Плотность состояний

Число доступных физических состояний на единицу энергии

В физике конденсированного состояния плотность состояний ( DOS ) системы описывает число разрешенных мод или состояний на единицу диапазона энергии. Плотность состояний определяется как , где — число состояний в системе объема, энергии которых лежат в диапазоне от до . Математически она представлена ​​как распределение функцией плотности вероятности , и, как правило, является средним значением по пространственным и временным областям различных состояний, занимаемых системой. Плотность состояний напрямую связана с дисперсионными соотношениями свойств системы. Высокая DOS на определенном уровне энергии означает, что многие состояния доступны для занятия. ${\displaystyle D(E)=N(E)/V}$ ${\displaystyle N(E)\delta E}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E+\delta E}$

Обычно плотность состояний материи непрерывна. Однако в изолированных системах , таких как атомы или молекулы в газовой фазе, распределение плотности дискретно , подобно спектральной плотности . Локальные вариации, чаще всего обусловленные искажениями исходной системы, часто называют локальными плотностями состояний (LDOS).

Введение

В квантово-механических системах волны или волнообразные частицы могут занимать моды или состояния с длинами волн и направлениями распространения, диктуемыми системой. Например, в некоторых системах межатомное расстояние и атомный заряд материала могут допускать существование только электронов определенных длин волн. В других системах кристаллическая структура материала может позволять волнам распространяться в одном направлении, подавляя распространение волн в другом направлении. Часто разрешены только определенные состояния. Таким образом, может случиться, что на определенном энергетическом уровне доступно для занятия много состояний, в то время как на других энергетических уровнях не доступно ни одного состояния.

Рассматривая плотность состояний электронов на краю зоны между валентной зоной и зоной проводимости в полупроводнике, для электрона в зоне проводимости увеличение энергии электрона делает больше состояний доступными для занятия. С другой стороны, плотность состояний является прерывистой для интервала энергии, что означает, что нет состояний, доступных для занятия электронами в запрещенной зоне материала. Это условие также означает, что электрон на краю зоны проводимости должен потерять по крайней мере энергию запрещенной зоны материала, чтобы перейти в другое состояние в валентной зоне.

Это определяет, является ли материал изолятором или металлом в измерении распространения. Результат числа состояний в зоне также полезен для прогнозирования свойств проводимости. Например, в одномерной кристаллической структуре нечетное число электронов на атом приводит к полузаполненной верхней зоне; на уровне Ферми есть свободные электроны, что приводит к металлу. С другой стороны, четное число электронов точно заполняет целое число зон, оставляя остальные пустыми. Если тогда уровень Ферми лежит в занятой запрещенной зоне между наивысшим занятым состоянием и наинизшим пустым состоянием, материал будет изолятором или полупроводником .

В зависимости от квантово-механической системы, плотность состояний может быть рассчитана для электронов , фотонов или фононов и может быть задана как функция либо энергии, либо волнового вектора k . Для преобразования между DOS как функцией энергии и DOS как функцией волнового вектора необходимо знать специфичное для системы соотношение дисперсии энергии между E и k .

В целом топологические свойства системы, такие как зонная структура, оказывают большое влияние на свойства плотности состояний. Наиболее известные системы, такие как нейтронное вещество в нейтронных звездах и свободные электронные газы в металлах (примеры вырожденного вещества и ферми-газа ), имеют трехмерную евклидову топологию . Менее известные системы, такие как двумерные электронные газы (2DEG) в графитовых слоях и квантовая система эффекта Холла в устройствах типа MOSFET , имеют двумерную евклидову топологию. Еще менее известны углеродные нанотрубки , квантовая проволока и жидкость Латтинжера с их одномерной топологией. Системы с одномерной и двумерной топологией, вероятно, станут более распространенными, если предположить, что разработки в области нанотехнологий и материаловедения продолжатся.

