1

Число

Натуральное число

1 ( один , единица , единство ) — число , цифра и глиф . 1 — первое и наименьшее положительное целое число бесконечной последовательности натуральных чисел . Это фундаментальное свойство привело к его уникальному использованию в других областях, от науки до спорта, где оно обычно обозначает первую, ведущую или верхнюю вещь в группе. 1 — единица счета или измерения , определитель для существительных в единственном числе и нейтральное по половому признаку местоимение. Исторически представление 1 эволюционировало от древних шумерских и вавилонских символов до современной арабской цифры.

В математике 1 — это мультипликативная единица, то есть любое число, умноженное на 1, даёт то же самое число. 1 по соглашению не считается простым числом . В цифровых технологиях 1 представляет собой состояние «включено» в двоичном коде , основу вычислений . С философской точки зрения 1 символизирует высшую реальность или источник существования в различных традициях.

В математике

Число 1 является первым натуральным числом после 0. Каждое натуральное число , включая 1, образуется путем последовательности , то есть путем прибавления 1 к предыдущему натуральному числу. Число 1 является мультипликативным тождеством целых чисел , действительных чисел и комплексных чисел , то есть любое число, умноженное на 1, остается неизменным ( ). В результате квадрат ( ), квадратный корень ( ) и любая другая степень 1 всегда равна 1. ^[1] 1 является своим собственным факториалом ( ), а 0! также равен 1. Это особый случай пустого произведения . ^[2] Хотя 1 соответствует наивному определению простого числа , будучи делящимся без остатка только на 1 и себя (также на 1), по современным соглашениям оно не рассматривается ни как простое, ни как составное число . ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\times n=n\times 1=n}$ ${\displaystyle 1^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$ ${\displaystyle 1!=1}$

Различные математические конструкции натуральных чисел представляют 1 различными способами. В оригинальной формулировке Джузеппе Пеано аксиом Пеано , набора постулатов для определения натуральных чисел точным и логичным образом, 1 рассматривалась как начальная точка последовательности натуральных чисел. ^{[4] [5]} Позднее Пеано пересмотрел свои аксиомы, чтобы начать последовательность с 0. ^{[4] [6]} В кардинальном назначении натуральных чисел фон Неймана , где каждое число определяется как множество , содержащее все числа перед ним, 1 представляется как синглтон , множество, содержащее только элемент 0. ^[7] Унарная система счисления , используемая при подсчете , является примером системы счисления с «основанием 1», поскольку требуется только одна отметка – сам подсчет. Хотя это самый простой способ представления натуральных чисел, основание 1 редко используется в качестве практической основы для подсчета из-за его сложной читаемости. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \{0\}}$

Во многих математических и инженерных задачах числовые значения обычно нормализуются так, чтобы они попадали в единичный интервал ([0,1]), где 1 представляет максимально возможное значение. Например, по определению 1 — это вероятность события , которое абсолютно или почти наверняка произойдет. ^[10] Аналогично векторы часто нормализуются в единичные векторы (т. е. векторы величиной один), поскольку они часто обладают более желательными свойствами. Функции часто нормализуются условием, что они имеют целую единицу, максимальное значение один или квадратную целую единицу, в зависимости от приложения. ^[11]

1 — это значение константы Лежандра , введенной в 1808 году Адриеном-Мари Лежандром для выражения асимптотического поведения функции подсчета простых чисел . ^[12] Гипотеза Вейля о числах Тамагавы утверждает, что число Тамагавы , геометрическая мера связной линейной алгебраической группы над глобальным числовым полем , равно 1 для всех односвязных групп (тех, которые линейно связаны без « дыр »). ^{[13] [14]} ${\displaystyle \tau (G)}$

1 — самая распространенная ведущая цифра во многих наборах реальных числовых данных. Это следствие закона Бенфорда , который гласит, что вероятность определенной ведущей цифры равна . Тенденция реальных чисел к экспоненциальному или логарифмическому росту смещает распределение в сторону меньших ведущих цифр, причем 1 встречается примерно в 30% случаев. ^[15] ${\displaystyle d}$ ${\textstyle \log _{10}\left({\frac {d+1}{d}}\right)}$

Как слово

Этимология

One происходит от древнеанглийского слова an , которое произошло от германского корня *ainaz , от протоиндоевропейского корня *oi-no- (что означает «один, уникальный»). ^[16]

