Теория Штурма – Лиувилля

Об одном типе дифференциального уравнения

В математике и ее приложениях задача Штурма – Лиувилля представляет собой линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\!\!\left[\,p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=-\lambda \,w(x)y,}$$

граничными условиями ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$ ${\displaystyle x}$

• Найти λ , для которого существует нетривиальное решение задачи. Такие значения λ называются собственными значениями задачи.
• Для каждого собственного значения λ найти соответствующее решение задачи. Такие функции называются собственными функциями , связанными с каждым λ . ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle y}$

Теория Штурма–Лиувилля — это общее исследование проблем Штурма–Лиувилля. В частности, для «регулярной» задачи Штурма – Лиувилля можно показать, что существует бесконечное число собственных значений, каждое из которых имеет уникальную собственную функцию, и что эти собственные функции образуют ортонормированный базис определенного гильбертова пространства функций.

Эта теория важна в прикладной математике , где проблемы Штурма-Лиувилля возникают очень часто, особенно при работе с раздельными линейными дифференциальными уравнениями в частных производных . Например, в квантовой механике одномерное независимое от времени уравнение Шредингера представляет собой задачу Штурма – Лиувилля.

Теория Штурма – Лиувилля названа в честь Жака Шарля Франсуа Штурма (1803–1855) и Жозефа Лиувилля (1809–1882), разработавших эту теорию.

Основные результаты

Основные результаты теории Штурма–Лиувилля применимы к задаче Штурма–Лиувилля.

на конечном интервале , который является «регулярным». Задача называется регулярной , если: ${\displaystyle [a,b]}$

• все коэффициентные функции и производная непрерывны на ; ${\displaystyle p,q,w}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• ${\displaystyle p(x)>0}$и для всех ; ${\displaystyle w(x)>0}$ ${\displaystyle x\in [a,b]}$
• задача имеет отдельные граничные условия вида:

Функция , иногда обозначаемая , называется функцией веса или плотности . ${\displaystyle w=w(x)}$ ${\displaystyle r=r(x)}$

Цели задачи Штурма – Лиувилля:

• найти собственные значения: те λ , для которых существует нетривиальное решение;
• для каждого собственного значения λ найти соответствующую собственную функцию . ${\displaystyle y=y(x)}$

Для регулярной задачи Штурма–Лиувилля функция называется решением , если она непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению ( 1 ) при каждом . В случае более общего решения следует понимать в слабом смысле . ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle x\in (a,b)}$ ${\displaystyle p,q,w}$

Термины «собственное значение» и «собственный вектор» используются, поскольку решения соответствуют собственным значениям и собственным функциям эрмитова дифференциального оператора в соответствующем гильбертовом пространстве функций со скалярным произведением , определенным с помощью весовой функции. Теория Штурма – Лиувилля изучает существование и асимптотическое поведение собственных значений, соответствующую качественную теорию собственных функций и их полноту в функциональном пространстве.

Основной результат теории Штурма – Лиувилля гласит, что для любой регулярной задачи Штурма – Лиувилля:

• Собственные значения действительны и могут быть пронумерованы так, что ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots }$ ${\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty ;}$
• Каждому собственному значению соответствует уникальная (с точностью до постоянного кратного) собственная функция с ровно нулями в , называемая n-м фундаментальным решением . ${\displaystyle \lambda _{n}}$ ${\displaystyle y_{n}=y_{n}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle [a,b]}$
• Нормализованные собственные функции образуют ортонормированный базис относительно w- взвешенного скалярного произведения в гильбертовом пространстве ; то есть, ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\,\mathrm {d} x)}$
  $${\displaystyle \langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{nm},}$$
  где находится дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta _{nm}}$

Приведение к форме Штурма – Лиувилля.

