stringtranslate.com

Кольца Борромео

В математике кольца Борромео [a] представляют собой три простые замкнутые кривые в трехмерном пространстве, которые топологически связаны и не могут быть отделены друг от друга, но которые распадаются на две незавязанные и несвязанные петли, когда любая из трех разрезается или удаляется. Чаще всего эти кольца изображаются в виде трех окружностей на плоскости в виде диаграммы Венна , попеременно пересекающихся друг над другом и под друг другом в точках пересечения. Говорят, что другие тройки кривых образуют кольца Борромео, если они топологически эквивалентны кривым, изображенным на этом рисунке.

Кольца Борромео названы в честь итальянского дома Борромео , который использовал круглую форму этих колец как элемент своего герба , но дизайны, основанные на кольцах Борромео, использовались во многих культурах, в том числе норманнами и в Японии. Они использовались в христианской символике как знак Троицы , а в современной торговле как логотип пива Ballantine , что дало им альтернативное название кольца Ballantine . Физические экземпляры колец Борромео были сделаны из связанной ДНК или других молекул, и у них есть аналоги в состоянии Ефимова и ядрах Борромео , оба из которых имеют три компонента, связанных друг с другом, хотя никакие два из них не связаны.

Геометрически кольца Борромео могут быть реализованы с помощью связанных эллипсов или (используя вершины правильного икосаэдра ) с помощью связанных золотых прямоугольников . Их невозможно реализовать с помощью окружностей в трехмерном пространстве, но было высказано предположение, что их можно реализовать с помощью копий любой некруговой простой замкнутой кривой в пространстве. В теории узлов можно доказать, что кольца Борромео связаны, подсчитав их n- раскраски Фокса . Как связи, они являются брунновскими , чередующимися , алгебраическими и гиперболическими . В арифметической топологии некоторые тройки простых чисел имеют аналогичные свойства связи с кольцами Борромео.

Определение и обозначения

В математических публикациях, определяющих кольца Борромео, принято делать это в виде диаграммы связей , рисунка кривых на плоскости с отмеченными пересечениями, указывающими, какая кривая или часть кривой проходит выше или ниже в каждом пересечении. Такой рисунок можно преобразовать в систему кривых в трехмерном пространстве, вложив плоскость в пространство и деформировав кривые, нарисованные на ней выше или ниже вложенной плоскости в каждом пересечении, как указано на диаграмме. Обычно используемая диаграмма для колец Борромео состоит из трех равных окружностей с центрами в точках равностороннего треугольника , достаточно близко друг к другу, чтобы их внутренние части имели общее пересечение (например, в диаграмме Венна или трех окружностях, используемых для определения треугольника Рело ). Его пересечения чередуются между верхними и нижними, если рассматривать их в последовательном порядке вокруг каждой окружности; [2] [3] [4] другой эквивалентный способ описания отношения сверху-снизу между тремя окружностями состоит в том, что каждая окружность проходит над второй окружностью в обоих их пересечениях и под третьей окружностью в обоих их пересечениях. [5] Две связи называются эквивалентными, если существует непрерывная деформация пространства ( окружающая изотопия ), переводящая одну связь в другую, и кольца Борромео могут относиться к любой связи, которая эквивалентна в этом смысле стандартной диаграмме для этой связи. [4]

В «Атласе узлов » кольца Борромео обозначены кодом «L6a4»; обозначение означает, что это связь с шестью пересечениями и чередующейся диаграммой, четвертая из пяти чередующихся связей с 6 пересечениями, определенных Морвен Тислтуэйт в списке всех простых связей с числом пересечений до 13. [6] В таблицах узлов и связей в книге Дейла Рольфсена 1976 года « Узлы и связи» , расширяющей более ранние списки 1920-х годов Александера и Бриггса, кольцам Борромео была дана нотация Александера–Бриггса «63
2", что означает, что это вторая из трех 6-пересекающихся 3-компонентных связей, которые будут перечислены. [6] [7] Обозначение Конвея для колец Борромео, ".1", является сокращенным описанием стандартной диаграммы связей для этой связи. [8]

