Предварительная укладка

Категория алгебраической геометрии, удовлетворяющая условиям подъема

В алгебраической геометрии предстек F над категорией C, снабженный некоторой топологией Гротендика, является категорией вместе с функтором p : F → C, удовлетворяющим определенному условию подъема и таким, что (когда волокна являются группоидами) локально изоморфные объекты являются изоморфными. Стек — это предстек с эффективными спусками, то есть локальные объекты могут быть соединены вместе, чтобы стать глобальным объектом.

Престеки, которые появляются в природе, обычно являются стеками, но некоторые наивно сконструированные престеки (например, группоидная схема или престек проективизированных векторных расслоений ) могут не быть стеками. Престеки могут изучаться сами по себе или передаваться в стеки.

Поскольку стек является предварительным стеком, все результаты по предварительным стекам справедливы и для стеков. На протяжении всей статьи мы работаем с фиксированной базовой категорией C ; например, C может быть категорией всех схем над некоторой фиксированной схемой, оснащенной некоторой топологией Гротендика .

Неформальное определение

Пусть F — категория и предположим, что она расслоена над C посредством функтора ; это означает, что можно построить обратные образы вдоль морфизмов в C с точностью до канонических изоморфизмов. ${\displaystyle p:F\to C}$

Учитывая объект U в C и объекты x , y в , для каждого морфизма в C , после фиксации обратных образов , мы даем ^{[1] [2]} ${\displaystyle F(U)=p^{-1}(U)}$ ${\displaystyle f:V\to U}$ ${\displaystyle f^{*}x,f^{*}y}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]}$

быть множеством всех морфизмов из в ; здесь скобка означает, что мы канонически идентифицируем различные множества Hom, возникающие из-за различных выборов обратных протяжек. Для каждого над U , определим отображение ограничения из f в g : быть композицией ${\displaystyle f^{*}x}$ ${\displaystyle f^{*}y}$ ${\displaystyle g:W\to V}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}$

${\displaystyle [\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[\operatorname {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatorname {Hom} ((f\circ g)^{*}x,(f\circ g)^{*}y)]}$

где канонический изоморфизм используется для получения = справа. Тогда это предпучок в категории среза , категории всех морфизмов в C с целью U. ${\displaystyle g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ ${\displaystyle C_{/U}}$

По определению, F является предстековым множеством, если для каждой пары x , y является пучком множеств относительно индуцированной топологии Гротендика на . ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ ${\displaystyle C_{/U}}$

Это определение можно эквивалентно сформулировать следующим образом. ^[3] Во-первых, для каждого охватывающего семейства мы «определяем» категорию как категорию, где: письмо и т. д., ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$ ${\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}$ ${\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}}$

1. объект — это набор пар, состоящий из объектов и изоморфизмов , удовлетворяющих условию коцикла: ${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle F(V_{i})}$ ${\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}$ ${\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}$
2. морфизм состоит из в такой, что ${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}$ ${\displaystyle F(V_{i})}$ ${\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.}$

Объект этой категории называется данным спуска. Эта категория не является хорошо определенной ; проблема в том, что пулбэки определяются только с точностью до канонических изоморфизмов; аналогично волокнистые произведения определяются только с точностью до канонических изоморфизмов, несмотря на противоположную практику обозначений. На практике просто делаются некоторые канонические идентификации пулбэков, их композиций, волокнистых произведений и т. д.; с точностью до таких идентификаций указанная выше категория хорошо определена (другими словами, она определена с точностью до канонической эквивалентности категорий).

Существует очевидный функтор , который отправляет объект в определяемый им спусковой элемент. Тогда можно сказать: F является предстековым тогда и только тогда, когда для каждого покрывающего семейства функтор полностью точен. Такое утверждение не зависит от выбора канонических идентификаций, упомянутых ранее. ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$ ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$

Существенный образ состоит именно из эффективных данных спуска (только определение «эффективного»). Таким образом, F является стеком тогда и только тогда, когда для каждого покрывающего семейства является эквивалентностью категорий. ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$ ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$

Эти переформулировки определений prestacks и stacks делают интуитивно понятные значения этих концепций очень явными: (1) «волокнистая категория» означает, что можно построить пулбэк (2) «prestack в группоидах» дополнительно означает, что «локально изоморфный» подразумевает «изоморфный» (3) «стек в группоидах» означает, что в дополнение к предыдущим свойствам, глобальный объект может быть построен из локальных данных, подчиняющихся условиям коцикла. Все это работает вплоть до канонических изоморфизмов .

