Интегрирование путем замены

Technique in integral evaluation

В исчислении интеграция путем замены , также известная как u -замена , правило обратной цепи или замена переменных , ^[1] представляет собой метод вычисления интегралов и первообразных . Это аналог цепного правила дифференциации , и его можно условно рассматривать как использование цепного правила «обратно».

Замена одной переменной

Введение (неопределенные интегралы)

Прежде чем строго сформулировать результат , рассмотрим простой случай с использованием неопределенных интегралов .

Вычислить ^[2] ${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

Установить Это означает или в дифференциальной форме , Теперь: ${\displaystyle u=2x^{3}+1.}$ ${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$ ${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx&={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\&={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du\\&={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\&={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}}$$

где – произвольная константа интегрирования . ${\displaystyle C}$

Эта процедура часто используется, но не все интегралы имеют форму, позволяющую ее использовать. В любом случае результат следует проверить путем дифференцирования и сравнения с исходным подынтегральным выражением.

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}$$

Для определенных интегралов пределы интегрирования также необходимо скорректировать, но процедура в основном та же.

Утверждение для определенных интегралов

Пусть – дифференцируемая функция с непрерывной производной, где – интервал . Предположим, что это непрерывная функция . Тогда: ^[3] ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow I}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}$$

В обозначениях Лейбница замена дает: ${\displaystyle u=g(x)}$

$${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}$$

бесконечно малыми числами

$${\displaystyle du=g'(x)\,dx,}$$

дифференциальных формахобозначений Лейбница

Формула используется для преобразования одного интеграла в другой, который легче вычислить. Таким образом, формулу можно читать слева направо или справа налево, чтобы упростить данный интеграл. При использовании первым способом его иногда называют u -заменой или w -заменой , при которой новая переменная определяется как функция исходной переменной, найденной внутри составной функции, умноженной на производную внутренней функции. Последний способ обычно используется при тригонометрической замене , заменяя исходную переменную тригонометрической функцией новой переменной, а исходный дифференциал - дифференциалом тригонометрической функции.

Доказательство

Интегрирование путем замены можно вывести из фундаментальной теоремы исчисления следующим образом. Пусть и – две функции, удовлетворяющие указанной выше гипотезе, непрерывные и интегрируемые на отрезке . Тогда функция также интегрируема на . Следовательно, интегралы ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx}$$

и

$${\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$

на самом деле существуют, и осталось показать, что они равны.

Поскольку непрерывно, то оно имеет первообразную . Затем определяется составная функция . Поскольку оно дифференцируемо, объединение цепного правила и определения первообразной дает: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\circ g}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}$$

Двойное применение фундаментальной теоремы исчисления дает:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du,\end{aligned}}}$$

что является правилом замены.

Примеры: Определенные интегралы

Пример 1

Рассмотрим интеграл:

$${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\ dx.}$$

Сделайте замену , чтобы получить смысл. Следовательно: ${\textstyle u=x^{2}+1}$ ${\displaystyle du=2x\ dx,}$ ${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\ du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}}$$

Поскольку нижний предел был заменен на верхний предел, преобразование обратно в условия было ненужным. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle u=1,}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle 2^{2}+1=5,}$ ${\displaystyle x}$

В качестве альтернативы можно сначала полностью вычислить неопределенный интеграл (см. ниже), а затем применить граничные условия. Это становится особенно удобным, когда используется несколько замен.

Пример 2

Для интеграла

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}$$

${\displaystyle x=\sin u}$ ${\displaystyle dx=\cos u\,du}$ ${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos(u).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos(u)\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$$

Полученный интеграл можно вычислить с помощью интегрирования по частям или формулы двойного угла с последующей еще одной заменой. Можно также отметить, что интегрируемая функция представляет собой верхнюю правую четверть круга с радиусом, равным единице, и, следовательно, интегрирование верхней правой четверти от нуля до единицы является геометрическим эквивалентом площади одной четверти единичного круга, или ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}.}$

