В математике жесткое преобразование (также называемое евклидовым преобразованием или евклидовой изометрией ) — это геометрическое преобразование евклидова пространства , которое сохраняет евклидово расстояние между каждой парой точек. [1] [ собственный источник ] [2] [3]
Жесткие преобразования включают вращения , перемещения , отражения или любую их последовательность. Отражения иногда исключаются из определения жесткого преобразования, требуя, чтобы преобразование также сохраняло направленность объектов в евклидовом пространстве. (Отражение не сохраняет ручность; например, оно преобразует левую руку в правую.) Чтобы избежать двусмысленности, преобразование, сохраняющее леворукость, известно как жесткое движение , евклидово движение или собственное жесткое преобразование .
Во втором измерении твердое движение представляет собой либо перемещение , либо вращение . В третьем измерении каждое твердое движение можно разложить на композицию вращения и перемещения, поэтому его иногда называют ротационным перемещением . В третьем измерении все твёрдые движения также являются винтовыми движениями (это теорема Часля ).
В размерности не более трех любое несобственное жесткое преобразование можно разложить на несобственное вращение с последующим перемещением или на последовательность отражений .
Любой объект сохранит ту же форму и размер после правильной жесткой трансформации.
Все жесткие преобразования являются примерами аффинных преобразований . Набор всех (правильных и несобственных) жестких преобразований представляет собой математическую группу , называемую евклидовой группой , обозначаемую E( n ) для n -мерных евклидовых пространств. Множество жестких движений называется специальной евклидовой группой и обозначается SE( n ) .
В кинематике твердые движения в трехмерном евклидовом пространстве используются для представления перемещений твердых тел . Согласно теореме Шалеса , любое жесткое преобразование можно выразить как винтовое движение .
Жесткое преобразование формально определяется как преобразование, которое при воздействии на любой вектор v создает преобразованный вектор T ( v ) вида
где R T = R −1 (т. е. R — ортогональное преобразование ), а t — вектор, задающий сдвиг начала координат.
Кроме того, правильное жесткое преобразование имеет
это означает, что R не вызывает отражения и, следовательно, представляет собой вращение ( ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию). Действительно, когда матрица ортогонального преобразования создает отражение, ее определитель равен -1.
Мера расстояния между точками, или метрика , необходима для того, чтобы подтвердить, что преобразование является жестким. Формула Евклидова расстояния для Rn является обобщением теоремы Пифагора . Формула дает квадрат расстояния между двумя точками X и Y как сумму квадратов расстояний по осям координат, то есть
Используя эту формулу расстояния, жесткое преобразование g : Rn → Rn обладает свойством :
Перевод векторного пространства добавляет вектор d к каждому вектору в пространстве, что означает, что это преобразование
Легко показать, что это жесткое преобразование, показав, что расстояние между переведенными векторами равно расстоянию между исходными векторами:
Линейное преобразование векторного пространства L : Rn → Rn сохраняет линейные комбинации ,
где [ L ] — матрица размера n × n .
Линейное преобразование является жестким преобразованием, если оно удовлетворяет условию:
Матрицы, удовлетворяющие этому условию, образуют математическую группу при операции умножения матриц, называемую ортогональной группой матриц размера n×n и обозначаемую O ( n ) .
Вычислите определитель условия для ортогональной матрицы , чтобы получить
Набор матриц вращения называется специальной ортогональной группой и обозначается SO( n ) . Это пример группы Ли , поскольку она имеет структуру многообразия.