Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве

В математике группа вращений вокруг неподвижной точки в четырехмерном евклидовом пространстве обозначается SO(4) . Название происходит от того, что это специальная ортогональная группа порядка 4.

В данной статье вращение означает вращательное смещение . Для однозначности предполагается, что углы вращения находятся в отрезке $[0, π]$ , если иное не указано или явно не подразумевается контекстом.

«Фиксированная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости остается неизменным после поворота. «Инвариантная плоскость» — это плоскость, для которой каждый вектор в плоскости, хотя он может быть затронут поворотом, остается в плоскости после поворота.

Геометрия 4D вращений

Четырехмерные вращения бывают двух типов: простые вращения и двойные вращения.

Простые вращения

Простое вращение $R$ вокруг центра вращения $O$ оставляет неподвижной всю плоскость $A,$ проходящую через $O$ (ось-плоскость). Каждая плоскость $B$ , которая полностью ортогональна A $,$ пересекает $A$ в определенной точке $P.$ Для каждой такой точки $P$ является центром двумерного вращения, индуцированного $R$ в $B.$ Все эти двумерные вращения имеют один и тот же угол поворота $α$ .

Полупрямые из $O$ в плоскости оси $A$ не смещены; полупрямые из $O,$ ортогональные $A$ , смещены на угол $α$ ; все остальные полупрямые смещены на угол, меньший $α$ .

Двойные вращения

Тессеракт , в стереографической проекции , в **двойном вращении**

Для каждого поворота $R$ 4-пространства (фиксирующего начало координат) существует по крайней мере одна пара ортогональных 2-плоскостей $A$ и $B,$ каждая из которых инвариантна и чья прямая сумма $A \oplus B$ полностью принадлежит 4-пространству. Следовательно, $R,$ действующий на любую из этих плоскостей, производит обычный поворот этой плоскости. Для почти всех $R$ (всех 6-мерных множеств поворотов, за исключением 3-мерного подмножества) углы поворота $α$ в плоскости $A$ и $β$ в плоскости $B$ — оба предполагаются ненулевыми — различны. Неравные углы поворота $α$ и $β,$ удовлетворяющие $-π < α$ , $β < π ,$ почти ^[a] однозначно определяются $R$ . Предполагая, что 4-пространство ориентировано, тогда ориентации 2-плоскостей $A$ и $B$ можно выбрать в соответствии с этой ориентацией двумя способами. Если углы поворота не равны ( $α \neq β$ ), $R$ иногда называют «двойным поворотом».

В этом случае двойного вращения $A$ и $B$ являются единственной парой инвариантных плоскостей, и полупрямые из начала координат в $A$ , $B$ смещены на $α$ и $β$ соответственно, а полупрямые из начала координат не в $A$ или $B$ смещены на углы строго между $α$ и $β$ .

Изоклинные вращения

Если углы поворота двойного поворота равны, то существует бесконечно много инвариантных плоскостей вместо двух, и все полупрямые из $O$ смещены на один и тот же угол. Такие повороты называются изоклинными или эквиангулярными поворотами , или смещениями Клиффорда . Будьте осторожны: не все плоскости, проходящие через $O$ , инвариантны относительно изоклинных поворотов; инвариантны только плоскости, охватываемые полупрямой и соответствующими смещенными полупрямыми. ^[2]

Предполагая, что для 4-мерного пространства выбрана фиксированная ориентация, изоклинические 4D-вращения можно разделить на две категории. Чтобы увидеть это, рассмотрим изоклиническое вращение $R$ и возьмем согласованный по ориентации упорядоченный набор $OU, OX, OY, OZ$ взаимно перпендикулярных полупрямых в точке $O$ (обозначаемый как $OUXYZ$ ), такой, что $OU$ и $OX$ охватывают инвариантную плоскость, и, следовательно, $OY$ и $OZ$ также охватывают инвариантную плоскость. Теперь предположим, что указан только угол поворота $α$ . Тогда в общем случае существует четыре изоклинических вращения в плоскостях $OUX$ и $OYZ$ с углом поворота $α$ , в зависимости от направлений вращения в $OUX$ и $OYZ$ .

