю Уайлса частного случая теоремы о модулярности для эллиптических кривых . Вместе с теоремой Рибета оно дает доказательство Великой теоремы Ферма . Почти все жившие в то время математики считали, что и Великую теорему Ферма, и теорему о модулярности невозможно доказать, используя имеющиеся знания. ^{[1] : 203–205, 223, 226}

Уайлс впервые объявил о своем доказательстве 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модулярные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». ^[2] Однако в сентябре 1993 года было обнаружено, что доказательство содержит ошибку. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в то, что он назвал «самым важным моментом [его] рабочей жизни», Уайлс наткнулся на откровение, которое позволило ему исправить доказательство к удовлетворению математического сообщества. Исправленное доказательство было опубликовано в 1995 году. ^[3]

Доказательство Уайлса использует множество методов из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много ответвлений в этих разделах математики. Оно также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категория схем , значимые идеи теории чисел из теории Ивасавы и другие методы 20-го века, которые не были доступны Ферма. Метод доказательства идентификации кольца деформации с алгеброй Гекке (теперь называемый теоремой R=T ) для доказательства теорем о подъеме модулярности стал влиятельным развитием в алгебраической теории чисел .

Вместе две статьи, содержащие доказательство, занимают 129 страниц ^{[4] [5]} и заняли более семи лет исследовательского времени Уайлса. Джон Коутс описал доказательство как одно из высочайших достижений теории чисел, а Джон Конвей назвал его «доказательством [20-го] века». ^[6] Путь Уайлса к доказательству Великой теоремы Ферма, путем доказательства теоремы о модулярности для особого случая полустабильных эллиптических кривых , создал мощные методы подъема модулярности и открыл совершенно новые подходы к многочисленным другим проблемам. За доказательство Великой теоремы Ферма он был посвящен в рыцари и получил другие почести, такие как премия Абеля 2016 года . Объявляя о присуждении Уайлсу премии Абеля, Норвежская академия наук и литературы описала его достижение как «потрясающее доказательство». ^[3]

Предшественники доказательства Уайлса

Великая теорема Ферма и прогресс до 1980 года

Великая теорема Ферма , сформулированная в 1637 году, утверждает, что никакие три положительных целых числа a , b и c не могут удовлетворять уравнению

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$

если n — целое число больше двух ( n > 2).

Со временем это простое утверждение стало одним из самых известных недоказанных утверждений в математике. Между его публикацией и окончательным решением Эндрю Уайлса более 350 лет спустя многие математики и любители пытались доказать это утверждение либо для всех значений n > 2, либо для конкретных случаев. Это подстегнуло развитие целых новых областей в теории чисел . В конечном итоге были найдены доказательства для всех значений n вплоть до примерно 4 миллионов, сначала вручную, а затем с помощью компьютера. Однако не было найдено общего доказательства, которое было бы действительным для всех возможных значений n , и даже намека на то, как такое доказательство можно было бы осуществить.

Гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля

Отдельно от всего, что связано с Великой теоремой Ферма, в 1950-х и 1960-х годах японский математик Горо Шимура , опираясь на идеи, высказанные Ютакой Таниямой , предположил, что связь может существовать между эллиптическими кривыми и модулярными формами . Это были математические объекты без известной связи между ними. Танияма и Шимура поставили вопрос, являются ли, неизвестные математикам, два вида объектов на самом деле идентичными математическими объектами, просто видимыми по-разному.

Они предположили, что каждая рациональная эллиптическая кривая также является модулярной . Это стало известно как гипотеза Таниямы–Шимуры. На Западе эта гипотеза стала широко известна благодаря статье 1967 года Андре Вейля , который дал концептуальные доказательства для нее; поэтому ее иногда называют гипотезой Таниямы–Шимуры–Вейля.

Примерно к 1980 году было накоплено много доказательств для формирования гипотез об эллиптических кривых, и было написано много статей, в которых рассматривались последствия, если гипотеза верна, но сама гипотеза была недоказана и, как правило, считалась недоступной — это означало, что математики считали, что доказательство гипотезы, вероятно, невозможно с использованием современных знаний.

В течение десятилетий гипотеза оставалась важной, но нерешенной проблемой математики. Примерно через 50 лет после того, как она была впервые выдвинута, гипотеза была окончательно доказана и переименована в теорему о модулярности , во многом благодаря работе Эндрю Уайлса, описанной ниже.