Примеры: первообразные

Замену можно использовать для определения первообразных . Выбирают отношение между и определяют соответствующее отношение между и путем дифференцирования и выполняют замены. Надеемся, что удастся определить первообразную для замененной функции; первоначальная замена между и затем отменяется. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$

Подобно примеру 1 выше, с помощью этого метода можно получить следующую первообразную:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}$$

где – произвольная константа интегрирования . ${\displaystyle C}$

Целочисленных границ для преобразования не было, но на последнем этапе было необходимо вернуть исходную замену. При вычислении определенных интегралов путем замены можно сначала полностью вычислить первообразную, а затем применить граничные условия. В этом случае нет необходимости преобразовывать граничные члены. ${\displaystyle u=x^{2}+1}$

Тригонометрические функции

Тангенсальную функцию можно проинтегрировать с помощью замены, выразив ее через синус и косинус: . ${\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$

Использование замены дает и ${\displaystyle u=\cos x}$ ${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln |u|+C\\&=-\ln |\cos x|+C\\&=\ln |\cos x|^{-1}+C\\&=\ln |\sec x|+C.\end{aligned}}}$$

Котангенс можно проинтегрировать аналогичным образом , выразив его как и используя замену : ${\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}}$ ${\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln |u|+C\\&=\ln |\sin x|+C.\end{aligned}}}$$

Замена нескольких переменных

Замену можно использовать и при интегрировании функций нескольких переменных .

Здесь функция замены ( v ₁ , ..., v _n ) = φ ( u ₁ , ..., un ₎ должна быть инъективной и непрерывно дифференцируемой, а дифференциалы преобразуются как:

$${\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}$$

где det( Dφ ) ( u ₁ , ..., un ) обозначает определитель матрицы _Якоби частных производных φ в точке ( u 1 , ..., un _{) .} Эта формула выражает тот факт, что абсолютное значение определителя матрицы равно объему параллелоэдра, натянутого на его столбцы или строки.

Более точно формула замены переменных формулируется в следующей теореме:

Теорема . Пусть U — открытое множество в Rn и φ  : U → Rn — инъективная дифференцируемая функция с ^{непрерывными частными производными ,} якобиан которой отличен от нуля для каждого x в U. Тогда для любой вещественной непрерывной функции f с компактным носителем , носитель которой содержится в φ ( U ) :

$${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}$$

Условия теоремы можно ослабить различными способами. Во-первых, требование непрерывной дифференцируемости φ можно заменить более слабым предположением, что φ просто дифференцируема и имеет непрерывную обратную величину. ^[4] Это гарантированно выполняется, если φ непрерывно дифференцируема по теореме об обратной функции . Альтернативно, требование det( Dφ ) ≠ 0 можно устранить, применив теорему Сарда . ^[5]

Для измеримых по Лебегу функций теорему можно сформулировать в следующем виде: ^[6]

Теорема . Пусть U — измеримое подмножество Rn и φ  : ^U → Rn ^— инъективная функция ^, и предположим, что для каждого x в U существует φ ′ ( x ) в Rn ^{, n} такая, что φ ( y ) = φ ( x ) + φ′ ( x )( y − x ) + o (|| y − x ||) при y → x (здесь o — обозначение мало- о ). Тогда φ ( U ) измерима, и для любой вещественнозначной функции f , определенной на φ ( U ) :

$${\displaystyle \int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du}$$

Другая очень общая версия теории меры следующая: ^[7]

Теорема . Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство , снабженное конечной мерой Радона µ , и пусть Y — σ-компактное хаусдорфово пространство с σ-конечной мерой Радона ρ . Пусть φ  : X → Y — абсолютно непрерывная функция (последнее означает, что ρ ( φ ( E )) = 0 всякий раз, когда µ ( E ) = 0 ). Тогда существует вещественнозначная измеримая по Борелю функция w на X такая, что для любой интегрируемой по Лебегу функции f  : Y → R функция ( f ∘ φ ) ⋅ w интегрируема по Лебегу на X и

$${\displaystyle \int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).}$$

$${\displaystyle w(x)=(g\circ \varphi )(x)}$$

gY

В геометрической теории меры интегрирование заменой используется с липшицевыми функциями . Билипшицева функция — это липшицева функция φ  : U → Rn , которая является инъективной и чья обратная функция ^φ − ¹  : φ ( U ) → U также является липшицевой. По теореме Радемахера билипшицево отображение дифференцируемо почти всюду . В частности, якобиан определитель билипшицева отображения det Dφ корректно определен почти всюду. Тогда справедлив следующий результат:

