Дробное исчисление

Раздел математического анализа с дробными приложениями производных и интегралов

Дробное исчисление — раздел математического анализа , изучающий различные возможности определения действительных степеней чисел или комплексных степеней чисел оператора дифференцирования . ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$$

и оператора интегрирования ^{[Примечание 1]} ${\displaystyle J}$ $${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,}$$

и разработка исчисления для таких операторов, обобщающего классическое.

В этом контексте термин « степень» относится к итеративному применению линейного оператора к функции , то есть к многократному составлению с самим собой, как в ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}D^{n}(f)&=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots \circ D} _{n})(f)\\&=\underbrace {D(D(D(\cdots D} _{n}(f)\cdots ))).\end{aligned}}}$$

Например, можно попросить дать осмысленную интерпретацию $${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}$$

как аналог функционального квадратного корня для оператора дифференциации, то есть выражение для некоторого линейного оператора, который, будучи примененным дважды к любой функции, будет иметь тот же эффект, что и дифференциация . В более общем плане можно рассмотреть вопрос определения линейного оператора $${\displaystyle D^{a}}$$

для каждого действительного числа таким образом, что когда принимает целое значение , оно совпадает с обычным -кратным дифференцированием, если , и с -й степенью, если . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle n<0}$

Одной из причин введения и изучения подобных расширений оператора дифференцирования является то, что наборы степеней операторов, определенные таким образом, представляют собой непрерывные полугруппы с параметром , исходная дискретная полугруппа которого для целых чисел является счетной подгруппой: поскольку непрерывные полугруппы имеют хорошо развитую математическую теорию, их можно применять и в других разделах математики. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{D^{a}\mid a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{D^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle n}$

Дробные дифференциальные уравнения , также известные как необычные дифференциальные уравнения, ^[1] представляют собой обобщение дифференциальных уравнений посредством применения дробного исчисления.

Исторические заметки

В прикладной математике и математическом анализе дробная производная — это производная любого произвольного порядка, действительного или комплексного. Впервые она упоминается в письме, написанном Гийому де Лопиталю Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1695 году. ^[2]  Примерно в то же время Лейбниц написал одному из братьев Бернулли, описав сходство между биномиальной теоремой и правилом Лейбница для дробной производной произведения двух функций. ^{[ необходима цитата ]}

Дробное исчисление было введено в одной из ранних статей Нильса Хенрика Абеля ^[3] , где можно найти все элементы: идею дробного интегрирования и дифференцирования, взаимно обратную связь между ними, понимание того, что дробное дифференцирование и интегрирование можно рассматривать как одну и ту же обобщенную операцию, и единую нотацию для дифференцирования и интегрирования произвольного действительного порядка. ^[4] Независимо от этого, основы предмета были заложены Лиувиллем в статье 1832 года. ^{[5] [6] [7]} Оливер Хевисайд ввел практическое использование дробных дифференциальных операторов в анализе линий электропередачи около 1890 года. ^[8] Теория и приложения дробного исчисления значительно расширились в течение 19-го и 20-го веков, и многочисленные авторы дали различные определения дробным производным и интегралам. ^[9]

Вычисление дробного интеграла

Пусть f ( x ) — функция, определенная для x > 0. Образуем определенный интеграл от 0 до x . Назовем это $${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.}$$

Повторение этого процесса дает $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{2}f\right)(x)&=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt\\&=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,,\end{aligned}}}$$

и это может быть расширено произвольно.

Формула Коши для повторного интегрирования , а именно, приводит прямым путем к обобщению для вещественного n : использование гамма-функции для устранения дискретной природы факториальной функции дает нам естественного кандидата для применения дробно-интегрального оператора как $${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$$ $${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$$

На самом деле это четко определенный оператор.

Легко показать, что оператор J удовлетворяет условию $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)\\&=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.\end{aligned}}}$$

Это соотношение называется полугрупповым свойством дробно- дифференциально-интегральных операторов.

Дробный интеграл Римана–Лиувилля

Классическая форма дробного исчисления задается интегралом Римана–Лиувилля , который по сути является тем, что было описано выше. Теория дробного интегрирования для периодических функций (включая, следовательно, «граничное условие» повторения после периода) задается интегралом Вейля . Он определяется на рядах Фурье и требует, чтобы постоянный коэффициент Фурье обращался в нуль (таким образом, он применяется к функциям на единичной окружности , интегралы которых равны нулю). Интеграл Римана–Лиувилля существует в двух формах, верхней и нижней. Рассматривая интервал [ a , b ] , интегралы определяются как $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\sideset {_{t}}{_{b}^{-\alpha }}Df(t)&=\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}If(t)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

Где первое справедливо для t > a , а второе справедливо для t < b . ^[10]

Было высказано предположение ^[11] , что интеграл по положительной действительной оси (т.е. ) было бы более уместно назвать интегралом Абеля–Римана, исходя из истории открытия и использования, и в том же духе интеграл по всей действительной оси можно назвать интегралом Лиувилля–Вейля. ${\displaystyle a=0}$

Напротив, производная Грюнвальда–Летникова начинается с производной, а не с интеграла.