кривая Фрея

На еще одной отдельной ветке развития, в конце 1960-х годов, Ив Эллегуарх выступил с идеей связать гипотетические решения ( a , b , c ) уравнения Ферма с совершенно другим математическим объектом: эллиптической кривой. ^[7] Кривая состоит из всех точек на плоскости, координаты ( x ,  y ) которых удовлетворяют соотношению

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n}).}$

Такая эллиптическая кривая обладала бы весьма особыми свойствами из-за появления в ее уравнении высоких степеней целых чисел, а также из-за того, что a ⁿ  +  b ⁿ = c ⁿ также было бы n -й степенью.

В 1982–1985 годах Герхард Фрей обратил внимание на необычные свойства этой же кривой, теперь называемой кривой Фрея . Он показал, что, вероятно, кривая могла бы связать Ферма и Танияму, поскольку любой контрпример к Великой теореме Ферма, вероятно, также подразумевал бы, что существует эллиптическая кривая, которая не является модулярной . Фрей показал, что есть веские основания полагать, что любой набор чисел ( a , b , c , n ), способный опровергнуть Великую теорему Ферма, также может быть использован для опровержения гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля. Следовательно, если бы гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля была верна, не могло бы существовать никакого набора чисел, способного опровергнуть Ферма, поэтому Великая теорема Ферма также должна была бы быть верна.

Гипотеза гласит, что каждая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами может быть построена совершенно иным способом, не задавая ее уравнение, а используя модулярные функции для параметризации координат x и y точек на ней. Таким образом, согласно гипотезе, любая эллиптическая кривая над Q должна быть модулярной эллиптической кривой , однако если бы существовало решение уравнения Ферма с ненулевыми a , b , c и n , большими 2, то соответствующая кривая не была бы модулярной, что привело бы к противоречию. Если бы связь, идентифицированная Фреем, могла быть доказана, то, в свою очередь, это означало бы, что опровержение Великой теоремы Ферма опровергло бы гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля, или, контрапозицией, доказательство последней также доказало бы первую. ^[8]

Теорема Рибета

Чтобы завершить эту связь, необходимо было показать, что интуиция Фрея была верной: что кривая Фрея, если она существует, не может быть модульной. В 1985 году Жан-Пьер Серр предоставил частичное доказательство того, что кривая Фрея не может быть модульной. Серр не предоставил полного доказательства своего предложения; недостающая часть (которую Серр заметил рано ^{[9] : 1} ) стала известна как гипотеза об эпсилон (иногда пишется как ε-гипотеза; теперь известная как теорема Рибета ). Основной интерес Серра был в еще более амбициозной гипотезе, гипотезе Серра о модулярных представлениях Галуа , которая подразумевала бы гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля. Однако его частичное доказательство было близко к подтверждению связи между Ферма и Таниямой.

Летом 1986 года Кен Рибет успешно доказал гипотезу ε, теперь известную как теорема Рибета . Его статья была опубликована в 1990 году. Сделав это, Рибет окончательно доказал связь между двумя теоремами, подтвердив, как и предполагал Фрей, что доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля для видов эллиптических кривых, определенных Фреем, вместе с теоремой Рибета также докажет Великую теорему Ферма.

В математическом смысле теорема Рибета показала, что если представление Галуа, связанное с эллиптической кривой, имеет определенные свойства (которые есть у кривой Фрея), то эта кривая не может быть модульной, в том смысле, что не может существовать модульной формы, которая порождает то же самое представление Галуа. ^[10]

Ситуация до доказательства Уайлса

После событий, связанных с кривой Фрея, и ее связи с Ферма и Таниямой, доказательство Великой теоремы Ферма следовало бы из доказательства гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля — или, по крайней мере, из доказательства гипотезы для тех видов эллиптических кривых, которые включают уравнение Фрея (известных как полустабильные эллиптические кривые ).

• Из теоремы Рибета и кривой Фрея следует, что любые 4 числа, которые можно использовать для опровержения Великой теоремы Ферма, можно также использовать для построения полустабильной эллиптической кривой («кривой Фрея»), которая никогда не сможет быть модулярной;
• Но если гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля верна также для полустабильных эллиптических кривых, то по определению каждая существующая кривая Фрея должна быть модулярной.
• Противоречие может иметь только один ответ : если бы теорема Рибета и гипотеза Таниямы–Шимуры–Вейля для полустабильных кривых были бы обе верны, то это означало бы, что не может быть никаких решений уравнения Ферма, поскольку тогда не было бы вообще никаких кривых Фрея, а значит, не было бы никаких противоречий. Это окончательно доказало бы Великую теорему Ферма.

