Завершение площади

Метод решения квадратных уравнений

Анимация, изображающая процесс заполнения квадрата. ( Подробности , анимированная GIF-версия )

В элементарной алгебре завершение квадрата — это метод преобразования квадратичного многочлена вида

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$

$${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$$

hk

Другими словами, завершение квадрата помещает идеальный квадратный трехчлен внутрь квадратного выражения.

Завершение квадрата используется в

• решение квадратных уравнений ,
• вывод квадратичной формулы ,
• построение графиков квадратичных функций ,
• оценка интегралов в исчислении, таких как интегралы Гаусса с линейным членом в показателе степени, ^[1]
• нахождение преобразований Лапласа . ^{[2] [3]}

В математике завершение квадрата часто применяется в любых вычислениях, включающих квадратичные многочлены.

История

Техника завершения квадрата была известна еще в Старовавилонской империи . ^[4]

Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми , известный эрудит , написавший ранний алгебраический трактат «Аль-Джабр» , использовал технику завершения квадрата для решения квадратных уравнений. ^[5]

Обзор

Фон

Формула элементарной алгебры для вычисления квадрата бинома :

$${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

Например:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

В любом идеальном квадрате коэффициент при x в два раза больше числа p , а постоянный член равен p2 ^.

Базовый пример

Рассмотрим следующий квадратичный полином :

$${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

Этот квадрат не является точным квадратом, поскольку 28 не является квадратом 5:

$${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

Однако можно записать исходное квадратичное уравнение как сумму этого квадрата и константы:

$${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

Это называется завершением квадрата .

Общее описание

Учитывая любой монический квадратичный

$${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$

$${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

Этот квадрат отличается от исходного квадратного только значением постоянного члена. Поэтому мы можем написать

$${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$

завершение квадрата ${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

Немонический случай

Дан квадратичный многочлен вида

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$

aмонический полином

Пример:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

a

Пример:

$${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Это позволяет записать любой квадратичный многочлен в виде

$${\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}$$

Формула

Скалярный случай

Результат заполнения квадрата можно записать в виде формулы. В общем случае имеем ^[6]

$${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,}$$

$${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$$

В частности, когда a = 1 , имеем

$${\displaystyle x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,}$$

$${\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$$

Решив уравнение через и реорганизовав полученное выражение , получим квадратную формулу для корней квадратного уравнения : ${\displaystyle a(x-h)^{2}+k=0}$ ${\displaystyle x-h,}$

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

Матричный корпус

Матричный случай выглядит очень похоже :

$${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k}$$

симметрично ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$ ${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$ ${\displaystyle A}$

Если он не симметричен, формулы для и должны быть обобщены до: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$$

Связь с графиком

В аналитической геометрии график любой квадратичной функции представляет собой параболу в плоскости xy . Дан квадратичный многочлен вида

$${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$$

hkдекартовы координатыстационарной точкиhxx = hkминимальное значениеa

Один из способов убедиться в этом — заметить, что график функции f ( x ) = x ² представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат (0, 0). Следовательно, график функции f ( x − h ) = ( x − h ) ² представляет собой параболу, сдвинутую вправо на h , вершина которой находится в точке ( h , 0), как показано на верхнем рисунке. Напротив, график функции f ( x ) + k = x ² + k представляет собой параболу, сдвинутую вверх на k , вершина которой находится в точке (0, k ) , как показано на центральном рисунке. Объединение горизонтального и вертикального сдвигов дает f ( x − h ) + k = ( x − h ) ² + k — парабола, сдвинутая вправо на h и вверх на k , вершина которой находится в ( h , k ) , как показано на рисунке. нижний рисунок.

Решение квадратных уравнений

Заполнение квадрата можно использовать для решения любого квадратного уравнения . Например:

$${\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}$$

Первым шагом является завершение квадрата:

$${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$$

Далее решаем квадрат члена:

$${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$$

Тогда либо

$${\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}$$

$${\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}$$

Это можно применить к любому квадратному уравнению. Когда x ² имеет коэффициент, отличный от 1, первым шагом является деление уравнения на этот коэффициент: пример см. в немоническом случае ниже.

Иррациональные и сложные корни

В отличие от методов, включающих факторизацию уравнения, которая надежна только в том случае, если корни рациональны , завершение квадрата позволит найти корни квадратного уравнения, даже если эти корни иррациональны или комплексны . Например, рассмотрим уравнение

$${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

Завершение квадрата дает

$${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$

$${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$

$${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

Более лаконичным языком:

$${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$

$${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

Таким же образом можно обрабатывать уравнения с комплексными корнями. Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

Немонический случай

Для уравнения, включающего немоническое квадратическое уравнение, первым шагом к его решению является деление на коэффициент x ² . Например:

$${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}$$

Применение этой процедуры к общей форме квадратного уравнения приводит к квадратной формуле .