Современное использование

С лингвистической точки зрения one — это количественное числительное, используемое для подсчета и выражения количества предметов в совокупности вещей. ^[17] One — это чаще всего детерминант, используемый с исчисляемыми существительными в единственном числе , например, one day at a time . ^[18] Детерминант имеет два значения: числовое ( I have one apple ) и единственное ( one day I'll do it ). ^[19]

One также является гендерно-нейтральным местоимением, которое используется для обозначения неопределенного человека или людей в целом, например: one should take care of oneself . ^[20]

Слова, которые получают свое значение от one , включают alone , что означает all one в смысле быть самим собой, none означает не один , once обозначает один раз , и atone означает стать единым с кем-то. Сочетание alone с only (подразумевая one-like ) приводит к lonely , что передает чувство уединения. ^[21] Другие распространенные числительные префиксы для числа 1 включают uni- (например, unicycle , universe , unicorn ), sol- (например, solo dance ), происходящее от латинского, или mono- (например, monorail , monogamy , monopoly ), происходящее от греческого. ^{[22] [23]}

Символы и изображения

История

Среди самых ранних известных записей о системе счисления — шумерская десятичная- шестидесятеричная система на глиняных табличках, датируемых первой половиной третьего тысячелетия до н. э. ^[24] Архаичные шумерские цифры 1 и 60 состояли из горизонтальных полукруглых символов. ^[25] Примерно к 2350  г. до н. э . старые шумерские криволинейные цифры были заменены клинописными символами, причем 1 и 60 были представлены одним и тем же символом.. Шумерская клинопись является прямым предком эблаитской и ассиро -вавилонской семитской клинописной десятичной систем. ^[26] Сохранившиеся вавилонские документы датируются в основном эпохой Древнего Вавилона ( ок.  1500 г. до н. э. ) и эпохи Селевкидов ( ок.  300 г. до н. э. ). ^[24] Вавилонская клинопись для записи чисел использовала тот же символ для 1 и 60, что и в шумерской системе. ^[27]

Наиболее часто используемый глиф в современном западном мире для представления числа 1 — это арабская цифра , вертикальная линия, часто с засечкой наверху и иногда с короткой горизонтальной линией внизу. Его можно проследить до брахмического письма древней Индии, представленного Ашокой в ​​виде простой вертикальной линии в его Указах Ашоки примерно в 250 г. до н. э. ^[28] Цифровые формы этого письма были переданы в Европу через Магриб и Аль-Андалус в Средние века ^[29] Арабская цифра и другие глифы, используемые для представления числа один (например, римская цифра ( I ), китайская цифра (一)) являются логограммами . Эти символы напрямую представляют концепцию «один», не разбивая ее на фонетические компоненты. ^[30]

Современные шрифты

В современных шрифтах форма символа для цифры 1 обычно набирается как линейная цифра с выносным элементом , так что цифра имеет ту же высоту и ширину, что и заглавная буква . Однако в шрифтах с текстовыми цифрами (также известными как цифры старого стиля или нелинейные цифры ), глиф обычно имеет высоту x и разработан так, чтобы следовать ритму строчных букв, как, например, в. ^[31] В шрифтах старого стиля (например, Hoefler Text ) шрифт для цифры 1 напоминает версию I с малыми заглавными буквами , с параллельными засечками вверху и внизу, в то время как заглавная I сохраняет форму полной высоты. Это пережиток римской системы цифр , где I представляет 1. ^[32] Многие старые пишущие машинки не имеют специальной клавиши для цифры 1, требуя использования строчной буквы l или заглавной I в качестве замены. ^{[33] [34] [35] [36]}

24-часовые башенные часы в Венеции , использующие J в качестве символа 1

Строчная буква « j » может считаться вариантом с перекосом строчной римской цифры « i », часто используемой для конечной i «строчной» римской цифры. Также можно найти исторические примеры использования j или J в качестве замены арабской цифры 1. ^{[37] [38] [39] [40]} В немецком языке засечка наверху может быть расширена до длинного восходящего штриха такой же длины, как и вертикальная линия. Это изменение может привести к путанице с глифом, используемым для обозначения цифры семь в других странах, и поэтому для визуального различия между ними цифра 7 может быть написана горизонтальной чертой через вертикальную линию. ^[41]

В других областях

В цифровой технологии данные представлены двоичным кодом , т. е. системой счисления с основанием -2, в которой числа представлены последовательностью единиц и нулей . Оцифрованные данные представлены в физических устройствах, таких как компьютеры , как импульсы электричества через коммутационные устройства, такие как транзисторы или логические вентили , где «1» представляет значение для «включено». Таким образом, числовое значение true равно 1 во многих языках программирования . ^{[42] [43]} В лямбда-исчислении и теории вычислимости натуральные числа представлены кодировкой Чёрча как функции, где число Чёрча для 1 представлено функцией, примененной к аргументу один раз (1 ). ^[44] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle fx=fx}$