Мы принимаем соглашение, что направления вращения от $OU$ до $OX$ и от $OY$ до $OZ$ считаются положительными. Тогда у нас есть четыре вращения $R 1 = (+ α, + α)$ , $R 2 = (- α, - α)$ , $R 3 = (+ α, - α)$ и $R 4 = (- α, + α)$ . $R 1$ и $R 2$ являются обратными друг другу ; таковы же $R 3$ и $R 4$ . Пока $α$ лежит между 0 и $π$ , эти четыре вращения будут различны.

Изоклинные вращения с одинаковыми знаками обозначаются как левоизоклинные ; с противоположными знаками — как правоизоклинные . Лево- и правоизоклинные вращения обозначаются соответственно левым и правым умножением на единичные кватернионы; см. параграф «Связь с кватернионами» ниже.

Четыре вращения попарно различны, за исключением случаев, когда $α = 0$ или $α = π$ . Угол $α = 0$ соответствует тождественному вращению; $α = π$ соответствует центральной инверсии , заданной отрицанием единичной матрицы. Эти два элемента SO(4) являются единственными, которые одновременно являются лево- и правоизоклинными.

Левая и правая изоклинии, определенные выше, по-видимому, зависят от того, какой конкретный изоклинический поворот был выбран. Однако, когда выбирается другой изоклинический поворот $R'$ со своими собственными осями $OU'$ , $OX'$ , $OY'$ , $OZ'$ , то всегда можно выбрать порядок $U'$ , $X'$ , $Y'$ , $Z'$ таким образом, что $OUXYZ$ может быть преобразован в $OU'X'Y'Z'$ вращением, а не отражением вращения (то есть так, что упорядоченный базис $OU'$ , $OX'$ , $OY'$ , $OZ'$ также согласуется с тем же фиксированным выбором ориентации, что и $OU$ , $OX$ , $OY$ , $OZ$ ). Таким образом, выбрав ориентацию (то есть систему осей $OUXYZ$ , которая повсеместно обозначается как правая), можно определить левый или правый характер конкретного изоклинного вращения.

Групповая структура SO(4)

SO(4) — некоммутативная компактная 6- мерная группа Ли .

Каждая плоскость, проходящая через центр вращения $O,$ является осью-плоскостью коммутативной подгруппы , изоморфной SO(2). Все эти подгруппы взаимно сопряжены в SO(4).

Каждая пара полностью ортогональных плоскостей, проходящих через $O,$ является парой инвариантных плоскостей коммутативной подгруппы SO(4), изоморфной SO(2) × SO(2) .

Эти группы являются максимальными торами SO(4), которые все взаимно сопряжены в SO(4). См. также тор Клиффорда .

Все левоизоклинические вращения образуют некоммутативную подгруппу $S 3 L$ группы SO(4), которая изоморфна мультипликативной группе $S 3$ единичных кватернионов . Все правоизоклинические вращения также образуют подгруппу $S 3 R$ группы SO(4), изоморфную $S 3$ . Как $S 3 L,$ так и $S 3 R$ являются максимальными подгруппами группы SO(4).

Каждое левоизоклиническое вращение коммутирует с каждым правоизоклиническим вращением. Это подразумевает, что существует прямое произведение $S 3 L \times S 3 R$ с нормальными подгруппами $S 3 L$ и $S 3 R$ ; обе соответствующие фактор-группы изоморфны другому фактору прямого произведения, т. е. изоморфны $S 3$ . (Это не SO(4) или ее подгруппа, поскольку $S 3 L$ и $S 3 R$ не являются дизъюнктными: тождество $I$ и центральная инверсия $- I$ принадлежат как $S 3 L ,$ так и $S 3 R$ .)

