Точечные группы в трех измерениях

Группы точечных изометрий в 3 измерениях

В геометрии точечная группа в трех измерениях — это группа изометрий в трех измерениях, которая оставляет начало координат неподвижным, или, соответственно, группа изометрий сферы . Это подгруппа ортогональной группы O(3), группы всех изометрий , которые оставляют начало координат неподвижным, или, соответственно, группы ортогональных матриц . Сама O(3) является подгруппой евклидовой группы E(3) всех изометрий.

Группы симметрии геометрических объектов являются группами изометрий. Соответственно, анализ групп изометрий является анализом возможных симметрий . Все изометрии ограниченного (конечного) трехмерного объекта имеют одну или несколько общих неподвижных точек. Мы следуем обычному соглашению, выбирая начало координат в качестве одной из них.

Группа симметрии объекта иногда также называется его полной группой симметрии , в отличие от его собственной группы симметрии , пересечения его полной группы симметрии с E ⁺ (3) , которая состоит из всех прямых изометрий , т. е. изометрий, сохраняющих ориентацию . Для ограниченного объекта собственная группа симметрии называется его группой вращения . Это пересечение его полной группы симметрии с SO(3) , полной группой вращения трехмерного пространства. Группа вращения ограниченного объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект является хиральным .

Точечные группы, которые генерируются исключительно конечным набором плоскостей зеркального отражения, проходящих через одну и ту же точку, являются конечными группами Кокстера , представленными в нотации Кокстера .

Точечные группы в трех измерениях широко используются в химии , особенно для описания симметрии молекулы и молекулярных орбиталей, образующих ковалентные связи , и в этом контексте их также называют молекулярными точечными группами .

3D-изометрии, которые оставляют начало координат фиксированным

Операции группы симметрии ( операции симметрии ) — это изометрии трехмерного пространства R ³ , которые оставляют начало координат фиксированным, образуя группу O(3). Эти операции можно разделить на следующие категории:

• Прямые (сохраняющие ориентацию) операции симметрии, образующие группу SO(3):
  • Операция тождества, обозначаемая E или единичной матрицей I.
  • Вращение вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол θ. Вращение на θ = 360°/ n для любого положительного целого числа n обозначается C _n (из обозначений Шёнфлиса для группы C _n , которую оно порождает ). Операция тождества, также обозначаемая C ₁ , является частным случаем оператора вращения.
• Косвенные (изменение ориентации) операции:
  • Инверсия обозначается i или C _i . Матричная нотация −I .
  • Отражение в плоскости, проходящей через начало координат, обозначается σ.
  • Неправильный поворот , также называемый поворотом-отражением: поворот вокруг оси на угол θ, совмещенный с отражением в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси. Поворот-отражение на θ = 360°/ n для любого положительного целого числа n обозначается S _n (из обозначения Шёнфлиса для группы S _n , которую он порождает, если n четно).

Инверсия является частным случаем поворота-отражения (i =  S ₂ ), как и отражение (σ =  S ₁ ), поэтому эти операции часто считаются неправильными поворотами.

Иногда к символу добавляется циркумфлекс для обозначения оператора, как в Ĉ _n и Ŝ _n .

Спряжение

При сравнении типа симметрии двух объектов начало координат выбирается для каждого отдельно, т. е. они не обязательно должны иметь один и тот же центр. Более того, два объекта считаются имеющими один и тот же тип симметрии, если их группы симметрии являются сопряженными подгруппами O(3) (две подгруппы H ₁ , H ₂ группы G являются сопряженными , если существует g ∈ G такой, что H ₁ = g ⁻¹ H ₂ g ).

Например, два 3D-объекта имеют одинаковый тип симметрии:

• если оба имеют зеркальную симметрию, но относительно другой зеркальной плоскости
• если оба имеют 3-кратную вращательную симметрию, но относительно разных осей.

В случае множественных зеркальных плоскостей и/или осей вращения две группы симметрии имеют один и тот же тип симметрии тогда и только тогда, когда существует вращение, отображающее всю структуру первой группы симметрии в структуру второй. (На самом деле, будет более одного такого вращения, но не бесконечное число, как в случае, когда есть только одно зеркало или ось.) Определение сопряженности также допускает зеркальное отображение структуры, но это не нужно, сама структура ахиральна. Например, если группа симметрии содержит 3-кратную ось вращения, она содержит вращения в двух противоположных направлениях. (Структура хиральна для 11 пар пространственных групп с винтовой осью.)

