stringtranslate.com

Элементы Евклида

«Элементы » ( греч . Στοιχεῖα Stoiheîa ) — математический трактат , состоящий из 13 книг, приписываемый древнегреческому математику Евклиду ок. 300 г. до н. э. Это сборник определений, постулатов , утверждений ( теорем и конструкций ) и математических доказательств утверждений. Книги охватывают плоскую и твердотельную евклидову геометрию , элементарную теорию чисел и несоизмеримые прямые. «Элементы» — старейшая из существующих крупномасштабных дедуктивных трактовок математики. Он сыграл важную роль в развитии логики и современной науки , а его логическая строгость не была превзойдена до 19 века.

«Начала» Евклида называют самым успешным [a] [b] и влиятельным [c] учебником из когда-либо написанных. Это была одна из самых ранних математических работ, напечатанных после изобретения печатного станка , и, по оценкам, она уступает только Библии по количеству изданий, опубликованных с момента первого издания в 1482 году, [1] это число достигло значительного уровня. более тысячи. [d] На протяжении веков, когда квадривиум был включен в учебную программу всех студентов университетов, от всех студентов требовалось знание хотя бы части « Начал » Евклида. Лишь в 20 веке, когда его содержание стало повсеместно преподаваться с помощью других школьных учебников, оно перестало считаться чем-то, что читали все образованные люди. [ нужна цитата ]

История

Фрагмент « Начал » Евклида на папирусах Оксиринха.
Разворот из арабского перевода «Элементы» Исхака ибн Хунайна . Ирак , 1270 год. Библиотека Честера Битти.

Основа в более ранней работе

Иллюминация из рукописи, основанной на переводе «Элементов » Аделарда Батского , ок. 1309–1316; Перевод Аделарда — старейший из сохранившихся переводов « Элементов» на латынь, выполненный в XII веке и переведенный с арабского языка. [2]

Ученые полагают, что « Начала» представляют собой в основном компиляцию положений, основанных на книгах ранних греческих математиков. [3]

Прокл (412–485 гг. н.э.), греческий математик, живший примерно через семь столетий после Евклида, писал в своем комментарии к «Началам» : «Евклид, который соединил « Начала» , собрав многие теоремы Евдокса , усовершенствовав многие из Теэтета », и также приводя к неопровержимой демонстрации вещи, которые были лишь в некоторой степени доказаны его предшественниками».

Пифагор ( ок. 570–495 до н. э.), вероятно, был источником большинства книг I и II, Гиппократ Хиосский ( ок. 470–410 до н. э., а не более известный Гиппократ Косский ) для книги III и Евдокс Книдский ( ок. 408–355 до н.э.) для книги V, тогда как книги IV, VI, XI и XII, вероятно, пришли от других пифагорейских или афинских математиков. [4] «Элементы » , возможно, были основаны на более раннем учебнике Гиппократа Хиосского, который также, возможно, положил начало использованию букв для обозначения цифр. [5] Сообщается, что и другие подобные работы были написаны Тевдием Магнесийским , Леоном и Гермотимом Колофонским. [6] [7]

Передача текста

В IV веке нашей эры Теон Александрийский выпустил издание Евклида, которое настолько широко использовалось, что стало единственным сохранившимся источником до тех пор, пока Франсуа Пейрар не обнаружил в Ватикане в 1808 году рукопись, не основанную на рукописи Теона. Эта рукопись, рукопись Хейберга , принадлежит византийской мастерской около 900 года и является основой современных изданий. [8] Папирус Оксиринх 29 представляет собой крошечный фрагмент еще более древней рукописи, но содержит только одно утверждение.

Хотя Евклид был известен , например, Цицерону , не существует никаких записей о том, что текст был переведен на латынь до Боэция в пятом или шестом веке. [2] Арабы получили «Элементы» от византийцев около 760 г.; эта версия была переведена на арабский язык при Харуне ар-Рашиде ( ок. 800 г.). [2] Византийский ученый Арета заказал копирование одной из дошедших до нас греческих рукописей Евклида в конце девятого века. [9] Хотя «Начала» были известны в Византии, они были потеряны для Западной Европы примерно до 1120 года, когда английский монах Аделард Батский перевел их на латынь с арабского перевода. [д] Сравнительно недавно в Палермо, Сицилия, был сделан перевод с греческого на латынь, датированный XII веком. Имя переводчика неизвестно, кроме того, что он был анонимным студентом-медиком из Салерно, который приехал в Палермо, чтобы перевести Альмагест на латынь. Рукопись Евклида сохранилась и является вполне полной. [11]