Говорят , что дифференциальное уравнение ( 1 ) имеет форму Штурма–Лиувилля или самосопряженную форму . Все линейные однородные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка можно привести к форме, указанной в левой части ( 1 ), умножив обе части уравнения на соответствующий интегрирующий коэффициент (хотя этого нельзя сказать о частных дифференциальных уравнениях второго порядка). уравнения , или если y — вектор ). Некоторые примеры приведены ниже.

Уравнение Бесселя

$${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0}$$

x

$${\displaystyle \left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.}$$

Уравнение Лежандра

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}$$

д/дх(1 − x ² ) = −2 x

$${\displaystyle \left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}$$

Пример использования интегрирующего коэффициента

$${\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}$$

Разделите все на х ³ :

$${\displaystyle y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0}$$

Умножая на интегрирующий коэффициент

$${\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {dx}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}},}$$

$${\displaystyle e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}}$$

$${\displaystyle \left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0.}$$

Интегрирующий коэффициент для общего однородного уравнения второго порядка

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$$

Умножение на интегрирующий коэффициент

$${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right),}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\mu (x)P(x)y'\right)+\mu (x)R(x)y=0,}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.}$$

Уравнения Штурма–Лиувилля как самосопряженные дифференциальные операторы

Отображение определяется:

$${\displaystyle Lu=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left[p(x)\,{\frac {du}{dx}}\right]+q(x)u\right)}$$

линейный оператор L,uLuфункционального анализа1

$${\displaystyle Lu=\lambda u.}$$

Это и есть проблема собственных значений ; то есть ищут собственные значения λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ ,... и соответствующие собственные векторы u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... оператора L. Правильным решением этой проблемы является гильбертово пространство со скалярным произведением. ${\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\,dx)}$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,dx.}$$

В этом пространстве L определяется на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих указанным выше регулярным граничным условиям. Более того, L — самосопряженный оператор:

$${\displaystyle \langle Lf,g\rangle =\langle f,Lg\rangle .}$$

Формально в этом можно убедиться, дважды применив интегрирование по частям , при этом граничные члены обращаются в нуль в силу граничных условий. Отсюда следует, что собственные значения оператора Штурма–Лиувилля вещественны и что собственные функции оператора L , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Однако этот оператор неограничен , и поэтому существование ортонормированного базиса собственных функций не очевидно. Чтобы решить эту проблему, рассмотрим резольвенту

$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1},\qquad z\in \mathbb {R} ,}$$

zвариации параметровинтегральным операторомфункция Гринатеоремы Арзела–Асколиα _nспектральной теоремы для компактных операторов

$${\displaystyle \left(L-z\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,}$$

${\displaystyle \lambda =z+\alpha ^{-1}}$

Если интервал неограничен или коэффициенты имеют особенности в граничных точках, L называют сингулярным. В этом случае спектр уже не состоит только из собственных значений и может содержать непрерывную компоненту. Все еще существует соответствующее разложение собственных функций (аналогично ряду Фурье и преобразованию Фурье). Это важно в квантовой механике , поскольку одномерное независимое от времени уравнение Шредингера является частным случаем уравнения Штурма – Лиувилля.

Приложение к неоднородным краевым задачам второго порядка

Рассмотрим общее неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f(x)}$$

${\displaystyle P(x),Q(x),R(x),f(x)}$ ${\displaystyle Ly=f}$

$${\displaystyle Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x)}}u,}$$

$${\displaystyle p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.}$$

Достаточно решить первые два уравнения, что сводится к решению ( Pw )′ = Qw , или

$${\displaystyle w'={\frac {Q-P'}{P}}w:=\alpha w.}$$

Решение:

$${\displaystyle w=\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\exp \left(\int \alpha \,dx\right).}$$

Учитывая это преобразование, остается решить:

$${\displaystyle Ly=f.}$$

В общем, если заданы начальные условия в какой-то точке, например y ( a ) = 0 и y ′( a ) = 0 , дифференциальное уравнение второго порядка можно решить обычными методами, а теорема Пикара – Линделёфа гарантирует, что дифференциальное уравнение уравнение имеет единственное решение в окрестности точки, где заданы начальные условия.