Дробный интеграл Адамара

Дробный интеграл Адамара был введен Жаком Адамаром ^[12] и определяется следующей формулой: $${\displaystyle \sideset {_{a}}{_{t}^{-\alpha }}{\mathbf {D} }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$$

Дробный интеграл Атангана–Балеану (дробный интеграл AB)

Дробный интеграл Атанганы–Балеану непрерывной функции определяется как: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {A}}a}^{\operatorname {AB} }}{_{t}^{\alpha }}If(t)={\frac {1-\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{\operatorname {AB} (\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$$

Дробные производные

К сожалению, сопоставимый процесс для производного оператора D значительно сложнее, но можно показать, что D в общем случае не является ни коммутативным , ни аддитивным . ^[13]

В отличие от классических ньютоновских производных, дробные производные могут быть определены множеством различных способов, которые часто не все приводят к одному и тому же результату даже для гладких функций. Некоторые из них определяются через дробный интеграл. Из-за несовместимости определений часто необходимо явно указывать, какое определение используется.

Дробные производные гауссовой функции, непрерывно интерполирующие между функцией и ее первой производной.

Дробная производная Римана–Лиувилля

Соответствующая производная вычисляется с использованием правила Лагранжа для дифференциальных операторов. Чтобы найти производную порядка α , вычисляется производная порядка n интеграла порядка ( n − α ) , где n — наименьшее целое число, большее α (то есть n = ⌈ α ⌉ ). Дробная производная и интеграл Римана–Лиувилля имеют множество применений, например, в случае решений уравнения в случае множественных систем, таких как системы токамака, и Дробный параметр переменного порядка. ^{[14] [15]} Подобно определениям для интеграла Римана–Лиувилля, производная имеет верхний и нижний варианты. ^[16] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{a}}{_{t}^{n-\alpha }}If(t)\\\sideset {_{t}}{_{b}^{\alpha }}Df(t)&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{-(n-\alpha )}}Df(t)\\&={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\sideset {_{t}}{_{b}^{n-\alpha }}If(t)\end{aligned}}}$$

Дробная производная Капуто

Другим вариантом вычисления дробных производных является дробная производная Капуто . Она была введена Микеле Капуто в его статье 1967 года. ^[17] В отличие от дробной производной Римана–Лиувилля, при решении дифференциальных уравнений с использованием определения Капуто нет необходимости определять начальные условия дробного порядка. Определение Капуто иллюстрируется следующим образом, где снова n = ⌈ α ⌉ : $${\displaystyle \sideset {^{C}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )}{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}\,d\tau .}$$

Существует дробная производная Капуто, определяемая как: которая имеет то преимущество, что равна нулю, когда f ( t ) является постоянной, и ее преобразование Лапласа выражается посредством начальных значений функции и ее производной. Более того, существует дробная производная Капуто распределенного порядка, определяемая как $${\displaystyle D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)\,du\qquad (n-1)<\nu <n}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {_{a}^{b}}{^{n}u}Df(t)&=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu \\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu \end{aligned}}}$$

где ϕ ( ν ) — весовая функция, которая используется для математического представления наличия множественных формализмов памяти.

Дробная производная Капуто–Фабрицио

В статье 2015 года М. Капуто и М. Фабрицио представили определение дробной производной с несингулярным ядром для функции, заданной формулой: ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {C}}a}^{\text{CF}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\ e^{\left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)}\ d\tau ,}$$

где . ^[18] ${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$

Дробная производная Атангана–Балеану

В 2016 году Атангана и Балеану предложили дифференциальные операторы, основанные на обобщенной функции Миттаг-Леффлера . Целью было введение дробных дифференциальных операторов с невырожденным нелокальным ядром. Их дробные дифференциальные операторы приведены ниже в смысле Римана–Лиувилля и смысле Капуто соответственно. Для функции заданной ^[19] [ ^20] ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Если функция непрерывна, то производная Атанганы–Балеану в смысле Римана–Лиувилля определяется выражением: $${\displaystyle \sideset {_{{\hphantom {AB}}a}^{\text{ABC}}}{_{t}^{\alpha }}Df(t)={\frac {\operatorname {AB} (\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {(t-\tau )^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$$