Однако, несмотря на прогресс, достигнутый Серром и Рибетом, этот подход к Ферма также широко считался непригодным, поскольку почти все математики считали саму гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля совершенно недоступной для доказательства с использованием современных знаний. ^{[1] : 203–205, 223, 226} Например, бывший научный руководитель Уайлса Джон Коутс утверждал, что это, по-видимому, «фактически доказать невозможно» ^{[1] : 226} , а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали [это] совершенно недоступным» ^{[1] : 223}

Эндрю Уайлс

Услышав о доказательстве гипотезы эпсилон, представленном Рибетом в 1986 году, английский математик Эндрю Уайлс, изучавший эллиптические кривые и с детства увлекавшийся Ферма, решил начать тайную работу над доказательством гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля, поскольку теперь это было профессионально обосновано ^[11] , а также из-за заманчивой цели доказать такую ​​давнюю проблему.

Рибет позже прокомментировал, что «Эндрю Уайлс был, вероятно, одним из немногих людей на земле, у которых хватило смелости мечтать о том, что можно на самом деле пойти и доказать [это]». ^{[1] : 223}

Анонс и последующие события

Первоначально Уайлс представил свое доказательство в 1993 году. В конце концов, оно было признано правильным и опубликовано в 1995 году после исправления незначительной ошибки в одной части его оригинальной статьи. Его работа была расширена до полного доказательства теоремы о модулярности в течение следующих шести лет другими, которые основывались на работе Уайлса.

Объявление и окончательное подтверждение (1993–1995)

В период с 21 по 23 июня 1993 года Уайлс объявил и представил свое доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры для полустабильных эллиптических кривых, а следовательно, и Великой теоремы Ферма, в ходе трех лекций, прочитанных в Институте математических наук Исаака Ньютона в Кембридже, Англия . ^[2] После этого было относительно большое количество публикаций в прессе. ^[12]

После объявления Ник Кац был назначен одним из рецензентов для рецензирования рукописи Уайлса. В ходе рецензирования он задал Уайлсу ряд уточняющих вопросов, которые привели Уайлса к осознанию того, что доказательство содержит пробел. В одной критической части доказательства, которая давала оценку порядку конкретной группы, была ошибка: система Эйлера, использованная для расширения метода Колывагина и Флаха , была неполной. Ошибка не сделала бы его работу бесполезной — каждая часть работы Уайлса была весьма значимой и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, созданные им в ходе своей работы, и была затронута только одна часть. ^{[1] : 289, 296–297} Однако без доказанной этой части не было фактического доказательства Великой теоремы Ферма.

Уайлс потратил почти год, пытаясь восстановить свое доказательство, сначала самостоятельно, а затем в сотрудничестве со своим бывшим студентом Ричардом Тейлором , но безуспешно. ^{[13] [14] [15]} К концу 1993 года распространились слухи, что под пристальным вниманием доказательство Уайлса потерпело неудачу, но насколько серьезно, было неизвестно. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы тот раскрыл свою работу, будь она полной или нет, чтобы более широкое сообщество могло исследовать и использовать то, чего ему удалось достичь. Вместо того, чтобы быть исправленным, проблема, которая изначально казалась незначительной, теперь казалась очень значительной, гораздо более серьезной и менее простой для решения. ^[16]

Уайлс утверждает, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани сдачи и почти смирился с тем, что потерпел неудачу, и опубликовал свою работу, чтобы другие могли ее развить и найти ошибку. Он утверждает, что он в последний раз пытался понять фундаментальные причины, по которым его подход не может работать, когда у него внезапно возникло понимание того, что конкретная причина, по которой подход Колывагина-Флаха не будет работать напрямую, также означает, что его первоначальная попытка с использованием теории Ивасавы может работать, если он усилит ее, используя опыт, полученный с подходом Колывагина-Флаха с тех пор. Каждый из них был неадекватен сам по себе, но исправление одного подхода с помощью инструментов другого решило бы проблему и дало бы формулу числа классов (CNF), действительную для всех случаев, которые еще не были доказаны его рецензируемой статьей: ^{[13] [17]}

Я сидел за своим столом и изучал метод Колывагина-Флаха. Не то чтобы я верил, что смогу заставить его работать, но я думал, что, по крайней мере, смогу объяснить, почему он не работает. Внезапно у меня было это невероятное откровение. Я понял, что метод Колывагина-Флаха не работает, но это было все, что мне было нужно, чтобы заставить работать мою первоначальную теорию Ивасавы трехлетней давности. Так из пепла Колывагина-Флаха, казалось, возникло истинное решение проблемы. Это было так неописуемо прекрасно; это было так просто и так элегантно. Я не мог понять, как я его пропустил, и просто смотрел на него в недоумении в течение двадцати минут. Затем в течение дня я ходил по отделу и все время возвращался к своему столу, чтобы посмотреть, там ли он еще. Он все еще был там. Я не мог сдержать себя, я был так взволнован. Это был самый важный момент в моей рабочей жизни. Ничто из того, что я когда-либо сделаю снова, не будет значить так много.