Бесконечные группы изометрий

Существует множество бесконечных групп изометрий ; например, « циклическая группа » (что означает, что она порождается одним элементом — не путать с группой кручения ), порождаемая вращением на иррациональное число оборотов вокруг оси. Мы можем создавать нециклические абелевы группы , добавляя больше вращений вокруг той же оси. Набор точек на окружности в рациональных числах градусов вокруг окружности иллюстрирует точечную группу, требующую бесконечного числа генераторов . Существуют также неабелевы группы, порождаемые вращениями вокруг разных осей. Это обычно (в общем случае) свободные группы . Они будут бесконечными, если вращения не выбраны специально.

Все бесконечные группы, упомянутые до сих пор, не замкнуты как топологические подгруппы O(3). Теперь обсудим топологически замкнутые подгруппы O(3).

Неотмеченная сфера имеет симметрию O(3).

Вся O(3) является группой симметрии сферической симметрии ; SO(3) является соответствующей группой вращения. Другие бесконечные группы изометрии состоят из всех вращений вокруг оси, проходящей через начало координат, и тех, которые дополнительно отражаются в плоскостях, проходящих через ось, и/или отражаются в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси. Те, которые отражаются в плоскостях, проходящих через ось, с отражением или без него в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси, являются группами симметрии для двух типов цилиндрической симметрии . Любая трехмерная форма (подмножество R ³ ), имеющая бесконечную вращательную симметрию, должна также иметь зеркальную симметрию для каждой плоскости, проходящей через ось. Физические объекты, имеющие бесконечную вращательную симметрию, также будут иметь симметрию зеркальных плоскостей, проходящих через ось, но векторные поля могут не иметь, например, векторы скорости конуса, вращающегося вокруг своей оси, или магнитное поле, окружающее провод. ^[1]

Существует семь непрерывных групп, которые в некотором смысле являются пределами конечных групп изометрий. Эти так называемые предельные точечные группы или предельные группы Кюри названы в честь Пьера Кюри, который был первым, кто их исследовал. ^{[1] [2]} Семь бесконечных серий аксиальных групп приводят к пяти предельным группам (две из них являются дубликатами), а семь оставшихся точечных групп производят еще две непрерывные группы. В международной нотации список выглядит так: ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞ и ∞∞m. ^[3] Не все из них возможны для физических объектов, например, объекты с симметрией ∞∞ также имеют симметрию ∞∞m. См. ниже другие обозначения и более подробную информацию.

Конечные группы изометрий

Симметрии в 3D, которые оставляют начало координат фиксированным, полностью характеризуются симметриями на сфере с центром в начале координат. Для конечных точечных групп 3D см. также группы сферической симметрии .

С точностью до сопряженности множество конечных трехмерных точечных групп состоит из:

• § Семь бесконечных серий аксиальных групп, которые имеют не более одной оси вращения более чем в 2 раза; это конечные группы симметрии на бесконечном цилиндре , или, что эквивалентно, группы на конечном цилиндре. Иногда их называют аксиальными или призматическими точечными группами.
• § Семь оставшихся точечных групп, которые имеют несколько осей вращения 3-го или более порядка; эти группы также можно охарактеризовать как точечные группы, имеющие несколько осей вращения 3-го порядка. Возможные комбинации:
  • Четыре оси 3-го порядка (три тетраэдрические симметрии T , T _h , и T _d )
  • Четыре оси 3-го порядка и три оси 4-го порядка ( октаэдрические симметрии O и O _h )
  • Десять осей 3-го порядка и шесть осей 5-го порядка ( икосаэдрические симметрии I и I _h )

Согласно теореме о кристаллографическом ограничении , только ограниченное число точечных групп совместимы с дискретной трансляционной симметрией : 27 из 7 бесконечных серий и 5 из 7 остальных. Вместе они составляют 32 так называемые кристаллографические точечные группы .