В физике выбранные физические константы устанавливаются равными 1 в естественных системах единиц для упрощения формы уравнений; например, в единицах Планка скорость света равна 1. ^[45] Безразмерные величины также известны как «величины размерности один». ^[46] В квантовой механике условие нормализации волновых функций требует, чтобы интеграл квадрата модуля волновой функции был равен 1. ^[47] В химии водород , первый элемент периодической таблицы и самый распространенный элемент в известной Вселенной , имеет атомный номер 1. Группа 1 периодической таблицы состоит из водорода и щелочных металлов . ^[48]

В философии число 1 обычно рассматривается как символ единства, часто представляющий Бога или вселенную в монотеистических традициях. ^[49] Пифагорейцы считали числа множественными и поэтому не классифицировали само число 1 как число, а как источник всех чисел. В их числовой философии, где нечетные числа считались мужскими, а четные — женскими, число 1 считалось нейтральным, способным преобразовывать четные числа в нечетные и наоборот путем сложения. [ ^49] Числовой трактат неопифагорейского философа Никомаха из Герасы , восстановленный Боэцием в латинском переводе «Введение в арифметику» , утверждал, что единица — это не число, а источник числа. ^[50] В философии Плотина (и других неоплатоников ) «Единое» является высшей реальностью и источником всего сущего. ^[51] Филон Александрийский (20 г. до н. э. — 50 г. н. э.) считал число один числом Бога и основой для всех чисел. ^[52]

Смотрите также

• −1
• 0,999...

Ссылки

1. Колман 1912, стр. 9–10, гл.2.
2. Грэм, Кнут и Паташник 1994, стр. 111.
3. Колдуэлл и Сюн 2012, стр. 8–9.
4. Kennedy 1974, стр. 389.
5. Пеано 1889, стр. 1.
6. Пеано 1908, стр. 27.
7. Халмош 1974, стр. 32.
8. Ходжес 2009, стр. 14.
9. Хекст 1990.
10. Грэм, Кнут и Паташник 1994, стр. 381.
11. Блохинцев 2012, стр. 35.
12. Пинц 1980, стр. 733–735.
13. Гейтсгори и Лурье 2019, стр. 204–307.
14. Коттвиц 1988.
15. Миллер 2015, стр. 3–4.
16. "Онлайн-этимологический словарь". etymonline.com . Дуглас Харпер. Архивировано из оригинала 2013-12-30 . Получено 2013-12-30 .
17. Херфорд 1994, стр. 23–24.
18. Хаддлстон, Пуллум и Рейнольдс, 2022, стр. 117.
19. Хаддлстон и Пуллум 2002, стр. 386.
20. Хаддлстон и Пуллум 2002, стр. 426-427.
21. Конвей и Гай 1996, стр. 3–4.
22. Хрисомалис, Стивен. «Числовые прилагательные, греческие и латинские числовые префиксы». Фронтистерий . Архивировано из оригинала 29-01-2022 . Получено 24-02-2022 .
23. Конвей и Гай 1996, стр. 4.
24. Conway & Guy 1996, стр. 17.
25. Хрисомалис 2010, стр. 241.
26. Хрисомалис 2010, стр. 244.
27. Хрисомалис 2010, стр. 249.
28. Ачарья, Эка Ратна (2018). «Доказательства иерархии системы счисления Брахми». Журнал Института инженерии . 14 : 136–142. doi : 10.3126/jie.v14i1.20077 .
29. Шубринг 2008, стр. 147.
30. Кристалл 2008, стр. 289.
31. Каллен 2007, стр. 93.
32. "Шрифты Hoefler&Co". www.typography.com . Получено 21.11.2023 .
33. «Почему на старых пишущих машинках нет клавиши «1»». Post Haste Telegraph Company . 2 апреля 2017 г.
34. Полт 2015, стр. 203.
35. Чикаго, 1993, стр. 52.
36. Гвастелло 2023, стр. 453.
37. Кёлер, Кристиан (23 ноября 1693 г.). «Der allzeitfertige Rechenmeister». п. 70 – через Google Книги.
38. "Naeuw-keurig reys-book: bysonderlijk dienstig voor kooplieden, en reysende personen, sijnde een trysoor voor den koophandel, in вздох begrijpende alle maate, en gewighte, Boekhouden, Wissel, Asseurantie...: vorders hoe men... kan Рейсен ... Нидерландт, Дуйчландт, Вранкрик, Спанжен, Португалия и Италия ...» Яна тен Хорна. 23 ноября 1679 г. с. 341 – через Google Книги.
39. "Articvli Defensionales Peremptoriales & Elisivi, Bvrgermaister vnd Raths zu Nürmberg, Contra Brandenburg, In causa die Fraiszlich Obrigkait [et]c: Produ. 7. Feb. Anno [et]c. 33" . Хойслер. 23 ноября 1586 г. с. 3 – через Google Книги.
40. Август (Герцог), Брауншвейг-Люнебург (23 ноября 1624 г.). «Густави Селени Cryptomenytices Et Cryptographiae Libri IX.: In quibus & planißima Steganographiae a Johnne Trithemio ... Magice & aenigmatice olim consscriptae, Enodatio traditur; Inspersis ubique Authoris ac Aliorum, non contemnendis inventis». Иоганн и Генрих Штерн. п. 285 – через Google Книги.
41. Хубер и Хедрик 1999, стр. 181.
42. Вудфорд 2006, стр. 9.
43. Годболе 2002, стр. 34.
44. Хиндли и Селдин 2008, стр. 48.
45. Глик, Дарби и Мармодоро 2020, стр. 99.
46. Миллс 1995, стр. 538–539.
47. МакВини 1972, стр. 14.
48. Эмсли 2001.
49. Стюарт 2024.
50. British Society for the History of Science (1 июля 1977 г.). «От абака к алгоритмизму: теория и практика средневековой арифметики». The British Journal for the History of Science . 10 (2). Cambridge University Press: Abstract. doi :10.1017/S0007087400015375. S2CID  145065082. Архивировано из оригинала 16 мая 2021 г. Получено 16 мая 2021 г.
51. Халфвассен 2014, стр. 182–183.
52. "De Allegoriis Legum", ii.12 [i.66]