—  Эндрю Уайлс, цитируемый Саймоном Сингхом ^[18]

6 октября Уайлс попросил трех коллег (включая Герда Фалтингса ) рассмотреть его новое доказательство ^[19] , а 24 октября 1994 года Уайлс представил две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» ^[4] и «Теоретические свойства колец некоторых алгебр Гекке» ^[5] , вторую из которых Уайлс написал совместно с Тейлором и доказал, что были выполнены определенные условия, необходимые для обоснования исправленного шага в основной статье.

Обе статьи были проверены и, наконец, опубликованы в полном объеме в выпуске Annals of Mathematics за май 1995 года . Новое доказательство было широко проанализировано и признано, вероятно, правильным в своих основных компонентах. ^{[6] [10] [11]} В этих статьях была установлена ​​теорема о модулярности для полустабильных эллиптических кривых, последний шаг в доказательстве Великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была выдвинута.

Последующие события

Ферма утверждал, что «... открыл поистине изумительное доказательство этого, для которого эти поля слишком узки, чтобы вместить его». ^{[20] [21]} Доказательство Уайлса очень сложное и включает в себя работу стольких других специалистов, что в 1994 году было высказано предположение, что только небольшое число людей были способны в то время полностью понять все детали того, что он сделал. ^{[2] [22]} Сложность доказательства Уайлса побудила провести 10-дневную конференцию в Бостонском университете ; итоговая книга трудов конференции была направлена ​​на то, чтобы сделать весь спектр требуемых тем доступным для аспирантов в области теории чисел. ^[9]

Как отмечено выше, Уайлс доказал гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля для частного случая полустабильных эллиптических кривых, а не для всех эллиптических кривых. В последующие годы Кристоф Брейль , Брайан Конрад , Фред Даймонд и Ричард Тейлор (иногда сокращенно «BCDT») продолжили работу, в конечном итоге доказав гипотезу Таниямы–Шимуры–Вейля для всех эллиптических кривых в статье 2001 года. ^[23] Теперь доказанная, гипотеза стала известна как теорема о модулярности .

В 2005 году голландский ученый-компьютерщик Ян Бергстра поставил задачу формализовать доказательство Уайлса таким образом, чтобы его можно было проверить с помощью компьютера . ^[24]

Краткое изложение доказательства Уайлса

Уайлс доказал теорему модулярности для полустабильных эллиптических кривых, из которой следует последняя теорема Ферма, используя доказательство от противного . В этом методе доказательства предполагается противоположное тому, что должно быть доказано, и показывается, что если бы это было верно, это создало бы противоречие. Противоречие показывает, что предположение (что вывод неверен) должно было быть неверным, что требует, чтобы вывод был верен.

Доказательство делится примерно на две части: в первой части Уайлс доказывает общий результат о « подъемах », известный как «теорема о модульном подъеме». Эта первая часть позволяет ему доказывать результаты об эллиптических кривых, преобразуя их в задачи о представлениях Галуа эллиптических кривых. Затем он использует этот результат для доказательства того, что все полустабильные кривые являются модулярными, доказывая, что представления Галуа этих кривых являются модулярными.

Математическая деталь доказательства Уайлса

Обзор

Уайлс решил попытаться сопоставить эллиптические кривые счетному набору модулярных форм. Он обнаружил, что этот прямой подход не работает, поэтому он преобразовал задачу, сопоставив вместо этого представления Галуа эллиптических кривых с модулярными формами. Уайлс обозначает это сопоставление (или отображение), которое, более конкретно, является кольцевым гомоморфизмом :

${\displaystyle R_{n}\rightarrow \mathbf {T} _{n}.}$

${\displaystyle R}$является деформационным кольцом и является кольцом Гекке . ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Уайлс понял, что во многих случаях этот гомоморфизм колец может быть изоморфизмом колец (гипотеза 2.16 в главе 2, §3 статьи 1995 года ^[4] ). Он понял, что отображение между и является изоморфизмом тогда и только тогда, когда две абелевы группы, встречающиеся в теории, конечны и имеют одинаковую мощность . Это иногда называют «числовым критерием». Учитывая этот результат, Великая теорема Ферма сводится к утверждению, что две группы имеют одинаковый порядок. Большая часть текста доказательства приводит к темам и теоремам, связанным с теорией колец и теорией коммутации . Целью Уайлса было проверить, что отображение является изоморфизмом, и в конечном итоге, что . При рассмотрении деформаций Уайлс определил четыре случая, причем случай плоской деформации требует больше усилий для доказательства и рассматривается в отдельной статье в том же томе под названием «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке». ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle R\rightarrow \mathbf {T} }$ ${\displaystyle R=\mathbf {T} }$