Семь бесконечных серий аксиальных групп

Бесконечные серии аксиальных или призматических групп имеют индекс n , который может быть любым целым числом; в каждой серии n- я группа симметрии содержит n -кратную вращательную симметрию вокруг оси, т. е. симметрию относительно поворота на угол 360°/ n . n = 1 охватывает случаи полного отсутствия вращательной симметрии. Существует четыре серии без других осей вращательной симметрии (см. циклические симметрии ) и три с дополнительными осями 2-кратной симметрии (см. диэдральная симметрия ). Их можно понимать как точечные группы в двух измерениях, расширенные с осевой координатой и отражениями в ней. Они связаны с группами фриза ; ^[4] их можно интерпретировать как узоры групп фриза, повторяющиеся n раз вокруг цилиндра.

В следующей таблице перечислены несколько обозначений для точечных групп: обозначение Германа–Могена (используется в кристаллографии ), обозначение Шёнфлиса (используется для описания молекулярной симметрии ), обозначение орбифолда и обозначение Коксетера . Последние три не только удобно связаны со свойствами, но и с порядком группы. Обозначение орбифолда является унифицированным обозначением, также применимым для групп обоев и групп фриза . Кристаллографические группы имеют n, ограниченное 1, 2, 3, 4 и 6; снятие кристаллографического ограничения допускает любое положительное целое число. Ряды следующие:

Для нечетных n имеем Z _{2 n} = Z _n × Z ₂ и Dih _{2 n} = Dih _n × Z ₂ .

Группы C _n (включая тривиальную C ₁ ) и D _n являются хиральными, остальные — ахиральными.

Термины горизонтальный (h) и вертикальный (v), а также соответствующие нижние индексы относятся к дополнительной зеркальной плоскости, которая может быть параллельна оси вращения (вертикальная) или перпендикулярна оси вращения (горизонтальная).

Простейшие нетривиальные аксиальные группы эквивалентны абстрактной группе Z ₂ :

• C _i (эквивалентно S ₂ ) – инверсионная симметрия
• C ₂ – 2-кратная вращательная симметрия
• C _s (эквивалентно C _1h и C _1v ) – симметрия отражения , также называемая двусторонней симметрией .

Узоры на цилиндрической ленте, иллюстрирующие случай n = 6 для каждого из 7 бесконечных семейств точечных групп. Группа симметрии каждого узора — указанная группа.

Вторая из них — первая из одноосных групп ( циклических групп ) C _n порядка n (также применимая в 2D), которые генерируются одним поворотом на угол 360°/ n . В дополнение к этому можно добавить зеркальную плоскость, перпендикулярную оси, что даст группу C _{n h} порядка 2 n , или набор из n зеркальных плоскостей, содержащих ось, что даст группу C _{n v} , также порядка 2 n . Последняя является группой симметрии для правильной n -гранной пирамиды . Типичным объектом с группой симметрии C _n или D _n является пропеллер .

Если добавить и горизонтальную, и вертикальную плоскости отражения, их пересечения дадут n осей вращения на 180°, так что группа больше не будет одноосной. Эта новая группа порядка 4 n называется D _{n h} . Ее подгруппа вращений — это диэдральная группа D _n порядка 2 n , которая по-прежнему имеет оси вращения 2-го порядка, перпендикулярные первичной оси вращения, но не имеет плоскостей зеркального отражения.

Примечание: в 2D D _n включает отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия передней и задней стороны; но в 3D эти две операции различаются: D _n содержит «переворачивание», а не отражения.

В этом семействе есть еще одна группа, называемая D _{n d} (или D _{n v} ), которая имеет вертикальные плоскости зеркала, содержащие главную ось вращения, но вместо горизонтальной плоскости зеркала она имеет изометрию, которая объединяет отражение в горизонтальной плоскости и поворот на угол 180°/ n . D _{n h} — группа симметрии для «правильной» n -угольной призмы , а также для «правильной» n -угольной бипирамиды . D _{n d} — группа симметрии для «правильной» n -угольной антипризмы , а также для «правильного» n -угольного трапецоэдра . D _n — группа симметрии частично повернутой («скрученной») призмы.