Ядро, используемое в дробной производной Атанганы– Балеану , обладает некоторыми свойствами кумулятивной функции распределения. Например, для всех функция возрастает на вещественной прямой, сходится к в и . Следовательно, мы имеем, что функция является кумулятивной функцией распределения вероятностной меры на положительных вещественных числах. Таким образом, распределение определено, и любое из его кратных называется распределением Миттаг-Леффлера порядка . Также хорошо известно, что все эти распределения вероятностей абсолютно непрерывны . В частности, функция Миттаг-Леффлера имеет частный случай , который является экспоненциальной функцией, поэтому распределение Миттаг-Леффлера порядка является экспоненциальным распределением . Однако для распределения Миттаг-Леффлера имеют тяжелый хвост . Их преобразование Лапласа задается выражением: ${\displaystyle \alpha \in (0,1]}$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle E_{\alpha }(0)=1}$ ${\displaystyle x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ $${\displaystyle \mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},}$$

Это напрямую подразумевает, что для , ожидание бесконечно. Кроме того, эти распределения являются геометрически устойчивыми распределениями . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$

производная Рисса

Производная Рисса определяется как $${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k),}$$

где обозначает преобразование Фурье . ^{[21] [22]} ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Другие типы

Классические дробные производные включают в себя:

• Производная Грюнвальда–Летникова ^{[23] [24]}
• Производная Сонина–Летникова ^[24]
• Производная Лиувилля ^[23]
• Производная Капуто ^[23]
• Производная Адамара ^{[23] [25]}
• Производная Маршо ^[23]
• Производная Рисса ^[24]
• Производная Миллера–Росса ^[23]
• Производная Вейля ^{[26] [27] [23]}
• Производная Эрдели–Кобера ^[23]
• F α {\displaystyle F^{\alpha }} -производная ^[28]

Новые дробные производные включают в себя:

• Производная Коимбры ^[23]
• Производная Катугамполы ^[29]
• Производная Хильфера ^[23]
• Производная Дэвидсона ^[23]
• Производная Чэня ^[23]
• производная Капуто Фабрицио ^{[19] [30]}
• Производная Атангана-Балеану ^{[19] [20]}

Природа дробной производной

Производная -й функции в точке является локальным свойством только тогда, когда является целым числом; это не относится к нецелым производным степеней. Другими словами, нецелая дробная производная от при зависит от всех значений , даже тех, которые далеки от . Поэтому ожидается, что операция дробной производной включает в себя некие граничные условия , включающие информацию о функции дальше. ^[31] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c}$

Дробная производная функции порядка в настоящее время часто определяется с помощью интегральных преобразований Фурье или Меллина . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle a}$

Обобщения

Оператор Эрдейи–Кобера

Оператор Эрдейи –Кобера — это интегральный оператор, введенный Артуром Эрдели (1940). ^[32] и Германа Кобера (1940) ^[33] и определяется выражением $${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$$

который обобщает дробный интеграл Римана–Лиувилля и интеграл Вейля.

Функциональное исчисление

В контексте функционального анализа функции f ( D ) более общие, чем степени, изучаются в функциональном исчислении спектральной теории . Теория псевдодифференциальных операторов также позволяет рассматривать степени D . Возникающие операторы являются примерами сингулярных интегральных операторов ; а обобщение классической теории на более высокие размерности называется теорией потенциалов Рисса . Таким образом, существует ряд современных теорий, в рамках которых можно обсуждать дробное исчисление . См. также оператор Эрдейи–Кобера , важный в специальной теории функций (Kober 1940), (Erdélyi 1950–1951).

Приложения

Дробное сохранение массы

Как описано Уиткрафтом и Меершартом (2008), ^[34] дробное уравнение сохранения массы необходимо для моделирования потока жидкости, когда контрольный объем недостаточно велик по сравнению с масштабом неоднородности и когда поток внутри контрольного объема нелинейный. В указанной статье дробное уравнение сохранения массы для потока жидкости выглядит следующим образом: $${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$$

Электрохимический анализ

При изучении окислительно-восстановительного поведения субстрата в растворе на поверхность электрода подается напряжение, чтобы вызвать перенос электронов между электродом и субстратом. Результирующий перенос электронов измеряется как ток. Ток зависит от концентрации субстрата на поверхности электрода. По мере потребления субстрата свежий субстрат диффундирует к электроду, как описано законами диффузии Фика . Принимая преобразование Лапласа второго закона Фика, получаем обычное дифференциальное уравнение второго порядка (здесь в безразмерной форме): $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$$

чье решение C ( x , s ) содержит зависимость в половинной степени от s . Взяв производную от C ( x , s ) и затем обратное преобразование Лапласа, получаем следующее соотношение: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}{dt^{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}}}C(x,t)}$$

которая связывает концентрацию субстрата на поверхности электрода с током. ^[35] Это соотношение применяется в электрохимической кинетике для выяснения механистического поведения. Например, оно использовалось для изучения скорости димеризации субстратов при электрохимическом восстановлении. ^[36]

Проблема потока грунтовых вод

В 2013–2014 годах Атангана и др. описали некоторые проблемы потока грунтовых вод, используя концепцию производной с дробным порядком. ^{[37] [38]} В этих работах классический закон Дарси обобщается путем рассмотрения потока воды как функции производной нецелого порядка пьезометрического напора. Этот обобщенный закон и закон сохранения массы затем используются для вывода нового уравнения потока грунтовых вод.