Каждое 4D вращение $A$ является произведением лево- и правоизоклинных вращений $A L$ и $A R$ двумя способами . $A L$ и $A R$ вместе определяются с точностью до центральной инверсии, т.е. когда и $A L$ , и $A R$ умножаются на центральную инверсию, их произведение снова равно $A.$

Это означает, что $S 3 L \times S 3 R$ является универсальной покрывающей группой SO(4) — ее единственным двойным покрытием — и что $S 3 L$ и $S 3 R$ являются нормальными подгруппами SO(4). Тождественное вращение $I$ и центральная инверсия $- I$ образуют группу $C 2$ порядка 2, которая является центром SO(4) и как $S 3 L,$ так и $S 3 R.$ Центр группы является нормальной подгруппой этой группы. Фактор-группа C ₂ в SO(4) изоморфна SO(3) × SO(3). Фактор-группы $S$ ³_L по C ₂ и $S$ ³_R по C ₂ изоморфны SO(3). Аналогично, фактор-группы SO(4) по $S$ ³_L и SO(4) по $S$ ³_R изоморфны SO(3).

Топология SO(4) та же самая, что и у группы Ли SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , а именно, пространство, где — вещественное проективное пространство размерности 3, а — 3-сфера . Однако следует отметить, что как группа Ли SO(4) не является прямым произведением групп Ли, и поэтому она не изоморфна SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) . $\mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}$ $\mathbb {P} ^{3}$ $\mathbb {S} ^{3}$

Особое свойство SO(4) среди групп вращения в целом

Группы вращения нечетной размерности не содержат центральной инверсии и являются простыми группами .

Группы вращения четной размерности содержат центральную инверсию $- I$ и имеют группу C ₂ = { $I$ , $- I$ } в качестве своего центра . Для четных n ≥ 6 SO(n) почти проста в том смысле, что фактор-группа SO(n)/C ₂ группы SO(n) по ее центру является простой группой.

SO(4) отличается: нет сопряжения каким-либо элементом SO(4), которое преобразует лево- и правоизоклинные вращения друг в друга. Отражения преобразуют левоизоклинное вращение в правоизоклинное посредством сопряжения, и наоборот. Это подразумевает, что в группе O(4) всех изометрий с неподвижной точкой $O$ различные подгруппы $S 3 L$ и $S 3 R$ сопряжены друг другу, и поэтому не могут быть нормальными подгруппами O(4). Группа 5D вращений SO(5) и все более высокие группы вращений содержат подгруппы, изоморфные O(4). Подобно SO(4), все четномерные группы вращений содержат изоклинные вращения. Но в отличие от SO(4), в SO(6) и всех более высоких четномерных группах вращений любые два изоклинных вращения на один и тот же угол сопряжены. Множество всех изоклинных вращений не является даже подгруппой SO(2 $N$ ), не говоря уже о нормальной подгруппе.

Алгебра 4D-вращений

SO(4) обычно отождествляют с группой сохраняющих ориентацию изометрических линейных отображений четырехмерного векторного пространства со скалярным произведением действительных чисел на себя.

Относительно ортонормированного базиса в таком пространстве SO(4) представляется как группа действительных ортогональных матриц 4-го порядка с определителем +1. ^[3]

Изоклинное разложение

Четырехмерное вращение, заданное его матрицей, разлагается на левоизоклинное и правоизоклинное вращение ^[4] следующим образом:

Позволять

A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}

— ее матрица относительно произвольного ортонормированного базиса.

Вычислите из этого так называемую ассоциированную матрицу

М={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{ 13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}

$M$ имеет ранг один и единичную евклидову норму как 16D вектор тогда и только тогда, когда $A$ действительно является 4D матрицей вращения. В этом случае существуют действительные числа $a, b, c, d$ и $p, q, r, s$ такие, что

M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}

(ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.

Существует ровно два набора $a$ $, b, c, d и$ p $, q, r, s,$ $таких$ , что $a2$ $+ b2 + c2 + d2 =$ $1$ $и$ p2 $+ q2 + r2 + s2 = 1. Они$ $являются$ $противоположностями$ друг друга $.$

Тогда матрица вращения равна

{\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Эта формула принадлежит Ван Эльфринкхофу (1897).

Первый фактор в этом разложении представляет собой левоизоклиническое вращение, второй фактор — правоизоклиническое вращение. Факторы определяются с точностью до отрицательной единичной матрицы 4-го порядка , т.е. центральной инверсии.