Но если вместо указания начальных значений в одной точке желательно указать значения в двух разных точках (так называемые граничные значения), например y ( a ) = 0 и y ( b ) = 1 , возникает проблема. быть гораздо сложнее. Обратите внимание, что, добавляя подходящую известную дифференцируемую функцию к y , значения которой в точках a и b удовлетворяют желаемым граничным условиям, и вводя внутрь предложенное дифференциальное уравнение, можно без потери общности предположить, что граничные условия имеют форму y ( а ) знак равно 0 и y ( б ) знак равно 0 .

Здесь в игру вступает теория Штурма–Лиувилля: действительно, большой класс функций f можно расширить в терминах ряда ортонормированных собственных функций ui ассоциированного оператора Лиувилля с соответствующими собственными _{значениями} λi _:

$${\displaystyle f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R} }.}$$

Тогда решение предложенного уравнения, очевидно, имеет вид:

$${\displaystyle y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.}$$

Это решение будет действительным только в открытом интервале a < x < b и может потерпеть неудачу на границах.

Пример: ряд Фурье

Рассмотрим задачу Штурма–Лиувилля:

ибо неизвестными являются λ и ты ( Икс ) . В качестве граничных условий возьмем, например:

$${\displaystyle u(0)=u(\pi )=0.}$$

Заметим, что если k — любое целое число, то функция

$${\displaystyle u_{k}(x)=\sin kx}$$

λ знак равно k ²ортогональный базис , и из рядов Фурье

Учитывая вышеизложенное, решим теперь неоднородную задачу

$${\displaystyle Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )}$$

f ( x ) = x∫ e ^ikx x dx ${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$

$${\displaystyle Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.}$$

Этот конкретный ряд Фурье вызывает затруднения из-за его плохих свойств сходимости. Априори неясно, сходится ли ряд поточечно. Благодаря анализу Фурье, поскольку коэффициенты Фурье « суммируются с квадратом », ряд Фурье сходится в L2 ^, а это все, что нам нужно для функционирования этой конкретной теории. Заметим для заинтересованного читателя, что в этом случае мы можем опираться на результат, который гласит, что ряды Фурье сходятся в каждой точке дифференцируемости, а в точках скачка (функция x , рассматриваемая как периодическая функция, имеет скачок в точке  π ) сходится к среднему левого и правого пределов (см. сходимость рядов Фурье ).

Следовательно, воспользовавшись формулой ( 4 ), получаем решение:

$${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1}{6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).}$$

В этом случае мы могли бы найти ответ, используя антидифференцирование , но это уже бесполезно в большинстве случаев, когда дифференциальное уравнение находится во многих переменных.

Приложение к уравнениям в частных производных

Обычные режимы

Некоторые уравнения в частных производных можно решить с помощью теории Штурма – Лиувилля. Предположим, нас интересуют моды колебаний тонкой мембраны, заключенной в прямоугольную рамку, 0 ≤ x ≤ L ₁ , 0 ≤ y ≤ L ₂ . Уравнение движения вертикального смещения мембраны W ( x , y , t ) задается волновым уравнением :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}$$

Метод разделения переменных предлагает искать сначала решения простого вида W = X ( x )× Y ( y )× T ( t ) . Для такой функции W уравнение в частных производных принимает видИКС "/Икс+Й ″/Да"="1/с ² Т ″/Т. Поскольку три члена этого уравнения являются функциями x , y , t по отдельности, они должны быть константами. Например, первое слагаемое дает X ″ = λX для постоянной  λ . Граничные условия («удерживаемые в прямоугольной рамке») равны W = 0, когда x = 0 , L ₁ или y = 0 , L ₂ , и определяют простейшие возможные проблемы собственных значений Штурма – Лиувилля, как в примере, что дает «нормальный режим» решения» для W с гармонической зависимостью от времени,

$${\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}$$

mnцелые числаA _mn

$${\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).}$$

Функции W _mn составляют основу гильбертова пространства (обобщенных) решений волнового уравнения; т. е. произвольное решение W можно разложить в сумму этих мод, колеблющихся на своих индивидуальных частотах ω _mn . Для этого представления может потребоваться сходящаяся бесконечная сумма.