Группы D ₂ и D _2h примечательны тем, что не имеют специальной оси вращения. Вместо этого есть три перпендикулярные оси 2-го порядка. D ₂ является подгруппой всех полиэдральных симметрий (см. ниже), а D _2h является подгруппой полиэдральных групп T _h и O _h . D ₂ встречается в молекулах, таких как твистан , и в гомотетрамерах, таких как конканавалин A . Элементы D ₂ находятся в соответствии 1 к 2 с вращениями, заданными единичными кватернионами Липшица .

Группа S _n генерируется комбинацией отражения в горизонтальной плоскости и поворота на угол 360°/n. Для нечетного n это равно группе, генерируемой двумя по отдельности, C _{n h} порядка 2 n , и поэтому обозначение S _n не нужно; однако для четного n оно отличается и имеет порядок n . Подобно D _{n d} оно содержит ряд несобственных поворотов , не содержащих соответствующих поворотов.

Все группы симметрии в 7 бесконечных рядах различны, за исключением следующих четырех пар взаимно равных:

• C _1h и C _1v : группа порядка 2 с одним отражением ( C _s )
• D ₁ и C ₂ : группа порядка 2 с одним поворотом на 180°
• D _1h и C _2v : группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и поворотом на 180° относительно прямой в этой плоскости
• D _1d и C _2h : группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и поворотом на 180° относительно линии, перпендикулярной этой плоскости.

S ₂ — группа порядка 2 с одной инверсией ( C _i ).

«Равные» здесь понимаются как одинаковые с точностью до сопряженности в пространстве. Это сильнее, чем «с точностью до алгебраического изоморфизма». Например, в первом смысле есть три различных группы порядка два, но во втором смысле есть только одна. Аналогично, например, S _{2 n} алгебраически изоморфна Z _{2 n} .

Группы могут быть построены следующим образом:

• C _n . Генерируется элементом, также называемым C _n , который соответствует повороту на угол 2π/ n вокруг оси. Его элементы — E (тождество), C _n , C _n ² , ..., C _n ^{n −1} , соответствующие углам поворота 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( n  − 1)π/ n .
• S _{2 n} . Генерируется элементом C _{2 n} σ _h , где σ _h — отражение в направлении оси. Его элементы — это элементы C _n с добавленными C _{2 n} σ _h , C _{2 n} ³ σ _h , ..., C _{2 n} ^{2 n −1} σ _h .
• C _{n h} . Генерируется элементом C _n и отражением σ _h . Его элементы являются элементами группы C _n , с добавленными элементами σ _h , C _n σ _h , C _n ² σ _h , ..., C _n ^{n −1} σ _{h .}
• C _{n v} . Образована элементом C _n и отражением σ _v в направлении плоскости, перпендикулярном оси. Ее элементы — это элементы группы C _n , с добавленными элементами σ _v , C _n σ _v , C _n ² σ _v , ..., C _n ^{n −1} σ _v .
• D _n . Образован элементом C _n и поворотом на 180° U = σ _h σ _v вокруг направления в плоскости, перпендикулярной оси. Его элементы — это элементы группы C _n , к которым добавлены элементы U, C _n U, C _n ² U, ..., C _n ^{n  − 1} U.
• D _{n d} . Генерируется элементами C _{2 n} σ _h и σ _v . Его элементами являются элементы группы C _n и дополнительные элементы S _{2 n} и C _{n v} , с добавленными элементами C _{2 n} σ _h σ _v , C _{2 n} ³ σ _h σ _v , ..., C _{2 n} ^{2 n  − 1} σ _h σ _v .
• D _{n h} . Образован элементами C _n , σ _h и σ _v . Его элементами являются элементы группы C _n и дополнительные элементы C _{n h} , C _{n v} и D _n .

Группы с непрерывными осевыми вращениями обозначаются путем подстановки ∞ вместо n . Однако следует отметить, что C _∞ здесь не то же самое, что бесконечная циклическая группа (иногда также обозначаемая C _∞ ), которая изоморфна целым числам. В следующей таблице приведены пять непрерывных осевых групп вращений. Они являются пределами конечных групп только в том смысле, что возникают, когда основное вращение заменяется вращением на произвольный угол, поэтому не обязательно рациональное число градусов, как в случае конечных групп. Физические объекты могут иметь только симметрию C _∞v или D _∞h , но векторные поля могут иметь другие.

