Полное метрическое пространство

Метрическая геометрия

В математическом анализе метрическое пространство M называется полным (или пространством Коши ), если каждая последовательность Коши точек в M имеет предел , который также принадлежит M.

Интуитивно, пространство является полным, если в нем нет «отсутствующих точек» (внутри или на границе). Например, множество рациональных чисел не является полным, потому что в нем «отсутствует» eg, даже если можно построить последовательность Коши рациональных чисел, которая сходится к нему (см. дополнительные примеры ниже). Всегда возможно «заполнить все дыры», что приведет к завершению данного пространства, как объясняется ниже. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Определение

Последовательность Коши

Последовательность в метрическом пространстве называется последовательностью Коши , если для каждого положительного действительного числа существует положительное целое число такое, что для всех положительных целых чисел ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r.}$$

Полное пространство

Метрическое пространство является полным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle (X,d)}$

1. Каждая последовательность точек Коши в имеет предел, который также находится в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Каждая последовательность Коши в сходится в (то есть к некоторой точке ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
3. Всякая убывающая последовательность непустых замкнутых подмножеств с диаметрами , стремящимися к 0, имеет непустое пересечение : если замкнуто и непусто, то для любого и тогда существует единственная точка, общая для всех множеств ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

Примеры

Пространство Q рациональных чисел со стандартной метрикой, заданной абсолютным значением разности , не является полным. Рассмотрим , например, последовательность, определяемую и Это последовательность Коши рациональных чисел, но она не сходится ни к какому рациональному пределу: Если бы последовательность имела предел, то, решая обязательно , пока ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако, рассматриваемая как последовательность действительных чисел , она сходится к иррациональному числу . ${\displaystyle x_{1}=1}$ ${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x^{2}=2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Открытый интервал ( 0,1) , снова с метрикой абсолютной разности, также не является полным. Последовательность, определяемая как, является последовательностью Коши, но не имеет предела в данном пространстве. Однако закрытый интервал [0,1] является полным; например, данная последовательность имеет предел в этом интервале, а именно ноль. ${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$

Пространство R действительных чисел и пространство C комплексных чисел (с метрикой, заданной абсолютной разностью) являются полными, как и евклидово пространство R ⁿ с обычной метрикой расстояния . Напротив, бесконечномерные нормированные векторные пространства могут быть или не быть полными; те, которые являются полными, являются банаховыми пространствами . Пространство C [ a ,  b ] непрерывных действительных функций на замкнутом и ограниченном интервале является банаховым пространством, и, следовательно, полным метрическим пространством относительно супремум-нормы . Однако супремум-норма не дает нормы на пространстве C ( a ,  b ) непрерывных функций на ( a ,  b ) , поскольку оно может содержать неограниченные функции . Вместо этого, с топологией компактной сходимости , C ( a ,  b ) можно задать структуру пространства Фреше : локально выпуклое топологическое векторное пространство , топология которого может быть индуцирована полной трансляционно-инвариантной метрикой.

Пространство Q p -адических _чисел полно для любого простого числа. Это пространство дополняет Q p -адической метрикой таким же образом, как R дополняет Q обычной метрикой. ${\displaystyle p.}$

Если — произвольное множество, то множество S ^N всех последовательностей в становится полным метрическим пространством , если мы определим расстояние между последовательностями и как , где — наименьший индекс, для которого отлично от или если такого индекса нет. Это пространство гомеоморфно произведению счетного числа копий дискретного пространства ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left(y_{n}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{N}}$ ${\displaystyle y_{N}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S.}$

Римановы многообразия , являющиеся полными, называются геодезическими многообразиями ; полнота следует из теоремы Хопфа–Ринова .