Морфизмы

Определения

При наличии предстеков над фиксированной базовой категорией C морфизм является функтором, таким что (1) и (2) он отображает декартовы морфизмы в декартовы морфизмы. Обратите внимание, что (2) выполняется автоматически, если G расслоен на группоиды; например, алгебраический стек (так как все морфизмы являются декартовыми тогда). ${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$ ${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle q\circ f=p}$

Если — стек, связанный со схемой S в базовой категории C , то волокно , по построению, является множеством всех морфизмов из U в S в C. Аналогично, если схема U в C рассматривается как стек (т.е. ) и категория F, расслоенная на группоиды над C , лемма 2-Йонеды гласит: существует естественная эквивалентность категорий ^[4] ${\displaystyle p:F_{S}\to C}$ ${\displaystyle p^{-1}(U)=F_{S}(U)}$ ${\displaystyle F_{U}}$

${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)}$

где относится к относительной категории функторов ; объекты — это функторы из U в F над C , а морфизмы — это естественные преобразования, сохраняющие базу. ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}}$

Волокнистый продукт

Пусть будут морфизмами престеков. Тогда, по определению, ^[6] волокнистое произведение — это категория, где ${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$ ${\displaystyle F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G}$

1. объект — это тройка, состоящая из объекта x в F , объекта y в G , оба над одним и тем же объектом в C , и изоморфизм в G над тождественным морфизмом в C , и ${\displaystyle (x,y,\psi )}$ ${\displaystyle \psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$
2. морфизм состоит из в F , в G , оба над одним и тем же морфизмом в C , таким что . ${\displaystyle (x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ ${\displaystyle g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )}$

Он поставляется с забывчивыми функторами p , q из F и G . ${\displaystyle F\times _{B}G}$

Это волокнистое произведение ведет себя как обычное волокнистое произведение, но с точностью до естественных изоморфизмов. Смысл этого в следующем. Во-первых, очевидный квадрат не коммутирует; вместо этого для каждого объекта в : ${\displaystyle (x,y,\psi )}$ ${\displaystyle F\times _{B}G}$

${\displaystyle \psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )}$.

То есть существует обратимое естественное преобразование (= естественный изоморфизм)

${\displaystyle \Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q}$.

Во-вторых, он удовлетворяет строгому универсальному свойству: если задан престек H , морфизмы , , естественный изоморфизм , то существует вместе с естественными изоморфизмами и такой, что . В общем случае послойное произведение F и G над B является престековым канонически изоморфным указанному выше. ${\displaystyle u:H\to F}$ ${\displaystyle v:H\to G}$ ${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$ ${\displaystyle w:H\to F\times _{B}G}$ ${\displaystyle u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w}$ ${\displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}$ ${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$ ${\displaystyle f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w}$ ${\displaystyle F\times _{B}G}$

Когда B является базовой категорией C (предварительный стек над собой), B опускается и просто пишется . Обратите внимание, в этом случае в объектах все тождества. ${\displaystyle F\times G}$ ${\displaystyle \psi }$

Пример : Для каждого предварительного стека существует диагональный морфизм, заданный формулой . ${\displaystyle p:X\to C}$ ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x,1_{p(x)})}$

Пример : Дано , . ^[7] ${\displaystyle F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2}$ ${\displaystyle (F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})}$

Пример : дан и диагональный морфизм , ${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$ ${\displaystyle \Delta :B\to B\times B}$

${\displaystyle F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B}$;

этот изоморфизм строится просто вручную.

Представимые морфизмы

Морфизм престеков называется сильно представимым , если для любого морфизма из схемы S в C, рассматриваемой как престек, послойное произведение престеков является схемой в C. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}S}$

В частности, определение применимо к структурной карте (базовая категория C является предварительным стеком над собой посредством тождества). Тогда p сильно представима тогда и только тогда, когда является схемой в C . ${\displaystyle p:X\to C}$ ${\displaystyle X\simeq X\times _{C}C}$

Определение применимо также к диагональному морфизму . Если сильно представимо, то всякий морфизм из схемы U сильно представим, поскольку сильно представимо для любого T → X . ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X}$

Если — сильно представимый морфизм, для любого , S — схема, рассматриваемая как престек, проекция — морфизм схем ; это позволяет перенести многие понятия свойств морфизмов схем в контекст стека. А именно, пусть P — свойство морфизмов в базовой категории C , которое устойчиво относительно изменений базы и локально в топологии C (например, этальная топология или гладкая топология ). Тогда говорят, что сильно представимый морфизм престеков обладает свойством P , если для любого морфизма , T — схема, рассматриваемая как престек, индуцированная проекция обладает свойством P . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}S\to S}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T\to T}$