Определение

Плотность состояний, связанная с объемом V и счетными уровнями энергии N, определяется как: Поскольку наименьшее допустимое изменение импульса для частицы в ящике размерностью и длиной равно , то объемная плотность состояний для непрерывных уровней энергии получается в пределе как Здесь — пространственная размерность рассматриваемой системы, а волновой вектор — волновой вектор. $${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\,\sum _{i=1}^{N}\delta (E-E({\mathbf {k} }_{i})).}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\Delta k)^{d}=({2\pi }/{L})^{d}}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ $${\displaystyle D(E):=\int _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {\mathrm {d} ^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\cdot \delta (E-E(\mathbf {k} )),}$$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Для изотропных одномерных систем с параболической дисперсией энергии плотность состояний равна . В двух измерениях плотность состояний является константой , тогда как в трех измерениях она становится . ${\textstyle D_{1D}(E)={\tfrac {1}{2\pi \hbar }}({\tfrac {2m}{E}})^{1/2}}$ ${\displaystyle D_{2D}={\tfrac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle D_{3D}(E)={\tfrac {m}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}(2mE)^{1/2}}$

Эквивалентно, плотность состояний можно также понимать как производную микроканонической статистической суммы (то есть общего числа состояний с энергией меньше ) по энергии: ${\displaystyle Z_{m}(E)}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle D(E)={\frac {1}{V}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Z_{m}(E)}{\mathrm {d} E}}.}$$

Число состояний с энергией (степень вырождения) определяется по формуле: где последнее равенство применимо только тогда, когда справедлива теорема о среднем значении для интегралов. ${\displaystyle E'}$ $${\displaystyle g\left(E'\right)=\lim _{\Delta E\to 0}\int _{E'}^{E'+\Delta E}D(E)\,\mathrm {d} E=\lim _{\Delta E\to 0}D\left(E'\right)\Delta E,}$$

Симметрия

Первая зона Бриллюэна решетки ГЦК , усеченный октаэдр , показывающий метки симметрии для линий и точек высокой симметрии

Существует большое разнообразие систем и типов состояний, для которых можно выполнять расчеты DOS.

Некоторые конденсированные системы обладают структурной симметрией в микроскопическом масштабе, которую можно использовать для упрощения расчета их плотностей состояний. В сферически симметричных системах интегралы функций являются одномерными, поскольку все переменные в расчете зависят только от радиального параметра дисперсионного соотношения. Жидкости , стекла и аморфные твердые тела являются примерами симметричной системы, дисперсионные соотношения которой имеют вращательную симметрию.

Октаэдр.

Измерения на порошках или поликристаллических образцах требуют оценки и расчета функций и интегралов по всей области , чаще всего зоне Бриллюэна , дисперсионных соотношений интересующей системы. Иногда симметрия системы высока, что приводит к тому, что форма функций, описывающих дисперсионные соотношения системы, появляется много раз по всей области дисперсионного соотношения. В таких случаях усилия по расчету DOS могут быть значительно сокращены, если расчет ограничен приведенной зоной или фундаментальным доменом . ^[1] Зона Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) на рисунке справа имеет 48-кратную симметрию точечной группы O _h с полной октаэдрической симметрией . Эта конфигурация означает, что интегрирование по всей области зоны Бриллюэна может быть уменьшено до 48-й части всей зоны Бриллюэна. Как показывает периодическая таблица кристаллической структуры , существует много элементов с кристаллической структурой ГЦК, таких как алмаз , кремний и платина , и их зоны Бриллюэна и дисперсионные соотношения имеют эту 48-кратную симметрию. Две другие известные кристаллические структуры — это объемно-центрированная кубическая решетка (BCC) и гексагональные плотно упакованные структуры (HCP) с кубической и гексагональной решетками соответственно. Структура BCC имеет 24-кратную пиритоэдрическую симметрию точечной группы T _h . Структура HCP имеет 12-кратную призматическую диэдральную симметрию точечной группы D _3h . Полный список свойств симметрии точечной группы можно найти в таблицах характеров точечной группы .

В общем случае DOS легче вычислить, когда симметрия системы выше, а число топологических измерений дисперсионного соотношения ниже. DOS дисперсионных соотношений с вращательной симметрией часто можно вычислить аналитически. Этот результат удачен, поскольку многие материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь и кремний, обладают высокой симметрией.

