Идеальный многогранник

Форма в гиперболической геометрии

В трехмерной гиперболической геометрии идеальный многогранник — это выпуклый многогранник, все вершины которого являются идеальными точками , точками «в бесконечности», а не внутренними по отношению к трехмерному гиперболическому пространству . Его можно определить как выпуклую оболочку конечного множества идеальных точек. Идеальный многогранник имеет идеальными многоугольниками в качестве своих граней , встречающихся вдоль линий гиперболического пространства.

Платоновы тела и архимедовы тела имеют идеальные версии с той же комбинаторной структурой, что и их более привычные евклидовы версии. Несколько однородных гиперболических сот делят гиперболическое пространство на ячейки этих форм, во многом подобно привычному делению евклидова пространства на кубы. Однако не все многогранники можно представить в виде идеальных многогранников — многогранник может быть идеальным только тогда, когда его можно представить в евклидовой геометрии со всеми его вершинами на описанной сфере . Используя линейное программирование , можно проверить, имеет ли заданный многогранник идеальную версию, за полиномиальное время .

Любые два идеальных многогранника с одинаковым числом вершин имеют одинаковую площадь поверхности, и можно вычислить объем идеального многогранника с помощью функции Лобачевского . Поверхность идеального многогранника образует гиперболическое многообразие , топологически эквивалентное проколотой сфере, и каждое такое многообразие образует поверхность единственного идеального многогранника.

Примеры и контрпримеры

Идеальный многогранник может быть построен как выпуклая оболочка конечного множества идеальных точек гиперболического пространства, когда все точки не лежат на одной плоскости. Результирующая форма является пересечением всех замкнутых полупространств , которые имеют заданные идеальные точки в качестве предельных точек. В качестве альтернативы любой евклидов выпуклый многогранник, имеющий описанную сферу, может быть переинтерпретирован как идеальный многогранник, интерпретируя внутреннюю часть сферы как модель Клейна для гиперболического пространства. ^[1] В модели Клейна каждый евклидов многогранник, заключенный в сферу, представляет собой гиперболический многогранник, а каждый евклидов многогранник с вершинами на сфере представляет собой идеальный гиперболический многогранник. ^[2]

Каждый изогональный выпуклый многогранник (с симметриями, переводящими каждую вершину в каждую другую вершину) может быть представлен как идеальный многогранник, таким образом, который уважает его симметрии, поскольку он имеет описанную сферу с центром в центре симметрии многогранника. ^[3] В частности, это подразумевает, что Платоновы тела и Архимедовы тела все имеют идеальные формы. Однако другой высокосимметричный класс многогранников, каталонские тела , не все имеют идеальные формы. Каталонские тела являются двойственными многогранниками к архимедовым телам и имеют симметрии, переводящие любую грань в любую другую грань. Каталонские тела, которые не могут быть идеальными, включают ромбический додекаэдр и триакистетраэдр . ^[4]

Удаление определенных троек вершин из триакистетраэдра разделяет оставшиеся вершины на несколько связных компонентов. Когда такого разделения по трем вершинам не существует, многогранник называется 4-связным . Каждый 4-связный многогранник имеет представление в виде идеального многогранника; например, это верно для тетракисгексаэдра , другого каталонского тела. ^[5]

Усечение одной вершины куба дает простой многогранник (с тремя ребрами на вершину), который не может быть реализован как идеальный многогранник: по теореме Микеля о шести окружностях , если семь из восьми вершин куба идеальны, восьмая вершина также идеальна, и поэтому вершины, созданные усечением, не могут быть идеальными. Существуют также многогранники с четырьмя ребрами на вершину, которые не могут быть реализованы как идеальные многогранники. ^[6] Если симплициальный многогранник (все грани которого являются треугольниками) имеет все степени вершин от четырех до шести (включительно), то он имеет идеальное представление, но триакистетраэдр является симплициальным и неидеальным, а 4-регулярный неидеальный пример выше показывает, что для несимплициальных многогранников наличие всех степеней в этом диапазоне не гарантирует идеальной реализации. ^[7]

Характеристики

Измерения

Каждый идеальный многогранник с вершинами имеет поверхность, которую можно разбить на идеальные треугольники , ^[8] каждый площадью . ^[9] Таким образом, площадь поверхности равна в точности . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n-4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (2n-4)\pi }$