Семь оставшихся точечных групп

Остальные точечные группы называются очень высокой или полиэдральной симметрией, поскольку они имеют более одной оси вращения порядка больше 2. Здесь C _n обозначает ось вращения через 360°/n, а S _n обозначает ось несобственного вращения через ту же самую. На последовательных строках указаны нотация орбифолда , нотация Коксетера и диаграмма Коксетера , а также нотация Германа–Могена (полная и сокращенная, если отличается) и порядок (количество элементов) группы симметрии. Группы следующие:

Непрерывные группы, связанные с этими группами, следующие:

• ∞∞, K или SO(3) , все возможные вращения.
• ∞∞m, K _h , или O(3) , все возможные вращения и отражения.

Как было отмечено выше для бесконечных групп изометрий, любой физический объект, имеющий симметрию K, будет иметь также симметрию K _h .

Группы рефлексивного Коксетера

Группы отражающих точек в трех измерениях также называются группами Коксетера и могут быть заданы диаграммой Коксетера-Дынкина и представляют собой набор зеркал, пересекающихся в одной центральной точке. Нотация Коксетера предлагает скобочную нотацию, эквивалентную диаграмме Коксетера, с символами разметки для групп точек вращения и других подсимметрий. В нотации Шенфлиса группы отражающих точек в 3D — это C _{n v} , D _{n h} и полные полиэдральные группы T , O и I .

Зеркальные плоскости ограничивают множество сферических треугольных областей на поверхности сферы. Группа Коксетера ранга n имеет n зеркальных плоскостей. Группы Коксетера, имеющие менее 3 генераторов, имеют вырожденные сферические треугольные области, такие как лунки или полусфера . В нотации Коксетера эти группы являются тетраэдрической симметрией [3,3], октаэдрической симметрией [4,3], икосаэдрической симметрией [5,3] и диэдральной симметрией [p,2]. Число зеркал для неприводимой группы равно nh/2 , где h — число Коксетера группы Коксетера , n — размерность (3). ^[5]

Группы ротации

Группы вращений, т.е. конечные подгруппы SO(3), включают в себя: циклические группы C _n (группа вращений канонической пирамиды ), диэдральные группы D _n (группа вращений однородной призмы или канонической бипирамиды ) и группы вращений T , O и I правильного тетраэдра , октаэдра / куба и икосаэдра / додекаэдра .

В частности, группы диэдра D ₃ , D ₄ и т. д. являются группами вращения плоских правильных многоугольников, вложенных в трехмерное пространство, и такую ​​фигуру можно рассматривать как вырожденную правильную призму. Поэтому ее также называют диэдром ( греч.: тело с двумя гранями), что объясняет название группы диэдра .

• Объект, имеющий группу симметрии C _n , C _{n h} , C _{n v} или S _{2 n ,} имеет группу вращения C _n .
• Объект, имеющий группу симметрии D _n , D _{n h} или D _{n d ,} имеет группу вращения D _n .
• Объект, имеющий полиэдральную симметрию ( _T , Td , Th , O , Oh , I или Ih ) _{, имеет} в качестве своей группы вращения соответствующую группу без индекса: T , O или _I.

Группа вращения объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект является хиральным . Другими словами, хиральными являются те объекты, у которых группа симметрии находится в списке групп вращения.

В обозначениях Шёнфлиса , Кокстера ( орбифолдных обозначениях ) подгруппы вращения имеют вид:

Соответствие между группами ротации и другими группами

Группы, содержащие инверсию

Группа вращений SO(3) является подгруппой O(3), полной группы вращений точек трехмерного евклидова пространства. Соответственно, O(3) является прямым произведением SO(3) и группы инверсий C _i (где инверсия обозначается ее матрицей − I ):

О(3) = SO(3) × { I , − I }

Таким образом, существует соответствие 1 к 1 между всеми прямыми изометриями и всеми косвенными изометриями через инверсию. Также существует соответствие 1 к 1 между всеми группами H прямых изометрий в SO(3) и всеми группами K изометрий в O(3), которые содержат инверсию:

К = Н × { I , − I }

Н = К ∩ SO(3)

где изометрия ( A , I ) отождествляется с A.