Герд Фалтингс в своем бюллетене приводит следующую коммутативную диаграмму (стр. 745):

или в конечном итоге, что , указывая на полное пересечение . Поскольку Уайлс не мог показать это напрямую, он сделал это через и посредством лифтов . ${\displaystyle R=\mathbf {T} }$ ${\displaystyle R=\mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{3},\mathbf {F} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} /{\mathfrak {m}}}$

Чтобы выполнить это сопоставление, Уайлсу пришлось создать формулу числа классов (CNF). Сначала он попытался использовать горизонтальную теорию Ивасавы , но эта часть его работы имела нерешенную проблему, из-за которой он не мог создать CNF. В конце лета 1991 года он узнал о системе Эйлера, недавно разработанной Виктором Колывагиным и Маттиасом Флахом , которая, казалось, была «сделана специально» для индуктивной части его доказательства, и которую можно было использовать для создания CNF, и поэтому Уайлс отложил свою работу Ивасавы в сторону и начал работать над расширением работы Колывагина и Флаха, чтобы создать CNF, которая требовалась его доказательству. ^[25] К весне 1993 года его работа охватила все, кроме нескольких семейств эллиптических кривых, и в начале 1993 года Уайлс был достаточно уверен в своем близком успехе, чтобы посвятить в свой секрет одного доверенного коллегу. Поскольку его работа в значительной степени опиралась на использование подхода Колывагина–Флаха, который был новым для математики и Уайлса, и который он также расширил, в январе 1993 года он попросил своего коллегу из Принстона, Ника Каца , помочь ему проверить его работу на наличие тонких ошибок. В то время они пришли к выводу, что методы, которые использовал Уайлс, по-видимому, работали правильно. ^{[1] : 261–265  [26]}

Использование Уайлсом формулы Колывагина–Флаха позже оказалось точкой провала в первоначальном представлении доказательства, и в конечном итоге ему пришлось вернуться к теории Ивасавы и сотрудничеству с Ричардом Тейлором, чтобы исправить это. В мае 1993 года, читая статью Мазура, Уайлс понял, что переключение 3/5 разрешит последние проблемы и затем охватит все эллиптические кривые.

Общий подход и стратегия

Для данной эллиптической кривой над полем рациональных чисел для каждой степени простого числа существует гомоморфизм из абсолютной группы Галуа ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})}$ ${\displaystyle \ell ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}$

к

${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ),}$

группа обратимых матриц 2 на 2, элементы которых являются целыми числами по модулю . Это происходит потому , что , точки над , образуют абелеву группу, на которую действует; подгруппа элементов, таких что есть просто , и автоморфизм этой группы является матрицей описанного типа. ${\displaystyle \ell ^{n}}$ ${\displaystyle E({\bar {\mathbf {Q} }})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbf {Q} }}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell ^{n}x=0}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} )^{2}}$

Менее очевидно, что если задана модулярная форма определенного специального типа, собственная форма Гекке с собственными значениями в , то также получается гомоморфизм ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbf {Q} }}/\mathbf {Q} )\rightarrow \operatorname {GL} _{2}(\mathbf {Z} /\ell ^{n}\mathbf {Z} ).}$

Это восходит к Эйхлеру и Шимуре. Идея состоит в том, что группа Галуа действует сначала на модулярную кривую, на которой определена модулярная форма, затем на якобианское многообразие кривой и, наконец, на точки степенного порядка на этом якобиане. Результирующее представление обычно не является двумерным, но операторы Гекке вырезают двумерный кусок. Легко показать, что эти представления происходят от некоторой эллиптической кривой, но обратное доказать сложнее. ${\displaystyle \ell ^{n}}$

Вместо того чтобы пытаться напрямую перейти от эллиптической кривой к модулярной форме, можно сначала перейти к представлению для некоторых и , а от него к модулярной форме. В случае, когда и , результаты теоремы Ленглендса–Туннелла показывают, что представление любой эллиптической кривой над происходит из модулярной формы. Основная стратегия заключается в использовании индукции по , чтобы показать, что это верно для и любых , что в конечном итоге существует единственная модулярная форма, которая работает для всех n . Для этого используется подсчетный аргумент, сравнивающий количество способов, которыми можно поднять представление Галуа до одного , и количество способов, которыми можно поднять модульную форму. Существенным моментом является наложение достаточного набора условий на представление Галуа; в противном случае будет слишком много подъемов, и большинство из них не будут модульными. Эти условия должны выполняться для представлений, происходящих из модулярных форм, и для представлений, происходящих из эллиптических кривых. ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell =3}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\bmod {3}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell =3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$ ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n+1}}}}$ ${\displaystyle {\bmod {\ell ^{n}}}}$