Некоторые теоремы

Каждое компактное метрическое пространство является полным, хотя полные пространства не обязаны быть компактными. Фактически, метрическое пространство является компактным тогда и только тогда, когда оно является полным и вполне ограниченным . Это обобщение теоремы Гейне–Бореля , которая утверждает, что любое замкнутое и ограниченное подпространство R n ^{является} компактным и, следовательно, полным. ^[1] ${\displaystyle S}$

Пусть будет полным метрическим пространством. Если — замкнутое множество, то также полно. Пусть будет метрическим пространством. Если — полное подпространство, то также замкнуто. ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$

Если — множество и — полное метрическое пространство, то множество всех ограниченных функций f из X в — полное метрическое пространство. Здесь мы определяем расстояние в через расстояние в с супремум-нормой ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}}$$

Если — топологическое пространство и — полное метрическое пространство, то множество, состоящее из всех непрерывных ограниченных функций, является замкнутым подпространством и, следовательно, также полным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C_{b}(X,M)}$ ${\displaystyle f:X\to M}$ ${\displaystyle B(X,M)}$

Теорема Бэра о категории гласит, что каждое полное метрическое пространство является пространством Бэра . То есть объединение счетного числа нигде не плотных подмножеств пространства имеет пустую внутренность .

Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что сжимающее отображение на полном метрическом пространстве допускает неподвижную точку . Теорема о неподвижной точке часто используется для доказательства теоремы об обратной функции на полных метрических пространствах, таких как банаховы пространства.

Теорема ^[2]  (К. Урсеску)  —  Пусть — полное метрическое пространство, а — последовательность подмножеств ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X.}$

• Если каждый из них закрыт, то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {cl} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {int} S_{i}\right)=\operatorname {cl} \operatorname {int} \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$
• Если каждый открыт в то ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\textstyle \operatorname {int} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\operatorname {cl} S_{i}\right)=\operatorname {int} \operatorname {cl} \left(\bigcap _{i\in \mathbb {N} }S_{i}\right).}$

Завершение

Для любого метрического пространства M можно построить полное метрическое пространство M′ (которое также обозначается как ), которое содержит M как плотное подпространство . Оно обладает следующим универсальным свойством : если N — любое полное метрическое пространство, а f — любая равномерно непрерывная функция из M в N , то существует единственная равномерно непрерывная функция f′ из M′ в N , которая расширяет f . Пространство M' определяется с точностью до изометрии этим свойством (среди всех полных метрических пространств, изометрически содержащих M ) , и называется пополнением M . ${\displaystyle {\overline {M}}}$

Пополнение M можно построить как набор классов эквивалентности последовательностей Коши в M. Для любых двух последовательностей Коши и в M мы можем определить их расстояние как ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)}$ $${\displaystyle d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)}$$

(Этот предел существует, поскольку действительные числа являются полными.) Это только псевдометрика , а не метрика, поскольку две различные последовательности Коши могут иметь расстояние 0. Но «имеющие расстояние 0» — это отношение эквивалентности на множестве всех последовательностей Коши, а множество классов эквивалентности — это метрическое пространство, пополнение M. Исходное пространство вкладывается в это пространство посредством отождествления элемента x из M' с классом эквивалентности последовательностей в M, сходящимся к x (т. е. классом эквивалентности, содержащим последовательность с постоянным значением x ). Это определяет изометрию на плотное подпространство, как и требуется. Обратите внимание, однако, что эта конструкция явно использует полноту действительных чисел, поэтому пополнение рациональных чисел требует немного иной обработки.

Конструкция действительных чисел Кантора похожа на приведенную выше конструкцию; действительные числа являются завершением рациональных чисел с использованием обычного абсолютного значения для измерения расстояний. Дополнительная тонкость, с которой приходится бороться, заключается в том, что логически недопустимо использовать полноту действительных чисел в их собственной конструкции. Тем не менее, классы эквивалентности последовательностей Коши определяются, как указано выше, и легко показать, что множество классов эквивалентности является полем , которое имеет рациональные числа в качестве подполя . Это поле является полным, допускает естественное тотальное упорядочение и является уникальным тотально упорядоченным полным полем (с точностью до изоморфизма ). Оно определяется как поле действительных чисел (см. также Построение действительных чисел для получения более подробной информации). Один из способов наглядно представить эту идентификацию с действительными числами, как они обычно рассматриваются, состоит в том, что класс эквивалентности, состоящий из тех последовательностей Коши рациональных чисел, которые «должны» иметь заданный действительный предел, отождествляется с этим действительным числом. Усечения десятичного разложения дают только один выбор последовательности Коши в соответствующем классе эквивалентности.