Для конечных групп соответствие имеет вид:

Группы, содержащие косвенные изометрии, но не содержащие инверсии

Если группа прямых изометрий H имеет подгруппу L индекса 2, то существует соответствующая группа, содержащая косвенные изометрии, но не содержащая инверсии :

${\displaystyle M=L\cup ((H\setminus L)\times \{-I\})}$

Например, H = C ₄ соответствует M = S ₄ .

Таким образом, M получается из H путем обращения изометрий в . Эта группа M , если рассматривать ее как абстрактную группу , изоморфна H . Наоборот, для всех точечных групп M , содержащих косвенные изометрии, но не содержащих инверсии, мы можем получить группу вращений H путем обращения косвенных изометрий. ${\displaystyle H\setminus L}$

Для конечных групп соответствие имеет вид:

Нормальные подгруппы

В 2D циклическая группа k -кратных вращений C _k является для каждого положительного целого числа k нормальной подгруппой O(2) и SO(2). Соответственно, в 3D для каждой оси циклическая группа k -кратных вращений вокруг этой оси является нормальной подгруппой группы всех вращений вокруг этой оси. Поскольку любая подгруппа индекса два является нормальной, группа вращений ( C _n ) является нормальной как в группе ( C _{n v} ), полученной добавлением к ( C _n ) плоскостей отражения через ее ось, так и в группе ( C _{n h} ), полученной добавлением к ( C _n ) плоскости отражения, перпендикулярной ее оси.

Максимальные симметрии

Существуют две дискретные точечные группы со свойством, что ни одна дискретная точечная группа не имеет их в качестве собственной подгруппы: _Oh и I h _. Их наибольшая общая подгруппа — T _h . Две группы получаются из нее путем замены 2-кратной вращательной симметрии на 4-кратную и добавления 5-кратной симметрии соответственно.

Существуют две кристаллографические точечные группы со свойством, что ни одна кристаллографическая точечная группа не имеет их в качестве собственной подгруппы: O _h и D _6h . Их максимальные общие подгруппы, в зависимости от ориентации, это D _3d и D _2h .

Группы, организованные по типу абстрактной группы

Ниже группы, описанные выше, отсортированы по типу абстрактной группы.

Наименьшими абстрактными группами, не являющимися ни одной группой симметрии в 3D, являются группа кватернионов (порядка 8), Z ₃ × Z ₃ (порядка 9), дициклическая группа Dic ₃ (порядка 12) и 10 из 14 групп порядка 16.

Столбец "# элементов порядка 2" в следующих таблицах показывает общее количество подгрупп изометрий типов _C 2 _, Ci , C s _. Это общее количество является одной из характеристик, помогающих различать различные типы абстрактных групп, в то время как их тип изометрии помогает различать различные группы изометрий одной и той же абстрактной группы.

В пределах возможностей групп изометрии в 3D существует бесконечно много абстрактных типов групп с 0, 1 и 3 элементами порядка 2, есть два с 4 n + 1 элементами порядка 2 и есть три с 4 n + 3 элементами порядка 2 (для каждого n ≥ 8). Никогда не существует положительного четного числа элементов порядка 2.

Группы симметрии в 3D, которые являются циклическими как абстрактная группа

Группа симметрии для n -кратной вращательной симметрии — это C _n ; ее абстрактный тип группы — циклическая группа Z _n , которая также обозначается как C _n . Однако существуют еще две бесконечные серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:

• Для четного порядка 2 n имеется группа S _{2 n} (обозначение Шенфлиса), порожденная поворотом на угол 180°/n вокруг оси, совмещенным с отражением в плоскости, перпендикулярной оси. Для S ₂ используется обозначение C _{i ; оно порождено инверсией.}
• Для любого порядка 2 n, где n нечетно, мы имеем C _{n h} ; он имеет ось вращения n -кратного порядка и перпендикулярную плоскость отражения. Он генерируется вращением на угол 360°/ n вокруг оси, совмещенным с отражением. Для C _1h используется обозначение C _s ; он генерируется отражением в плоскости.

Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом 10 циклических кристаллографических точечных групп, для которых применимо кристаллографическое ограничение :

и т. д.

Группы симметрии в 3D, которые являются двугранными как абстрактная группа

В двумерной диэдральной группе D _n имеются отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия передней и задней сторон.