3–5 трюк

Если исходное представление имеет изображение, которое слишком мало, возникают проблемы с аргументом подъема, и в этом случае есть последний трюк, который с тех пор изучался в более общем виде в последующей работе о гипотезе модульности Серра . Идея включает взаимодействие между представлениями и . В частности, если представление Галуа по модулю 5, связанное с полустабильной эллиптической кривой E над Q , неприводимо, то существует другая полустабильная эллиптическая кривая E' над Q, такая, что ее связанное представление Галуа по модулю 5 изоморфно и такая, что ее связанное представление Галуа по модулю 3 неприводимо (и, следовательно, модулярно по Ленглендсу–Туннеллу). ^[27] ${\displaystyle (\mathrm {mod} \,3)}$ ${\displaystyle (\mathrm {mod} \,3)}$ ${\displaystyle (\mathrm {mod} \,5)}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E',5}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,5}}$ ${\displaystyle {\overline {\rho }}_{E,3}}$

Структура доказательства Уайлса

В своей 108-страничной статье, опубликованной в 1995 году, Уайлс делит материал на следующие главы (здесь им предшествуют номера страниц):

Введение

443

Глава 1

455 1. Деформации представлений Галуа

472 2. Некоторые вычисления групп когомологий

475 3. Некоторые результаты по подгруппам GL ₂ (k)

Глава 2

479 1. Имение Горенштейна

489 2. Сравнения колец Гекке.

503 3. Основные предположения

Глава 3

517 Оценки для группы Selmer

Глава 4

525 1. Обычный случай CM

533 2. Расчет η

Глава 5

541 Применение к эллиптическим кривым

Приложение

545 Кольца Горенштейна и локальные полные пересечения

Герд Фалтингс впоследствии внес некоторые упрощения в доказательство 1995 года, в первую очередь, перейдя от геометрических построений к довольно простым алгебраическим. ^{[19] [28]} Книга Корнеллской конференции также содержала упрощения первоначального доказательства. ^[9]

Обзоры, доступные в литературе

Статья Уайлса имеет длину более 100 страниц и часто использует специализированные символы и обозначения теории групп , алгебраической геометрии , коммутативной алгебры и теории Галуа . Математики, которые помогли заложить основу для Уайлса, часто создавали новые специализированные концепции и технический жаргон .

Среди вводных презентаций есть электронное письмо, которое Рибет отправил в 1993 году; ^{[29] [30]} краткий обзор вопросов высшего уровня Хесселинка, который дает только элементарную алгебру и избегает абстрактной алгебры; ^[24] или веб-страница Дейни, которая предоставляет набор его собственных заметок и перечисляет текущие книги, доступные по этой теме. Уэстон пытается предоставить удобную карту некоторых связей между предметами. ^[31] Статья Ф. К. Гувеа 1994 года «Удивительное доказательство», в которой рассматриваются некоторые из требуемых тем, получила премию Лестера Р. Форда от Математической ассоциации Америки . ^{[32] [33]} 5-страничный технический бюллетень Фалтингса по этому вопросу представляет собой краткий и технический обзор доказательства для неспециалистов. ^[34] Для тех, кто ищет коммерчески доступную книгу, которая могла бы им помочь, он рекомендовал, чтобы те, кто знаком с абстрактной алгеброй, прочитали Hellegouarch, а затем прочитали книгу Cornell, ^[9] которая, как утверждается, доступна "студенту-выпускнику по теории чисел". Книга Cornell не охватывает все доказательство Уайлса. ^[12]