В анизотропных конденсированных системах, таких как монокристалл соединения, плотность состояний может отличаться в одном кристаллографическом направлении от плотности состояний в другом. Это приводит к тому, что анизотропную плотность состояний сложнее визуализировать, и могут потребоваться такие методы, как расчет DOS только для определенных точек или направлений или расчет проецируемой плотности состояний (PDOS) для определенной ориентации кристалла.

к- топологии пространства

Рисунок 1: Сферическая поверхность в k -пространстве для электронов в трех измерениях.

Плотность состояний зависит от размерных пределов самого объекта. В системе, описываемой тремя ортогональными параметрами (3 измерения), единицами измерения DOS являются [Энергия] ⁻¹ [Объем] ⁻¹ , в двумерной системе единицами измерения DOS являются [Энергия] ⁻¹ [Площадь] ⁻¹ , в одномерной системе единицами измерения DOS являются [Энергия] ⁻¹ [Длина] ⁻¹ . Указанный объем — это объем k -пространства; пространство, заключенное в постоянной энергетической поверхности системы, полученной с помощью дисперсионного соотношения , связывающего E с k . Пример 3-мерного k -пространства приведен на рис. 1. Видно, что размерность системы ограничивает импульс частиц внутри системы.

Плотность состояний волнового вектора (сфера)

Расчет DOS начинается с подсчета N разрешенных состояний при определенном k , которые содержатся в пределах [ k , k + d k ] внутри объема системы. Эта процедура выполняется путем дифференцирования всего объема k-пространства в n-мерностях при произвольном k , относительно k . Объем, площадь или длина в 3-, 2- или 1-мерных сферических k -пространствах выражаются как ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$ $${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

для n -мерного k -пространства с топологически определенными константами для линейных, дисковых и сферически-симметричных функций в 1, 2 и 3-мерных евклидовых k -пространствах соответственно. $${\displaystyle c_{1}=2,\ c_{2}=\pi ,\ c_{3}={\frac {4\pi }{3}}}$$

Согласно этой схеме, плотность состояний волнового вектора N , путем дифференцирования по k , выражается выражением ${\displaystyle \Omega _{n,k}}$ $${\displaystyle N_{n}(k)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(k)}{\mathrm {d} k}}=n\;c_{n}\;k^{n-1}}$$

1, 2 и 3-мерная плотность состояний волнового вектора для линии, диска или сферы явно записывается как $${\displaystyle {\begin{aligned}N_{1}(k)&=2\\N_{2}(k)&=2\pi k\\N_{3}(k)&=4\pi k^{2}\end{aligned}}}$$

Одно состояние достаточно велико, чтобы содержать частицы с длиной волны λ. Длина волны связана с k через соотношение. $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

В квантовой системе длина λ будет зависеть от характерного расстояния системы L, которая удерживает частицы. Наконец, плотность состояний N умножается на коэффициент , где s — постоянный фактор вырождения, который учитывает внутренние степени свободы из-за таких физических явлений, как спин или поляризация. Если такое явление отсутствует, то . V _k — объем в k-пространстве, волновые векторы которого меньше наименьших возможных волновых векторов, определяемых характерным расстоянием системы. ${\displaystyle s/V_{k}}$ ${\displaystyle s=1}$

Плотность энергетических состояний

Чтобы закончить расчет для DOS, найдите число состояний на единицу объема образца при энергии внутри интервала . Общая форма DOS системы имеет вид Схема, набросанная до сих пор, применима только к монотонно растущим и сферически симметричным дисперсионным соотношениям. В общем случае дисперсионное соотношение не является сферически симметричным и во многих случаях оно также не является непрерывно растущим. Чтобы выразить D как функцию от E, необходимо подставить обратное дисперсионное соотношение в выражение как функцию от k , чтобы получить выражение как функцию энергии. Если дисперсионное соотношение не является сферически симметричным или непрерывно растущим и не может быть легко инвертировано, то в большинстве случаев DOS необходимо рассчитать численно. Доступны более подробные выводы. ^{[2] [3]} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [E,E+\mathrm {d} E]}$ $${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} \Omega _{n}(E)}{\mathrm {d} E}}}$$ ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle E(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(k)}$ ${\displaystyle \Omega _{n}(E)}$

Дисперсионные соотношения

Закон дисперсии электронов в твердом теле определяется электронной зонной структурой .