Однако в 3D эти две операции различаются: группа симметрии, обозначенная D _{n ,} содержит n 2 -кратных осей, перпендикулярных n -кратной оси, а не отражений. D _n — это группа вращения n -гранной призмы с правильным основанием и n -гранной бипирамиды с правильным основанием, а также правильной n -гранной антипризмы и правильного n -гранного трапецоэдра . Группа также является полной группой симметрии таких объектов после того, как они стали хиральными , например, с помощью идентичной хиральной маркировки на каждой грани или некоторой модификации формы.

Тип абстрактной группы — это диэдральная группа Dih _n , которая также обозначается как D _n . Однако существуют еще три бесконечных ряда групп симметрии с этим абстрактным типом группы:

• C _{n v} порядка 2 n , группа симметрии правильной n -гранной пирамиды
• D _{n d} порядка 4 n , группа симметрии правильной n -гранной антипризмы
• D _{n h} порядка 4 n для нечетных n . Для n = 1 мы получаем D ₂ , уже рассмотренное выше, поэтому n ≥ 3.

Обратите внимание на следующее свойство:

Дих _{4 н +2} Дих _{2 н +1} × Z ₂ ${\displaystyle \cong }$

Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом 12 кристаллографических точечных групп и записав D _1d как эквивалент C _2h :

и т. д.

Другой

C _{2 n ,h} порядка 4 n имеет абстрактный групповой тип Z _{2 n} × Z ₂ . Для n = 1 мы получаем Dih ₂ , уже рассмотренный выше, поэтому n ≥ 2.

Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом две циклические кристаллографические точечные группы:

и т. д.

D _{n h} порядка 4 n имеет абстрактный групповой тип Dih _n × Z ₂ . Для нечетных n это уже рассмотрено выше, поэтому здесь мы имеем D _{2 n h} порядка 8 n , который имеет абстрактный групповой тип Dih _{2 n} × Z ₂ ( n ≥1).

Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом три диэдральные кристаллографические точечные группы:

и т. д.

Оставшиеся семь, с выделением жирным шрифтом пяти кристаллографических точечных групп (см. также выше):

Фундаментальный домен

Фундаментальная область точечной группы — это коническое тело . Объект с заданной симметрией в заданной ориентации характеризуется фундаментальной областью. Если объект является поверхностью, он характеризуется поверхностью в фундаментальной области, продолжающейся до ее радиальных бордальных граней или поверхности. Если копии поверхности не подходят, можно добавить радиальные грани или поверхности. Они подходят в любом случае, если фундаментальная область ограничена плоскостями отражения.

Для многогранника эта поверхность в фундаментальной области может быть частью произвольной плоскости. Например, в триаконтаэдре дисдьякиса одна полная грань является фундаментальной областью икосаэдрической симметрии . Регулировка ориентации плоскости дает различные возможности объединения двух или более смежных граней в одну, давая различные другие многогранники с той же симметрией. Многогранник является выпуклым, если поверхность соответствует его копиям, а радиальная линия, перпендикулярная плоскости, находится в фундаментальной области.

Кроме того, поверхность в фундаментальной области может состоять из нескольких граней.

Бинарные полиэдральные группы

Отображение Spin(3) → SO(3) является двойным покрытием группы вращений группой спинов в 3 измерениях. (Это единственное связное покрытие SO(3), поскольку Spin(3) односвязно.) По теореме о решетке существует связь Галуа между подгруппами Spin(3) и подгруппами SO(3) (вращательными точечными группами): образ подгруппы Spin(3) является вращательной точечной группой, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin(3). (Обратите внимание, что Spin(3) имеет альтернативные описания как специальной унитарной группы SU(2) и как группы единичных кватернионов . Топологически эта группа Ли является 3-мерной сферой S ³ .)

Прообраз конечной точечной группы называется бинарной полиэдральной группой , представленной как ⟨l,n,m⟩, и называется тем же именем, что и ее точечная группа, с префиксом binary , с удвоенным порядком соответствующей полиэдральной группы (l,m,n). Например, прообразом икосаэдрической группы (2,3,5) является бинарная икосаэдрическая группа , ⟨2,3,5⟩.