Пример: предварительный стек, заданный действием алгебраической группы

Пусть G — алгебраическая группа, действующая справа на схеме X конечного типа над полем k . Тогда групповое действие G на X определяет престек (но не стек) над категорией C из k -схем следующим образом. Пусть F — категория, где

1. объект — это пара, состоящая из схемы U в C и x в наборе , ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}$
2. морфизм состоит из в C и элемента такого, что xg = y ' , где мы и написали . ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$ ${\displaystyle U\to V}$ ${\displaystyle g\in G(U)}$ ${\displaystyle y':U\to V{\overset {y}{\to }}X}$

Через забывчивый функтор к C эта категория F расслаивается на группоиды и известна как группоид действия или группоид преобразования. Она также может называться факторным престеком X по G и обозначаться как , поскольку, как оказывается, ее стекирование — это факторный стек . Конструкция является частным случаем формирования #Престека классов эквивалентности; в частности, F является престеком. ${\displaystyle [X/G]^{pre}}$ ${\displaystyle [X/G]}$

Когда X — точка , а G — аффинный, частное — это классифицирующий предстек G , а его стекификация — это классифицирующий стек G. ${\displaystyle *=\operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle [*/G]^{pre}=BG^{pre}}$

Если рассматривать X как предварительный стек (фактически стек), то есть очевидное каноническое отображение

${\displaystyle \pi :X\to F}$

над C ; явно, каждый объект в престеке X переходит в себя, и каждый морфизм , удовлетворяющий условию x equals по определению, переходит в элемент группы тождественности G ( U ). ${\displaystyle (U,x:U\to X)}$ ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$ ${\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}$

Тогда указанное выше каноническое отображение вписывается в 2- коуравнитель (2-частное):

${\displaystyle X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F}$,

где t : ( x , g ) → xg — заданное групповое действие, а s — проекция. Это не 1-соуравнитель, поскольку вместо равенства дано ${\displaystyle \pi \circ s=\pi \circ t}$ ${\displaystyle \pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t}$

${\displaystyle g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).}$

Предварительный стек классов эквивалентности

Пусть X будет схемой в базовой категории C. По определению, предотношение эквивалентности — это морфизм в C , такой что для каждой схемы T в C функция имеет образ, который является отношением эквивалентности . Префикс «пред-» используется потому, что нам не требуется , чтобы функция была инъективной . ${\displaystyle R\to X\times X}$ ${\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$ ${\displaystyle f(T)}$

Пример : Пусть алгебраическая группа G действует на схеме X конечного типа над полем k . Возьмем и тогда для любой схемы T над k пусть ${\displaystyle R=X\times _{k}G}$

${\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).}$

По лемме Йонеды это определяет морфизм f , который, очевидно, является предотношением эквивалентности.

Каждому данному предварительному отношению эквивалентности (+ некоторые дополнительные данные) соответствует предварительный стек F, определяемый следующим образом. ^[8] Во-первых, F — это категория, где: с обозначениями , ${\displaystyle f:R\to X\times X}$ ${\displaystyle s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f}$

1. объект — это пара, состоящая из схемы T и морфизма x : T → X в C ${\displaystyle (T,x)}$
2. морфизм состоит из и таких, что и ${\displaystyle (T,x)\to (S,y)}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \delta :T\to R}$ ${\displaystyle s\circ \delta =x}$ ${\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X}$
3. композиция с последующим состоит из и получается следующим образом: поскольку , по универсальному свойству существует индуцированное отображение ${\displaystyle (,\delta ):(T,x)\to (S,y)}$ ${\displaystyle (,\delta '):(S,y)\to (U,z)}$ ${\displaystyle T\to S\to U}$ ${\displaystyle \delta '':T\to R}$ ${\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}}$

   ${\displaystyle (\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R}$.

   Тогда пусть последует умножение ${\displaystyle \delta ''}$ ${\displaystyle T\to R\times _{t,s}R}$
4. тождественный морфизм для объекта состоит из тождественного отображения T → T и δ , за которым следует ; последний получается путем факторизации диагонального морфизма через f , возможной благодаря рефлексивности. ${\displaystyle (T,x)}$ ${\displaystyle x:T\to X}$ ${\displaystyle e:X\to R}$

С помощью забывчивого функтора категория F расслаивается на группоиды. Наконец, мы проверяем, является ли F предстеком; ^[9] для этого обратите внимание: для объектов x , y в F ( U ) и объекта в , ${\displaystyle f:V\to U}$ ${\displaystyle C_{/U}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^{*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}}$