Линейное уравнение второго порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка в одном пространственном измерении и первого порядка по времени вида:

$${\displaystyle f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h(x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,}$$

$${\displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).}$$

Разделяя переменные, мы предполагаем, что

$${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}}$$

$${\displaystyle {\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h(x),\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).}$$

Поскольку по определению L̂ и X ( x ) не зависят от времени t , а M̂ и T ( t ) не зависят от положения x , то обе части приведенного выше уравнения должны быть равны константе:

$${\displaystyle {\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)=\lambda T(t).}$$

Первое из этих уравнений необходимо решать как задачу Штурма–Лиувилля в терминах собственных функций X _n ( x ) и собственных значений λ _n . Второе из этих уравнений можно решить аналитически, если известны собственные значения.

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)}$$

$${\displaystyle T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$

$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}}$$

где

$${\displaystyle {\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx,}$$

$${\displaystyle w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}.}$$

Представление решений и численный расчет

Дифференциальное уравнение Штурма–Лиувилля ( 1 ) с граничными условиями может быть решено аналитически, что может быть точным или обеспечивать приближение, методом Рэлея–Ритца или матрично-вариационным методом Герка и др. ^{[1] [2] [3]}

В числовом отношении также доступны различные методы. В сложных случаях может потребоваться провести промежуточные вычисления с точностью до нескольких сотен десятичных знаков, чтобы правильно получить собственные значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

• Методы съемки ^{[4] [5]}
• Метод конечных разностей
• Метод степенных рядов по спектральным параметрам ^[6]

Методы съемки

Методы стрельбы основаны на угадывании значения λ , решении задачи начального значения, определяемой граничными условиями в одной конечной точке, скажем, a , интервала [ a , b ] , сравнении значения, которое это решение принимает в другой конечной точке b, с другие желаемые граничные условия и, наконец, увеличивая или уменьшая λ по мере необходимости для исправления исходного значения. Эта стратегия неприменима для поиска комплексных собственных значений. ^{[ нужны разъяснения ]}

Метод степенных рядов спектральных параметров

Метод степенных рядов по спектральным параметрам (SPPS) использует обобщение следующего факта об однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнениях второго порядка: если y является решением уравнения ( 1 ), которое не обращается в нуль ни в одной точке [ a , b ] , то функция

$${\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}}$$

yλ^*
₀λ^*
₀= 0y ₀1λ = λ^*
₀[ a , b ]y ₀λ^*
₀X ^{( n )} ( t )X̃ ^{( n )} ( t )[ a , b ]повторными интеграламиn = 0[ a , b ]1/пи²
₀почему²
₀n > 0

Полученные повторные интегралы теперь применяются в качестве коэффициентов в следующих двух степенных рядах по  λ :

$${\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\tilde {X}}^{(2k)},}$$

$${\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^{(2k+1)}.}$$

λu ₀u ₁1p ( x )q ( x )y0 _.

Далее выбираются коэффициенты c ₀ и c ₁ так, чтобы комбинация y = c ₀ u ₀ + c ₁ u ₁ удовлетворяла первому граничному условию ( 2 ). Это легко сделать, поскольку X ^{( n )} ( a ) = 0 и X̃ ^{( n )} ( a ) = 0 , для n > 0 . Значения X ^{( n )} ( b ) и X̃ ^{( n )} ( b ) обеспечивают значения u ₀ ( b ) и u ₁ ( b ) и производные u ′ ₀ ( b ) и u ′ ₀ ( b ) , поэтому второе граничное условие ( 3 ) становится уравнением в степенном ряду по  λ . Для численной работы можно усечь этот ряд до конечного числа членов, получив вычислимый многочлен от λ , корни которого являются аппроксимацией искомых собственных значений.