История и символика

Название «кольца Борромео» происходит от использования этих колец в форме трех связанных кругов в гербе аристократической семьи Борромео в Северной Италии . [9] [10] Сама связь намного старше и появилась в форме валькнута , трех связанных равносторонних треугольников с параллельными сторонами, на норвежских камнях с изображениями, датируемых VII веком. [11] Святилище Омива в Японии также украшено мотивом колец Борромео в их традиционной круглой форме. [2] Каменная колонна в храме Марундисварар VI века в Индии показывает три равносторонних треугольника, повернутых друг относительно друга, чтобы сформировать правильную эннеаграмму ; подобно кольцам Борромео, эти три треугольника связаны, а не попарно связаны, [12] но этот рисунок пересечения описывает иную связь, чем кольца Борромео. [13]

Поверхность Зейферта колец Борромео

Кольца Борромео использовались в разных контекстах для обозначения силы в единстве. [14] В частности, некоторые использовали дизайн для обозначения Троицы . [3] Французская рукопись XIII века, изображающая кольца Борромео, обозначенные как единство в троице, была утеряна в пожаре в 1940-х годах, но воспроизведена в книге 1843 года Адольфа Наполеона Дидрона . Дидрон и другие предположили, что описание Троицы как трех равных кругов в песне 33 « Рая » Данте было вдохновлено похожими образами, хотя Данте не детализирует геометрическое расположение этих кругов. [15] [16] Психоаналитик Жак Лакан нашел вдохновение в кольцах Борромео как в модели для своей топологии человеческой субъективности, где каждое кольцо представляло собой фундаментальный лакановский компонент реальности («реальный», «воображаемый» и «символический»). [17]

Кольца использовались в качестве логотипа пива Ballantine и до сих пор используются брендом пива Ballantine, который теперь распространяется нынешним владельцем бренда, Pabst Brewing Company . [18] [19] По этой причине их иногда называют «кольцами Ballantine». [3] [18]

Первой работой по теории узлов , включающей кольца Борромео, был каталог узлов и связей, составленный в 1876 году Питером Тейтом . [3] В развлекательной математике кольца Борромео были популяризированы Мартином Гарднером , который представил поверхности Зейферта для колец Борромео в своей колонке « Математические игры » в журнале Scientific American в сентябре 1961 года . [19] В 2006 году Международный математический союз на 25-м Международном конгрессе математиков в Мадриде, Испания, принял решение использовать новый логотип, основанный на кольцах Борромео. [2]

Частичные и множественные кольца

В средневековой и ренессансной Европе ряд визуальных знаков состоит из трех элементов, переплетенных вместе таким же образом, как кольца Борромео показаны переплетенными (в их обычном двухмерном изображении), но с отдельными элементами, которые не являются замкнутыми петлями. Примерами таких символов являются каменные рога Снолделева [20] и полумесяцы Дианы из Пуатье . [3]

Некоторые связи теории узлов содержат несколько конфигураций колец Борромео; одна пятипетлевая связь такого типа используется в качестве символа в дискордианстве , основанном на изображении в Principia Discordia . [21]

Математические свойства

Связанность

Диаграмма алгебраических связей для колец Борромео. Вертикальная пунктирная черная средняя линия — это сфера Конвея, разделяющая диаграмму на 2-клубки .

В теории узлов кольца Борромео являются простым примером брунновской связи , связи, которая не может быть разделена, но которая распадается на отдельные незавязанные петли, как только удаляется любой из ее компонентов. Существует бесконечно много брунновских связей и бесконечно много трехкривых брунновских связей, из которых кольца Борромео являются простейшими. [13] [22]