Дробное уравнение адвекции и дисперсии

Это уравнение ^{[ требуется разъяснение ]} было показано полезным для моделирования потока загрязняющих веществ в неоднородных пористых средах. ^{[39] [40] [41]}

Atangana и Kilicman расширили дробное уравнение адвективной дисперсии до уравнения переменного порядка. В их работе гидродинамическое дисперсионное уравнение было обобщено с использованием концепции производной вариационного порядка. Модифицированное уравнение было численно решено с помощью метода Кранка–Николсона . Устойчивость и сходимость в численном моделировании показали, что модифицированное уравнение более надежно в прогнозировании движения загрязнения в деформируемых водоносных горизонтах, чем уравнения с постоянными дробными и целочисленными производными ^[42]

Модели уравнения дробной диффузии во времени и пространстве

Аномальные диффузионные процессы в сложных средах можно хорошо охарактеризовать, используя модели дробного порядка диффузионного уравнения. ^{[43] [44]} Производный по времени член соответствует долговременному тяжелому хвостовому распаду, а пространственная производная — нелокальности диффузии. Управляющее уравнение дробной диффузии во времени и пространстве может быть записано как $${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$$

Простым расширением дробной производной является дробная производная переменного порядка, α и β преобразуются в α ( x , t ) и β ( x , t ) . Его применение в моделировании аномальной диффузии можно найти в ссылке. ^{[42] [45] [46]}

Модели структурного демпфирования

Дробные производные используются для моделирования вязкоупругого демпфирования в определенных типах материалов, таких как полимеры. ^[11]

ПИД-регуляторы

Обобщение ПИД-регуляторов для использования дробных порядков может увеличить их степень свободы. Новое уравнение, связывающее управляющую переменную u ( t ) с измеренным значением ошибки e ( t ), можно записать как $${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$$

где α и β — положительные дробные порядки, а K _p , K _i и K _d , все неотрицательные, обозначают коэффициенты для пропорциональных , интегральных и производных членов соответственно (иногда обозначаемые P , I и D ). ^[47]

Уравнения акустических волн для сложных сред

Распространение акустических волн в сложных средах, таких как биологическая ткань, обычно подразумевает затухание, подчиняющееся частотному степенному закону. Этот вид явления может быть описан с помощью уравнения причинно-следственной волны, которое включает дробные производные по времени: $${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$$

См. также Holm & Näsholm (2011) ^[48] и ссылки в ней. Такие модели связаны с общепризнанной гипотезой о том, что множественные явления релаксации приводят к затуханию, измеренному в сложных средах. Эта связь далее описана в Näsholm & Holm (2011b) ^[49] и в обзорной статье ^[50] , а также в статье об акустическом затухании . См. Holm & Nasholm (2013) ^[51] для статьи, в которой сравниваются дробные волновые уравнения, которые моделируют степенное затухание. Эта книга о степенном затухании также более подробно рассматривает эту тему. ^[52]

Пандей и Холм придали физический смысл дробным дифференциальным уравнениям, выведя их из физических принципов и интерпретируя дробный порядок в терминах параметров акустических сред, например, в насыщенных жидкостью гранулированных неконсолидированных морских отложениях. ^[53] Интересно, что Пандей и Холм вывели закон Ломница в сейсмологии и закон Наттинга в неньютоновской реологии , используя структуру дробного исчисления. ^[54] Закон Наттинга использовался для моделирования распространения волн в морских отложениях с использованием дробных производных. ^[53]

Дробное уравнение Шредингера в квантовой теории

Дробное уравнение Шредингера, фундаментальное уравнение дробной квантовой механики, имеет следующий вид: ^{[55] [56]} $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$$

где решением уравнения является волновая функция ψ ( r , t ) – квантово-механическая амплитуда вероятности для частицы иметь заданный вектор положения r в любой момент времени t , а ħ – приведенная постоянная Планка . Функция потенциальной энергии V ( r , t ) зависит от системы.

Далее, — оператор Лапласа , а D _α — масштабная константа с физической размерностью [ D _α ] = J ^{1 − α} ·m ^α ·s ^{− α} = кг ^{1 − α} ·m ^{2 − α} ·s ^{α − 2} , (при α = 2 , для частицы массой m ), а оператор (− ​​ħ ² Δ) ^{α /2} — 3-мерная дробная квантовая производная Рисса, определяемая как ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$ ${\textstyle D_{2}={\frac {1}{2m}}}$ $${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$$

Индекс α в дробном уравнении Шредингера — это индекс Леви, 1 < α ≤ 2 .

