Изгиб

Деформация, вызванная внешней нагрузкой

Изгиб Ɪ-балки

В прикладной механике изгиб ( также известный как прогиб ) характеризует поведение тонкого структурного элемента, подверженного внешней нагрузке , приложенной перпендикулярно продольной оси элемента.

Предполагается, что структурный элемент таков, что по крайней мере один из его размеров составляет малую долю, обычно 1/10 или меньше, двух других. ^[1] Когда длина значительно больше ширины и толщины, элемент называется балкой . Например, штанга для шкафа , провисающая под тяжестью одежды на вешалках, является примером балки, испытывающей изгиб. С другой стороны, оболочка — это структура любой геометрической формы, где длина и ширина имеют одинаковый порядок величины, но толщина структуры (известная как «стенка») значительно меньше. Короткая труба большого диаметра, но с тонкими стенками, поддерживаемая на концах и нагруженная сбоку, является примером оболочки, испытывающей изгиб.

При отсутствии определителя термин изгиб неоднозначен, поскольку изгиб может происходить локально во всех объектах. Поэтому, чтобы сделать использование термина более точным, инженеры ссылаются на конкретный объект, такой как: изгиб стержней , ^[2] изгиб балок , ^[1] изгиб пластин , ^[3] изгиб оболочек ^[2] и т. д.

Квазистатический изгиб балок

Балка деформируется, и внутри нее возникают напряжения, когда на нее действует поперечная нагрузка. В квазистатическом случае предполагается, что величина изгибного прогиба и возникающие напряжения не меняются со временем. В горизонтальной балке, поддерживаемой на концах и нагруженной сверху в середине, материал на верхней стороне балки сжимается, а материал на нижней стороне растягивается. Существует две формы внутренних напряжений, вызванных поперечными нагрузками:

• Касательное напряжение, параллельное боковой нагрузке, плюс дополнительное касательное напряжение в плоскостях, перпендикулярных направлению нагрузки;
• Прямое сжимающее напряжение в верхней области балки, применимое в основном к элементам из цементного бетона и,
• Прямое растягивающее напряжение , приложенное к стальным элементам, находится в нижней части балки.

Эти две последние силы образуют пару или момент , поскольку они равны по величине и противоположны по направлению. Этот изгибающий момент сопротивляется деформации провисания, характерной для балки, испытывающей изгиб. Распределение напряжений в балке можно предсказать довольно точно, если использовать некоторые упрощающие предположения. ^[1]

Теория изгиба Эйлера–Бернулли

Элемент изогнутой балки: волокна образуют концентрические дуги, верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.

Изгибающие моменты в балке

В теории Эйлера–Бернулли тонких балок основным предположением является то, что «плоские сечения остаются плоскими». Другими словами, любая деформация из-за сдвига по сечению не учитывается (деформация сдвига отсутствует). Кроме того, это линейное распределение применимо только в том случае, если максимальное напряжение меньше предела текучести материала. Для напряжений, которые превышают предел текучести, см. статью пластический изгиб . При пределе текучести максимальное напряжение, испытываемое в сечении (в самых удаленных точках от нейтральной оси балки), определяется как предел прочности на изгиб .

Рассмотрим балки, для которых выполняются следующие условия:

• Изначально балка прямая и тонкая, а любое сужение незначительно
• Материал является изотропным (или ортотропным ), линейно-упругим и однородным по всему поперечному сечению (но не обязательно по длине).
• Рассматриваются только небольшие отклонения.

В этом случае уравнение, описывающее прогиб балки ( ), можно аппроксимировать следующим образом: ${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}={\frac {M(x)}{E(x)I(x)}}}$

где вторая производная его изогнутой формы по интерпретируется как его кривизна, — модуль Юнга , — момент инерции площади поперечного сечения, а — внутренний изгибающий момент в балке. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$

Если, кроме того, балка однородна по всей длине, а не имеет конического сечения (т.е. постоянного поперечного сечения), и прогибается под действием приложенной поперечной нагрузки , то можно показать, что: ^[1] ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w(x)}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)}$

Это уравнение Эйлера–Бернулли для изгиба балки.