Существует несколько способов увидеть, что кольца Борромео связаны. Один из них — использовать раскраски Фокса n , раскраски дуг диаграммы связей с целыми числами по модулю n, так что на каждом пересечении два цвета в подпересечении имеют то же среднее значение (по модулю n ), что и цвет дуги надпересечения, и так, чтобы использовалось по крайней мере два цвета. Количество раскрасок, удовлетворяющих этим условиям, является инвариантом узла , не зависящим от диаграммы, выбранной для связи. Тривиальная связь с тремя компонентами имеет раскраски, полученные из ее стандартной диаграммы путем выбора цвета независимо для каждого компонента и отбрасывания раскрасок, которые используют только один цвет. Для стандартной диаграммы колец Борромео, с другой стороны, одни и те же пары дуг встречаются в двух подпересечениях, заставляя дуги, которые пересекают их, иметь одинаковый цвет друг с другом, из чего следует, что единственные раскраски, которые удовлетворяют условиям пересечения, нарушают условие использования более одного цвета. Поскольку тривиальная связь имеет много допустимых раскрасок, а кольца Борромео не имеют ни одной, они не могут быть эквивалентны. [4] [23]

Кольца Борромео являются чередующимися связями , поскольку их обычные диаграммы связей имеют пересечения, которые чередуются между проходом над и под каждой кривой, в порядке вдоль кривой. Они также являются алгебраическими связями , связями, которые могут быть разложены сферами Конвея на 2-клубки . Они являются простейшими чередующимися алгебраическими связями, которые не имеют диаграммы, которая одновременно является чередующейся и алгебраической. [24] Из гипотез Тейта следует , что число пересечений колец Борромео (наименьшее число пересечений в любой из их диаграмм связей) равно 6, числу пересечений в их чередующихся диаграммах. [4]

Форма кольца

Кольца Борромео обычно рисуются с их кольцами, проецирующимися на окружности в плоскости рисунка, но трехмерные круговые кольца Борромео являются невозможным объектом : невозможно образовать кольца Борромео из окружностей в трехмерном пространстве. [4] В более общем смысле Майкл Х. Фридман и Ричард Скора (1987) доказали с помощью четырехмерной гиперболической геометрии , что никакое зацепление Брунна не может быть точно круговым. [25] Для трех колец в их обычном расположении Борромео это можно увидеть, рассмотрев диаграмму зацепления . Если предположить, что два круга касаются в своих двух точках пересечения, то они лежат либо на плоскости, либо на сфере. В любом случае третий круг должен проходить через эту плоскость или сферу четыре раза, не лежа в ней, что невозможно. [26] Другой аргумент в пользу невозможности круговых реализаций, предложенный Хельге Твербергом , использует инверсионную геометрию для преобразования любых трех окружностей таким образом, чтобы одна из них стала линией, что упрощает доказательство того, что две другие окружности не связаны с ней, образуя кольца Борромео. [27]

Однако кольца Борромео могут быть реализованы с использованием эллипсов. [2] Их можно считать имеющими произвольно малый эксцентриситет : независимо от того, насколько близка к круглой их форма, пока они не идеально круглые, они могут образовывать борромеовы связи, если они соответствующим образом расположены. Реализацию колец Борромео тремя взаимно перпендикулярными золотыми прямоугольниками можно найти внутри правильного икосаэдра, соединив три противоположные пары его ребер. [2] Каждые три незавязанных многоугольника в евклидовом пространстве могут быть объединены после подходящего масштабного преобразования для формирования колец Борромео. Если все три многоугольника плоские, то масштабирование не требуется. [28] В частности, поскольку кольца Борромео могут быть реализованы тремя треугольниками, минимально возможное число сторон для каждой из его петель, число палок колец Борромео, равно девяти. [29]

Нерешенная задача по математике :
Существуют ли три незавязанные кривые, не все из которых являются окружностями, которые не могут образовать кольца Борромео?
(еще нерешенные проблемы по математике)

В более общем плане Мэтью Кук предположил , что любые три незавязанные простые замкнутые кривые в пространстве, а не все окружности, могут быть объединены без масштабирования для формирования колец Борромео. После того, как Джейсон Кантарелла предложил возможный контрпример, Хью Нельсон Ховардс ослабил гипотезу, чтобы применить ее к любым трем плоским кривым, которые не являются все окружностями. С другой стороны, хотя существует бесконечно много брунновских связей с тремя связями, кольца Борромео являются единственными, которые могут быть образованы из трех выпуклых кривых. [28]