Дробное уравнение Шредингера переменного порядка

Как естественное обобщение дробного уравнения Шредингера, дробное уравнение Шредингера переменного порядка было использовано для изучения дробных квантовых явлений: ^[57] $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$$

где — оператор Лапласа , а оператор (− ​​ħ ² Δ) ^{β ( t )/2} — дробная квантовая производная Рисса переменного порядка. ${\textstyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}}$

Смотрите также

• Акустическое затухание
• Авторегрессионное дробно-интегрированное скользящее среднее
• Инициализированное дробное исчисление
• Нелокальный оператор

Другие дробные теории

• Система дробного порядка
• Дробное преобразование Фурье
• Функция Прабхакара

Примечания

1. Символ обычно используется вместо интуитивно понятного , чтобы избежать путаницы с другими понятиями, идентифицируемыми похожими глифами , такими как идентичности . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Ссылки

1. Дэниел Цвиллингер (12 мая 2014 г.). Справочник дифференциальных уравнений. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-2096-3.
2. Катугампола, Удита Н. (15 октября 2014 г.). «Новый подход к обобщенным дробным производным» (PDF) . Бюллетень математического анализа и приложений . 6 (4): 1–15. arXiv : 1106.0965 .
3. Нильс Хенрик Абель (1823). «Oplösning af et Par Opgaver ved Hjelp af bestemte Integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Решение пары задач с помощью определенных интегралов)» (PDF) . Журнал Naturvidenskaberne . Кристиания (Осло): 55–68.
4. Подлубный, Игорь; Магин, Ричард Л.; Триморуш, Ирина (2017). «Нильс Хенрик Абель и рождение дробного исчисления». Дробное исчисление и прикладной анализ . 20 (5): 1068–1075. arXiv : 1802.05441 . doi :10.1515/fca-2017-0057. S2CID  119664694.
5. Лиувиль, Жозеф (1832), «Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau жанр де исчисление для решения этих вопросов», Journal de l'École Polytechnique , 13 , Париж: 1–69.
6. Лиувиль, Жозеф (1832), «Mémoire sur le Calcul des différentielles à index quelconques», Journal de l'École Polytechnique , 13 , Париж: 71–162.
7. Историю предмета см. В диссертации (на французском языке): Стефан Дюгоусон, Les différentielles métaphysicalsiques ( histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation ), Thèse, Université Paris Nord (1994).
8. Исторический обзор предмета до начала 20-го века см.: Bertram Ross (1977). «Развитие дробного исчисления 1695–1900». Historia Mathematica . 4 : 75–89. doi :10.1016/0315-0860(77)90039-8. S2CID  122146887.
9. Валерио, Дуарте; Мачадо, Хосе; Кирьякова, Вирджиния (2014-01-01). «Некоторые пионеры приложений дробного исчисления». Дробное исчисление и прикладной анализ . 17 (2): 552–578. doi :10.2478/s13540-014-0185-1. hdl : 10400.22/5491 . ISSN  1314-2224. S2CID  121482200.
10. Германн, Ричард (2014). Дробное исчисление: Введение для физиков (2-е изд.). Нью-Джерси: World Scientific Publishing. стр. 46. Bibcode : 2014fcip.book.....H. doi : 10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6.
11. Mainardi, Francesco (май 2010). Дробное исчисление и волны в линейной вязкоупругости . Imperial College Press . doi :10.1142/p614. ISBN 978-1-84816-329-4. S2CID  118719247.
12. Адамар, Дж. (1892). «Очерк о функциях, реализованных в рамках развития Тейлора» (PDF) . Журнал Mathématiques Pures et Appliquées . 4 (8): 101–186.
13. Килбас, А. Анатолий Александрович; Шривастава, Хари Мохан; Трухильо, Хуан Дж. (2006). Теория и приложения дробных дифференциальных уравнений. Elsevier. стр. 75 (Свойство 2.4). ISBN 978-0-444-51832-3.
14. Мостафанеджад, Мохаммад (2021). «Дробные парадигмы в квантовой химии». Международный журнал квантовой химии . 121 (20). doi : 10.1002/qua.26762 .
15. Аль-Раи, Марван (2021). «Применение дробной квантовой механики к системам с эффектами электрического экранирования». Хаос, солитоны и фракталы . 150 (сентябрь): 111209. Bibcode : 2021CSF...15011209A. doi : 10.1016/j.chaos.2021.111209.
16. Herrmann, Richard, ed. (2014). Дробное исчисление (2-е изд.). Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. стр. 54 ^{[ требуется проверка ]} . Bibcode : 2014fcip.book.....H. doi : 10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )
17. Капуто, Мишель (1967). «Линейная модель диссипации, Q которой почти не зависит от частоты. II». Geophysical Journal International . 13 (5): 529–539. Bibcode : 1967GeoJ...13..529C. doi : 10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x ..
18. Капуто, Микеле; Фабрицио, Мауро (2015). «Новое определение дробной производной без особого ядра». Прогресс в дробном дифференцировании и его приложениях . 1 (2): 73–85 . Получено 7 августа 2020 г.