Смотрите также

• Абстрактная алгебра
• p-адическое число
• Полустабильные кривые

Ссылки

1. Великая теорема Ферма, Саймон Сингх, 1997, ISBN  1-85702-521-0
2. Kolata, Gina (24 июня 1993 г.). «Наконец-то крик „Эврика!“ в древней математической тайне». The New York Times . Архивировано из оригинала 26 июля 2023 г. Получено 21 января 2013 г.
3. "The Abel Prize 2016". Норвежская академия наук и литературы . 2016. Архивировано из оригинала 20 мая 2020 года . Получено 29 июня 2017 года .
4. Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма». Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. 
5. Taylor R , Wiles A (1995). "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras" (Теоретические свойства колец некоторых алгебр Гекке). Annals of Mathematics . 141 (3): 553–572. CiteSeerX 10.1.1.128.531 . doi :10.2307/2118560. JSTOR  2118560. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала 27 ноября 2001 г. 
6. "NOVA – Transcripts – The Proof – PBS". PBS . Сентябрь 2006. Архивировано из оригинала 6 июня 2017. Получено 29 июня 2017 .
7. Хеллегуарх, Ив (2001). Приглашение на математику Ферма–Уайлса . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-339251-0.
8. Сингх, стр. 194–198; Ацель, стр. 109–114.
9. G. Cornell, JH Silverman и G. Stevens, Модулярные формы и Великая теорема Ферма , ISBN 0-387-94609-8 
10. Daney, Charles (13 марта 1996 г.). "Доказательство Последней теоремы Ферма". Архивировано из оригинала 10 декабря 2008 г. Получено 29 июня 2017 г.
11. "Andrew Wiles on Solving Fermat". PBS . 1 ноября 2000 г. Архивировано из оригинала 17 марта 2016 г. Получено 29 июня 2017 г.
12. Buzzard, Kevin (22 февраля 1999 г.). "Обзор модулярных форм и Последней теоремы Ферма, автор G. Cornell, JH Silverman и G. Stevens" (PDF) . Bulletin of the American Mathematical Society . 36 (2): 261–266. doi : 10.1090/S0273-0979-99-00778-8 . Архивировано (PDF) из оригинала 11 ноября 2017 г. . Получено 29 июня 2017 г. .
13. Сингх, стр. 269–277.
14. Колата, Джина (28 июня 1994 г.). «Год спустя, загвоздка в математическом доказательстве сохраняется». The New York Times . ISSN  0362-4331. Архивировано из оригинала 26 августа 2016 г. Получено 29 июня 2017 г.
15. Колата, Джина (3 июля 1994 г.). «26 июня — 2 июля; Год спустя головоломка Ферма все еще не совсем QED» The New York Times . ISSN  0362-4331. Архивировано из оригинала 26 августа 2016 г. Получено 29 июня 2017 г.
16. Сингх, стр. 175–185.
17. Ацель, стр. 132–134.
18. Сингх, стр. 186–187 (текст сокращен).
19. "Последняя теорема Ферма". MacTutor History of Mathematics . Февраль 1996. Архивировано из оригинала 2 февраля 2007. Получено 29 июня 2017 .
20. Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х.; Стивенс, Гленн (2013). Модулярные формы и Великая теорема Ферма (иллюстрированное издание). Springer Science & Business Media. стр. 549. ISBN 978-1-4612-1974-3. Архивировано из оригинала 1 марта 2023 . Получено 13 ноября 2016 .Выдержка из страницы 549
21. O'Carroll, Eoin (17 августа 2011 г.). «Почему Пьер де Ферма — святой покровитель незаконченных дел». The Christian Science Monitor . ISSN  0882-7729. Архивировано из оригинала 8 августа 2017 г. Получено 29 июня 2017 г.
22. Грэнвилл, Эндрю. «История Последней теоремы Ферма». Архивировано из оригинала 8 августа 2017 года . Получено 29 июня 2017 года .
23. Брейль, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (2001). «О модулярности эллиптических кривых над 𝐐: Дикие 3-адические упражнения». Журнал Американского математического общества . 14 (4): 843–939. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00370-8 . ISSN  0894-0347.
24. Hesselink, Wim H. (3 апреля 2008 г.). "Компьютерная проверка доказательства Уайлса Великой теоремы Ферма". www.cs.rug.nl . Архивировано из оригинала 18 июня 2008 г. . Получено 29 июня 2017 г. .
25. Сингх стр.259-262
26. Сингх, стр. 239–243; Ацель, стр. 122–125.
27. Глава 5 работы Уайлса, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма» (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Архивировано из оригинала (PDF) 10 мая 2011 г. . Получено 13 марта 2009 г. . 
28. Малек, Массуд (6 января 1996 г.). «Великая теорема Ферма». Архивировано из оригинала 26 сентября 2019 г. Получено 29 июня 2017 г.
29. "sci.math FAQ: атака Уайлса". www.faqs.org . Архивировано из оригинала 15 февраля 2009 . Получено 29 июня 2017 .
30. "Fermat's Last Theorem, a Theorem at Last" (PDF) . FOCUS . Август 1993. Архивировано (PDF) из оригинала 4 августа 2016 . Получено 29 июня 2017 .
31. Уэстон, Том. "Research Summary Topics". people.math.umass.edu . Архивировано из оригинала 20 октября 2017 г. Получено 29 июня 2017 г.
32. Gouvêa, Fernando (1994). "A Marvelous Proof". American Mathematical Monthly . 101 (3): 203–222. doi :10.2307/2975598. JSTOR  2975598. Архивировано из оригинала 26 октября 2023 года . Получено 29 июня 2017 года .
33. "Премия Лестера Р. Форда Американской математической ассоциации". Архивировано из оригинала 31 июля 2016 года . Получено 29 июня 2017 года .
34. Фалтингс, Герд (июль 1995 г.). «Доказательство Последней теоремы Ферма Р. Тейлора и А. Уайлса» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 42 (7): 743–746. Архивировано (PDF) из оригинала 12 сентября 2019 г. . Получено 13 марта 2009 г. .