После того, как получено решение для смещения балки, изгибающий момент ( ) и поперечная сила ( ) в балке могут быть рассчитаны с использованием соотношений ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}~;~~Q(x)={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}.}$

Простой изгиб балки часто анализируется с помощью уравнения Эйлера-Бернулли. Условия для использования теории простого изгиба: ^[4]

1. Балка подвергается чистому изгибу . Это означает, что сила сдвига равна нулю, и что отсутствуют крутящие или осевые нагрузки.
2. Материал изотропен (или ортотропен ) и однороден .
3. Материал подчиняется закону Гука (он линейно-эластичен и не деформируется пластически).
4. Изначально балка прямая, с постоянным по всей длине сечением.
5. Балка имеет ось симметрии в плоскости изгиба.
6. Пропорции балки таковы, что она разрушится в результате изгиба, а не смятия, сморщивания или бокового выпучивания .
7. Поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими.

Отклонение симметрично отклоненной балки и принцип суперпозиции

Сжимающие и растягивающие силы развиваются в направлении оси балки под изгибающими нагрузками. Эти силы вызывают напряжения в балке. Максимальное сжимающее напряжение находится на самом верхнем крае балки, в то время как максимальное растягивающее напряжение находится на нижнем крае балки. Поскольку напряжения между этими двумя противоположными максимумами изменяются линейно , следовательно, существует точка на линейном пути между ними, где нет изгибающего напряжения. Геометрическое место этих точек является нейтральной осью. Из-за этой области без напряжения и смежных областей с низким напряжением использование балок с равномерным поперечным сечением при изгибе не является особенно эффективным средством поддержки нагрузки, поскольку оно не использует полную мощность балки, пока она не окажется на грани разрушения. Широкополочные балки ( Ɪ-балки ) и ферменные фермы эффективно устраняют эту неэффективность, поскольку они минимизируют количество материала в этой недонапряженной области.

Классическая формула для определения изгибающего напряжения в балке при простом изгибе имеет вид: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {M_{z}y}{I_{z}}}={\frac {M_{z}}{W_{z}}}}$

где

• ${\displaystyle {\sigma _{x}}}$это изгибающее напряжение
• ${\displaystyle M_{z}}$– момент относительно нейтральной оси
• ${\displaystyle y}$– перпендикулярное расстояние до нейтральной оси
• ${\displaystyle I_{z}}$– второй момент площади относительно нейтральной оси z .
• ${\displaystyle W_{z}}$- момент сопротивления относительно нейтральной оси z . ${\displaystyle W_{z}=I_{z}/y}$

Расширения теории изгиба балок Эйлера-Бернулли

Гибка пластика

Уравнение справедливо только тогда, когда напряжение в крайнем волокне (т. е. в части балки, наиболее удаленной от нейтральной оси) ниже предела текучести материала, из которого она изготовлена. При более высоких нагрузках распределение напряжений становится нелинейным, и пластичные материалы в конечном итоге перейдут в состояние пластического шарнира , в котором величина напряжения равна пределу текучести по всей балке, с разрывом на нейтральной оси, где напряжение меняется с растягивающего на сжимающее. Это состояние пластического шарнира обычно используется в качестве предельного состояния при проектировании стальных конструкций. ${\displaystyle \sigma ={\tfrac {My}{I_{x}}}}$

Сложный или асимметричный изгиб

Уравнение выше справедливо только в том случае, если поперечное сечение симметрично. Для однородных балок с асимметричными сечениями максимальное изгибающее напряжение в балке определяется как

${\displaystyle \sigma _{x}(y,z)=-{\frac {M_{z}~I_{y}+M_{y}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}y+{\frac {M_{y}~I_{z}+M_{z}~I_{yz}}{I_{y}~I_{z}-I_{yz}^{2}}}z}$^[6]

где — координаты точки на поперечном сечении, в которой определяется напряжение, как показано справа, и — изгибающие моменты относительно осей центра тяжести y и z , и — вторые моменты площади (отличные от моментов инерции) относительно осей y и z, и — произведение моментов площади . Используя это уравнение, можно вычислить изгибающее напряжение в любой точке поперечного сечения балки независимо от ориентации момента или формы поперечного сечения. Обратите внимание, что не следует изменять значение от одной точки к другой на поперечном сечении. ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle M_{y}}$ ${\displaystyle M_{z}}$ ${\displaystyle I_{y}}$ ${\displaystyle I_{z}}$ ${\displaystyle I_{yz}}$ ${\displaystyle M_{y},M_{z},I_{y},I_{z},I_{yz}}$

Большая деформация изгиба

При больших деформациях тела напряжение в поперечном сечении рассчитывается с использованием расширенной версии этой формулы. Сначала необходимо сделать следующие предположения:

1. Предположение о плоских сечениях – до и после деформации рассматриваемое сечение тела остается плоским (т.е. не закрученным).
2. Касательные и нормальные напряжения в этом сечении, перпендикулярные нормальному вектору поперечного сечения, не оказывают влияния на нормальные напряжения, параллельные этому сечению.