Бинарные полиэдральные группы:

• ${\displaystyle A_{n}}$: бинарная циклическая группа ( n  + 1)-угольника, порядок 2 n
• ${\displaystyle D_{n}}$: бинарная диэдральная группа n -угольника , ⟨2,2, n ⟩, порядок 4 n
• ${\displaystyle E_{6}}$: бинарная тетраэдрическая группа , ⟨2,3,3⟩, порядок 24
• ${\displaystyle E_{7}}$: бинарная октаэдрическая группа , ⟨2,3,4⟩, порядок 48
• ${\displaystyle E_{8}}$: бинарная икосаэдрическая группа , ⟨2,3,5⟩, порядок 120

Они классифицируются по классификации ADE , а фактор C2 по действию бинарной полиэдральной группы является ^{особенностью} Дю Валя . ^[6]

Для точечных групп, которые меняют ориентацию, ситуация более сложная, поскольку имеются две группы выводов , поэтому существуют две возможные бинарные группы, соответствующие данной точечной группе.

Обратите внимание, что это покрытие групп, а не покрытие пространств — сфера односвязна и, таким образом, не имеет покрывающих пространств . Таким образом, нет понятия «бинарного многогранника», который покрывает 3-мерный многогранник. Бинарные многогранные группы являются дискретными подгруппами группы Spin, и при представлении группы спина действуют на векторное пространство и могут стабилизировать многогранник в этом представлении — при отображении Spin(3) → SO(3) они действуют на тот же многогранник, на который действует базовая (небинарная) группа, в то время как при представлениях спина или других представлениях они могут стабилизировать другие многогранники.

Это контрастирует с проективными многогранниками — сфера покрывает проективное пространство (а также линзовые пространства ), и, таким образом, разбиение проективного пространства или линзового пространства дает отдельное понятие многогранника.

Смотрите также

• Список сферических групп симметрии
• Список таблиц характеров для химически важных 3D точечных групп
• Точечные группы в двух измерениях
• Точечные группы в четырех измерениях
• Симметрия
• Изометрия евклидовой плоскости
• Групповые действия
• Группа точек
• Кристаллическая система
• Космическая группа
• Список малых групп
• Молекулярная симметрия

Сноски

1. Кюри, Пьер (1894). «Sur la symétrie dans les phénomènes Physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ Magnetique» [О симметрии в физических явлениях, симметрии электрического поля и магнитного поля] (PDF) . Journal de Physique (на французском языке). 3 (1): 393–415. doi : 10.1051/jphystap: 018940030039300.
2. Шубников, А. В. (1988). «О работах Пьера Кюри по симметрии». Кристаллические симметрии: статьи к столетию Шубникова . Pergamon Press. стр. 357–364. doi :10.1016/B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.
3. Вайнштейн., Б.К. (1994). Современная кристаллография, т. 1. Основы кристаллов. Симметрия и методы структурной кристаллографии (2-е расширенное изд.). Springer-Verlag Berlin. стр. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.
4. Фишер, Г. Л.; Меллор, Б. (2007), «Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бусин» (PDF) , Журнал математики и искусств , 1 (2): 85–96, doi :10.1080/17513470701416264, S2CID  40755219
5. Коксетер , Правильные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12.61
6. Бурбан, Игорь. «Особенности Дюваля» (PDF) .

Ссылки

• Коксетер, HSM (1974), «7 Двоичные полиэдральные группы», Регулярные комплексные многогранники , Cambridge University Press, стр. 73–82.
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп, 4-е издание . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.6.5 Бинарные полиэдральные группы, стр. 68
• Conway, John Horton ; Huson, Daniel H. (2002), «Орбифолдная нотация для двумерных групп», Structural Chemistry , 13 (3), Springer Netherlands: 247–257, doi :10.1023/A:1015851621002, S2CID  33947139

Внешние ссылки

• Графический обзор 32 кристаллографических точечных групп – образуют первые части (кроме пропуска n = 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных 3D точечных групп
• Обзор свойств точечных групп
• Простейшие канонические многогранники каждого типа симметрии (использует Java)
• Точечные группы и кристаллические системы, И-Шу Вэй, стр. 4–6
• Центр геометрии: 10.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (три измерения)