Длина веревки

Логотип Международного математического союза

В теории узлов длина веревки узла или звена — это наименьшая длина гибкой веревки (радиуса один), которая может ее реализовать. Математически такая реализация может быть описана гладкой кривой, трубчатая окрестность которой радиусом один избегает самопересечений. Минимальная длина веревки колец Борромео не была доказана, но наименьшее достигнутое значение реализуется тремя копиями 2-дольчатой ​​плоской кривой. [2] [30] Хотя она напоминает более раннего кандидата на минимальную длину веревки, построенного из четырех дуг окружности радиусом два, [31] она немного изменена по сравнению с этой формой и состоит из 42 гладких частей, определяемых эллиптическими интегралами , что делает ее короче на долю процента, чем кусочно-круговая реализация. Именно эта реализация, предположительно минимизирующая длину веревки, была использована для логотипа Международного математического союза . Ее длина составляет , в то время как лучшая доказанная нижняя граница длины составляет . [2] [30]

Для дискретного аналога ropelength, кратчайшего представления, использующего только ребра целочисленной решетки , минимальная длина для колец Борромео равна ровно . Это длина представления, использующего три целочисленных прямоугольника, вписанных в икосаэдр Йессена таким же образом, как представление золотыми прямоугольниками вписано в правильный икосаэдр. [32]

Гиперболическая геометрия

Дополнение колец Борромео, гиперболическое многообразие, образованное двумя идеальными октаэдрами, неоднократно показанное на этом виде. Кольца находятся бесконечно далеко, в вершинах октаэдра.

Кольца Борромео являются гиперболическим зацеплением : пространство, окружающее кольца Борромео (их дополнение зацепления ), допускает полную гиперболическую метрику конечного объема. Хотя гиперболические зацепления в настоящее время считаются многочисленными, кольца Борромео были одним из самых ранних примеров, для которых было доказано, что они гиперболичны, в 1970-х годах, [33] [34] и это дополнение зацепления было центральным примером в видео Not Knot , выпущенном в 1991 году Центром геометрии . [35]

Гиперболические многообразия можно каноническим образом разложить на склейки гиперболических многогранников (разложение Эпштейна–Пеннера), а для дополнения Борромео это разложение состоит из двух идеальных правильных октаэдров . [34] [36] Объем дополнения Борромео равен , где — функция Лобачевского , а — постоянная Каталана . [36] Дополнение колец Борромео универсально в том смысле, что каждое замкнутое 3- многообразие является разветвленным покрытием над этим пространством. [37]

Теория чисел

В арифметической топологии существует аналогия между узлами и простыми числами , в которой рассматриваются связи между простыми числами. Тройка простых чисел (13, 61, 937) связана по модулю 2 (символ Редеи равен −1), но попарно не связана по модулю 2 ( все символы Лежандра равны 1). Поэтому эти простые числа были названы «собственной тройкой Борромео по модулю 2» [38] или «простыми числами Борромео по модулю 2». [39]

Физические реализации

Узел «кулак обезьяны» по сути является трехмерным представлением колец Борромео, хотя и с тремя слоями, в большинстве случаев. [41] Скульптор Джон Робинсон создал произведения искусства с тремя равносторонними треугольниками, сделанными из листового металла , соединенными для формирования колец Борромео и напоминающими трехмерную версию валькнута. [13] [29] Обычная конструкция складного деревянного штатива состоит из трех частей, вырезанных из одного куска дерева, причем каждая часть состоит из двух длинных деревянных частей, ножек и верхних сторон штатива, соединенных двумя сегментами дерева, которые окружают удлиненное центральное отверстие в части. Другая из трех частей проходит через каждое из этих отверстий, связывая три части вместе в узоре колец Борромео. Штативы этой формы были описаны как происходящие из индийских или африканских ручных ремесел. [42] [43]