Если радиус изгиба меньше десяти высот сечения h, следует учитывать большие изгибы : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho <10h.}$

При этих допущениях напряжение при большом изгибе рассчитывается как:

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}+{\frac {M}{\rho A}}+{\frac {M}{{I_{x}}'}}y{\frac {\rho }{\rho +y}}}$

где

${\displaystyle F}$это нормальная сила

${\displaystyle A}$это площадь сечения

${\displaystyle M}$изгибающий момент

${\displaystyle \rho }$- локальный радиус изгиба (радиус изгиба в текущем сечении)

${\displaystyle {{I_{x}}'}}$- момент инерции площади вдоль оси x в точке (см. теорему Штейнера ) ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y}$— положение вдоль оси Y на участке сечения, в котором рассчитывается напряжение . ${\displaystyle \sigma }$

Когда радиус изгиба стремится к бесконечности и , исходная формула возвращается к виду: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle y\ll \rho }$

${\displaystyle \sigma ={F \over A}\pm {\frac {My}{I}}}$.

теория изгиба Тимошенко

Деформация балки Тимошенко. Нормаль поворачивается на величину , не равную . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle dw/dx}$

В 1921 году Тимошенко усовершенствовал теорию балок Эйлера–Бернулли, добавив эффект сдвига в уравнение балки. Кинематические предположения теории Тимошенко следующие:

• нормали к оси балки остаются прямыми после деформации
• после деформации толщина балки не изменяется

Однако нормали к оси не обязаны оставаться перпендикулярными оси после деформации.

Уравнение квазистатического изгиба линейно-упругой, изотропной, однородной балки постоянного сечения при этих предположениях имеет вид ^[7]

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2}}}}$

где - момент инерции площади поперечного сечения, - площадь поперечного сечения, - модуль сдвига , - поправочный коэффициент сдвига , - приложенная поперечная нагрузка. Для материалов с коэффициентом Пуассона ( ), близким к 0,3, поправочный коэффициент сдвига для прямоугольного поперечного сечения приблизительно равен ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle k={\cfrac {5+5\nu }{6+5\nu }}}$

Вращение ( ) нормали описывается уравнением ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=-{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\cfrac {q(x)}{kAG}}}$

Изгибающий момент ( ) и поперечная сила ( ) определяются по формулам ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle M(x)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}~;~~Q(x)=kAG\left({\cfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}-\varphi \right)=-EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} x^{2}}}={\cfrac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} x}}}$

Балки на упругих основаниях

Согласно теории Эйлера–Бернулли, Тимошенко или другим теориям изгиба, балки на упругих основаниях могут быть объяснены. В некоторых приложениях, таких как рельсовые пути, фундаменты зданий и машин, корабли на воде, корни растений и т. д., балка, подвергающаяся нагрузкам, поддерживается на непрерывных упругих основаниях (т. е. непрерывные реакции из-за внешней нагрузки распределены по длине балки) ^{[8] [9] [10] [11]}

Автомобиль пересекает мост (балка частично опирается на упругое основание, распределение изгибающего момента)

Динамический изгиб балок

Динамический изгиб балок ^[12], также известный как изгибные колебания балок, был впервые исследован Даниилом Бернулли в конце 18 века. Уравнение движения вибрирующей балки Бернулли имело тенденцию переоценивать собственные частоты балок и было незначительно улучшено Рэлеем в 1877 году путем добавления вращения в средней плоскости. В 1921 году Стивен Тимошенко еще больше улучшил теорию, включив эффект сдвига в динамическую реакцию изгибающихся балок. Это позволило использовать теорию для задач, связанных с высокими частотами вибрации, где динамическая теория Эйлера-Бернулли неадекватна. Теории Эйлера-Бернулли и Тимошенко для динамического изгиба балок продолжают широко использоваться инженерами.

Теория Эйлера–Бернулли

Уравнение Эйлера–Бернулли для динамического изгиба тонких, изотропных, однородных балок постоянного поперечного сечения под действием приложенной поперечной нагрузки имеет вид ^[7] ${\displaystyle q(x,t)}$

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=q(x,t)}$

где — модуль Юнга, — момент инерции площади поперечного сечения, — прогиб нейтральной оси балки, — масса на единицу длины балки. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle w(x,t)}$ ${\displaystyle m}$

Свободные колебания

Для ситуации, когда на балку не действует поперечная нагрузка, уравнение изгиба принимает вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=0}$