19. Algahtani, Obaid Jefain Julaighim (2016-08-01). "Сравнение производных Atangana–Baleanu и Caputo–Fabrizio с дробным порядком: модель Аллена Кана". Хаос, солитоны и фракталы . Нелинейная динамика и сложность. 89 : 552–559. Bibcode :2016CSF....89..552A. doi :10.1016/j.chaos.2016.03.026. ISSN  0960-0779.
20. Atangana, Abdon; Baleanu, Dumitru (2016). «Новые дробные производные с нелокальным и несингулярным ядром: теория и применение к модели теплопередачи». Thermal Science . 20 (2): 763–769. arXiv : 1602.03408 . doi : 10.2298/TSCI160111018A . ISSN  0354-9836.
21. Чэнь, Янцюань; Ли, Чанпин; Дин, Хэнфэй (22 мая 2014 г.). «Высокопорядковые алгоритмы для производной Рисса и их приложения». Abstract and Applied Analysis . 2014 : 1–17. doi : 10.1155/2014/653797 .
22. Bayın, Selçuk Ş. (5 декабря 2016 г.). «Определение производной Рисса и ее применение к пространственной дробной квантовой механике». Журнал математической физики . 57 (12): 123501. arXiv : 1612.03046 . Bibcode : 2016JMP....57l3501B. doi : 10.1063/1.4968819. S2CID  119099201.
23. де Оливейра, Эдмундо Капелас; Тенрейро Мачадо, Хосе Антониу (10 июня 2014 г.). «Обзор определений дробных производных и интеграла». Математические проблемы в технике . 2014 : 1–6. дои : 10.1155/2014/238459 . hdl : 10400.22/5497 .
24. Аслан, Исмаил (2015-01-15). "Аналитический подход к классу дробных дифференциально-разностных уравнений рационального типа с помощью символьных вычислений". Математические методы в прикладных науках . 38 (1): 27–36. Bibcode :2015MMAS...38...27A. doi :10.1002/mma.3047. hdl : 11147/5562 . S2CID  120881978.
25. Ma, Li; Li, Changpin (2017-05-11). «О дробном исчислении Адамара». Fractals . 25 (3): 1750033–2980. Bibcode :2017Fract..2550033M. doi :10.1142/S0218348X17500335. ISSN  0218-348X.
26. Миллер, Кеннет С. (1975). «Дробное исчисление Вейля». В Росс, Бертрам (ред.). Дробное исчисление и его приложения . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 457. Springer. pp. 80–89. doi :10.1007/bfb0067098. ISBN 978-3-540-69975-0. {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )
27. Феррари, Фаусто (январь 2018 г.). «Производные Вейля и Маршо: забытая история». Математика . 6 (1): 6. arXiv : 1711.08070 . doi : 10.3390/math6010006 .
28. Халили Голманханех, Алиреза (2022). Фрактальное исчисление и его приложения. Сингапур: World Scientific Pub Co Inc. стр. 328. doi :10.1142/12988. ISBN 978-981-126-110-7. S2CID  248575991.
29. Андерсон, Дуглас Р.; Улнесс, Дэрин Дж. (2015-06-01). «Свойства дробной производной Катугамполы с потенциальным применением в квантовой механике». Журнал математической физики . 56 (6): 063502. Bibcode : 2015JMP....56f3502A. doi : 10.1063/1.4922018. ISSN  0022-2488.
30. Капуто, Микеле; Фабрицио, Мауро (2016-01-01). «Применение новых временных и пространственных дробных производных с экспоненциальными ядрами». Прогресс в дробном дифференцировании и приложениях . 2 (1): 1–11. doi :10.18576/pfda/020101. ISSN  2356-9336.
31. «Дробное исчисление». MathPages.com .
32. Эрдели, Артур (1950–1951). «О некоторых функциональных преобразованиях». Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino . 10 : 217–234. МР  0047818.
33. Кобер, Герман (1940). «О дробных интегралах и производных». The Quarterly Journal of Mathematics . os-11 (1): 193–211. Bibcode : 1940QJMat..11..193K. doi : 10.1093/qmath/os-11.1.193.
34. Уиткрафт, Стивен В.; Меершарт, Марк М. (октябрь 2008 г.). «Дробное сохранение массы» (PDF) . Достижения в области водных ресурсов . 31 (10): 1377–1381. Bibcode : 2008AdWR...31.1377W. doi : 10.1016/j.advwatres.2008.07.004. ISSN  0309-1708.
35. Олдхэм, КБ Аналитическая химия 44(1) 1972 196-198.
36. Поспишил, Л. и др. Электрохимика Акта 300 2019 284-289.
37. Atangana, Abdon; Bildik, Necdet (2013). «Использование производной дробного порядка для прогнозирования потока грунтовых вод». Математические проблемы в инженерии . 2013 : 1–9. doi : 10.1155/2013/543026 .
38. Atangana, Abdon; Vermeulen, PD (2014). «Аналитические решения пространственно-временной дробной производной уравнения потока грунтовых вод». Abstract and Applied Analysis . 2014 : 1–11. doi : 10.1155/2014/381753 .
39. Бенсон, Д.; Уиткрафт, С.; Меершарт, М. (2000). «Применение дробного уравнения адвекции-дисперсии». Water Resources Research . 36 (6): 1403–1412. Bibcode : 2000WRR....36.1403B. CiteSeerX 10.1.1.1.4838 . doi : 10.1029/2000wr900031. S2CID  7669161. 
40. Бенсон, Д.; Уиткрафт, С.; Меершарт, М. (2000). «Управляющее уравнение дробного порядка движения Леви». Water Resources Research . 36 (6): 1413–1423. Bibcode : 2000WRR....36.1413B. doi : 10.1029/2000wr900032 . S2CID  16579630.
41. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M.; Schumer, Rina; Benson, David A. (01.01.2001). «Фракционная дисперсия, движение Леви и тесты трассеров MADE». Транспорт в пористых средах . 42 (1–2): 211–240. CiteSeerX 10.1.1.58.2062 . doi :10.1023/A:1006733002131. ISSN  1573-1634. S2CID  189899853. 
42. Atangana, Abdon; Kilicman, Adem (2014). «Об обобщенном уравнении переноса массы в концепции переменной дробной производной». Математические проблемы в машиностроении . 2014 : 9. doi : 10.1155/2014/542809 .
43. Метцлер, Р.; Клафтер, Дж. (2000). «Руководство случайного блуждания по аномальной диффузии: подход дробной динамики». Phys. Rep . 339 (1): 1–77. Bibcode : 2000PhR...339....1M. doi : 10.1016/s0370-1573(00)00070-3.
44. Майнарди, Ф.; Лучко, Ю .; Пагнини, Г. (2001). «Фундаментальное решение уравнения дробной диффузии пространства-времени». Дробное исчисление и прикладной анализ . 4 (2): 153–192. arXiv : cond-mat/0702419 . Bibcode : 2007cond.mat..2419M.
45. Gorenflo, Rudolf; Mainardi, Francesco (2007). "Дробные диффузионные процессы: распределения вероятностей и непрерывное случайное блуждание во времени". В Rangarajan, G.; Ding, M. (ред.). Процессы с корреляциями на дальнем расстоянии . Конспект лекций по физике. Том 621. С. 148–166. arXiv : 0709.3990 . Bibcode :2003LNP...621..148G. doi :10.1007/3-540-44832-2_8. ISBN 978-3-540-40129-2. S2CID  14946568.
46. Колбрук, Мэтью Дж.; Ма, Сянчэн; Хопкинс, Филип Ф.; Сквайр, Джонатан (2017). «Законы масштабирования пассивно-скалярной диффузии в межзвездной среде». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 467 (2): 2421–2429. arXiv : 1610.06590 . Bibcode : 2017MNRAS.467.2421C. doi : 10.1093/mnras/stx261 . S2CID  20203131.
47. Тенрейро Мачадо, JA; Сильва, Мануэль Ф.; Барбоса, Рамиро С.; Господи, Изабель С.; Рейс, Сесилия М.; Маркос, Мария Г.; Галхано, Александра Ф. (2010). «Некоторые применения дробного исчисления в технике». Математические проблемы в технике . 2010 : 1–34. дои : 10.1155/2010/639801 . hdl : 10400.22/13143 .
48. Holm, S.; Näsholm, SP (2011). «Причинное и дробное волновое уравнение всех частот для сред с потерями». Журнал Акустического общества Америки . 130 (4): 2195–2201. Bibcode : 2011ASAJ..130.2195H. doi : 10.1121/1.3631626. hdl : 10852/103311 . PMID  21973374. S2CID  7804006.
49. Näsholm, SP; Holm, S. (2011). «Связывание множественной релаксации, степенного затухания и дробных волновых уравнений». Журнал акустического общества Америки . 130 (5): 3038–3045. Bibcode : 2011ASAJ..130.3038N. doi : 10.1121/1.3641457. hdl : 10852/103312 . PMID  22087931. S2CID  10376751.
50. Näsholm, SP; Holm, S. (2012). «О дробном уравнении упругой волны Ценера». Fract. Calc. Appl. Anal . 16 : 26–50. arXiv : 1212.4024 . doi :10.2478/s13540-013-0003-1. S2CID  120348311.
51. Holm, S.; Näsholm, SP (2013). «Сравнение дробных волновых уравнений для степенного закона затухания в ультразвуке и эластографии». Ультразвук в медицине и биологии . 40 (4): 695–703. arXiv : 1306.6507 . CiteSeerX 10.1.1.765.120 . doi :10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. PMID  24433745. S2CID  11983716. 
52. Холм, С. (2019). Волны со степенным затуханием. Springer and Acoustical Society of America Press. Bibcode : 2019wpla.book.....H. doi : 10.1007/978-3-030-14927-7. ISBN 978-3-030-14926-0. S2CID  145880744.
53. Pandey, Vikash; Holm, Sverre (2016-12-01). «Связь механизма сдвига зерен при распространении волн в морских отложениях с волновыми уравнениями дробного порядка». Журнал Акустического общества Америки . 140 (6): 4225–4236. arXiv : 1612.05557 . Bibcode : 2016ASAJ..140.4225P. doi : 10.1121/1.4971289. ISSN  0001-4966. PMID  28039990. S2CID  29552742.
54. Панди, Викаш; Холм, Сверре (2016-09-23). ​​«Связь дробной производной и закона ползучести Ломница с неньютоновской переменной во времени вязкостью». Physical Review E. 94 ( 3): 032606. Bibcode : 2016PhRvE..94c2606P. doi : 10.1103/PhysRevE.94.032606 . hdl : 10852/53091 . PMID  27739858.
55. Ласкин, Н. (2002). "Дробное уравнение Шредингера". Phys. Rev. E. 66 ( 5): 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L. CiteSeerX 10.1.1.252.6732 . doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID  12513557. S2CID  7520956. 
56. Ласкин, Ник (2018). Дробная квантовая механика . CiteSeerX 10.1.1.247.5449 . дои : 10.1142/10541. ISBN  978-981-322-379-0.
57. Bhrawy, AH; Zaky, MA (2017). «Улучшенный метод коллокации для многомерных пространственно-временных дробных уравнений Шредингера переменного порядка». Прикладная численная математика . 111 : 197–218. doi :10.1016/j.apnum.2016.09.009.

