Твист (математика)

Термин дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии скручивание ленты — это скорость ее осевого вращения . Пусть лента состоит из пространственной кривой , где - длина дуги , и единичного вектора нормали , перпендикулярного в каждой точке к . Поскольку лента имеет края и , скрутка (или общее число скруток ) измеряет среднюю намотку краевой кривой вокруг и вдоль осевой кривой . Согласно Лаву (1944), твист определяется как ${\displaystyle (X,U)}$ ${\displaystyle X=X(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=U(s)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'=X+\varepsilon U}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \left(U\times {\dfrac {dU}{ds}}\right)\cdot {\dfrac {dX}{ds}}ds\;,}$

где – единичный касательный вектор к . Общее число скручиваний можно разложить (Moffatt & Ricca 1992) на нормализованное общее скручивание и внутреннее скручивание следующим образом: ${\displaystyle dX/ds}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle T\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \tau \;ds+{\dfrac {\left[\Theta \right]_{X}}{2\pi }}=T+N\;,}$

где - кручение пространственной кривой , и обозначает полный угол поворота вдоль . Ни то , ни другое не являются независимыми от ленточного поля . Вместо этого инвариантом кривой является только нормализованное кручение (Banchoff & White 1975). ${\displaystyle \tau =\tau (s)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left[\Theta \right]_{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

Когда лента деформируется так, чтобы пройти через состояние перегиба (т.е. имеет точку перегиба ), кручение становится сингулярным. Полное кручение скачет, и общий угол одновременно совершает равный и противоположный скачок (Moffatt & Ricca 1992) и остается непрерывным. Такое поведение имеет множество важных последствий для энергетических соображений во многих областях науки (Ricca 1997, 2005; Goriely 2006). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mp 1}$ ${\displaystyle Tw}$

Вместе с корчением твист является геометрической величиной, которая играет важную роль в применении формулы Кэлугэряну-Уайта-Фуллера в топологической гидродинамике (из-за ее тесной связи с кинетической и магнитной спиральностью векторного поля), теории физических узлов. и структурный анализ сложности. ${\displaystyle Wr}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Lk=Wr+Tw}$

Смотрите также

• Твист (теория винта)
• Твист (рациональная тригонометрия)
• Витой сноп

Рекомендации

• Банчофф, Т.Ф. и Уайт, Дж.Х. (1975) Поведение полного поворота и числа самосвязывания кривой в замкнутом пространстве при инверсиях. Математика. Скан. 36 , 254–262.
• Гориели, А. (2006) Скрученные упругие кольца и повторное открытие нестабильности Мичелла. Дж Эластичность 84 , 281-299.
• Любовь, AEH (1944) Трактат по математической теории упругости. Дувр, 4-е изд., Нью-Йорк.
• Моффатт, Х.К. и Рикка, Р.Л. (1992) Спиральность и инвариант Калугаряну. Учеб. Р. Сок. Лондон А 439 , 411-429. Также в: (1995) Узлы и приложения (под ред. Л. Х. Кауфмана), стр. 251–269. Всемирная научная.
• Рикка, Р.Л. (1997)Эволюция и изгибная нестабильность скрученных трубок магнитного потока. Физика Солнца 172 , 241-248.
• Рикка, Р.Л. (2005)Изгибное неравновесие трубок магнитного потока. Исследования гидродинамики 36 , 319-332.