Когерентность (физика)

Отношение эквивалентности волн с одинаковыми частотами и формами сигналов

В физике когерентность выражает возможность интерференции двух волн . Два монохроматических луча от одного источника всегда интерферируют. ^{[1] : 256} Физические источники не являются строго монохроматическими: они могут быть частично когерентными . Лучи от разных источников взаимно некогерентны .

При интерференции две волны складываются вместе, создавая волну большей амплитуды, чем одна из них (конструктивная интерференция ), или вычитаются друг из друга, создавая волну минимумов, которые могут быть нулевыми ^{[1] : 256} (деструктивная интерференция), в зависимости от их относительной фаза . Конструктивная или деструктивная интерференция — это предельные случаи, и две волны всегда интерферируют, даже если результат сложения сложен или малозаметен.

Две волны с постоянной относительной фазой будут когерентными. ^[2] Степень когерентности можно легко измерить с помощью видимости интерференции , которая учитывает размер интерференционных полос относительно входных волн (при изменении фазового сдвига); точное математическое определение степени когерентности дается с помощью корреляционных функций. В более общем смысле когерентность описывает статистическое подобие поля (электромагнитного поля, квантового волнового пакета и т. д.) в двух точках пространства или времени. ^[3]

Качественная концепция

Две щели, освещенные одним источником, демонстрируют интерференционную картину. Источник находится далеко слева на схеме, за коллиматорами, создающими параллельный пучок. Эта комбинация гарантирует, что волна от источника попадает в обе щели в одной и той же части волнового цикла: волна будет иметь когерентность .

Когерентность контролирует видимость или контрастность интерференционных картин. Например, видимость схемы эксперимента с двумя щелями требует, чтобы обе щели освещались когерентной волной, как показано на рисунке. Большие источники без коллимации или источники, которые смешивают множество разных частот, будут иметь меньшую видимость. ^{[4] : 264}

Согласованность включает в себя несколько различных концепций. Пространственная когерентность описывает корреляцию (или предсказуемую взаимосвязь) между волнами в разных точках пространства, как поперечных, так и продольных. ^[5] Временная когерентность описывает корреляцию между волнами, наблюдаемыми в разные моменты времени. Оба наблюдаются в эксперименте Майкельсона-Морли и интерференционном эксперименте Янга . Как только полосы получены в интерферометре Майкельсона , когда одно из зеркал постепенно удаляется от светоделителя, время прохождения луча увеличивается, полосы становятся тусклыми и, наконец, исчезают, демонстрируя временную когерентность. Аналогичным образом, в эксперименте с двумя щелями , если пространство между двумя щелями увеличивается, когерентность постепенно исчезает и, наконец, полосы исчезают, демонстрируя пространственную когерентность. В обоих случаях амплитуда полосы медленно исчезает по мере того, как разность хода увеличивается за пределы длины когерентности.

Первоначально когерентность была задумана в связи с двухщелевым экспериментом Томаса Янга в оптике , но теперь используется в любой области, связанной с волнами, например, в акустике , электротехнике , нейробиологии и квантовой механике . Свойство когерентности лежит в основе коммерческих приложений, таких как голография , гироскоп Саньяка , радиоантенные решетки , оптическая когерентная томография и интерферометры телескопов ( астрономические оптические интерферометры и радиотелескопы ).

Математическое определение

Функция когерентности между двумя сигналами и определяется как ^[6] ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle \gamma _{xy}^{2}(f)={\frac {|S_{xy}(f)|^{2}}{S_{xx}(f)S_{yy}(f)}}}$

где – кросс-спектральная плотность сигнала и и – функции спектральной плотности мощности и соответственно. Взаимная спектральная плотность и спектральная плотность мощности определяются как преобразования Фурье сигналов взаимной корреляции и автокорреляции соответственно. Например, если сигналы являются функциями времени, взаимная корреляция является мерой сходства двух сигналов как функции временной задержки относительно друг друга, а автокорреляция является мерой сходства каждого сигнала сам с собой. в разные моменты времени. В этом случае когерентность является функцией частоты. Аналогично, если и являются функциями пространства, взаимная корреляция измеряет сходство двух сигналов в разных точках пространства, а автокорреляция - сходство сигнала относительно самого себя на определенном расстоянии разделения. В этом случае когерентность является функцией волнового числа (пространственной частоты). ${\displaystyle S_{xy}(f)}$ ${\displaystyle S_{xx}(f)}$ ${\displaystyle S_{yy}(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

