Закон нуля и единицы Колмогорова

Особый случай в теории вероятностей; вводит хвостовые события

В теории вероятностей закон нуля или единицы Колмогорова , названный в честь Андрея Николаевича Колмогорова , определяет, что определенный тип событий , а именно хвостовое событие независимых σ-алгебр , либо почти наверняка произойдет, либо почти наверняка не произойдет; то есть вероятность возникновения такого события равна нулю или единице.

События хвоста определяются в терминах счетно бесконечных семейств σ-алгебр. Для наглядности мы представляем здесь особый случай, в котором каждая сигма-алгебра генерируется случайной величиной для . Пусть будет сигма-алгеброй, совместно генерируемой всеми из . Тогда событие хвоста — это событие, которое вероятностно независимо от каждого конечного подмножества этих случайных величин. (Примечание: принадлежность к подразумевает, что принадлежность к однозначно определяется значениями , но последнее условие строго слабее и недостаточно для доказательства закона нуля или единицы.) Например, событие, заключающееся в том, что последовательность из сходится, и событие, заключающееся в том, что ее сумма сходится, являются событиями хвоста. Если , например, все распределены по Бернулли, то событие, заключающееся в том, что существует бесконечно много таких, что является событием хвоста. Если каждый из них моделирует результат -го подбрасывания монеты в смоделированной бесконечной последовательности подбрасываний монеты, это означает, что последовательность из 100 последовательных выпадений орла, происходящих бесконечно много раз, является хвостовым событием в этой модели. ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X_{k}=X_{k+1}=\dots =X_{k+100}=1}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Хвостовые события — это именно те события, возникновение которых все еще можно определить, если удалить произвольно большой, но конечный начальный сегмент . ${\displaystyle X_{k}}$

Во многих ситуациях можно легко применить закон Колмогорова «ноль-единица», чтобы показать, что некоторое событие имеет вероятность 0 или 1, но на удивление сложно определить, какое из этих двух крайних значений является правильным.

Формулировка

Более общее утверждение закона Колмогорова нуля-единицы справедливо для последовательностей независимых σ-алгебр. Пусть (Ω, F , P ) — вероятностное пространство , а F _n — последовательность σ-алгебр, содержащихся в F . Пусть

${\displaystyle G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}}$

— наименьшая σ-алгебра, содержащая F n _, F n _{+1 ,} .... Терминальная σ-алгебра F _n определяется как . ${\displaystyle {\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })=\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$

Закон нуля или единицы Колмогорова утверждает, что если F _n стохастически независимы, то для любого события выполняется либо P ( E ) = 0, либо P ( E )=1. ${\displaystyle E\in {\mathcal {T}}((F_{n})_{n\in \mathbb {N} })}$

Формулировка закона в терминах случайных величин получается из последнего, если взять каждую F _n как σ-алгебру, порожденную случайной величиной X _n . Тогда хвостовое событие по определению является событием, которое измеримо относительно σ-алгебры, порожденной всеми X _n , но которое не зависит от любого конечного числа X _n . То есть хвостовое событие является в точности элементом терминальной σ-алгебры . ${\displaystyle \textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}}$

Примеры

Обратимое сохраняющее меру преобразование на стандартном вероятностном пространстве , подчиняющееся закону 0-1, называется автоморфизмом Колмогорова . ^{[ необходимо пояснение ]} Все автоморфизмы Бернулли являются автоморфизмами Колмогорова, но не наоборот . Наличие бесконечного кластера в контексте теории перколяции также подчиняется закону 0-1.

Пусть будет последовательностью независимых случайных величин, тогда событие является хвостовым событием. Таким образом, по закону Колмогорова 0-1, оно имеет вероятность 0 или 1, чтобы произойти. Обратите внимание, что независимость требуется для выполнения условия хвостового события. Без независимости мы можем рассмотреть последовательность, которая является или с вероятностью каждая. В этом случае сумма сходится с вероятностью . ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n}}$ ${\displaystyle \left\{\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{n}X_{k}{\text{ exists }}\right\}}$ ${\displaystyle (0,0,0,\dots )}$ ${\displaystyle (1,1,1,\dots )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Смотрите также

• Лемма Бореля–Кантелли
• Закон нуля-единицы Хьюитта-Сэвиджа
• Закон нуля и единицы Леви
• Хвостовая сигма-алгебра
• Длинный хвост
• Риск хвоста

Ссылки

• Stroock, Daniel (1999). Теория вероятностей: Аналитический взгляд (пересмотренное издание). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-66349-6..
• Бжезняк, Здзислав; Заставняк, Томас (2000). Основные случайные процессы . Спрингер . ISBN 3-540-76175-6.
• Розенталь, Джеффри С. (2006). Первый взгляд на строгую теорию вероятностей . Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. стр. 37. ISBN 978-981-270-371-2.

Внешние ссылки

• Наследие Андрея Николаевича Колмогорова. Биография и краткая биография. Колмогоровская школа. Аспиранты и потомки А. Н. Колмогорова. Труды, книги, доклады, статьи А. Н. Колмогорова. Фотографии и портреты А. Н. Колмогорова.