В химии молекулярные кольца Борромео являются молекулярными аналогами колец Борромео, которые представляют собой механически взаимосвязанные молекулярные архитектуры . В 1997 году биолог Чэндэ Мао и его коллеги из Нью-Йоркского университета преуспели в построении набора колец из ДНК . [44] В 2003 году химик Фрейзер Стоддарт и его коллеги из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе использовали координационную химию для построения набора колец за один шаг из 18 компонентов. [40] Структуры колец Борромео использовались для описания кластеров благородных металлов, защищенных поверхностным слоем тиолатных лигандов. [45] Библиотека сетей Борромео была синтезирована по проекту Джузеппе Реснати и его коллег с помощью самосборки, управляемой галогенными связями . [46] Для того чтобы получить доступ к молекулярному кольцу Борромео, состоящему из трех неравных циклов, Джей С. Сигел и его коллеги предложили пошаговый синтез. [47]

В физике квантово-механический аналог колец Борромео называется гало-состоянием или состоянием Ефимова и состоит из трех связанных частиц, которые не связаны попарно. Существование таких состояний было предсказано физиком Виталием Ефимовым в 1970 году и подтверждено многочисленными экспериментами, начиная с 2006 года. [48] [49] Это явление тесно связано с ядром Борромео , стабильным атомным ядром, состоящим из трех групп частиц, которые были бы нестабильны в парах. [50] Другой аналог колец Борромео в квантовой теории информации включает запутывание трех кубитов в состоянии Гринбергера–Хорна–Цайлингера . [14]

Примечания

  1. ^ Произносится / b ɒ r oʊ ˈ m iː ə n / [1]