После перевода Аделарда Батского (известного как Аделард I) произошел шквал переводов с арабского языка. Известные переводчики этого периода включают Германа Каринтийского , написавшего издание около 1140 года, Роберта Честерского (его рукописи называются Аделардом II, написанными в 1251 году или ранее), Йоханнеса де Тинемуэ [12] , возможно, также известного как Иоанн из Тайнмут (его рукописи вместе именуются Аделардом III), конец XII века, и Герард Кремонский (где-то после 1120 года, но до 1187 года). Точные детали этих переводов до сих пор являются предметом активных исследований. [13] [ нужна страница ] Кампан из Новары в значительной степени полагался на эти арабские переводы при создании своего издания (где-то до 1260 года), которое в конечном итоге стало доминировать над латинскими изданиями до появления греческих рукописей в 16 веке. Сегодня до сих пор доступно более 100 рукописей Кампануса, созданных до 1482 года. [14] [15]

Евклид - Elementorum libri XV Париж, Иероним де Марнеф и Гийом Кавела, 1573 г. (второе издание после изд. 1557 г.); в 8:350, (2)с. ТОМАС-СТЭНФОРД, Ранние издания «Элементов Евклида» , № 32. Упоминается в переводе Т.Л. Хита. Частное собрание Гектор Зенил.

Первое печатное издание появилось в 1482 году (на основе перевода Кампануса) [16] и с тех пор было переведено на многие языки и издано примерно в тысяче различных изданий. Греческое издание Теона было восстановлено в 1533 г. [17] по парижской гр. 2343 и Venetus Marcianus 301. [18] В 1570 году Джон Ди представил широко уважаемое «Математическое предисловие», а также обширные примечания и дополнительный материал к первому английскому изданию Генри Биллингсли .

Копии греческого текста все еще существуют, некоторые из них можно найти в Библиотеке Ватикана и Бодлианской библиотеке в Оксфорде. Доступные рукописи разного качества и всегда неполные. Путем тщательного анализа переводов и оригиналов были выдвинуты гипотезы о содержании оригинального текста (копии которого больше не доступны).

Древние тексты, относящиеся к самим Элементам и другим математическим теориям, существовавшим на момент их написания, также играют важную роль в этом процессе. Такой анализ проводят Дж. Л. Хейберг и сэр Томас Литтл Хит в своих редакциях текста.

Также важное значение имеют схолии , или аннотации к тексту. Эти дополнения, которые часто отличались от основного текста (в зависимости от рукописи), постепенно накапливались с течением времени, поскольку мнения относительно того, что заслуживало объяснения или дальнейшего изучения, расходились.

Влияние

Страница с марками из первого печатного издания « Элементов» , напечатанного Эрхардом Ратдольтом в 1482 году.

« Начала» до сих пор считаются шедевром применения логики в математике . В историческом контексте она оказалась чрезвычайно влиятельной во многих областях науки . Ученые Николай Коперник , Иоганн Кеплер , Галилео Галилей , Альберт Эйнштейн и сэр Исаак Ньютон находились под влиянием Элементов и применяли свои знания о них в своей работе. [19] [20] Математики и философы, такие как Томас Гоббс , Барух Спиноза , Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , пытались создать свои собственные основополагающие «Элементы» для своих соответствующих дисциплин, приняв аксиоматизированные дедуктивные структуры, которые работы Евклида представил.