Для простого числа p -адические числа возникают путем дополнения рациональных чисел относительно другой метрики. ${\displaystyle p,}$

Если предыдущую процедуру завершения применить к нормированному векторному пространству, результатом будет банахово пространство, содержащее исходное пространство как плотное подпространство, а если ее применить к пространству внутреннего произведения , результатом будет гильбертово пространство, содержащее исходное пространство как плотное подпространство.

Топологически полные пространства

Полнота является свойством метрики , а не топологии , что означает, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфно неполному. Примером служат действительные числа, которые являются полными, но гомеоморфны открытому интервалу (0,1) , который не является полным.

В топологии рассматриваются полностью метризуемые пространства , пространства, для которых существует хотя бы одна полная метрика, индуцирующая данную топологию. Полностью метризуемые пространства можно охарактеризовать как те пространства, которые можно записать в виде пересечения счетного числа открытых подмножеств некоторого полного метрического пространства. Поскольку заключение теоремы Бэра о категории является чисто топологическим, оно применимо и к этим пространствам.

Полностью метризуемые пространства часто называют топологически полными . Однако последний термин несколько произволен, поскольку метрика не является наиболее общей структурой на топологическом пространстве, для которой можно говорить о полноте (см. раздел Альтернативы и обобщения). Действительно, некоторые авторы используют термин топологически полные для более широкого класса топологических пространств, полностью униформизуемых пространств . ^[3]

Топологическое пространство, гомеоморфное сепарабельному полному метрическому пространству, называется польским пространством .

Альтернативы и обобщения

Поскольку последовательности Коши также могут быть определены в общих топологических группах , альтернативой опоре на метрическую структуру для определения полноты и построения завершения пространства является использование групповой структуры. Это чаще всего встречается в контексте топологических векторных пространств , но требует только существования непрерывной операции «вычитания». В этой настройке расстояние между двумя точками и измеряется не действительным числом через метрику в сравнении , а открытой окрестностью через вычитание в сравнении ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x-y\in N.}$

Общее обобщение этих определений можно найти в контексте однородного пространства , где окружение представляет собой набор всех пар точек, которые находятся на расстоянии не более определенного «расстояния» друг от друга.

Также возможно заменить последовательности Коши в определении полноты сетями Коши или фильтрами Коши . Если каждая сеть Коши (или, что эквивалентно, каждый фильтр Коши) имеет предел в , то называется полным. Кроме того, можно построить пополнение для произвольного равномерного пространства, аналогичное пополнению метрических пространств. Наиболее общей ситуацией, в которой применяются сети Коши, являются пространства Коши ; они также имеют понятие полноты и пополнения, как и равномерные пространства. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Пространство Коши  – Концепция в общей топологии и анализе
• Завершение (алгебра)  — в алгебре любой из нескольких связанных функторов на кольцах и модулях, которые приводят к полным топологическим кольцам и модулям.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Полное равномерное пространство  – Топологическое пространство с понятием равномерных свойствСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Полное топологическое векторное пространство  – TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся в точку
• Вариационный принцип Экленда  – теорема, утверждающая, что существуют почти оптимальные решения некоторых задач оптимизации.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Теорема Кнастера–Тарского  – Теорема в теории порядка и решеток

Примечания

1. Сазерленд, Уилсон А. (1975). Введение в метрические и топологические пространства . ISBN 978-0-19-853161-6.
2. Залинеску, К. (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . River Edge, NJ London: World Scientific. стр. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC  285163112.
3. Келли, Задача 6.L, стр. 208

Ссылки

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Springer. ISBN 0-387-90125-6.
• Крейциг, Эрвин , Вводный функциональный анализ с приложениями (Wiley, Нью-Йорк, 1978). ISBN 0-471-03729-X 
• Ланг, Серж , «Действительный и функциональный анализ» ISBN 0-387-94001-4 
• Мейс, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ . Рамануджан, М.С. (перевод). Оксфорд: Clarendon Press; Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 0-19-851485-9.