Когерентность меняется в интервале . Если это означает, что сигналы идеально коррелированы или линейно связаны, и если они совершенно некоррелированы. Если измеряется линейная система, являющаяся входом и выходом, функция когерентности будет унитарной во всем спектре. Однако если в системе присутствуют нелинейности, когерентность будет изменяться в пределах, указанных выше. ${\displaystyle 0\leq \gamma _{xy}^{2}(f)\leq 1}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}^{2}(f)=1}$ ${\displaystyle \gamma _{xy}^{2}(f)=0}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

Согласованность и корреляция

Когерентность двух волн показывает, насколько хорошо они коррелируют, что количественно определяется функцией взаимной корреляции . ^{[7] [1] [8] [9] [10]} Взаимная корреляция количественно определяет способность предсказать фазу второй волны, зная фазу первой. В качестве примера рассмотрим две волны, всегда идеально коррелированные (при использовании монохроматического источника света). В любой момент времени разность фаз между двумя волнами будет постоянной. Если при их объединении они демонстрируют идеальную конструктивную интерференцию, идеальную деструктивную интерференцию или что-то промежуточное, но с постоянной разностью фаз, то из этого следует, что они совершенно когерентны. Как будет обсуждаться ниже, вторая волна не обязательно должна быть отдельной организацией. Это могла быть первая волна в другое время или в другом месте. В этом случае мерой корреляции является автокорреляционная функция (иногда называемая самокогерентностью ). Степень корреляции включает в себя корреляционные функции. ^{[11] : 545-550}

Примеры волновых состояний

Эти состояния объединяет то, что их поведение описывается волновым уравнением или некоторым его обобщением.

• Волны в веревке (вверх и вниз) или в обтяжке (сжатие и расширение)
• Поверхностные волны в жидкости
• Электромагнитные сигналы (поля) в линиях передачи
• Звук
• Радиоволны и микроволны
• Световые волны ( оптика )
• Волны материи , связанные, например, с электронами и атомами .

В системе с макроскопическими волнами можно измерить волну напрямую. Следовательно, ее корреляцию с другой волной можно просто вычислить. Однако в оптике невозможно измерить электрическое поле напрямую, поскольку оно колеблется намного быстрее, чем временное разрешение любого детектора. ^[12] Вместо этого измеряется интенсивность света. Большинство концепций когерентности, которые будут представлены ниже, были разработаны в области оптики, а затем использовались в других областях. Поэтому многие стандартные измерения когерентности являются косвенными измерениями, даже в тех областях, где волну можно измерить напрямую.

Временная согласованность

Рисунок 1: Амплитуда одночастотной волны как функция времени t (красный) и копия той же волны, задержанная на τ (синий). Время когерентности волны бесконечно, поскольку оно прекрасно коррелировано само с собой при всех задержках τ. ^{[13] : 118}

Рисунок 2: Амплитуда волны, фаза которой значительно дрейфует во времени τ _c , как функция времени t (красный) и копия той же волны, задержанная на 2 τ _c (зеленый). ^[14] В любой конкретный момент времени t волна может идеально интерферировать со своей задержанной копией. Но поскольку половину времени красные и зеленые волны находятся в фазе, а половину времени — в противофазе, при усреднении по t любые помехи при этой задержке исчезают.