Отношение к кватернионам

Точка в 4-мерном пространстве с декартовыми координатами $(u, x, y, z)$ может быть представлена кватернионом $P = u + xi + yj + zk$ .

Левоизоклиническое вращение представлено левым умножением на единичный кватернион $Q L = a + bi + cj + dk$ . На языке матриц-векторов это

{\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.

Аналогично, правоизоклиническое вращение представляется правым умножением на единичный кватернион $Q R = p + qi + rj + sk$ , который находится в матрично-векторной форме

{\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.

В предыдущем разделе (изоклинное разложение) показано, как общее 4D-вращение разбивается на лево- и правоизоклинные факторы.

На языке кватернионов формула Ван Эльфринкхофа выглядит так:

u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),

или, в символической форме,

P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,

По словам немецкого математика Феликса Клейна, эта формула была известна Кэли еще в 1854 году. ^[5]

Умножение кватернионов ассоциативно . Поэтому,

P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,

что показывает, что левоизоклинические и правоизоклинические вращения коммутируют.

Собственные значения матриц вращения 4D

Четыре собственных значения матрицы вращения 4D обычно возникают как две сопряженные пары комплексных чисел единичной величины. Если собственное значение действительно, оно должно быть равно ±1, поскольку вращение оставляет величину вектора неизменной. Сопряженное значение этого собственного значения также равно единице, что дает пару собственных векторов, которые определяют фиксированную плоскость, и поэтому вращение является простым. В кватернионной нотации собственное (т. е. неинвертирующее) вращение в SO(4) является собственным простым вращением тогда и только тогда, когда действительные части единичных кватернионов $Q L$ и $Q R$ равны по величине и имеют одинаковый знак. ^[b] Если они оба равны нулю, все собственные значения вращения равны единице, и вращение является нулевым вращением. Если действительные части $Q L$ и $Q R$ не равны, то все собственные значения являются комплексными, и вращение является двойным вращением.

Формула Эйлера–Родригеса для трехмерных вращений

Наше обычное трехмерное пространство удобно рассматривать как подпространство с системой координат 0XYZ четырехмерного пространства с системой координат UXYZ. Его группа вращения SO(3) отождествляется с подгруппой SO(4), состоящей из матриц

{\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.

В формуле Ван Эльфринкхофа в предыдущем подразделе это ограничение тремя измерениями приводит к $p = a$ , $q = - b$ , $r = - c$ , $s = - d$ , или в кватернионном представлении: $Q R = Q L' = Q L -1$ . Матрица трехмерного вращения тогда становится формулой Эйлера–Родрига для трехмерных вращений

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},

что является представлением трехмерного вращения с помощью его параметров Эйлера–Родрига : $a, b, c, d$ .

Соответствующая формула кватерниона $P' = QPQ -1$ , где $Q = Q L$ , или, в развернутом виде:

x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)

известна как формула Гамильтона – Кэли .

Координаты Хопфа

Вращения в трехмерном пространстве математически становятся гораздо более податливыми благодаря использованию сферических координат . Любое вращение в трехмерном пространстве можно охарактеризовать фиксированной осью вращения и инвариантной плоскостью, перпендикулярной этой оси. Без потери общности можно взять плоскость $xy$ в качестве инвариантной плоскости, а ось $z$ — в качестве фиксированной оси. Поскольку радиальные расстояния не зависят от вращения, можно охарактеризовать вращение его влиянием на единичную сферу (2-сферу) с помощью сферических координат, относящихся к фиксированной оси и инвариантной плоскости:

{\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}

Поскольку $x 2 + y 2 + z 2 = 1$ , точки ( x , y , z ) лежат на единичной 2-сфере. Точка с углами ${θ 0, φ 0}$ , повернутая на угол $φ$ вокруг оси $z$ , становится точкой с углами ${θ 0, φ 0 + φ}$ . Хотя гиперсферические координаты также полезны при работе с 4D-вращениями, еще более полезная система координат для 4D предоставляется координатами Хопфа ${ξ 1, η, ξ 2}$ , ^[6], которые представляют собой набор из трех угловых координат, определяющих положение на 3-сфере. Например:

{\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}

Поскольку $u 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1$ , точки лежат на 3-сфере.