Теперь это означает, что является волокнистым произведением и . Поскольку волокнистое произведение пучков является пучком, то отсюда следует, что является пучком. ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ ${\displaystyle (s,t):R\to X\times X}$ ${\displaystyle (x,y):U\to X\times X}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$

Предварительный стек F выше может быть записан как , а его стекификация записывается как . ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ ${\displaystyle [X/\sim _{R}]}$

Обратите внимание, когда X рассматривается как стек, оба X и имеют один и тот же набор объектов. На уровне морфизмов, в то время как X имеет только тождественные морфизмы в качестве морфизмов, престек имеет дополнительные морфизмы, заданные предотношением эквивалентности f . ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ ${\displaystyle \delta }$

Важность этой конструкции заключается в том, что она предоставляет атлас для алгебраического пространства: каждое алгебраическое пространство имеет вид для некоторых схем U , R и предотношения этальной эквивалентности, такого что для каждого T есть инъективная функция («этальная» означает, что два возможных отображения являются этальными.) ${\displaystyle [U/\sim _{R}]}$ ${\displaystyle f:R\to U\times U}$ ${\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}$ ${\displaystyle s,t:R\to U\times U\to U}$

Начиная со стека Делиня–Мамфорда , можно найти предотношение эквивалентности для некоторых схем R , U так, что это стекификация предстека, связанного с ним: . ^[10] Это делается следующим образом. По определению, существует этальный сюръективный морфизм из некоторой схемы U . Поскольку диагональ сильно представима, произведение слоев является схемой (то есть представлено схемой), и тогда пусть ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle f:R\to U\times U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\simeq [U/\sim _{R}]}$ ${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle U\times _{\mathfrak {X}}U=R}$

${\displaystyle s,t:R\rightrightarrows U}$

— первая и вторая проекции. Взяв , мы видим — это предотношение эквивалентности. Закончим, грубо говоря, следующим образом. ${\displaystyle f=(s,t):R\to U\times U}$ ${\displaystyle f}$

1. Расширить до (на уровне объектов ничего не меняется; нам нужно только объяснить, как отправлять .) ${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \pi :[U/\sim _{R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \delta }$
2. По универсальному свойству стекификации, разлагается на множители . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle [U/\sim _{R}]\to {\mathfrak {X}}}$
3. Проверьте, является ли последнее отображение изоморфизмом.

Стеки, связанные с предварительными стеками

Существует способ связать стек с заданным предстековым массивом. Это похоже на свипирование предсвеченного массива и называется свипированием . Идея построения довольно проста: учитывая предстековый массив , мы даем HF категорию, где объект является данным спуска, а морфизм — данными спуска. (Подробности пока опущены) ${\displaystyle p:F\to C}$

Как оказалось, это стек, обладающий естественным морфизмом, таким что F является стеком тогда и только тогда, когда θ является изоморфизмом. ${\displaystyle \theta :F\to HF}$

В некоторых особых случаях стекификация может быть описана в терминах торсоров для аффинных групповых схем или обобщений. Фактически, согласно этой точке зрения, стек в группоидах есть не что иное, как категория торсоров, а престек — категория тривиальных торсоров, которые являются локальными моделями торсоров.

Примечания

1. Вистоли 2005, § 3.7.
2. Беренд и др. 2006, гл. 4., § 1.
3. Вистоли 2005, Определение 4.6.
4. Вистоли 2005, § 3.6.2.
5. Вистоли 2005, Определение 3.33.
6. Беренд и др. 2006, Определение 2.25.
7. Беренд и др. 2006, Пример 2.29.
8. Беренд и др. 2006, Определение 3.13.
9. Аргумент здесь — Лемма 25.6 из лекционных заметок М. Олссона о стеках.
10. Беренд и др. 2006, Предложение 5.20. и Беренд и др. 2006, Теорема 4.35.. Примечание редакции: в ссылке используется язык группоидных схем, но используемая ими группоидная схема совпадает с предотношением эквивалентности, используемым здесь; сравните Предложение 3.6. и проверки ниже.

Ссылки

• Беренд, Кай; Конрад, Брайан; Эдидин, Дэн; Фултон, Уильям; Фантехи, Барбара; Гёттше, Лотар; Креш, Эндрю (2006), Алгебраические стеки, заархивировано из оригинала 2008-05-05 , извлечено 2017-06-13
• Vistoli, Angelo (2005), "Топологии Гротендика, расслоенные категории и теория спуска", Фундаментальная алгебраическая геометрия , Матем. обзоры моногр., т. 123, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode : 2004math.....12512V, MR  2223406

Внешние ссылки

• Дай Тамаки (7 августа 2019 г.). «Предварительно сложенные и волокнистые категории».