Кинетическая энергия частицы зависит от величины и направления волнового вектора k , свойств частицы и среды, в которой она движется. Например, кинетическая энергия электрона в ферми -газе определяется как $${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {\left(\hbar k\right)^{2}}{2m}}\ ,}$$

где m — масса электрона . Дисперсионное соотношение представляет собой сферически симметричную параболу, и оно непрерывно растет, поэтому DOS можно легко рассчитать.

Рисунок 2: Дисперсионное соотношение фононов моноатомной цепи

Для продольных фононов в цепочке атомов дисперсионное соотношение кинетической энергии в 1-мерном k -пространстве, как показано на рисунке 2, определяется выражением где - частота осциллятора, масса атомов, межатомная силовая константа и межатомное расстояние. Для малых значений дисперсионное соотношение линейно: $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|}$$ ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k_{\text{F}}/m}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k_{\text{F}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k\ll \pi /a}$ $${\displaystyle E=\hbar \omega _{0}ka}$$

Когда энергия есть ${\displaystyle k\approx \pi /a}$ $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left|\cos \left({\frac {\pi -ka}{2}}\right)\right|}$$

С помощью преобразования и малого это отношение можно преобразовать к виду ${\displaystyle q=k-\pi /a}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle E=2\hbar \omega _{0}\left[1-\left({\frac {qa}{2}}\right)^{2}\right]}$$

Изотропные дисперсионные соотношения

Два примера, упомянутые здесь, можно выразить следующим образом: $${\displaystyle E=E_{0}+c_{k}k^{p}}$$

Это выражение является своего рода дисперсионным соотношением , поскольку оно связывает два волновых свойства, и оно изотропно, поскольку в выражении появляется только длина, а не направление волнового вектора. Величина волнового вектора связана с энергией следующим образом: $${\displaystyle k=\left({\frac {E-E_{0}}{c_{k}}}\right)^{{1}/{p}},}$$

Соответственно, объем n-мерного k -пространства, содержащего волновые векторы, меньшие k, равен: $${\displaystyle \Omega _{n}(k)=c_{n}k^{n}}$$

Подстановка изотропного энергетического соотношения дает объем занятых состояний $${\displaystyle \Omega _{n}(E)={\frac {c_{n}}{{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{n}/{p}},}$$

Дифференцирование этого объема по энергии дает выражение для плотности состояний изотропного дисперсионного уравнения $${\displaystyle D_{n}\left(E\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} E}}\Omega _{n}(E)={\frac {nc_{n}}{p{c_{k}}^{\frac {n}{p}}}}\left(E-E_{0}\right)^{{\frac {n}{p}}-1}}$$

Параболическая дисперсия

Рисунок 3: Плотность состояний свободных электронов в трехмерном k-пространстве

В случае параболического дисперсионного соотношения ( p = 2), которое применяется к свободным электронам в ферми-газе, результирующая плотность состояний для электронов в n-мерных системах равна ${\displaystyle D_{n}\left(E\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{2{\sqrt {c_{k}\left(E-E_{0}\right)}}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&={\frac {\pi }{2c_{k}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\,.\end{aligned}}}$$

для , с для . ${\displaystyle E>E_{0}}$ ${\displaystyle D(E)=0}$ ${\displaystyle E<E_{0}}$

В одномерных системах DOS расходится в нижней части полосы, падая до . В двумерных системах DOS оказывается независимой от . Наконец, для трехмерных систем DOS возрастает как квадратный корень из энергии. ^[4] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E}$

Включая префактор , выражение для 3D DOS будет иметь вид ${\displaystyle s/V_{k}}$ $${\displaystyle N(E)={\frac {V}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}},}$$