Ссылки

  1. ↑ Маккей и Маккей 1922 Произношение 10 000 имен собственных
  2. ^ abcdefg Ганн, Чарльз; Салливан, Джон М. (2008), «Кольца Борромео: видео о новом логотипе ИДУ», в Сарханги, Реза; Секен, Карло Х. (ред.), Бриджес Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 63–70, ISBN 978-0-9665201-9-4; см. само видео в разделе «Кольца Борромео: новый логотип для ИМУ, архив 2021-03-08 на Wayback Machine » [с видео], Международный математический союз
  3. ^ abcde Кромвель, Питер; Бельтрами, Элизабетта; Рампикини, Марта (март 1998), «Кольца Борромео», Математический турист, The Mathematical Intelligencer , 20 (1): 53–62, doi :10.1007/bf03024401, S2CID  189888135
  4. ^ abcde Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2018), «Глава 15: Кольца Борромео не существуют», Корректуры из КНИГИ (6-е изд.), Springer, стр. 99–106, doi :10.1007/978-3-662-57265-8_15, ISBN 978-3-662-57265-8
  5. ^ Чемберленд, Марк; Герман, Юджин А. (2015), «Камень-ножницы-бумага встречает кольца Борромео», The Mathematical Intelligencer , 37 (2): 20–25, doi :10.1007/s00283-014-9499-4, MR  3356112, S2CID  558993
  6. ^ ab "Кольца Борромео", Атлас узлов .
  7. ^ Рольфсен, Дейл (1990), Узлы и связи, серия лекций по математике, т. 7 (2-е изд.), Publish or Perish, Inc., Хьюстон, Техас, стр. 425, ISBN 0-914098-16-0, МР  1277811
  8. ^ Конвей, Дж. Х. (1970), «Перечисление узлов и связей и некоторые их алгебраические свойства», Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967) , Oxford: Pergamon, стр. 329–358, MR  0258014; см. описание обозначений, стр. 332–333, и вторую строку таблицы, стр. 348.
  9. ↑ Крам Браун, Александр (декабрь 1885 г.), «О случае переплетения поверхностей», Труды Королевского общества Эдинбурга , 13 : 382–386
  10. ^ Шёк, Ричард Дж. (весна 1968 г.), «Математика и языки литературной критики», Журнал эстетики и художественной критики , 26 (3): 367–376, doi :10.2307/429121, JSTOR  429121
  11. ^ Брунс, Карсон Дж.; Стоддарт, Дж. Фрейзер (2011), «Механическая связь: произведение искусства», в Fabbrizzi, L. (ред.), Красота в химии , Топики в современной химии, т. 323, Springer, стр. 19–72, doi :10.1007/128_2011_296, PMID  22183145
  12. ↑ Лакшминараян, Арул (май 2007 г.), «Борромеевские треугольники и простые узлы в древнем храме», Resonance , 12 (5): 41–47, doi :10.1007/s12045-007-0049-7, S2CID  120259064
  13. ^ abc Jablan, Slavik V. (1999), «Действительно ли связи Борромео так редки?», Труды 2-го Международного симпозиума по симметрии Катачи U, часть 1 (Цукуба, 1999), Forma , 14 (4): 269–277, MR  1770213
  14. ^ ab Aravind, PK (1997), "Борромеевская запутанность состояния GHZ" (PDF) , в Cohen, RS; Horne, M.; Stachel, J. (ред.), Потенциальность, запутанность и страсть на расстоянии , Boston Studies in the Philosophy of Science, Springer, стр. 53–59, doi :10.1007/978-94-017-2732-7_4, MR  1739812
  15. ^ Дидрон, Адольф Наполеон (1843), Iconographie Chrétienne (на французском языке), Париж: Imprimerie Royale, стр. 568–569
  16. ^ Сайбер, Ариэль; Мбирика, аБа (2013), «Три гири рая 33» (PDF) , Исследования Данте (131): 237–272, JSTOR  43490498
  17. ^ Рэгланд-Салливан, Элли; Милованович, Драган (2004), «Введение: топологически говоря», Лакан: топологически говоря , Other Press, ISBN 978-1-892746-76-4
  18. ^ ab Glick, Ned (сентябрь 1999), «Трехкольцевой символ пива Ballantine», Математический турист, The Mathematical Intelligencer , 21 (4): 15–16, doi :10.1007/bf03025332, S2CID  123311380
  19. ^ ab Gardner, Martin (сентябрь 1961 г.), «Поверхности с ребрами, соединенными таким же образом, как три кольца известной конструкции», Mathematical Games , Scientific American, перепечатано как Гарднер, Мартин (1991), «Узлы и кольца Борромео», Неожиданное повешение и другие математические развлечения , Издательство Чикагского университета, стр. 24–33; см. также Гарднер, Мартин (сентябрь 1978 г.), «Тороиды доктора Клонефейка», Asimov's Science Fiction , т. 2, № 5, стр. 29