Суровая красота евклидовой геометрии рассматривалась многими представителями западной культуры как проблеск потусторонней системы совершенства и уверенности. Авраам Линкольн держал экземпляр Евклида в своей седельной сумке и изучал его поздно ночью при свете лампы; он рассказал, что сказал себе: «Вы никогда не сможете стать юристом, если не понимаете, что значит демонстрировать; и я оставил свое положение в Спрингфилде , пошел домой в дом моего отца и оставался там до тех пор, пока не смог высказать какое-либо предложение в суде». шесть книг Евклида с первого взгляда». [21] [22] Эдна Сент-Винсент Миллей написала в своем сонете: «Только Евклид смотрел на Красоту обнаженной», «О ослепительный час, о святой, ужасный день, Когда впервые стрела в его видении сияла Из анатомированного света!». Альберт Эйнштейн вспоминал книгу « Элементы» и магнитный компас как два подарка, которые оказали на него большое влияние в детстве, называя Евклида «святой маленькой книгой по геометрии». [23] [24]

Успех « Начал» обусловлен прежде всего логическим изложением большей части математических знаний, доступных Евклиду. Большая часть материала не является его оригинальностью, хотя многие доказательства принадлежат ему. Однако систематическое развитие Евклидом своего предмета, от небольшого набора аксиом до глубоких результатов, а также последовательность его подхода во всех «Началах» способствовали использованию его в качестве учебника в течение примерно 2000 лет. « Элементы » до сих пор влияют на современные книги по геометрии. Более того, ее логический, аксиоматический подход и строгие доказательства остаются краеугольным камнем математики.

В современной математике

Одним из наиболее заметных влияний Евклида на современную математику является обсуждение постулата параллельности . В первой книге Евклид перечисляет пять постулатов, пятый из которых предусматривает

Если отрезок пересекает две прямые линии , образуя два внутренних угла на одной и той же стороне, сумма которых составляет менее двух прямых углов , то две прямые, если они продлены до бесконечности, встречаются на той стороне, на которой сумма углов составляет менее двух прямых углов.

Различные версии постулата параллельности приводят к разной геометрии.

Этот постулат веками мучил математиков из-за своей кажущейся сложности по сравнению с четырьмя другими постулатами. Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат на основе остальных четырех, но они так и не увенчались успехом. В конце концов, в 1829 году математик Николай Лобачевский опубликовал описание острой геометрии (или гиперболической геометрии ), геометрии, которая приняла другую форму постулата параллельности. Фактически возможно создать действительную геометрию полностью без пятого постулата или с различными версиями пятого постулата ( эллиптическая геометрия ). Если принять пятый постулат как данность, то получится евклидова геометрия . [ нужна цитата ]

Содержание

Метод и стиль изложения Евклида

• «Провести прямую линию из любой точки в любую точку».
• «Описать круг с любым центром и расстоянием».

Евклид, «Начала» , книга I, постулаты 1 и 3. [26]

Анимация, показывающая, как Евклид построил шестиугольник (книга IV, предложение 15). Каждую двухмерную фигуру в «Элементах» можно построить, используя только циркуль и линейку. [26]
Кодекс Ватикана 190

Аксиоматический подход и конструктивные методы Евклида оказали большое влияние.

Многие из предложений Евклида были конструктивными, демонстрируя существование какой-либо фигуры путем подробного описания шагов, которые он использовал для построения объекта с помощью циркуля и линейки . Его конструктивный подход проявляется даже в постулатах его геометрии, поскольку конструктивны первый и третий постулаты, утверждающие существование линии и круга. Вместо того, чтобы утверждать, что линии и круги существуют согласно его предыдущим определениям, он утверждает, что можно «построить» линию и круг. Также оказывается, что для того, чтобы использовать фигуру в одном из своих доказательств, ему необходимо построить ее в более раннем предложении. Например, он доказывает теорему Пифагора, вписывая сначала квадрат в стороны прямоугольного треугольника, но только после построения квадрата по заданной прямой на одно предложение раньше. [27]

Как это было принято в древних математических текстах, когда утверждение нуждалось в доказательстве в нескольких различных случаях, Евклид часто доказывал только один из них (часто самый трудный), оставляя остальные на усмотрение читателя. Более поздние редакторы, такие как Теон , часто интерполировали свои собственные доказательства этих случаев.