В 4D-пространстве каждое вращение вокруг начала координат имеет две инвариантные плоскости, которые полностью ортогональны друг другу и пересекаются в начале координат, и поворачиваются на два независимых угла $ξ 1$ и $ξ 2$ . Без потери общности мы можем выбрать, соответственно, плоскости $uz$ и $xy$ в качестве этих инвариантных плоскостей. Вращение в 4D точки ${ξ 10, η 0, ξ 20}$ на углы $ξ 1$ и $ξ 2$ тогда просто выражается в координатах Хопфа как ${ξ 10 + ξ 1, η 0, ξ 20 + ξ 2}$ .

Визуализация 4D вращений

Траектории точки на торе Клиффорда:
Рис.1: простые вращения (черные) и левые и правые изоклинные вращения (красные и синие)
Рис.2: общее вращение с угловыми смещениями в соотношении 1:5
Рис.3: общее вращение с угловыми смещениями в соотношении 5:1
Все изображения являются стереографическими проекциями .

Каждое вращение в трехмерном пространстве имеет фиксированную ось, неизменную вращением. Вращение полностью задается указанием оси вращения и угла поворота вокруг этой оси. Без потери общности эта ось может быть выбрана как ось $z$ декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В трехмерном пространстве сферические координаты ${θ, φ}$ можно рассматривать как параметрическое выражение 2-сферы. При фиксированном $θ$ они описывают окружности на 2-сфере, которые перпендикулярны оси $z$ $, и эти окружности можно рассматривать как траектории точки на сфере. Точка {θ0,$ $φ0$ } $на сфере при вращении вокруг$ оси $z$ будет следовать траектории ${θ0, φ0 + φ}$ при изменении угла $φ . Траекторию можно рассматривать как параметрическое вращение во времени$ $,$ где угол поворота линейен во времени: $φ = ωt$ , где $ω$ — «угловая скорость» $.$

Аналогично трехмерному случаю, каждое вращение в четырехмерном пространстве имеет по крайней мере две инвариантные плоскости осей, которые остаются инвариантными вращением и полностью ортогональны (т.е. пересекаются в точке). Вращение полностью задается указанием плоскостей осей и углов поворота вокруг них. Без потери общности эти плоскости осей могут быть выбраны в качестве плоскостей $uz$ и $xy$ декартовой системы координат, что позволяет упростить визуализацию вращения.

В 4D-пространстве углы Хопфа ${ξ 1, η, ξ 2}$ параметризуют 3-сферу. Для фиксированного $η$ они описывают тор, параметризованный $ξ 1$ и $ξ 2$ , с $η = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠π/4⁠$ являясь частным случаем тора Клиффорда в $плоскостях xy$ и $uz$ . Эти торы не являются обычными торами, встречающимися в 3D-пространстве. Хотя они все еще являются 2D-поверхностями, они вложены в 3-сферу. 3-сфера может быть стереографически спроецирована на все евклидово 3D-пространство, и эти торы затем рассматриваются как обычные торы вращения. Можно видеть, что точка, заданная ${ξ 10, η 0, ξ 20}$ , подвергающаяся вращению с $инвариантными uz$ - и $xy$ -плоскостями, останется на торе, заданном $η 0$ .^[7] Траектория точки может быть записана как функция времени как ${ξ 10 + ω 1 t, η 0, ξ 20 + ω 2 t}$ и стереографически спроецирована на ее связанный тор, как на рисунках ниже.^[8] На этих рисунках начальная точка принимается равной ${0, ⁠ π / 4 ⁠, 0}$ , т. е. на торе Клиффорда. На рис. 1 две простые траектории вращения показаны черным цветом, а левая и правая изоклинные траектории показаны красным и синим цветом соответственно. На рис. 2 показано общее вращение, в котором $ω 1 = 1$ и $ω 2 = 5$ , а на рис. 3 показано общее вращение, в котором $ω 1 = 5$ и $ω 2 = 1$ .

Ниже визуализировано вращающееся 5-ячеечное тело с четвертым измерением, сжатым и отображенным в цвете. Описанный выше тор Клиффорда изображен в его прямоугольной (оборачивающей) форме.