  20. ↑ Baird, Joseph L. (1970), "Unferth the þyle ", Medium Ævum , 39 (1): 1–12, doi :10.2307/43631234, JSTOR  43631234, на камне также изображены три переплетенных рога.
  21. ^ "Мандала", Principia Discordia (4-е изд.), март 1970 г., стр. 43
  22. ^ Бай, Шэн; Ван, Вэйбяо (2020), «Новые критерии и конструкции брунновских связей», Журнал теории узлов и ее последствий , 29 (13): 2043008, 27, arXiv : 2006.10290 , doi : 10.1142/S0218216520430087, MR  4213076, S2CID  219792382
  23. ↑ Nanyes, Ollie (октябрь 1993 г.), «Элементарное доказательство неразрушимости колец Борромео», American Mathematical Monthly , 100 (8): 786–789, doi :10.2307/2324788, JSTOR  2324788
  24. ^ Thistlethwaite, Morwen B. (1991), «Об алгебраической части переменного звена», Pacific Journal of Mathematics , 151 (2): 317–333, doi : 10.2140/pjm.1991.151.317 , MR  1132393
  25. ^ Фридман, Майкл Х.; Скора, Ричард (1987), «Странные действия групп на сферах», Журнал дифференциальной геометрии , 25 : 75–98, doi : 10.4310/jdg/1214440725; см. в частности Лемму 3.2, стр. 89
  26. ^ Линдстрем, Бернт; Зеттерстрем, Ханс-Олов (1991), «Круги Борромео невозможны», American Mathematical Monthly , 98 (4): 340–341, doi : 10.2307/2323803, JSTOR  2323803. Однако следует отметить, что Ганн и Салливан (2008) пишут, что эта ссылка «кажется, неверно рассматривает только случай, когда трехмерная конфигурация имеет проекцию, гомеоморфную» традиционному трехкруговому рисунку связи.
  27. ^ Tverberg, Helge (2010), «О кольцах Борромео» (PDF) , The Mathematical Scientist , 35 (1): 57–60, MR  2668444, архивировано из оригинала (PDF) 2021-03-16 , извлечено 2021-03-16
  28. ^ ab Ховардс, Хью Нельсон (2013), «Формирование колец Борромео из произвольных многоугольных узлов», Журнал теории узлов и ее разветвлений , 22 (14): 1350083, 15, arXiv : 1406.3370 , doi : 10.1142/S0218216513500831, MR  3190121, S2CID  119674622
  29. ^ ab Burgiel, H.; Franzblau, DS; Gutschera, KR (1996), «Тайна связанных треугольников», Mathematics Magazine , 69 (2): 94–102, doi :10.1080/0025570x.1996.11996399, JSTOR  2690662, MR  1394792
  30. ^ ab Кантарелла, Джейсон; Фу, Джозеф Х.Г.; Каснер, Роб; Салливан, Джон М .; Вринкл, Нэнси К. (2006), «Критичность для проблемы связей Геринга» (PDF) , Геометрия и топология , 10 (4): 2055–2116, arXiv : math/0402212 , doi : 10.2140/gt.2006.10.2055 , MR  2284052
  31. ^ Кантарелла, Джейсон; Каснер, Роберт Б.; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине веревки узлов и связей» (PDF) , Inventiones Mathematicae , 150 (2): 257–286, arXiv : math/0103224 , Bibcode :2002InMat.150..257C, doi :10.1007/s00222-002-0234-y, MR  1933586, S2CID  730891
  32. ^ Uberti, R.; Janse van Rensburg, EJ; Orlandini, E.; Tesi, MC; Whittington, SG (1998), "Минимальные связи в кубической решетке", в Whittington, Stuart G.; Sumners, Witt De; Lodge, Timothy (ред.), Топология и геометрия в науке о полимерах , IMA Volumes in Mathematics and its Applications, т. 103, New York: Springer, стр. 89–100, doi :10.1007/978-1-4612-1712-1_9, MR  1655039; см. Таблицу 2, стр. 97
  33. ^ Райли, Роберт (1979), «Эллиптический путь от параболических представлений к гиперболическим структурам», в Fenn, Roger (ред.), Топология маломерных многообразий: Труды Второй Сассекской конференции, 1977 , Lecture Notes in Mathematics, т. 722, Springer, стр. 99–133, doi :10.1007/BFb0063194, ISBN 978-3-540-09506-4, МР  0547459
  34. ^ ab Ratcliffe, John G. (2006), "Дополнение к кольцам Борромео", Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics, т. 149 (2-е изд.), Springer, стр. 459–461, ISBN 978-0-387-33197-3, г-н  2249478