Временная когерентность — это мера средней корреляции между значением волны и самой волной, задержанной на τ , в любую пару моментов времени. Временная когерентность говорит нам, насколько монохроматичен источник. Другими словами, оно характеризует, насколько хорошо волна может интерферировать сама с собой в разное время. Задержка, в течение которой фаза или амплитуда значительно отклоняются (и, следовательно, корреляция значительно уменьшается), определяется как время когерентности τ _c . При задержке τ =0 степень когерентности идеальна, тогда как она значительно падает по мере прохождения задержки τ = τ _c . Длина когерентности L c _{определяется} как расстояние, которое волна проходит за время τ _c . ^{[11] : 560, 571–573.}

Время когерентности — это не продолжительность сигнала; длина когерентности отличается от площади когерентности (см. ниже).

Связь между временем когерентности и пропускной способностью

Чем больше полоса пропускания (диапазон частот Δf, который содержит волна), тем быстрее декоррелирует волна (и, следовательно, тем меньше τ _c ): ^{[11] : 358–359, 560}

${\displaystyle \tau _{c}\Delta f\gtrsim 1.}$

Формально это следует из математической теоремы о свертке , которая связывает преобразование Фурье спектра мощности (интенсивность каждой частоты) с ее автокорреляцией. ^{[11] : 572}

Лазеры с узкой полосой пропускания имеют большую длину когерентности (до сотен метров). Например, стабилизированный мономодовый гелий-неоновый лазер может легко генерировать свет с длиной когерентности 300 м. ^[15] Однако не все лазеры обладают высокой монохроматичностью (например, для Ti-сапфирового лазера с синхронизацией мод Δλ ≈ 2–70 нм).

Светодиоды характеризуются Δλ ≈ 50 нм, а лампы накаливания с вольфрамовой нитью — Δλ ≈ 600 нм, поэтому эти источники имеют более короткое время когерентности, чем большинство монохроматических лазеров.

Примеры временной согласованности

Примеры временной согласованности включают в себя:

• Волна, содержащая только одну частоту (монохроматическая), прекрасно коррелирует сама с собой при всех временных задержках в соответствии с приведенным выше соотношением. (См. рисунок 1)
• И наоборот, волна, фаза которой быстро дрейфует, будет иметь короткое время когерентности. (См. рисунок 2)
• Точно так же импульсы ( волновые пакеты ) волн, которые, естественно, имеют широкий диапазон частот, также имеют короткое время когерентности, поскольку амплитуда волны быстро меняется. (См. рисунок 3)
• Наконец, белый свет, имеющий очень широкий диапазон частот, представляет собой волну, быстро меняющуюся как по амплитуде, так и по фазе. Поскольку время когерентности у него, следовательно, очень короткое (всего 10 периодов или около того), его часто называют некогерентным.

Голография требует света с длительным временем когерентности. Напротив, оптическая когерентная томография в своей классической версии использует свет с коротким временем когерентности.

Измерение временной когерентности

Рисунок 3: Амплитуда волнового пакета, амплитуда которого значительно изменяется во времени τ _c (красный), и копия той же волны, задержанная на 2 τ _c (зеленый), построенные как функция времени t . В любой конкретный момент времени красные и зеленые волны некоррелированы; один колеблется, а другой постоянен, поэтому при этой задержке помех не будет. Другой взгляд на это заключается в том, что волновые пакеты не перекрываются во времени, поэтому в любой конкретный момент времени существует только одно ненулевое поле, поэтому интерференция не может возникнуть.

Рисунок 4. Усредненная по времени интенсивность (синяя), обнаруженная на выходе интерферометра, построенная как функция задержки τ для примеров волн на рисунках 2 и 3. При изменении задержки на половину периода интерференция переключается между конструктивными и разрушительный. Черные линии обозначают огибающую интерференции, которая дает степень когерентности . Хотя волны на рисунках 2 и 3 имеют разную продолжительность, время когерентности у них одинаковое.