Изложение Евклида было ограничено математическими идеями и обозначениями, распространенными в его эпоху, и из-за этого в некоторых местах его трактовка кажется неуклюжей современному читателю. Например, не существовало понятия угла, большего двух прямых углов, [28] число 1 иногда рассматривалось отдельно от других положительных целых чисел, а поскольку умножение рассматривалось геометрически, он не использовал произведение более чем трех разных чисел. Геометрическая трактовка теории чисел могла быть вызвана тем, что альтернативой была бы крайне неуклюжая александрийская система цифр . [29]

Изложение каждого результата дано в стилизованной форме, которая хотя и не придумана Евклидом, но признана типично классической. Он состоит из шести различных частей: во-первых, это «изложение», в котором результат излагается в общих чертах (т. е. формулировка предложения). Затем идет «разметка», дающая фигуру и обозначающая буквами отдельные геометрические объекты. Затем следует «определение» или «спецификация», которая повторяет изложение в терминах конкретной фигуры. Затем следует «строительство» или «машины». Здесь исходная фигура расширена для доказательства. Затем следует само «доказательство». Наконец, «заключение» связывает доказательство с изложением, излагая конкретные выводы, сделанные в доказательстве, в общих терминах изложения. [30]

Никакого указания на метод рассуждения, приведшего к такому результату, не дано, хотя « Данные» содержат инструкции о том, как подходить к типам проблем, встречающихся в первых четырех книгах «Элементов » . [4] Некоторые ученые пытались придраться к использованию Евклидом фигур в своих доказательствах, обвиняя его в написании доказательств, которые зависели от конкретных нарисованных фигур, а не от общей базовой логики, особенно в отношении предложения II книги I. Однако оригинал Евклида доказательство этого предложения является общим, действительным и не зависит от рисунка, используемого в качестве примера для иллюстрации одной данной конфигурации. [31]

Критика

Список аксиом Евклида в «Началах» не был исчерпывающим, но представлял собой наиболее важные принципы. Его доказательства часто используют аксиоматические понятия, которые изначально не были представлены в его списке аксиом. Более поздние редакторы вставили неявные аксиоматические предположения Евклида в список формальных аксиом. [32]

Например, в первой конструкции Книги 1 Евклид использовал предпосылку, которая не постулировалась и не была доказана: что две окружности с центрами на расстоянии их радиуса пересекутся в двух точках. [33] Позже, в четвертой конструкции, он использовал суперпозицию (перемещение треугольников друг на друга), чтобы доказать, что если две стороны и их углы равны, то они конгруэнтны ; при этих рассуждениях он использует некоторые свойства суперпозиции, но эти свойства в трактате явно не описаны. Если бы суперпозицию считали действительным методом геометрического доказательства, вся геометрия была бы полна таких доказательств. Например, предложения I.2 и I.3 можно доказать тривиально, используя суперпозицию. [34]

Математик и историк У. В. Роуз Болл рассмотрел критику в перспективе, отметив, что «тот факт, что в течение двух тысяч лет [ Элементы ] были обычным учебником по этому предмету, вызывает сильное предположение, что он вполне пригоден для этой цели». [28]

Апокрифы

В древние времена знаменитым авторам нередко приписывали произведения, написанные не ими. Именно таким образом в сборник иногда включались апокрифические книги XIV и XV «Начал » . [35] Ложная книга XIV, вероятно, была написана Гипсиклом на основе трактата Аполлония . Книга продолжает сравнение Евклида правильных тел, вписанных в сферы, причем главный результат состоит в том, что соотношение поверхностей додекаэдра и икосаэдра , вписанных в одну и ту же сферу, такое же, как отношение их объемов, причем соотношение равно

Ложная Книга XV, вероятно, была написана, по крайней мере частично, Исидором Милетским . В этой книге рассматриваются такие темы, как подсчет количества ребер и телесных углов в правильных твердых телах, а также определение меры двугранных углов граней, соприкасающихся на ребре. [ф]

Издания

Итальянский иезуит Маттео Риччи (слева) и китайский математик Сюй Гуанци (справа) опубликовали первое китайское издание « Начал» Евклида ( Jīhé yuánběn幾何原本) в 1607 году.
Доказательство теоремы Пифагора в книге Бирна « Начала Евклида» , опубликованной в цветной версии в 1847 году.

Переводы

Английский

  1. 1570, Генри Биллингсли
  2. 1651, Томас Радд
  3. 1660, Исаак Барроу
  4. 1661, Джон Лик и Гео. Серль
  5. 1685, Уильям Галифакс
  6. 1705, Чарльз Скарборо
  7. 1708, Джон Кейлл
  8. 1714, У. Уистон
  9. 1756, Роберт Симсон
  10. 1781, 1788 Джеймс Уильямсон
  11. 1781, Уильям Остин
  12. 1795, Джон Плейфэр
  13. 1826, Джордж Филлипс
  14. 1828, Дионисий Ларднер
  15. 1833, Томас Перронет Томпсон
  16. 1862, Исаак Тодхантер
  17. 1908, Томас Литтл Хит (переработанный в 1926 году) из издания Йохана Людвига Хейберга
  18. 1939, Р. Кейтсби Талиаферро

Другие языки

Книга I издания

Избранные издания, которые в настоящее время находятся в печати

Избранные издания на основе издания Оливера Бирна.