где — общий объем, включающий двукратное вырождение спина. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N(E-E_{0})}$

Линейная дисперсия

В случае линейной зависимости ( p = 1), которая применяется, например, к фотонам , акустическим фононам или к некоторым специальным видам электронных зон в твердом теле, плотность состояний в 1-, 2- и 3-мерных системах связана с энергией следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}\left(E\right)&={\frac {1}{c_{k}}}\\[1ex]D_{2}\left(E\right)&=2\pi {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{2}}}\\[1ex]D_{3}\left(E\right)&=4\pi {\frac {\left(E-E_{0}\right)^{2}}{c_{k}^{3}}}\end{aligned}}}$$

Функции распределения

Плотность состояний играет важную роль в кинетической теории твердых тел . Произведение плотности состояний и функции распределения вероятностей представляет собой число занятых состояний на единицу объема при заданной энергии для системы в тепловом равновесии. Это значение широко используется для исследования различных физических свойств вещества. Ниже приведены примеры с использованием двух общих функций распределения того, как применение функции распределения к плотности состояний может привести к получению физических свойств.

Рисунок 4:  Распределение вероятностей Ферми-Дирака,  плотность состояний и  их продукт для полупроводника. Нижний зеленый лепесток изображает энергию дырок , и, таким образом, использует в качестве функции распределения. ${\displaystyle f(-x)}$

Статистика Ферми–Дирака : Функция распределения вероятностей Ферми–Дирака, рис. 4, используется для нахождения вероятности того, что фермион занимает определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Фермионы — это частицы, которые подчиняются принципу исключения Паули (например, электроны, протоны, нейтроны). Функция распределения может быть записана как $${\displaystyle f_{\mathrm {FD} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}.}$$

${\displaystyle \mu }$— химический потенциал (также обозначается как E _F и называется уровнем Ферми при T = 0), — постоянная Больцмана, — температура. Рис. 4 иллюстрирует, как произведение функции распределения Ферми-Дирака и трехмерной плотности состояний для полупроводника может дать представление о физических свойствах, таких как концентрация носителей и ширина запрещенной зоны. ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle T}$

Статистика Бозе-Эйнштейна : Функция распределения вероятностей Бозе-Эйнштейна используется для нахождения вероятности того, что бозон занимает определенное квантовое состояние в системе, находящейся в тепловом равновесии. Бозоны — это частицы, которые не подчиняются принципу исключения Паули (например, фононы и фотоны). Функция распределения может быть записана как $${\displaystyle f_{\mathrm {BE} }(E)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{k_{\text{B}}T}}\right)-1}}.}$$

Из этих двух распределений можно вычислить такие свойства, как внутренняя энергия на единицу объема , число частиц , удельная теплоемкость и теплопроводность . Соотношения между этими свойствами и произведением плотности состояний и распределения вероятностей, обозначая плотность состояний как вместо , задаются формулой ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]N&=V\int f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]c&={\frac {\partial }{\partial T}}\int E\,f(E)\,g(E)\,\mathrm {d} E\\[1ex]k&={\frac {1}{d}}{\frac {\partial }{\partial T}}\int Ef(E)\,g(E)\,\nu (E)\,\Lambda (E)\,\mathrm {d} E\end{aligned}}}$$

${\displaystyle d}$— размерность, — скорость звука, — длина свободного пробега . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda }$

Приложения

Плотность состояний присутствует во многих областях физики и помогает объяснить ряд квантово-механических явлений.

Квантование

Расчет плотности состояний для малых структур показывает, что распределение электронов изменяется с уменьшением размерности. Для квантовых проводов DOS для определенных энергий фактически становится выше, чем DOS для объемных полупроводников, а для квантовых точек электроны становятся квантованными до определенных энергий.

Фотонные кристаллы

Плотность состояний фотонов можно изменять, используя периодические структуры с масштабами длины порядка длины волны света. Некоторые структуры могут полностью подавлять распространение света определенных цветов (энергий), создавая фотонную запрещенную зону: DOS равна нулю для этих энергий фотонов. Другие структуры могут подавлять распространение света только в определенных направлениях, создавая зеркала, волноводы и полости. Такие периодические структуры известны как фотонные кристаллы . ^{[5] [6] [7] [8]} В наноструктурированных средах концепция локальной плотности состояний (LDOS) часто более актуальна, чем концепция DOS, поскольку DOS значительно меняется от точки к точке.