Другие приложения

Интеграция

Заполнение квадрата можно использовать для вычисления любого интеграла формы

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

Например, рассмотрим интеграл

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

Завершение квадрата в знаменателе дает:

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

Теперь это можно оценить с помощью замены u  =  x  + 3, что дает

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

Комплексные числа

Рассмотрим выражение

$${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$

zbкомплексные числаz ^*b ^*комплексно-сопряженные числаисоответственноcдействительное числоты²uu ^*

$${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

Другой пример: выражение

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$

abcxyabзначения

$${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

Затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

Идемпотентная матрица

Матрица M идемпотентна , когда M ² = M . _ Идемпотентные матрицы обобщают идемпотентные свойства 0 и 1. Завершение квадратичного метода решения уравнения

$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$

вab

Матрица будет идемпотентной при условии , что после завершения квадрата она примет вид ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

$${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$

ab

Геометрическая перспектива

Рассмотрим завершение квадрата для уравнения

$${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$$

Поскольку x ² представляет площадь квадрата со стороной длиной x , а bx представляет площадь прямоугольника со сторонами b и x , процесс заполнения квадрата можно рассматривать как визуальное манипулирование прямоугольниками.

Простые попытки объединить прямоугольники x ² и bx в квадрат большего размера приводят к отсутствию угла. Член ( b /2) ² , добавленный к каждой стороне приведенного выше уравнения, представляет собой в точности площадь недостающего угла, откуда и происходит термин «завершение квадрата».

Вариация техники

Традиционно считается, что завершение квадрата состоит из добавления третьего члена v ² к

$${\displaystyle u^{2}+2uv}$$

Есть также случаи

$${\displaystyle u^{2}+v^{2}}$$

Пример: сумма положительного числа и обратного ему числа.

Написав

$${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$

xx

Пример: факторизация простого полинома четвертой степени

Рассмотрим задачу факторизации многочлена

$${\displaystyle x^{4}+324.}$$

Это

$${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$

x ²x ²

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$

Тот же аргумент показывает, что это всегда факторизуемо как ${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$

$${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$

личность Софи Жермен

Завершение куба

«Завершение квадрата» состоит в том, чтобы отметить, что два первых члена квадратичного многочлена являются также первыми членами квадрата линейного многочлена , и использовать это для выражения квадратичного многочлена как суммы квадрата и константы.

Завершение куба — это аналогичный метод, который позволяет преобразовать кубический многочлен в кубический многочлен без члена второй степени.

Точнее, если

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

— многочлен от x такой, что его два первых члена являются двумя первыми членами расширенной формы ${\displaystyle a\neq 0,}$

${\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}=ax^{3}+bx^{2}+x\,{\frac {b^{2}}{3a}}+{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}.}$

Итак, замена переменной

${\displaystyle t=x+{\frac {b}{3a}}}$

дает кубический многочлен без члена второй степени, который называется депрессивной формой исходного многочлена. ${\displaystyle t}$

Это преобразование обычно является первым шагом методов решения общего кубического уравнения.

В более общем смысле, аналогичное преобразование можно использовать для удаления членов степени в полиномах степени ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n.}$

Рекомендации

1. Дионисиос Т. Христопулос (2020). Случайные поля для моделирования пространственных данных: учебник для ученых и инженеров. Спрингер Природа. п. 267. ИСБН 978-94-024-1918-4.Выдержка со страницы 267
2. Джеймс Р. Браннан; Уильям Э. Бойс (2015). Дифференциальные уравнения: введение в современные методы и приложения (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 314. ИСБН 978-1-118-98122-1.Выдержка со страницы 314
3. Стивен Л. Кэмпбелл; Ричард Хаберман (2011). Введение в дифференциальные уравнения с динамическими системами (иллюстрированное издание). Издательство Принстонского университета. п. 214. ИСБН 978-1-4008-4132-5.Выдержка со страницы 214
4. Тони Филипс, «Завершение квадрата», Тематическая колонка Американского математического общества , 2020.
5. Хьюз, Варнава. «Завершение квадрата — квадратичные вычисления с помощью сложения». Математическая ассоциация Америки . Проверено 21 октября 2022 г.
6. Нарасимхан, Ревати (2008). Предварительное исчисление: построение концепций и связей. Cengage Обучение. стр. 133–134. ISBN 978-0-618-41301-0., Формула раздела вершины квадратичной функции, стр. 133–134, рисунок 2.4.8

• Алгебра 1, Гленко, ISBN 0-07-825083-8 , страницы 539–544. 
• Алгебра 2, Саксонский, ISBN 0-939798-62-X , страницы 214–214, 241–242, 256–257, 398–401. 

Внешние ссылки

• Завершение квадрата в PlanetMath .