Бесплатные версии

Смотрите также

Рекомендации

Примечания

  1. ^ Уилсон 2006, с. 278 говорится: «Начала Евклида впоследствии стали основой всего математического образования не только в римский и византийский периоды, но вплоть до середины 20-го века, и можно утверждать, что это самый успешный учебник, когда-либо написанный».
  2. ^ Бойер 1991, с. 100 примечаний: «В качестве учителей в школе он призвал группу ведущих ученых, среди которых был автор самого невероятно успешного учебника математики, когда-либо написанного - «Начала» ( Стоихии ) Евклида».
  3. ^ Бойер 1991, с. 119 отмечает: « Начала Евклида были не только самой ранней крупной греческой математической работой, дошедшей до нас, но и самым влиятельным учебником всех времен. [...] Первые печатные версии «Элементов» появились в Венеции в 1482 году . ", одна из самых ранних математических книг, напечатанных; по оценкам, с тех пор было опубликовано не менее тысячи изданий. Возможно, ни одна книга, кроме Библии, не может похвастаться таким количеством изданий, и, конечно, ни одна математическая работа не имеет имел влияние, сравнимое с влиянием «Начал» Евклида » .
  4. ^ Бунт, Джонс и Бедьен 1988, стр. 142 говорится: « Начала стали известны в Западной Европе через арабов и мавров. Там « Начала» стали основой математического образования. Известно более 1000 изданий «Начал» . По всей вероятности, это рядом с Библией . , самая распространенная книга в цивилизации западного мира».
  5. ↑ В одной из более старых работ утверждается, что Аделард замаскировался под студента-мусульманина, чтобы получить копию в мусульманской Кордове. [10] Однако более поздние биографические исследования не выявили четких документов о том, что Аделард когда-либо ездил в управляемую мусульманами Испанию , хотя он провел время в Сицилии, управляемой норманнами, и Антиохии, управляемой крестоносцами, в обеих из которых проживало арабоязычное население. Чарльз Бернетт, Аделард Батский: беседы с племянником (Кембридж, 1999); Чарльз Бернетт, Аделард Батский (Лондонский университет, 1987).
  6. ↑ Boyer 1991, стр. 118–119 пишет: «В древние времена нередко приписывали знаменитому автору произведения, написанные не им; таким образом, некоторые версии « Элементов » Евклида включают четырнадцатую и даже пятнадцатую книги, обе показаны Так называемая Книга XIV продолжает сравнение Евклида правильных тел, вписанных в сферу, причем основные результаты заключаются в том, что соотношение поверхностей додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, такое же, как и у позднейших ученых. соотношение их объемов, причем соотношение равно ребру куба к ребру икосаэдра, т. е. Считается, что эта книга могла быть составлена ​​Гипсиклом на основе трактата (ныне утерянного) Аполлония. сравнение додекаэдра и икосаэдра. [...] Ложная Книга XV, которая является худшей, считается (по крайней мере частично) работой Исидора Милетского (ок. 532 г. н. э.), архитектора собора. Святой Премудрости (Собор Святой Софии) в Константинополе. В этой книге также рассматриваются правильные многогранные тела, подсчет количества ребер и телесных углов в твердых телах, а также нахождение размеров двугранных углов граней, сходящихся на ребре.