Вычислительный расчет

Интересные системы в целом сложны, например, соединения, биомолекулы, полимеры и т. д. Из-за сложности этих систем аналитический расчет плотности состояний в большинстве случаев невозможен. Компьютерное моделирование предлагает набор алгоритмов для оценки плотности состояний с высокой точностью. Один из этих алгоритмов называется алгоритмом Ванга и Ландау . ^[9]

В рамках схемы Вана и Ландау требуется любое предварительное знание плотности состояний. Действуют следующим образом: функция стоимости (например, энергия) системы дискретизируется. Каждый раз, когда достигается ячейка i , обновляется гистограмма для плотности состояний, , где f называется фактором модификации. Как только каждая ячейка в гистограмме посещается определенное количество раз (10-15), фактор модификации уменьшается по некоторому критерию, например, где n обозначает n -й шаг обновления. Моделирование заканчивается, когда фактор модификации становится меньше определенного порога, например . ${\displaystyle g(i)}$ $${\displaystyle g(i)\rightarrow g(i)+f}$$ $${\displaystyle f_{n+1}\rightarrow {\frac {1}{2}}f_{n}}$$ ${\displaystyle f_{n}<10^{-8}}$

Алгоритм Ванга и Ландау имеет некоторые преимущества по сравнению с другими распространенными алгоритмами, такими как мультиканоническое моделирование и параллельное закаливание . Например, плотность состояний получается как основной продукт моделирования. Кроме того, моделирование Ванга и Ландау полностью независимы от температуры. Эта функция позволяет вычислять плотность состояний систем с очень грубым энергетическим ландшафтом, таких как белки. ^[10]

Математически плотность состояний формулируется в терминах башни покрывающих карт. ^[11]

Локальная плотность состояний

Важной особенностью определения DOS является то, что его можно распространить на любую систему. Одним из его свойств является трансляционная инвариантность, которая означает, что плотность состояний однородна и одинакова в каждой точке системы. Но это всего лишь частный случай, а LDOS дает более широкое описание с неоднородной плотностью состояний по всей системе.

Концепция

Локальная плотность состояний (LDOS) описывает пространственно-разрешенную плотность состояний. Например, в материаловедении этот термин полезен при интерпретации данных сканирующего туннельного микроскопа (СТМ), поскольку этот метод способен визуализировать электронные плотности состояний с атомным разрешением. Согласно кристаллической структуре, эту величину можно предсказать вычислительными методами, например, с помощью теории функционала плотности .

Общее определение

В локальной плотности состояний вклад каждого состояния взвешивается плотностью его волновой функции в точке. становится ${\displaystyle N(E)}$ ${\displaystyle n(E,x)}$

$${\displaystyle n(E,x)=\sum _{j}|\phi _{j}(x)|^{2}\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

Фактор означает, что каждое состояние вносит больший вклад в регионах с высокой плотностью. Усреднение этого выражения восстановит обычную формулу для DOS. LDOS полезен в неоднородных системах, где содержит больше информации, чем в одиночку. ${\displaystyle |\phi _{j}(x)|^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n(E,x)}$ ${\displaystyle n(E)}$

Для одномерной системы со стенкой синусоиды дают

$${\displaystyle n_{1D}(E,x)={\frac {2}{\pi \hbar }}{\sqrt {\frac {2m}{E}}}\sin ^{2}{kx}}$$

где . ${\textstyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$

В трехмерной системе с выражением ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle n_{3D}(E,x)=\left(1-{\frac {\sin {2kx}}{2kx}}\right)n_{3D}(E)}$$

На самом деле, мы можем обобщить локальную плотность состояний еще больше

$${\displaystyle n(E,x,x')=\sum _{j}\phi _{j}(x)\phi _{j}^{*}(x')\delta (E-\varepsilon _{j})}$$

это называется спектральной функцией и это функция с каждой волновой функцией отдельно в своей собственной переменной. В более продвинутой теории она связана с функциями Грина и обеспечивает компактное представление некоторых результатов, таких как оптическое поглощение .