Источники

• Блохинцев, Д.И. (2012). Квантовая механика. Springer Science & Business Media. ISBN 9401097119.
• Колдуэлл, Крис К.; Сюн, Йенг (2012). «Какое наименьшее простое число?». Журнал целочисленных последовательностей . 15 (9, статья 12.9.7). Ватерлоо, Калифорния: Школа компьютерных наук им. Дэвида Р. Черитона при Университете Ватерлоо : 1–14. MR  3005530. Zbl  1285.11001.
• Чикаго, университет (1993). Чикагское руководство по стилю (14-е изд.). Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-10389-7.
• Chrisomalis, Stephen (2010). Числовая нотация: сравнительная история . Нью-Йорк: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511676062. ISBN 978-0-521-87818-0.
• Колман, Сэмюэл (1912). Коэн, К. Артур (ред.). Гармоническое единство природы: Трактат о его связи с пропорциональной формой. Нью-Йорк и Лондон: Сыновья Г. П. Патнэма.
• Crystal, D. (2008). Словарь лингвистики и фонетики (6-е изд.). Malden, MA: Wiley-Blackwell. ISBN 978-0631226642.
• Конвей, Джон Х.; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел. Нью-Йорк: Copernicus Publications. doi :10.1007/978-1-4612-4072-3. ISBN 0614971667.
• Каллен, Кристин (2007). Layout Workbook: A Real-World Guide to Building Pages in Graphic Design. Глостер, Массачусетс: Rockport Publishers. С. 1–240. ISBN 978-1-592-533-527.
• Эмсли, Джон (2001). Nature's Building Blocks: An AZ Guide to the Elements (иллюстрированное, переизданное издание). Оксфорд, Великобритания: Oxford University Press. ISBN 0198503415.
• Gaitsgory, Dennis ; Lurie, Jacob (2019). Гипотеза Вейля для функциональных полей (том I). Annals of Mathematics Studies. Том 199. Princeton: Princeton University Press . стр. viii, 1–311. doi :10.2307/j.ctv4v32qc. ISBN 978-0-691-18213-1. MR  3887650. Zbl  1439.14006.
• Глик, Дэвид; Дарби, Джордж; Мармодоро, Анна (2020). Основа реальности: фундаментальность, пространство и время . Oxford University Press. ISBN 978-0198831501.
• Гуастелло, Стивен Дж. (2023). Инженерия человеческого фактора и эргономика: системный подход (3-е изд.). CRC press. ISBN 978-1000822045.
• Godbole, Achyut S. (2002). Data Comms & Networks. Tata McGraw-Hill Education. ISBN 978-1-259-08223-8.
• Грэм, Рональд Л.; Кнут , Дональд Э .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-14236-8.
• Halfwassen, Jens (2014). «Метафизика Единого». В Remes, Pauliina; Slaveva-Griffin, Svetla (ред.). The Routledge Handbook of Neoplatonism . Routledge Handbooks in Philosophy. Abingdon, Oxfordshire and New York : Routledge . ISBN 9781138573963.
• Halmos, Paul R. (1974). Наивная теория множеств. Бакалаврские тексты по математике . Springer . стр. vii, 1–104. doi :10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 0-387-90092-6. МР  0453532.
• Хекст, Ян (1990). Структуры программирования: машины и программы . Том 1. Prentice Hall. стр. 33. ISBN 9780724809400..
• Hindley, J. Roger ; Seldin, Jonathan P. (2008). Лямбда-исчисление и комбинаторы: Введение (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . стр. xi, 1–358. ISBN 978-1-139-473-248. МР  2435558.