  35. ↑ Эбботт, Стив (июль 1997 г.), «Обзор Not Knot и Дополнение к Not Knot », The Mathematical Gazette , 81 (491): 340–342, doi :10.2307/3619248, JSTOR  3619248, S2CID  64589738
  36. ^ ab William Thurston (март 2002 г.), "7. Вычисление объема", Геометрия и топология трехмерных многообразий, стр. 165, архивировано из оригинала (PDF) 27.07.2020 г. , извлечено 17.01.2012 г.
  37. ^ Хильден, Хью М.; Лосано, Мария Тереза ; Монтесинос, Хосе Мария (1983), «Звено Уайтхеда, кольца Борромео и узел 9 46 универсальны», Seminario Matemático de Barcelona , ​​34 (1): 19–28, MR  0747855
  38. ^ Фогель, Денис (2005), Masseyprodukte in der Galoiskohomologie von Zahlkörpern [ Произведения Масси в когомологиях Галуа числовых полей ], Математический институт, Университет Георга-Августа, Геттинген: Семинары, зимний семестр 2004/2005, Геттинген: Universitätsdrucke Göttingen, стр. 93–98, номер документа : 10.11588/heidok.00004418, MR  2206880
  39. ^ Морисита, Масанори (2010), «Аналогии между узлами и простыми числами, 3-многообразиями и числовыми кольцами», Sugaku Expositions , 23 (1): 1–30, arXiv : 0904.3399 , MR  2605747
  40. ^ ab Chichak, Kelly S.; Cantrill, Stuart J.; Pease, Anthony R.; Chiu, Sheng-Hsien; Cave, Gareth WV; Atwood, Jerry L.; Stoddart, J. Fraser (28 мая 2004 г.), "Молекулярные кольца Борромео" (PDF) , Science , 304 (5675): 1308–1312, Bibcode : 2004Sci...304.1308C, doi : 10.1126/science.1096914, PMID  15166376, S2CID  45191675
  41. ^ Эшли, Клиффорд Уоррен (1993) [1944], Книга узлов Эшли, Doubleday, стр. 354, ISBN 978-0-385-04025-9
  42. ^ Фримен, Джим (2015), «Сбор улик из необычных предметов Марго», Бюллетень исторического общества Тьюксбери , 24
  43. ^ "African Borromean Rings", Mathematics and Knots , Centre for the Popularisation of Maths, University of Wales, 2002 , получено 12.02.2021
  44. ^ Mao, C.; Sun, W.; Seeman, NC (1997), «Сборка колец Борромео из ДНК», Nature , 386 (6621): 137–138, Bibcode : 1997Natur.386..137M, doi : 10.1038/386137b0, PMID  9062186, S2CID  4321733
  45. ^ Натараджан, Ганапати; Мэтью, Амму; Негиши, Юичи; Уэттен, Роберт Л.; Прадип, Талаппил (2015-12-02), «Единая структура для понимания структуры и модификаций атомарно точных монослойных защищенных золотых кластеров», Журнал физической химии C , 119 (49): 27768–27785, doi :10.1021/acs.jpcc.5b08193, ISSN  1932-7447
  46. ^ Кумар, Виджит; Пилати, Туллио; Терранео, Джанкарло; Мейер, Франк; Метранголо, Пьеранджело; Реснати, Джузеппе (2017), «Сети Борромео с галогенными связями по замыслу: топологическая инвариантность и метрическая настройка в библиотеке многокомпонентных систем», Chemical Science , 8 (3): 1801–1810, doi : 10.1039/C6SC04478F, PMC 5477818 , PMID  28694953 
  47. ^ Великс, Янис; Сейферт, Хелен М.; Франц, Дерик К.; Клостерман, Джереми К.; Ценг, Джуй-Чанг; Линден, Энтони; Сигел, Джей С. (2016), «К молекулярной связи Борромео с тремя неравными кольцами: двухпоточные комплексы рутения(ii) кольцо в кольце», Organic Chemistry Frontiers , 3 (6): 667–672, doi : 10.1039/c6qo00025h
  48. ^ Kraemer, T.; Mark, M.; Waldburger, P.; Danzl, JG; Chin, C.; Engeser, B.; Lange, AD; Pilch, K.; Jaakkola, A.; Nägerl, H.-C.; Grimm, R. (2006), "Доказательства квантовых состояний Ефимова в ультрахолодном газе атомов цезия", Nature , 440 (7082): 315–318, arXiv : cond-mat/0512394 , Bibcode :2006Natur.440..315K, doi :10.1038/nature04626, PMID  16541068, S2CID  4379828
  49. ^ Московиц, Клара (16 декабря 2009 г.), «Странная физическая теория доказана спустя почти 40 лет», Live Science
  50. ^ Танака, К. (2010), «Наблюдение большого сечения реакции в ядре капельной линии 22 C», Physical Review Letters , 104 (6): 062701, Bibcode : 2010PhRvL.104f2701T, doi : 10.1103/PhysRevLett.104.062701, PMID  20366816, S2CID  7951719

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме «Кольца Борромео» .