В оптике временная когерентность измеряется с помощью интерферометра, такого как интерферометр Майкельсона или интерферометр Маха – Цендера . В этих устройствах волна объединяется с собственной копией, задержанной на время τ. Детектор измеряет усредненную по времени интенсивность света, выходящего из интерферометра. Результирующая видимость интерференционной картины (см., например, рисунок 4) дает временную когерентность при задержке τ. Поскольку для большинства источников естественного света время когерентности намного короче временного разрешения любого детектора, усреднение по времени выполняет сам детектор. Рассмотрим пример, показанный на рисунке 3. При фиксированной задержке, здесь 2 τ _c , бесконечно быстрый детектор будет измерять интенсивность, которая значительно колеблется в течение времени t, равного τ _c . В этом случае, чтобы найти временную когерентность при 2 τ _c , нужно вручную усреднить интенсивность по времени.

Пространственная когерентность

В некоторых системах, таких как волны на воде или оптика, волновые состояния могут распространяться на одно или два измерения. Пространственная когерентность описывает способность двух пространственных точек x ₁ и x ₂ в пределах волны интерферировать при усреднении по времени. Точнее, пространственная когерентность — это взаимная корреляция между двумя точками волны за все время. Если волна имеет только одно значение амплитуды на бесконечной длине, она совершенно пространственно когерентна. Диапазон разделения между двумя точками, в которых наблюдаются значительные помехи, определяет диаметр области когерентности A _c ^[16] (Длина когерентности, часто являющаяся особенностью источника, обычно представляет собой промышленный термин, связанный со временем когерентности источник, а не область когерентности в среде.) A _c — соответствующий тип когерентности для двухщелевого интерферометра Юнга. Он также используется в системах оптического изображения и особенно в различных типах астрономических телескопов. Иногда люди также используют термин «пространственная когерентность» для обозначения видимости, когда волнообразное состояние сочетается с пространственно сдвинутой копией самого себя.

Примеры

• Пространственная когерентность
• 
  Рисунок 5: Плоская волна с бесконечной длиной когерентности .
• 
  Рисунок 6: Волна с изменяющимся профилем (волновым фронтом) и бесконечной длиной когерентности.
• 
  Рисунок 7: Волна с изменяющимся профилем (волновым фронтом) и конечной длиной когерентности.
• 
  Рисунок 8: Волна с конечной областью когерентности падает на точечное отверстие (маленькое отверстие). Волна будет дифрагировать из отверстия. Вдали от отверстия возникающие сферические волновые фронты примерно плоские. Область когерентности теперь бесконечна, а длина когерентности не изменилась.
• 
  Рисунок 9: Волна с бесконечной областью когерентности объединяется со своей пространственно сдвинутой копией. Некоторые участки волны интерферируют конструктивно, а некоторые — деструктивно. Усредняя данные по этим участкам, детектор длиной D будет измерять уменьшенную видимость помех . Например, это сделает смещенный интерферометр Маха – Цендера .

Рассмотрим вольфрамовую нить лампочки. Различные точки нити излучают свет независимо и не имеют фиксированного фазового соотношения. Подробно, в любой момент времени профиль излучаемого света будет искажен. Профиль будет меняться случайным образом в течение времени когерентности . Поскольку источник белого света, такой как лампочка, имеет небольшие размеры, нить накала считается пространственно некогерентным источником. Напротив, решетка радиоантенн имеет большую пространственную когерентность, поскольку антенны на противоположных концах решетки излучают с фиксированным фазовым соотношением. Световые волны, создаваемые лазером, часто имеют высокую временную и пространственную когерентность (хотя степень когерентности сильно зависит от точных свойств лазера). Пространственная когерентность лазерных лучей также проявляется в виде спеклов и дифракционных полос, видимых по краям тени. ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \tau _{c}}$

Голография требует когерентного во времени и пространстве света. Его изобретатель Деннис Габор создал успешные голограммы более чем за десять лет до изобретения лазеров. Для получения когерентного света он пропускал монохроматический свет линии излучения ртутной лампы через точечный пространственный фильтр.

В феврале 2011 года сообщалось, что атомы гелия , охлажденные почти до абсолютного нуля / состояния бозе-эйнштейновского конденсата , можно заставить течь и вести себя как когерентный луч, как это происходит в лазере. ^{[17] [18]} Кроме того, было обнаружено, что когерентные свойства выходного света многомодовых нелинейных оптических структур подчиняются оптической термодинамической теории. ^[19]

Спектральная когерентность коротких импульсов

Рисунок 10: Волны разных частот интерферируют, образуя локализованный импульс, если они когерентны.