Пространственно разрешенная локальная плотность состояний. Последовательность изображений с изменяющимся смещением затвора в нанопроволочном МОП-транзисторе при смещении стока {{{1}}} Обратите внимание на ограниченные уровни энергии, поскольку они движутся с увеличением смещения затвора.

Твердотельные устройства

LDOS можно использовать для получения прибыли в твердотельном устройстве. Например, рисунок справа иллюстрирует LDOS транзистора , когда он включается и выключается в баллистической симуляции. LDOS имеет четкую границу в истоке и стоке, что соответствует расположению края зоны. В канале DOS увеличивается по мере увеличения напряжения затвора и снижения потенциального барьера.

Оптика и фотоника

В оптике и фотонике понятие локальной плотности состояний относится к состояниям, которые может занимать фотон. Для света это обычно измеряется методами флуоресценции, методами сканирования ближнего поля или методами катодолюминесценции. Различные фотонные структуры имеют различное поведение LDOS с различными последствиями для спонтанного излучения. В фотонных кристаллах ожидается близкое к нулю LDOS, что подавляет спонтанное излучение. ^[12] Аналогичное усиление LDOS также ожидается в плазмонной полости. ^[13] Однако в неупорядоченных фотонных наноструктурах LDOS ведут себя по-разному. Они флуктуируют пространственно со своей статистикой и пропорциональны рассеивающей силе структур. ^[14] Кроме того, связь со средней длиной свободного пробега рассеяния тривиальна, поскольку на LDOS все еще могут сильно влиять короткие детали сильных беспорядков в форме сильного усиления Перселла излучения. ^[15] и, наконец, для плазмонного беспорядка этот эффект гораздо сильнее для флуктуаций LDOS, поскольку его можно наблюдать как сильную локализацию в ближнем поле. ^[16]

Смотрите также

• Эффективная масса (физика твердого тела)
• Структура полосы
• теория возмущений к·п
• Полупроводник
• Электропроводность
• Валентная зона
• Модель Кронига–Пенни
• Модель с плотным переплетом
• Приближение формы для маффинов
• Руководство Бритни Спирс по физике полупроводников