В идеальном многограннике все углы граней и все телесные углы в вершинах равны нулю. Однако двугранные углы на ребрах идеального многогранника не равны нулю. В каждой вершине дополнительные углы двугранных углов, инцидентных этой вершине, в сумме дают ровно . ^[2] Этот факт можно использовать для вычисления самих двугранных углов для правильного или симметричного по ребрам идеального многогранника (в котором все эти углы равны), подсчитав, сколько ребер сходится в каждой вершине: идеальный правильный тетраэдр, куб или додекаэдр с тремя ребрами на вершину имеет двугранные углы , идеальный правильный октаэдр или кубооктаэдр с четырьмя ребрами на вершину имеет двугранные углы , а идеальный правильный икосаэдр с пятью ребрами на вершину имеет двугранные углы . ^[10] ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 60^{\circ }=\pi /3=\pi (1-{\tfrac {2}{3}})}$ ${\displaystyle 90^{\circ }=\pi /2=\pi (1-{\tfrac {2}{4}})}$ ${\displaystyle 108^{\circ }=3\pi /5=\pi (1-{\tfrac {2}{5}})}$

Объем идеального тетраэдра можно выразить через функцию Клаузена или функцию Лобачевского его двугранных углов, а объем произвольного идеального многогранника можно затем найти, разбив его на тетраэдры и суммируя объемы тетраэдров. ^[11]

Инвариант Дена многогранника обычно находится путем объединения длин ребер и двугранных углов многогранника, но в случае идеального многогранника длины ребер бесконечны. Эту трудность можно обойти, используя орисферу для усечения каждой вершины, оставляя конечную длину вдоль каждого ребра. Полученная форма сама по себе не является многогранником, поскольку усеченные грани не плоские, но она имеет конечные длины ребер, и ее инвариант Дена можно вычислить обычным способом, игнорируя новые ребра, где усеченные грани встречаются с исходными гранями многогранника. Из-за способа определения инварианта Дена и ограничений на двугранные углы, встречающиеся в одной вершине идеального многогранника, результат этого вычисления не зависит от выбора орисфер, используемых для усечения вершин. ^[12]

Комбинаторная структура

Как доказал Эрнст Штейниц  (1928), максимальное независимое множество любого идеального многогранника (наибольшее возможное подмножество несмежных вершин) должно иметь не более половины вершин многогранника. Оно может иметь ровно половину только тогда, когда вершины можно разбить на два независимых множества равного размера, так что граф многогранника является сбалансированным двудольным графом , как для идеального куба. ^[13] Более строго, граф любого идеального многогранника является 1-жестким , что означает, что для любого удаление вершин из графа оставляет не более связных компонент. ^[14] Например, ромбический додекаэдр является двудольным, но имеет независимое множество с более чем половиной своих вершин, а триакистетраэдр имеет независимое множество ровно из половины вершин, но не является двудольным, поэтому ни один из них не может быть реализован как идеальный многогранник. ^[13] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Характеристика и распознавание

Не все выпуклые многогранники комбинаторно эквивалентны идеальным многогранникам. Геометрическая характеристика вписанных многогранников была предпринята, хотя и безуспешно, Рене Декартом в его рукописи De solidorum elementis около 1630 года . ^[15] Вопрос о нахождении комбинаторной характеристики идеальных многогранников, аналогичной теореме Штейница , характеризующей евклидовы выпуклые многогранники, был поднят Якобом Штейнером  (1832); численная (а не комбинаторная) характеристика была предоставлена ​​Ходжсоном, Ривином и Смитом (1992). Их характеристика основана на том факте, что двугранные углы идеального многогранника, инцидентные одной идеальной вершине, должны иметь дополнительные углы , сумма которых в точности равна , в то время как дополнительные углы, пересекаемые любой жордановой кривой на поверхности многогранника, имеющего более одной вершины на обеих его сторонах, должны быть больше. Например, для идеального куба двугранные углы равны , а их дополнения равны . Три дополнительных угла в одной вершине в сумме дают , но четыре угла, пересекаемые кривой посередине между двумя противоположными гранями, в сумме дают , а другие кривые пересекают еще больше этих углов с еще большими суммами. Ходжсон, Ривин и Смит (1992) показывают, что выпуклый многогранник эквивалентен идеальному многограннику тогда и только тогда, когда его ребрам можно присвоить числа с теми же свойствами: все эти числа лежат между и , они в сумме дают в каждой вершине и в сумме дают больше, чем на каждом негранном цикле двойственного графа . Когда такое назначение существует, существует единственный идеальный многогранник, двугранные углы которого являются дополнительными к этим числам. Вследствие этой характеристики реализуемость в виде идеального многогранника может быть выражена как линейная программа с экспоненциально большим числом ограничений (по одному для каждого негранного цикла) и проверена за полиномиальное время с использованием алгоритма эллипсоида . ^[16] ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi /3}$ ${\displaystyle 2\pi /3}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 8\pi /3>2\pi }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Более комбинаторная характеристика была предоставлена ​​Дилленкортом и Смитом (1995) для особого случая простых многогранников , многогранников только с тремя гранями и тремя ребрами, встречающимися в каждой (идеальной) вершине. Согласно их характеристике, простой многогранник является идеальным или вписываемым тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий: либо граф многогранника является двудольным графом , а его двойственный граф является 4-связным , либо он является 1-сверхжестким графом. В этом условии, будучи 1-сверхжестким графом, является вариацией прочности графа ; это означает, что для каждого набора из более чем одной вершины графа удаление из графа оставляет число связных компонентов, которое строго меньше . Основываясь на этой характеристике, они нашли линейный по времени комбинаторный алгоритм для проверки реализуемости простых многогранников как идеальных многогранников. ^[17] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |S|}$