При λ = λ ₀ это сводится к описанной выше исходной конструкции для решения, линейно независимого от заданного. Представления ( 5 ) и ( 6 ) имеют также теоретические приложения в теории Штурма–Лиувилля. ^[6]

Построение неисчезающего решения.

Метод SPPS сам по себе может использоваться для поиска начального решения y ₀ . Рассмотрим уравнение ( py ′)′ = µqy ; т. е. q , w и λ заменяются в ( 1 ) на 0, − q и µ соответственно. Тогда постоянная функция 1 является ненулевым решением, соответствующим собственному значению µ ₀ = 0 . Хотя нет никакой гарантии, что u ₀ или u ₁ не обратится в нуль, комплексная функция y ₀ = u ₀ + iu ₁ никогда не обратится в нуль, поскольку два линейно независимых решения регулярного уравнения Штурма–Лиувилля не могут обратиться в нуль одновременно вследствие Теорема Штурма о разделении . Этот трюк дает решение y ₀ уравнения ( 1 ) для значения λ ₀ = 0 . На практике, если ( 1 ) имеет действительные коэффициенты, решения, основанные на y _0, будут иметь очень маленькие мнимые части, которые необходимо отбросить.

Смотрите также

• Нормальный режим
• Теория колебаний
• Самосопряженный
• Изменение параметров
• Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений
• Теорема Аткинсона – Мингарелли.

Рекомендации

1. Эд Герк, AB д'Оливейра, HF де Карвальо. «Тяжелые барионы как связанные состояния трех кварков». Lettere al Nuovo Cimento 38(1):27–32, сентябрь 1983 г.
2. Аугусто Б. д'Оливейра, Эд Герк, Джейсон AC Галлас. «Решение уравнения Шрёдингера для связанных состояний в замкнутой форме». Physical Review A , 26:1(1), июнь 1982 г.
3. Роберт Ф. О'Коннелл, Джейсон AC Галлас, Эд Герк. «Законы масштабирования для ридберговских атомов в магнитных полях». Physical Review Letters 50(5):324–327, январь 1983 г.
4. Прайс, JD (1993). Численное решение задач Штурма–Лиувилля. Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-853415-9.
5. Леду, В.; Ван Даэле, М.; Берге, Г. Ванден (2009). «Эффективное вычисление собственных значений Штурма – Лиувилля с высоким индексом для задач физики». Вычислить. Физ. Коммун . 180 (2): 532–554. arXiv : 0804.2605 . Бибкод : 2009CoPhC.180..241L. дои : 10.1016/j.cpc.2008.10.001. S2CID  13955991.
6. Кравченко, В.В.; Портер, РМ (2010). «Степенной ряд спектральных параметров для задач Штурма – Лиувилля». Математические методы в прикладных науках . 33 (4): 459–468. arXiv : 0811.4488 . Бибкод : 2010MMAS...33..459K. дои : 10.1002/ммма.1205. S2CID  17029224.

дальнейшее чтение

• «Теория Штурма – Лиувилля», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хартман, Филип (2002). Обыкновенные дифференциальные уравнения (2-е изд.). Филадельфия: СИАМ . ISBN 978-0-89871-510-1.
• Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.(Глава 5)
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.(о сингулярных операторах Штурма–Лиувилля и связях с квантовой механикой см. главу 9)
• Зеттл, Антон (2005). Теория Штурма–Лиувилля . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3905-5.
• Биркгоф, Гаррет (1973). Справочник по классическому анализу . Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN 0-674-82245-5.(См. главу 8, часть Б, где представлены выдержки из работ Штурма и Лиувилля и комментарии к ним.)
• Кравченко, Владислав (2020). Прямая и обратная задачи Штурма-Лиувилля: метод решения . Чам: Биркхойзер . ISBN 978-3-030-47848-3.