Анимированные 4D вращения 5-клеточного объекта в ортографической проекции
Простое вращение в плоскости XY
Простое вращение в плоскости ZW
Двойное вращение в плоскостях XY и ZW с угловыми скоростями в соотношении 4:3
Левое изоклиническое вращение
Правое изоклиническое вращение

Генерация матриц вращения 4D

Четырехмерные вращения могут быть получены из формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. Пусть $A —$ кососимметричная матрица 4 × 4. Кососимметричная матрица $A$ может быть однозначно разложена как

A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}

на две кососимметричные матрицы $A 1$ и $A 2 ,$ удовлетворяющие свойствам $A 1 A 2 = 0$ , $A 13 = - A 1$ и $A 23 = - A 2$ , где $\mp θ 1 i$ и $\mp θ 2 i$ — собственные значения матрицы $A$ . Затем матрицы вращения 4D могут быть получены из кососимметричных матриц $A 1$ и $A 2$ с помощью формулы вращения Родригеса и формулы Кэли. ^[9]

Пусть $A$ — ненулевая кососимметричная матрица размером 4 × 4 с набором собственных значений

\left\{\theta _{1}i,-\theta _{1}i,\theta _{2}i,-\theta _{2}i:{\theta _{1}}^{2}+{\theta _{2}}^{2}>0\right\}.

Тогда $A$ можно разложить как

A=\theta _{1}A_{1}+\theta _{2}A_{2}

где $A 1$ и $A 2$ — кососимметричные матрицы, удовлетворяющие свойствам

A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0,\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1},\quad {\text{and}}\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.

Более того, кососимметричные матрицы $A 1$ и $A 2$ получаются единственным образом:

A_{1}={\frac {{\theta _{2}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{1}\left({\theta _{2}}^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}

A_{2}={\frac {{\theta _{1}}^{2}A+A^{3}}{\theta _{2}\left({\theta _{1}}^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.

Затем,

R=e^{A}=I+\sin \theta _{1}A_{1}+\left(1-\cos \theta _{1}\right){A_{1}}^{2}+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}

представляет собой матрицу вращения в $E 4$ , которая генерируется по формуле вращения Родригеса с набором собственных значений

\left\{e^{\theta _{1}i},e^{-\theta _{1}i},e^{\theta _{2}i},e^{-\theta _{2}i}\right\}.

Также,

R=(I+A)(I-A)^{-1}=I+{\frac {2\theta _{1}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}A_{1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+{\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}

представляет собой матрицу вращения в $E 4$ , которая генерируется по формуле вращения Кэли, так что набор собственных значений $R$ равен:

\left\{{\frac {\left(1+\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\right\}.

Генерирующую матрицу вращения можно классифицировать относительно значений $θ 1$ и $θ 2$ следующим образом:

Если $θ 1 = 0$ и $θ 2 \neq 0$ или наоборот, то формулы генерируют простые вращения;
Если $θ 1$ и $θ 2$ не равны нулю и $θ 1 \neq θ 2$ , то формулы генерируют двойные вращения;
Если $θ 1$ и $θ 2$ не равны нулю и $θ 1 = θ 2$ , то формулы генерируют изоклинические вращения.

Смотрите также

Примечания

^ Предполагая, что 4-пространство ориентировано, тогда ориентация для каждой из 2-плоскостей $A$ и $B$ может быть выбрана так, чтобы она соответствовала этой ориентации 4-пространства двумя одинаково допустимыми способами. Если углы из одного такого выбора ориентации $A$ и $B$ равны ${α, β}$ , то углы из другого выбора равны ${- α, - β}$ . (Чтобы измерить угол поворота в 2-плоскости, необходимо указать ориентацию на этой 2-плоскости. Угол поворота − $π$ такой же, как и угол + $π$ . Если ориентация 4-пространства меняется на противоположную, результирующие углы будут либо ${α, - β} ,$ либо ${- α, β}$ . Следовательно, абсолютные значения углов четко определены полностью независимо от любого выбора.)
^ Пример противоположных знаков: центральная инверсия; в кватернионном представлении действительные части равны +1 и −1, а центральная инверсия не может быть достигнута одним простым поворотом.