Соты

Соты идеальных правильных многогранников

Поскольку идеальный правильный тетраэдр, куб, октаэдр и додекаэдр имеют двугранные углы, которые являются целыми дробями , все они могут замостить гиперболическое пространство, образуя правильные соты . ^[18] В этом они отличаются от евклидовых правильных тел, среди которых только куб может замостить пространство. ^[18] Идеальный тетраэдр, куб, октаэдр и додекаэдр образуют соответственно тетраэдрические соты порядка 6 , кубические соты порядка 6 , октаэдрические соты порядка 4 и додекаэдрические соты порядка 6 ; здесь порядок относится к числу ячеек, встречающихся на каждом ребре. Однако идеальный икосаэдр не замостит пространство таким же образом. ^[18] ${\displaystyle 2\pi }$

Разложение Эпштейна–Пеннера, конструкция DBA Epstein и RC Penner  (1988), может быть использовано для разложения любого гиперболического 3-многообразия с выступами на идеальные многогранники и для представления многообразия как результата склеивания этих идеальных многогранников. ^[19] Каждое многообразие, которое может быть представлено таким образом, имеет конечное число представлений. ^[20] Универсальное покрытие многообразия наследует то же самое разложение, которое образует соты идеальных многогранников. Примеры многообразий с выступами, приводящие к сотам таким образом, возникают естественным образом как дополнения узлов гиперболических связей , которые имеют касп для каждого компонента связи. Например, дополнение узла восьмерка связано таким образом с тетраэдрическими сотами порядка 6, ^[21] а дополнение колец Борромео связано таким же образом с октаэдрическими сотами порядка 4. ^[22] Эти две соты и три других, использующие идеальный кубооктаэдр , треугольную призму и усеченный тетраэдр , возникают при изучении групп Бианки и происходят из каспированных многообразий, образованных как факторы гиперболического пространства подгруппами групп Бианки. Те же многообразия можно также интерпретировать как дополнения зацеплений. ^[23]

Поверхностный коллектор

Поверхность идеального многогранника (не включая его вершины) образует многообразие , топологически эквивалентное проколотой сфере с однородной двумерной гиперболической геометрией; складки поверхности при ее вложении в гиперболическое пространство не обнаруживаются как складки во внутренней геометрии поверхности. Поскольку эта поверхность может быть разбита на идеальные треугольники , ее общая площадь конечна. Обратно, и аналогично теореме Александрова о единственности , каждое двумерное многообразие с однородной гиперболической геометрией и конечной площадью, комбинаторно эквивалентное конечно-проколотой сфере, может быть реализовано как поверхность идеального многогранника. (Как и в теореме Александрова, такие поверхности должны включать идеальные диэдры .) ^[24] С этой точки зрения теория идеальных многогранников тесно связана с дискретными приближениями к конформным отображениям . ^[25]

Поверхности идеальных многогранников можно также рассматривать более абстрактно как топологические пространства, образованные склеиванием идеальных треугольников посредством изометрии вдоль их ребер. Для каждой такой поверхности и каждой замкнутой кривой, которая не просто обертывается вокруг одной вершины многогранника (один или более раз), не разделяя другие, существует уникальная геодезическая на поверхности, которая гомотопна данной кривой. В этом отношении идеальные многогранники отличаются от евклидовых многогранников (и от их евклидовых моделей Клейна): например, на евклидовом кубе любая геодезическая может пересекать не более двух ребер, инцидентных одной вершине, последовательно, прежде чем пересечь неинцидентное ребро, но геодезические на идеальном кубе не ограничены таким образом. ^[26]