Цитаты

  1. ^ Бойер 1991, с. 100.
  2. ^ abc Рассел 2013, стр. 177.
  3. ^ Ван дер Варден 1975, с. 197.
  4. ^ ab Болл 1915, с. 54.
  5. ^ Болл 1915, с. 38.
  6. ^ Унгуру, С. (1985). В поисках структуры элементов: Евклид, Гильберт и Мюллер. История математики 12, 176
  7. ^ Жмудь, Л. (1998). Платон как «архитектор науки». Фонезис 43, 211
  8. ^ Самая ранняя сохранившаяся рукопись, наиболее близкая к оригинальному тексту Евклида (около 850 г.); изображение, заархивированное 20 декабря 2009 г. на Wayback Machine , одна страница.
  9. ^ Рейнольдс и Уилсон 1991, с. 57.
  10. ^ Болл 1915, с. 165.
  11. ^ Мердок, Джон Э. (1967). «Греко-латинский Евклид: до сих пор неизвестный средневековый латинский перевод элементов, сделанный непосредственно с греческого». Гарвардские исследования по классической филологии . 71 : 249–302. дои : 10.2307/310767. JSTOR  310767.
  12. ^ Норр, Уилбур Р. (1990). «Джон Тайнмутский, он же Джон Лондонский: новый портрет уникального средневекового математика». Британский журнал истории науки . 23 (3): 293–330. дои : 10.1017/S0007087400044009. ISSN  0007-0874. JSTOR  4026757. S2CID  144172844.
  13. ^ Басард 2005.
  14. ^ Менсо, Фолкертс (1989). Евклид в средневековой Европе (PDF) . Каталог Бенджамина.
  15. ^ Кампанус, Pal.lat.1348. «ДигиВатЛиб». digi.vatlib.it . Проверено 20 ноября 2023 г.{{cite web}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
  16. ^ Басард 2005, с. 1.
  17. ^ «Математические сокровища - греческое издание «Элементов Евклида» | Математическая ассоциация Америки» . maa.org .
  18. ^ Томас, Хит (1956). Тринадцать книг «Начал» Евклида. Том. 1: Введение и книги I, II (Вторая переработка с дополнениями изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60088-8.
  19. ^ Эндрю., Липтак (2 сентября 2017 г.). «Один из самых влиятельных в мире учебников по математике получит красивое минималистское издание». Грань .
  20. ^ Грабинер., Джудит. «Как Евклид когда-то правил миром». Плюс журнал .
  21. ^ Кетчем 1901.
  22. ^ Евклид как отец-основатель
  23. ^ Хершбах, Дадли . «Эйнштейн как студент» (PDF) . Кафедра химии и химической биологии Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс. п. 3. Архивировано из оригинала (PDF) 26 февраля 2009 г.: о Максе Талмуде, который посещали по четвергам в течение шести лет.
  24. ^ Приндл, Джозеф. «Альберт Эйнштейн – Молодой Эйнштейн». www.alberteinsteinsite.com . Архивировано из оригинала 10 июня 2017 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
  25. ↑ Джойс, DE (июнь 1997 г.), «Книга X, Предложение XXIX», Элементы Евклида , Университет Кларка
  26. ^ аб Хартшорн 2000, стр. 18.
  27. ^ Хартсхорн 2000, стр. 18–20.
  28. ^ ab Болл 1915, с. 55.
  29. ^ Болл 1915, стр. 54, 58, 127 .
  30. ^ Хит 1963, с. 216.
  31. ^ Туссен 1993, стр. 12–23.
  32. ^ Хит 1956a, с. 62.
  33. ^ Хит 1956a, с. 242.
  34. ^ Хит 1956a, с. 249.
  35. ^ Бойер 1991, стр. 118–119.
  36. ^ Александерсон и Гринвальт 2012, с. 163
  37. ^ «Editio Princeps «Элементов Евклида», самого известного когда-либо изданного учебника: История информации» . www.historyofinformation.com . Проверено 28 июля 2023 г.
  38. ^ «Первое печатное издание греческого текста Евклида также является первым изданием, включающим диаграммы в текст: История информации» . Historyofinformation.com . Проверено 28 июля 2023 г.
  39. ^ Насир ад-Дин ат-Туси 1594.
  40. ^ Сарма 1997, стр. 460–461.
  41. ^ "Хранилище оцифрованных книг JNUL" . huji.ac.il . 22 июня 2009 года. Архивировано из оригинала 22 июня 2009 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
  42. ^ Сервит 1907.
  43. ^ Евклид 1999.
  44. ^ Сертёз 2019.
  45. ^ аб Каллахан и Кейси, 2015.

Источники

Внешние ссылки

В Wikiquote есть цитаты, связанные с «Началами» Евклида .
В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:
Элементы Евклида
Викискладе есть медиафайлы по теме «Элементы Евклида» .