Теорема. Пусть U — открытое подмножество в ^Rn и φ :  U → Rn — ^{билипшицево} отображение. Пусть f  : φ ( U ) → R измеримо. Затем

$${\displaystyle \int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx=\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx}$$

Вышеуказанная теорема была впервые предложена Эйлером , когда он разработал понятие двойных интегралов в 1769 году. Хотя она была обобщена на тройные интегралы Лагранжем в 1773 году, использовалась Лежандром , Лапласом и Гауссом и впервые была обобщена на n переменных Михаилом Остроградским в 1836 году. , она сопротивлялась полностью строгому формальному доказательству в течение удивительно долгого времени и была впервые удовлетворительно решена 125 лет спустя Эли Картаном в серии статей, начавшихся в середине 1890-х годов. ^{[8] [9]}

Применение в теории вероятности

Замену можно использовать для ответа на следующий важный вопрос о вероятности: дана случайная величина X с плотностью вероятности p _X и другая случайная величина Y такая, что Y = φ ( X ) для инъективного (взаимно-однозначного) φ , какова плотность вероятности для Y ?

Проще всего ответить на этот вопрос, сначала ответив на несколько другой вопрос: какова вероятность того, что Y примет значение в каком-то конкретном подмножестве S ? Обозначим эту вероятность P ( Y ∈ S ). Конечно, если Y имеет плотность вероятности p _Y , то ответ будет:

$${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}$$

но это бесполезно, потому что мы не знаем p _Y ; это то, что мы пытаемся найти. Мы можем добиться прогресса , рассматривая проблему в переменной X. Y принимает значение в S всякий раз, когда X принимает значение в, поэтому: ${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$

$${\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}$$

Изменение переменной x на y дает:

$${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}$$

Объединение этого с нашим первым уравнением дает:

$${\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}$$

так:

$${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$$

В случае, когда X и Y зависят от нескольких некоррелированных переменных (т.е. и ), их можно найти путем подстановки нескольких переменных, рассмотренных выше. Результат: ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle y=\phi (x)}$ ${\displaystyle p_{Y}}$

$${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}$$

Смотрите также

• Математический портал

• Функция плотности вероятности
• Замена переменных
• Тригонометрическая замена
• Замена Вейерштрасса
• замена Эйлера
• Основная теорема Глассера
• Прогрессивная мера

Примечания

1. Своковски 1983, с. 257
2. Своковски 1983, с. 258
3. Бриггс и Кокран, 2011, стр.361.
4. Рудин 1987, Теорема 7.26.
5. Спивак 1965, с. 72
6. Фремлин 2010, Теорема 263D
7. Хьюитт и Стромберг 1965, Теорема 20.3
8. Кац 1982
9. Ферзола 1994

Рекомендации

• Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011), Исчисление / Ранние трансценденталии (изд. с одной переменной), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-321-66414-3
• Ферзола, Энтони П. (1994), «Эйлер и дифференциалы», The College Mathematics Journal , 25 (2): 102–111, doi : 10.2307/2687130, JSTOR  2687130
• Фремлин, Д.Х. (2010), Теория меры, Том 2 , Торрес Фремлин, ISBN 978-0-9538129-7-4.
• Хьюитт, Эдвин ; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
• Кац, В. (1982), «Замена переменных в кратных интегралах: от Эйлера к Картану», Mathematics Magazine , 55 (1): 3–11, doi : 10.2307/2689856, JSTOR  2689856
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
• Своковски, Эрл В. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0-87150-341-7
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

Внешние ссылки

• Интегрирование заменой в математической энциклопедии
• Формула площади в математической энциклопедии