Свободные гармонические колебания балки тогда можно выразить как

${\displaystyle w(x,t)={\text{Re}}[{\hat {w}}(x)~e^{-i\omega t}]\quad \implies \quad {\cfrac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}~w(x,t)}$

и уравнение изгиба можно записать как

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}-m\omega ^{2}{\hat {w}}=0}$

Общее решение приведенного выше уравнения:

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}\cosh(\beta x)+A_{2}\sinh(\beta x)+A_{3}\cos(\beta x)+A_{4}\sin(\beta x)}$

где константы и ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}}$ ${\displaystyle \beta :=\left({\cfrac {m}{EI}}~\omega ^{2}\right)^{1/4}}$

Теория Тимошенко–Рэлея

В 1877 году Рэлей предложил усовершенствование динамической теории балок Эйлера–Бернулли, включив в нее эффект инерции вращения поперечного сечения балки. Тимошенко усовершенствовал эту теорию в 1922 году, добавив эффект сдвига в уравнение балки. Сдвиговые деформации нормали к срединной поверхности балки допускаются в теории Тимошенко–Рэлея.

Уравнение изгиба линейно-упругой, изотропной, однородной балки постоянного поперечного сечения при этих предположениях имеет вид ^{[7] [13]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&EI~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+m~{\frac {\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}}-\left(J+{\frac {EIm}{kAG}}\right){\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}~\partial t^{2}}}+{\frac {Jm}{kAG}}~{\frac {\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}}\\[6pt]={}&q(x,t)+{\frac {J}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}-{\frac {EI}{kAG}}~{\frac {\partial ^{2}q}{\partial x^{2}}}\end{aligned}}}$

где - полярный момент инерции поперечного сечения, - масса на единицу длины балки, - плотность балки, - площадь поперечного сечения, - модуль сдвига, - поправочный коэффициент сдвига . Для материалов с коэффициентами Пуассона ( ), близкими к 0,3, поправочный коэффициент сдвига приблизительно равен ${\displaystyle J={\tfrac {mI}{A}}}$ ${\displaystyle m=\rho A}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&={\frac {5+5\nu }{6+5\nu }}\quad {\text{rectangular cross-section}}\\[6pt]&={\frac {6+12\nu +6\nu ^{2}}{7+12\nu +4\nu ^{2}}}\quad {\text{circular cross-section}}\end{aligned}}}$

Свободные колебания

Для свободных гармонических колебаний уравнения Тимошенко–Рэлея принимают вид

${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{4}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right){\cfrac {\mathrm {d} ^{2}{\hat {w}}}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)~{\hat {w}}=0}$

Это уравнение можно решить, заметив, что все производные должны иметь одинаковую форму, чтобы сократиться, и, следовательно, в качестве решения можно ожидать форму . Это наблюдение приводит к характеристическому уравнению ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{kx}}$

${\displaystyle \alpha ~k^{4}+\beta ~k^{2}+\gamma =0~;~~\alpha :=EI~,~~\beta :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {J}{m}}+{\cfrac {EI}{kAG}}\right)~,~~\gamma :=m\omega ^{2}\left({\cfrac {\omega ^{2}J}{kAG}}-1\right)}$

Решения этого уравнения четвертой степени следующие:

${\displaystyle k_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}~,~~k_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}~,~~k_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}}$

где

${\displaystyle z_{+}:={\cfrac {-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}~,~~z_{-}:={\cfrac {-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }}}{2\alpha }}}$

Общее решение уравнения Тимошенко-Рэлея для свободных колебаний можно записать в виде

${\displaystyle {\hat {w}}=A_{1}~e^{k_{1}x}+A_{2}~e^{-k_{1}x}+A_{3}~e^{k_{3}x}+A_{4}~e^{-k_{3}x}}$

Квазистатический изгиб пластин

Деформация тонкой пластины, показывающая смещение, срединную поверхность (красный) и нормаль к срединной поверхности (синий)

Определяющей чертой балок является то, что один из размеров намного больше двух других. Конструкция называется пластиной, когда она плоская и один из ее размеров намного меньше двух других. Существует несколько теорий, которые пытаются описать деформацию и напряжение в пластине под действием приложенных нагрузок, две из которых широко используются. Это

• теория пластин Кирхгофа–Лява (также называемая классической теорией пластин)
• теория пластин Миндлина - Рейсснера (также называемая теорией сдвига пластин первого порядка)

Теория пластин Кирхгофа–Лява

Предположения теории Кирхгофа–Лява следующие:

• прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации
• прямые линии, нормальные к срединной поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации
• толщина пластины не изменяется при деформации.