Ссылки

^ Дорст 2019, стр. 14–16, 6.2. Изоклинные вращения в 4D.
^ Ким и Роте 2016, стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
^ Ким и Роте 2016, §5 Четырехмерные вращения.
^ Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли 4D-вращений и ее приложениях» (PDF) . Adv. Appl. Clifford Algebras . 27 : 523–538. doi :10.1007/s00006-016-0683-9. hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382.
^ Рао, Дхванита Р.; Колте, Сагар (2018). «Нечетные ортогональные матрицы и неинъективность символа Васерштейна». Журнал алгебры . 510 : 458–468. doi :10.1016/j.jalgebra.2018.05.026. MR 3828791.
^ Karcher, Hermann, "Bianchi–Pinkall Flat Tori in S3", 3DXM Documentation , 3DXM Consortium , получено 5 апреля 2015 г.
^ Pinkall, U. (1985). "Hopf tori in S3" (PDF) . Invent. Math . 81 (2): 379–386. Bibcode :1985InMat..81..379P. doi :10.1007/bf01389060. S2CID 120226082 . Получено 7 апреля 2015 г. .
^ Банчофф, Томас Ф. (1990). За пределами третьего измерения . WH Freeman & Co. ISBN 978-0716750253. Получено 8 апреля 2015 г.
^ Эрдогду, М.; Оздемир, М. (2015). «Создание четырехмерных матриц вращения».

Библиография

Л. ван Эльфринкхоф: Eene eigenschap van de ortagonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres , Делфт, 1897 г.
Феликс Кляйн : Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ. Перевод Э. Р. Хедрика и К. А. Нобла. The Macmillan Company, Нью-Йорк, 1932.
Генри Паркер Мэннинг: Геометрия четырех измерений . The Macmillan Company, 1914. Переиздано без изменений и сокращений Dover Publications в 1954 году. В этой монографии четырехмерная геометрия развивается из первых принципов синтетическим аксиоматическим способом. Работу Мэннинга можно рассматривать как прямое расширение работ Евклида и Гильберта на четыре измерения.
Дж. Х. Конвей и Д. А. Смит: О кватернионах и октонионах: их геометрии, арифметике и симметрии. АК Питерс, 2003.
Хатауэй, Артур С. (1902). «Пространство кватернионов». Труды Американского математического общества . 3 (1): 46–59. doi : 10.1090/S0002-9947-1902-1500586-2 . JSTOR 1986315.
Йохан Эрнест Мебиус (2005). «Доказательство теоремы о представлении кватернионов для четырехмерных вращений на основе матриц». arXiv : math/0501249 .
Йохан Эрнест Мебиус (2007). «Вывод формулы Эйлера-Родригеса для трехмерных вращений из общей формулы для четырехмерных вращений». arXiv : math/0701759 .
PHSchoute: Многомерная геометрия . Лейпциг: GJGöschensche Verlagshandlung. Том 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die Linearen Räume, 1902. Том 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
Стрингем, Ирвинг (1901). «О геометрии плоскостей в параболическом пространстве четырех измерений». Труды Американского математического общества . 2 (2): 183–214. doi : 10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2 . JSTOR 1986218.
Эрдогду, Мелек; Оздемир, Мустафа (2020). «Простые, двойные и изоклинические вращения с приложениями». Математические науки и приложения E-Notes . doi : 10.36753/mathenot.642208 .
Mortari, Daniele (июль 2001 г.). «О концепции жесткого вращения в n-мерных пространствах» (PDF) . Journal of the Astronautical Sciences . 49 (3): 401–420. Bibcode :2001JAnSc..49..401M. doi :10.1007/BF03546230. S2CID 16952309. Архивировано из оригинала (PDF) 17 февраля 2019 г.
Ким, Хеуна; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности множеств точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [cs.CG].
Zamboj, Michal (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Journal of Computational Design and Engineering . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.
Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вилларсо». Достижения в прикладной алгебре Клиффорда . 29 (44). doi : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID 253592159.