• Ходжес, Эндрю (2009). От одного до девяти: Внутренняя жизнь чисел. Нью-Йорк, Нью-Йорк: WW Norton & Company . С. 1–330. ISBN 9780385672665. S2CID  118490841.
• Хубер, Рой А.; Хедрик, А.М. (1999). Распознавание почерка: факты и основы . CRC Press. ISBN 1420048775.
• Хаддлстон, Родни Д .; Пуллум, Джеффри К.; Рейнольдс, Бретт (2022). Введение в английскую грамматику для студентов (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press . С. 1–418. ISBN 978-1-316-51464-1. OCLC  1255524478.
• Хаддлстон, Родни Д.; Пуллум, Джеффри К. (2002). Кембриджская грамматика английского языка . Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43146-0.
• Херфорд, Джеймс Р. (1994). Грамматика: Руководство для студентов. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . С. 1–288. ISBN 978-0-521-45627-2. OCLC  29702087.
• Кеннеди, Хьюберт С. (1974). «Концепция числа Пеано». Historia Mathematica . 1 (4): 387–408. doi :10.1016/0315-0860(74)90031-7.
• Коттвиц, Роберт Э. (1988). «Числа Тамагавы». Annals of Mathematics . 2. 127 (3). Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет и Институт перспективных исследований : 629–646. doi :10.2307/2007007. JSTOR  2007007. MR  0942522.
• МакВини, Рой (1972). Квантовая механика: принципы и формализм . Dover Books on Physics (переиздание). Courier Corporation, 2012. ISBN 0486143805.
• Миллер, Стивен Дж. , ред. (2015). Закон Бенфорда: теория и приложения. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press . стр. xxvi, 1–438. ISBN 978-0-691-14761-1. МР  3408774.
• Миллс, ИМ (1995). «Единство как единица». Metrologia . 31 : 537–541. doi :10.1088/0026-1394/31/6/013.
• Пеано, Джузеппе (1889). Arithmetices principia, nova methodo exposita [ Принципы арифметики, изложенные новым методом ]. Отрывок из трактата, в котором Пеано впервые представил свои аксиомы и рекурсивно определил арифметические операции. Турин: Fratres Bocca. стр. xvi, 1–20. JFM  21.0051.02.
• Пеано, Джузеппе (1908). Formulario Mathematico [ Математический формуляр ] (Вед.). Турин: Братья Бокка. стр. xxxvi, 1–463. ЯФМ  39.0084.01.
• Pintz, Janos (1980). «О формуле простых чисел Лежандра». The American Mathematical Monthly . 87 (9): 733–735. doi :10.2307/2321863. ISSN  0002-9890. JSTOR  2321863.
• Полт, Ричард (2015). Революция пишущих машинок: Спутник машинистки в 21 веке . The Countryman Press. ISBN 978-1581575873.
• Schubring, Gert (2008). "Процессы алгебраизации". Семиотика в математическом образовании: эпистемология, история, классная комната и культура . Рэдфорд, Луис; Schubring, Gert; Seeger, Falk. Kaiser, Gabriele (ред.). Семиотические перспективы в преподавании и изучении математики. Том 1. Нидерланды: Sense Publishers. ISBN 978-9087905972.
• Стюарт, Ян (2024). «Символизм чисел». Brittanica . Получено 21 августа 2024 г.
• Вудфорд, Крис (2006). Цифровые технологии. Evans Brothers. ISBN 978-0-237-52725-9. Получено 24.03.2016 .