Смотрите также

• Канонический многогранник — многогранник, в котором каждое ребро касается общей сферы.
• Угол параллельности

Примечания

1. Терстон (1997), Пример 3.3.7 (дополнение к узлу восьмерка), стр. 128.
2. Ходжсон, Ривин и Смит (1992).
3. Леопольд (2014), стр. 3.
4. Padrol & Ziegler (2016); см. § Комбинаторная структура.
5. Дилленкур и Смит (1996).
6. Дилленкур и Эппштейн (2003).
7. Дилленкур и Смит (1996); Падроль и Циглер (2016) цитируют этот результат, но ошибочно опускают оговорку, что он справедлив только для симплициальных многогранников.
8. См., например, с. 272 Фейеса Тота (1981).
9. Терстон (1997), Предложение 2.4.12, стр. 83.
10. Коксетер (1956).
11. Чо и Ким (1999).
12. Дюпон и Сах (1982); Коулсон и др. (2000). Дюпон и Сах приписывают эту конструкцию Уильяму Терстону .
13. Steinitz (1928); Padrol & Ziegler (2016).
14. Дилленкур (1990); Падрол и Зиглер (2016).
15. Федерико (1982), стр. 52.
16. Ходжсон, Ривин и Смит (1992); Ривин (1996); Герито (2004).
17. Дилленкур и Смит (1995).
18. Коксетер (1956); Эпштейн и Пеннер (1988); Нельсон и Сегерман (2017).
19. Эпштейн и Пеннер (1988).
20. Акиёси (2001).
21. Хэтчер (1983); Эпштейн и Пеннер (1988).
22. Хэтчер (1983); Эбботт (1997).
23. Хэтчер (1983).
24. Ривин (1994); Спрингборн (2020).
25. Бобенко, Пинкалл и Спрингборн (2015).
26. Харитос (1996).

