скаляр Кречмана

Квадратичный скалярный инвариант

В теории лоренцевских многообразий , особенно в контексте приложений к общей теории относительности , скаляр Кречмана является квадратичным скалярным инвариантом . Он был введен Эрихом Кречманном . ^[1]

Определение

Инвариант Кречмана равен ^{[1] [2]}

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

где — тензор кривизны Римана , а — символ Кристоффеля . Поскольку это сумма квадратов компонент тензора, это квадратичный инвариант. ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}=\partial _{c}\Gamma ^{a}{}_{db}-\partial _{d}\Gamma ^{a}{}_{cb}+\Gamma ^{a}{}_{ce}\Gamma ^{e}{}_{db}-\Gamma ^{a}{}_{de}\Gamma ^{e}{}_{cb}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Соглашение Эйнштейна о суммировании с поднятыми и опущенными индексами используется выше и на протяжении всей статьи. Явное выражение суммирования:

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

Примеры

Для черной дыры Шварцшильда с массой скаляр Кречмана равен ^[1] ${\displaystyle M}$

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

где - гравитационная постоянная. ${\displaystyle G}$

Для общего пространства-времени FRW с метрикой

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

скаляр Кречмана — это

${\displaystyle K={\frac {12\left[a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right]}{a(t)^{4}}}.}$

Отношение к другим инвариантам

Другим возможным инвариантом (который использовался, например, при записи гравитационного члена лагранжиана для некоторых теорий гравитации более высокого порядка ) является

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

где - тензор Вейля , тензор конформной кривизны, который также является полностью бесследовой частью тензора Римана. В размерностях это связано с инвариантом Кречмана соотношением ^[3] ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

где — тензор кривизны Риччи , а — скалярная кривизна Риччи (полученная путем взятия последовательных следов тензора Римана). Тензор Риччи исчезает в вакуумном пространстве-времени (например, в упомянутом выше решении Шварцшильда), и, следовательно, там тензор Римана и тензор Вейля совпадают, как и их инварианты. ${\displaystyle R^{ab}}$ ${\displaystyle R}$

Инварианты калибровочной теории

Скаляр Кречмана и скаляр Черна-Понтрягина

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

где - левый дуальный тензор Римана, математически аналогичны (в некоторой степени физически аналогичны) известным инвариантам тензора электромагнитного поля ${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}.}$

Обобщая калибровочную теорию электромагнетизма на общую неабелеву калибровочную теорию, первым из этих инвариантов является ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle {\text{Tr}}(F_{ab}F^{ab})}$,

выражение, пропорциональное лагранжиану Янга–Миллса . Здесь — кривизна ковариантной производной , а — следовая форма . Скаляр Кречмана возникает из-за того, что связность находится на расслоении фрейма . ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}}$

Смотрите также

• Инварианты Карминати-Макленагана , для набора инвариантов
• Классификация электромагнитных полей , подробнее об инвариантах тензора электромагнитного поля
• Инвариант кривизны , для инвариантов кривизны в римановой и псевдоримановой геометрии в целом
• Инвариант кривизны (общая теория относительности)
• Разложение Риччи , для получения дополнительной информации о тензоре Римана и Вейля

Ссылки

1. Richard C. Henry (2000). «Скаляр Кречмана для черной дыры Керра-Ньюмена». The Astrophysical Journal . 535 (1). The American Astronomical Society: 350–353. arXiv : astro-ph/9912320v1 . Bibcode : 2000ApJ...535..350H. doi : 10.1086/308819. S2CID  119329546.
2. Грен и Хервик 2007, стр. 219
3. Керубини, Кристиан; Бини, Донато; Капоцциелло, Сальваторе; Руффини, Ремо (2002). «Скалярные инварианты второго порядка тензора Римана: приложения к пространству-времени черных дыр». International Journal of Modern Physics D . 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc/0302095v1 . Bibcode :2002IJMPD..11..827C. doi :10.1142/S0218271802002037. ISSN  0218-2718. S2CID  14587539.

Дальнейшее чтение

• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Б. Ф. Шутц (2009), Первый курс общей теории относительности (второе издание) , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88705-2
• Мизнер, Чарльз В .; Торн, Кип. С.; Уиллер , Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0