Библиография

• Aczel, Amir (1 января 1997 г.). Последняя теорема Ферма: раскрытие секрета древней математической задачи . Basic Books. ISBN 978-1-56858-077-7. Збл  0878.11003.
• Коутс, Джон (июль 1996 г.). «Уайлс получает премию NAS по математике» (PDF) . Уведомления AMS . 43 (7): 760–763. Zbl  1029.01513.
• Корнелл, Гэри (1 января 1998 г.). Модулярные формы и Великая теорема Ферма . Springer. ISBN 978-0-387-94609-2. Збл  0878.11004.(Корнелл и др.)
• Дэни, Чарльз (2003). "Математика Последней теоремы Ферма". Архивировано из оригинала 3 августа 2004 года . Получено 5 августа 2004 года .
• Дармон, Х. (9 сентября 2007 г.). «Теорема Уайлса и арифметика эллиптических кривых» (PDF) .
• Фалтингс, Герд (июль 1995 г.). «Доказательство Последней теоремы Ферма Р. Тейлора и А. Уайлса» (PDF) . Notices of the AMS . 42 (7): 743–746. ISSN  0002-9920. Zbl  1047.11510.
• Фрей, Герхард (1986). «Связи между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями». Ann. Univ. Sarav. Ser. Math . 1 : 1–40. Zbl  0586.10010.
• Хеллегуарх, Ив (1 января 2001 г.). Приглашение на математику Ферма–Уайлса . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-339251-0. Збл  0887.11003.Смотреть обзор
• Моццоки, Чарльз (7 декабря 2000 г.). Дневник Ферма . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2670-6. Збл  0955.11002.См. также Gouvêa, Fernando Q. (2001). "Обзор: Доказательство Уайлса, 1993–1995: Дневник Ферма К. Дж. Моццоки". American Scientist . 89 (3): 281–282. JSTOR  27857485.
• Моццочи, Чарльз (6 июля 2006 г.). Доказательство Ферма . Trafford Publishing. ISBN 978-1-4120-2203-3. Збл  1104.11001.
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (1996). "Последняя теорема Ферма" . Получено 5 августа 2004 г.
• ван дер Портен, Альфред (1 января 1996 г.). Заметки о Великой теореме Ферма . Уайли. ISBN 978-0-471-06261-5. Збл  0882.11001.
• Рибенбойм, Пауло (1 января 2000 г.). Великая теорема Ферма для любителей . Springer. ISBN 978-0-387-98508-4. Збл  0920.11016.
• Сингх, Саймон (октябрь 1998). Загадка Ферма . Нью-Йорк: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8. Збл  0930.00002.
• Саймон Сингх "Вся история". Архивировано из оригинала 10 мая 2011 года.Отредактированная версия эссе объемом около 2000 слов, опубликованного в журнале Prometheus, в котором описывается успешное путешествие Эндрю Уайлса.
• Ричард Тейлор и Эндрю Уайлс (май 1995 г.). «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке». Annals of Mathematics . 141 (3): 553–572. CiteSeerX  10.1.1.128.531 . doi :10.2307/2118560. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118560. OCLC  37032255. Zbl  0823.11030.
• Уайлс, Эндрю (1995). «Модулярные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма». Annals of Mathematics . 141 (3): 443–551. CiteSeerX  10.1.1.169.9076 . doi :10.2307/2118559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118559. OCLC  37032255. Zbl  0823.11029.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Великая теорема Ферма». MathWorld .
• «Доказательство». PBS .Название одного из выпусков телесериала PBS NOVA, в котором обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма, транслировалось на BBC Horizon и UTV /Documentary под названием «Великая теорема Ферма» ( Adobe Flash ) (требуется подписка)
• Уайлс, Рибет, Шимура–Танияма–Вейль и Великая теорема Ферма
• Математики наконец-то удовлетворены доказательством Последней теоремы Ферма Эндрю Уайлса? Почему эту теорему было так трудно доказать?, Scientific American , 21 октября 1999 г.
• Человек, который решил самую сложную в мире математическую задачу на YouTube

Объяснения доказательства (различные уровни)

• Обзор доказательства Уайлса, доступный неспециалистам, Анри Дармон
• Очень краткое изложение доказательства Чарльза Дейни
• 140 страниц студенческой проработки доказательства с упражнениями, Найджел Бостон