Эти предположения подразумевают, что

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

где — смещение точки пластины, — смещение срединной поверхности. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle w^{0}}$

Соотношения деформации и смещения следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Уравнения равновесия:

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x)=0~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

где - приложенная нагрузка, нормальная к поверхности пластины. ${\displaystyle q(x)}$

В терминах перемещений уравнения равновесия для изотропной линейно-упругой пластины при отсутствии внешней нагрузки можно записать в виде

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0}$

В прямой тензорной записи,

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0}$

Теория пластин Миндлина–Рейсснера

Специальное предположение этой теории заключается в том, что нормали к срединной поверхности остаются прямыми и нерастяжимыми, но не обязательно нормальными к срединной поверхности после деформации. Смещения пластины определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

где - вращения нормали. ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

Соотношения деформации и смещения, вытекающие из этих предположений, следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&=-x_{3}~\varphi _{\alpha ,\beta }\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}~\kappa \left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

где — поправочный коэффициент сдвига. ${\displaystyle \kappa }$

Уравнения равновесия:

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}}$

Динамический изгиб пластин

Динамика тонких пластин Кирхгофа

Динамическая теория пластин определяет распространение волн в пластинах, а также изучение стоячих волн и колебательных мод. Уравнения, которые управляют динамическим изгибом пластин Кирхгофа, следующие:

${\displaystyle M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}}$

где, для пластины с плотностью , ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}}$

и

${\displaystyle {\ddot {w}}^{0}={\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}~;~~{\ddot {w}}_{,\alpha \beta }^{0}={\frac {\partial ^{2}{\ddot {w}}^{0}}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}}$

На рисунках ниже показаны некоторые моды колебаний круглой пластины.

• 
  режим к = 0, р = 1
• 
  режим к = 0, р = 2
• 
  режим к = 1, р = 2

Смотрите также

• Изгибающий момент
• Гибочный станок (гибка плоского металла)
• Пресс (гибка листового металла)
• Эффект жаровни
• Изгиб пластин
• Гибка (металлообработка)
• Механика сплошной среды
• Контрафлексура
• Прогиб (инженерный)
• Подшипник изгиба
• Список моментов инерции площади
• Гибка труб

• Диаграмма сдвига и момента
• Прочность на сдвиг
• Теория сэндвича
• Вибрация
• Вибрация пластин

Ссылки

1. Борези, А. П., Шмидт, Р. Дж., Сайдботтом, О. М., 1993, Углубленная механика материалов , John Wiley and Sons, Нью-Йорк.
2. Libai, A. и Simmonds, JG, 1998, Нелинейная теория упругих оболочек , Cambridge University Press.
3. Тимошенко, С. и Войновски-Кригер, С., 1959, Теория пластин и оболочек , McGraw-Hill.
4. Шигли Дж., «Проектирование машиностроения», стр. 44, Международное издание, издательство McGraw Hill, 1986, ISBN  0-07-100292-8
5. Гир, Дж. М. и Тимошенко, С. П., 1997, Механика материалов , Издательство PWS.
6. Кук и Янг, 1995, Advanced Mechanics of Materials, Macmillan Publishing Company: Нью-Йорк
7. Томсон, У.Т., 1981, Теория вибрации с приложениями
8. ХЕТЕНИ, Миклош (1946). Балки на эластичном фундаменте . Анн-Арбор, Мичиганский университет, США.
9. MELERSKI, E., S. (2006). Анализ конструкции балок, круглых пластин и цилиндрических резервуаров на упругих основаниях (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Taylor & Francis Group. стр. 284. ISBN 978-0-415-38350-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. ЦУДИК, Э. Анализ балок и рам на упругом основании . США: Trafford Publishing. стр. 248. ISBN 1-4120-7950-0.
11. ФРИДРЁШЕК, Карел; Тврда, Катарина; Янчо, Роланд; и др. (2013). Справочник по конструкциям на эластичном фундаменте (1-е изд.). Острава, Чехия: VSB - Технический университет Остравы. стр. 1–1691. ISBN 978-80-248-3238-8.
12. Хан, С. М., Бенаройя, Х. и Вэй, Т., 1999, «Динамика поперечно колеблющихся балок с использованием четырех инженерных теорий», Журнал звука и вибрации , т. 226, № 5, стр. 935–988.
13. Розингер, Х. Э. и Ричи, И. Г., 1977, О поправке Тимошенко для сдвига в вибрирующих изотропных балках, J. Phys. D: Appl. Phys., т. 10, стр. 1461–1466.

Внешние ссылки

• Формулы изгиба
• Напряжение и прогиб балки, таблицы прогиба балки