Ссылки

1. Уолтер Эшли Харрисон (1989). Электронная структура и свойства твердых тел. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66021-9.
2. Пример расчета плотности состояний
3. "Другой расчет плотности состояний". Архивировано из оригинала 2008-05-16 . Получено 2008-05-22 .
4. Чарльз Киттель (1996). Введение в физику твердого тела (7-е изд.). Wiley. Уравнение (37), стр. 216. ISBN 978-0-471-11181-8.
5. Яблонович, Э. (1987). «Ингибированное спонтанное излучение в физике твердого тела и электронике». Phys. Rev. Lett . 58 (20): 2059–2062. Bibcode :1987PhRvL..58.2059Y. doi : 10.1103/PhysRevLett.58.2059 . PMID  10034639.
6. Джон, Саджив; Ван, Цзянь (1990). «Квантовая электродинамика вблизи фотонной запрещенной зоны: связанные состояния фотонов и одетый атом». Phys. Rev. Lett . 64 (20): 2418–2421. Bibcode : 1990PhRvL..64.2418J. doi : 10.1103/PhysRevLett.64.2418. PMID  10041707.
7. Lodahl, P.; van Driel, AF; Николаев, I. (2004). «Управление динамикой спонтанного излучения квантовых точек фотонными кристаллами». Nature . 430 (1): 654–657. Bibcode :2004Natur.430..654L. doi :10.1038/nature02772. hdl : 1874/16698 . PMID  15295594. S2CID  4334567.
8. Фудзита, Масаюки; Такахаши, Шигеки; Танака, Ёсинори; Асано, Такаши; Нода, Сусуму (2005). «Одновременное ингибирование и перераспределение спонтанного излучения света в фотонных кристаллах». Science . 308 (5726): 1296–1298. Bibcode :2005Sci...308.1296F. doi :10.1126/science.1110417. PMID  15919989. S2CID  30116866.
9. Ван, Фугао; Ландау, Д.П. (2001). «Эффективный алгоритм случайного блуждания с несколькими диапазонами для вычисления плотности состояний». Phys. Rev. Lett . 86 (10): 2050–2053. arXiv : cond-mat/0011174 . Bibcode :2001PhRvL..86.2050W. doi :10.1103/PhysRevLett.86.2050. PMID  11289852. S2CID  2941153.
10. Охеда, П.; Гарсия, М. (2010). «Нарушение конформации нативного бета-слоистого белка под действием электрического поля и генерация спиральной структуры». Biophysical Journal . 99 (2): 595–599. Bibcode :2010BpJ....99..595O. doi :10.1016/j.bpj.2010.04.040. PMC 2905109 . PMID  20643079. 
11. Адачи Т. и Сунады Т. (1993). «Плотность состояний в спектральной геометрии состояний в спектральной геометрии». Комментарий. Math. Helv. 68 : 480–493. doi :10.1007/BF02565831. S2CID  120828817.
12. Sprik, R.; van Tiggelen, BA; Lagendijk, A. (1996). «Плотность состояний в спектральной геометрии состояний в спектральной геометрии». Europhys. Lett . 35 (4): 265–270. doi :10.1209/epl/i1996-00564-y. S2CID  250854036.
13. Фарахани, Дж. Н.; Поль, Д. В.; Эйслер, Х.-Дж.; Хехт, Б. (2005). «Одиночная квантовая точка, связанная со сканирующей оптической антенной: настраиваемый суперэмиттер». Phys. Rev. Lett . 95 (1): 017402. Bibcode : 2005PhRvL..95a7402F. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.017402. PMID  16090656.
14. Бировосуто, М.; Скипетров, С.; Вос, В.; Моск, А. (2010). "Наблюдение пространственных флуктуаций локальной плотности состояний в случайных фотонных средах". Phys. Rev. Lett . 105 (1): 013904. arXiv : 1002.3186 . Bibcode : 2010PhRvL.105a3904B. doi : 10.1103/PhysRevLett.105.013904. PMID  20867448. S2CID  25044558.
15. Sapienza, R.; Bondareff, P.; Pierrat, R.; Habert, B.; Carminati, R.; van Hulst, NF (2011). "Статистика длинного хвоста фактора Перселла в неупорядоченных средах, управляемая взаимодействиями в ближнем поле". Phys. Rev. Lett . 106 (16): 163902. Bibcode : 2011PhRvL.106p3902S. doi : 10.1103/PhysRevLett.106.163902. PMID  21599367.
16. Krachmalnicoff, V.; Castanié, E.; De Wilde, Y.; Carminati, R. (2010). "Статистика длинного хвоста фактора Перселла в неупорядоченных средах, управляемая взаимодействиями в ближнем поле". Phys. Rev. Lett . 105 (18): 183901. arXiv : 1007.3691 . doi :10.1103/PhysRevLett.105.183901. PMID  21231105. S2CID  15590513.

Дальнейшее чтение

• Чэнь, Ганг. Наномасштабный перенос и преобразование энергии. Нью-Йорк: Оксфорд, 2005
• Стритман, Бен Г. и Санджай Баннерджи. Твердотельные электронные приборы. Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall, 2000.
• Мюллер, Ричард С. и Теодор И. Каминс. Электроника интегральных схем. Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 2003.
• Киттель, Чарльз и Герберт Кремер. Теплофизика. Нью-Йорк: WH Freeman and Company, 1980
• Sze, Simon M. Физика полупроводниковых приборов. Нью-Йорк: John Wiley and Sons, 1981

Внешние ссылки

• Онлайн-лекция: ECE 606 Лекция 8: Плотность состояний М. Алама
• Ученые проливают свет на светящиеся материалы Как измерить фотонную LDOS