Дальнейшее чтение

Статьи по истории дробного исчисления

• Дебнат, Л. (2004). «Краткое историческое введение в дробное исчисление». Международный журнал математического образования в науке и технике . 35 (4): 487–501. doi :10.1080/00207390410001686571. S2CID  122198977.

Книги

• Миллер, Кеннет С.; Росс, Бертрам, ред. (1993). Введение в дробное исчисление и дробные дифференциальные уравнения . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-58884-9.
• Самко, С.; Килбас, А.А.; Маричев, О. (1993). Дробные интегралы и производные: теория и приложения . Taylor & Francis Books. ISBN 978-2-88124-864-1.
• Карпинтери, А.; Майнарди, Ф., ред. (1998). Фракталы и дробное исчисление в механике сплошных сред . Springer-Verlag Telos. ISBN 978-3-211-82913-4.
• Игорь Подлубный (27 октября 1998 г.). Дробные дифференциальные уравнения: Введение в дробные производные, дробные дифференциальные уравнения, методы их решения и некоторые их приложения. Elsevier. ISBN 978-0-08-053198-4.
• Тарасов, В. Е. (2010). Дробная динамика: приложения дробного исчисления к динамике частиц, полей и сред. Nonlinear Physical Science. Springer. doi :10.1007/978-3-642-14003-7. ISBN 978-3-642-14003-7.
• Ли, Чанпин; Цай, Мин (2019). Теория и численные приближения дробных интегралов и производных. SIAM. doi :10.1137/1.9781611975888. ISBN 978-1-61197-587-1.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дробное исчисление». MathWorld .
• «Дробное исчисление». MathPages.com .
• Журнал дробного исчисления и прикладного анализа ISSN  1314-2224 2015—
• Лоренцо, Карл Ф.; Хартли, Том Т. (2002). «Инициализированное дробное исчисление». Технические краткие сведения . NASA John H. Glenn Research Center.
• Херрманн, Ричард (2018). «ГигаГедрон».коллекция книг, статей, препринтов и т. д.
• Ловерро, Адам (2005). "История, определения и применение для инженера" ​​(PDF) . Университет Нотр-Дам . Архивировано из оригинала (PDF) 29-10-2005.