В конце концов (математика)

В математических областях теории чисел и анализа говорят , что бесконечная последовательность или функция в конечном итоге обладают определенным свойством , если она не обладает указанным свойством во всех своих упорядоченных экземплярах, но будет иметь после прохождения некоторых экземпляров. Использование термина «в конечном итоге» можно часто перефразировать как «для достаточно больших чисел» ^[1] , а также можно распространить на класс свойств, которые применяются к элементам любого упорядоченного множества (например, последовательностей и подмножеств ) . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Обозначения

Общая форма, в которой встречается фраза « в конце концов» (или «достаточно большая »), выглядит следующим образом:

${\displaystyle P}$в конечном итоге верно для ( верно для достаточно больших ), ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$

где и являются универсальными и экзистенциальными кванторами , что на самом деле является сокращением от: ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} }$такое, что это правда ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \forall x\geq a}$

или несколько более формально:

${\displaystyle \exists a\in \mathbb {R} :\forall x\in \mathbb {R} :x\geq a\Rightarrow P(x)}$

Это не обязательно означает, что известно какое-либо конкретное значение, а означает лишь то, что оно существует. Фразу «достаточно большой» не следует путать с фразами « произвольно большой » или « бесконечно большой». Дополнительные сведения см. в разделе «Произвольно большой#Произвольно большой», «достаточно большой» и «бесконечно большой» . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Мотивация и определение

Для бесконечной последовательности часто больше интересует долгосрочное поведение последовательности, чем поведение, которое она демонстрирует на ранних этапах. В этом случае один из способов формального отражения этой концепции состоит в том, чтобы сказать, что последовательность в конечном итоге обладает определенным свойством или, что то же самое, что этому свойству удовлетворяет одна из ее подпоследовательностей для некоторого . ^[2] ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq N}}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

Например, определение последовательности действительных чисел , сходящейся к некоторому пределу , таково: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$

Для каждого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Когда термин «в конечном итоге » используется как сокращение от «существует такое натуральное число, что для всех », определение сходимости можно сформулировать более просто: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N}$

Для каждого положительного числа , в конце концов . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \left\vert a_{n}-a\right\vert <\varepsilon }$

Здесь обратите внимание, что набор натуральных чисел, не удовлетворяющих этому свойству, является конечным множеством; то есть набор пуст или имеет максимальный элемент. В результате использование слова «в конечном итоге» в данном случае является синонимом выражения «для всех, кроме конечного числа терминов» – частного случая выражения « почти для всех терминов» (хотя «почти для всех» также может быть используется, чтобы допускать бесконечное количество исключений).

На базовом уровне последовательность можно рассматривать как функцию с натуральными числами в качестве области определения , а понятие «в конечном итоге» применимо и к функциям в более общих множествах, в частности к тем, которые имеют порядок без наибольшего элемента. .

Более конкретно, если это такой набор и в нем есть элемент , в котором функция определена для всех элементов больше , то говорят, что он в конечном итоге обладает некоторым свойством, если существует такой элемент , который всякий раз , когда , имеет указанное свойство. Это понятие используется, например, при изучении полей Харди , которые представляют собой поля, состоящие из вещественных функций, каждая из которых в конечном итоге обладает определенными свойствами. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x>x_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Примеры

• «Все простые числа больше 2 нечетные » можно записать как «В конечном итоге все простые числа нечетные».
• В конце концов, все простые числа конгруэнтны ±1 по модулю 6.
• Квадрат простого числа в конечном итоге равен 1 по модулю 24 (в частности, это верно для всех простых чисел больше 3) .
• Факториал натурального числа в конечном итоге заканчивается цифрой 0 (в частности, это верно для всех натуральных чисел, больших 4) .

Подразумеваемое

Когда последовательность или функция в конечном итоге обретают свойство, это может иметь полезные последствия в контексте доказательства чего-либо в отношении этой последовательности. Например, в контексте асимптотического поведения определенных функций может быть полезно знать, ведет ли она себя в конечном итоге иначе, чем можно было бы наблюдать с помощью вычислений, поскольку в противном случае это невозможно было бы заметить. ^{[ нужна цитата ]}

Термин «в конце концов» также можно включить во многие математические определения, чтобы сделать их более краткими. К ним относятся определения некоторых типов пределов (как показано выше) и обозначение Big O для описания асимптотического поведения.

Другие применения в математике

• Трехмерное многообразие называется достаточно большим, если оно содержит правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность . Это свойство является основным требованием для того, чтобы 3-многообразие называлось многообразием Хакена .
• Темпоральная логика вводит оператор, который можно использовать для выражения утверждений, интерпретируемых следующим образом: Определенное свойство в конечном итоге сохранится в будущем моменте времени.

Смотрите также

• Почти все
• Обозначение большого О
• Математический жаргон
• Теория чисел

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Достаточно большой». mathworld.wolfram.com . Проверено 20 ноября 2019 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «В конце концов». mathworld.wolfram.com . Проверено 20 ноября 2019 г.