Ссылки

• Эбботт, Стив (июль 1997 г.), «Обзор Not Knot и Дополнение к Not Knot », The Mathematical Gazette , 81 (491): 340–342, doi :10.2307/3619248, JSTOR  3619248, S2CID  64589738
• Акиёси, Хиротака (2001), «Конечность полиэдральных разложений гиперболических многообразий с выступами, полученных методом Эпштейна–Пеннера», Труды Американского математического общества , 129 (8): 2431–2439, doi : 10.1090/S0002-9939-00-05829-9 , MR  1823928
• Бобенко, Александр И.; Пинкалл, Ульрих ; Спрингборн, Борис А. (2015), «Дискретные конформные отображения и идеальные гиперболические многогранники», Geometry & Topology , 19 (4): 2155–2215, arXiv : 1005.2698 , doi : 10.2140/gt.2015.19.2155 , MR  3375525
• Charitos, C. (1996), «Замкнутые геодезические на идеальных многогранниках размерности 2», Rocky Mountain Journal of Mathematics , 26 (2): 507–521, doi : 10.1216/rmjm/1181072071 , MR  1406493
• Чо, Юнхи; Ким, Хёк (1999), «О формуле объема для гиперболических тетраэдров», Дискретная и вычислительная геометрия , 22 (3): 347–366, doi : 10.1007/PL00009465 , MR  1706606
• Коулсон, Дэвид; Гудман, Оливер А.; Ходжсон, Крейг Д.; Нойманн, Уолтер Д. (2000), «Вычисление арифметических инвариантов 3-многообразий», Experimental Mathematics , 9 (1): 127–152, doi :10.1080/10586458.2000.10504641, MR  1758805, S2CID  1313215
• Коксетер, Х.С.М. (1956), «Регулярные соты в гиперболическом пространстве», Труды Международного конгресса математиков, 1954, Амстердам, т. III , Амстердам: Северная Голландия, стр. 155–169, MR  0087114
• Дилленкур, Майкл Б. (1990), «Прочность и триангуляции Делоне», Дискретная и вычислительная геометрия , 5 (6): 575–601, doi : 10.1007/BF02187810 , MR  1067787
• Дилленкорт, Майкл Б.; Эппштейн, Дэвид (2003), «Неописуемый 4-правильный многогранник», Электронные геометрические модели , Модель № 2003.08.001
• Дилленкурт, Майкл Б.; Смит, Уоррен Д. (1995), «Линейный алгоритм для проверки возможности записи трехвалентных многогранников», Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 5 (1–2): 21–36, doi :10.1142/S0218195995000039, MR  1331174
• Дилленкурт, Майкл Б.; Смит, Уоррен Д. (1996), «Графовые теоретические условия для описываемости и реализуемости Делоне», Дискретная математика , 161 (1–3): 63–77, doi :10.1016/0012-365X(95)00276-3, MR  1420521, S2CID  16382428
• Дюпон, Йохан Л.; Сах, Чи Хан (1982), «Сравнения ножниц. II», Журнал чистой и прикладной алгебры , 25 (2): 159–195, doi : 10.1016/0022-4049(82)90035-4 , MR  0662760
• Эпштейн, DBA ; Пеннер, RC (1988), «Евклидовы разложения некомпактных гиперболических многообразий», Журнал дифференциальной геометрии , 27 (1): 67–80, doi : 10.4310/jdg/1214441650 , MR  0918457
• Федерико, Паскуале Жозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование «De solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, т. 4, Springer
• Фейес Тот, Л. (1981), «Некоторые исследования, вдохновленные Г. С. М. Коксетером», в Дэвис, Чандлер; Грюнбаум, Бранко; Шерк, ФА (ред.), Геометрическая жила: сборник Коксетера , Нью-Йорк: Springer, стр. 271–277, doi :10.1007/978-1-4612-5648-9_18, ISBN 978-1-4612-5650-2
• Герито, Франсуа (2004), «Об элементарном доказательстве характеристики Ривином выпуклых идеальных гиперболических многогранников их двугранными углами», Geometriae Dedicata , 108 : 111–124, doi : 10.1007/s10711-004-3180-y, MR  2112668, S2CID  122106334
• Хэтчер, Аллен (1983), «Гиперболические структуры арифметического типа на некоторых дополнительных связях», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 27 (2): 345–355, doi :10.1112/jlms/s2-27.2.345, MR  0692540
• Hodgson, Craig D.; Rivin, Igor ; Smith, Warren D. (1992), "Характеристика выпуклых гиперболических многогранников и выпуклых многогранников, вписанных в сферу", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 27 (2): 246–251, arXiv : math/9210218 , doi : 10.1090/S0273-0979-1992-00303-8 , MR  1149872
• Леопольд, Ундина (2014), Вершинно-транзитивные многогранники в трехмерном пространстве , докторская диссертация, Северо-Восточный университет, hdl :2047/d20005074
• Нельсон, Ройс; Сегерман, Генри (январь 2017 г.), «Визуализация гиперболических сот», Journal of Mathematics and the Arts , 11 (1): 4–39, arXiv : 1511.02851 , doi : 10.1080/17513472.2016.1263789, S2CID  119164821
• Padrol, Arnau; Ziegler, Günter M. (2016), «Шесть тем о вписываемых многогранниках», в Bobenko, Alexander I. (ред.), Advances in Discrete Differential Geometry , Springer Open, стр. 407–419, arXiv : 1511.03458 , doi : 10.1007/978-3-662-50447-5_13 , ISBN 978-3-662-50446-8
• Ривин, Игорь (1994), «Внутренняя геометрия выпуклых идеальных многогранников в гиперболическом 3-пространстве», Анализ, алгебра и компьютеры в математических исследованиях (Лулео, 1992) , Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, т. 156, Нью-Йорк: Dekker, стр. 275–291, MR  1280952
• Ривин, Игорь (1996), «Характеристика идеальных многогранников в гиперболическом 3-пространстве», Annals of Mathematics , Вторая серия, 143 (1): 51–70, doi :10.2307/2118652, JSTOR  2118652, MR  1370757
• Спрингборн, Борис (2020), «Идеальные гиперболические многогранники и дискретная униформизация», Дискретная и вычислительная геометрия , 64 (1): 63–108, doi :10.1007/s00454-019-00132-8, MR  4110530, S2CID  203035718
• Штайнер, Якоб (1832), «Вопрос 77», Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (на немецком языке), Берлин: G. Fincke, стр. 316
• Стейниц, Эрнст (1928), «Über isoperimetrische Issuee bei konvexen Polyedern», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1928 (159): 133–143, doi : 10.1515/crll.1928.159.133, S2CID  199546274
• Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология. Том 1 , Princeton Mathematical Series, том 35, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, ISBN 0-691-08304-5, г-н  1435975