Рисунок 11. Спектрально-некогерентный свет интерферирует, образуя непрерывный свет со случайно изменяющейся фазой и амплитудой.

Волны разных частот (в свете это разные цвета) могут интерферировать, образуя импульс, если они имеют фиксированное относительное фазовое соотношение (см. Преобразование Фурье ). И наоборот, если волны разных частот не когерентны, то при объединении они создают непрерывную во времени волну (например, белый свет или белый шум ). Временная длительность импульса ограничена спектральной полосой света согласно: ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle \Delta f\Delta t\geq 1}$,

что следует из свойств преобразования Фурье и приводит к принципу неопределенности Купфмюллера (для квантовых частиц это также приводит к принципу неопределенности Гейзенберга ).

Если фаза зависит линейно от частоты (т. е. ), то импульс будет иметь минимальную длительность для своей полосы пропускания ( импульс , ограниченный преобразованием ), в противном случае он будет чирпироваться (см. дисперсию ). ${\displaystyle \theta (f)\propto f}$

Измерение спектральной когерентности

Для измерения спектральной когерентности света требуется нелинейный оптический интерферометр, такой как оптический коррелятор интенсивности , оптический стробирование с частотным разрешением (FROG) или спектрально-фазовая интерферометрия для прямой реконструкции электрического поля (SPIDER).

Поляризация и когерентность

Свет также имеет поляризацию , то есть направление колебаний электрического или магнитного поля. Неполяризованный свет состоит из некогерентных световых волн со случайными углами поляризации. Электрическое поле неполяризованного света блуждает во всех направлениях и меняет фазу в течение времени когерентности двух световых волн. Поглощающий поляризатор , повернутый на любой угол, всегда будет передавать половину падающей интенсивности, если усреднить ее по времени.

Если электрическое поле отклоняется на меньшую величину, свет будет частично поляризован, так что под некоторым углом поляризатор будет передавать более половины интенсивности. Если волна объединяется с ортогонально поляризованной копией самой себя, задержанной на время, меньшее, чем время когерентности, создается частично поляризованный свет.

Поляризация светового луча представлена ​​вектором в сфере Пуанкаре . Для поляризованного света конец вектора лежит на поверхности сферы, тогда как для неполяризованного света вектор имеет нулевую длину. Вектор частично поляризованного света лежит внутри сферы.

Квантовая когерентность

Характерное свойство волн квантовой материи — волновая интерференция — основано на когерентности. Первоначально теория и экспериментальное понимание квантовой когерентности основывались на оптической когерентности, но значительно расширили эту тему. ^[20]

Когерентность волн материи

Простейшее расширение оптической когерентности применяет оптические концепции к волнам материи . Например, при проведении эксперимента с двумя щелями с атомами вместо световых волн достаточно коллимированный атомный луч создает когерентную атомную волновую функцию, освещающую обе щели. ^[21] Каждая щель действует как отдельный, но синфазный луч, внося свой вклад в картину интенсивности на экране. Эти два вклада приводят к появлению на нисходящем экране картины интенсивности ярких полос из-за конструктивной интерференции, переплетающихся с темными полосами из-за деструктивной интерференции. Было продемонстрировано множество вариантов этого эксперимента. ^{[22] : 1057}

Как и в случае со светом, поперечная когерентность (поперек направления распространения) волн материи контролируется коллимацией. Поскольку свет на всех частотах движется с одинаковой скоростью, продольная и временная когерентность связаны между собой; в волнах материи они независимы. В волнах материи выбор скорости (энергии) контролирует продольную когерентность, а пульсация или прерывание контролирует временную когерентность. ^{[21] : 154}

Квантовая оптика

Открытие эффекта Хэнбери Брауна и Твисса – корреляции света при совпадении – послужило толчком к созданию Глаубером ^[23] уникального квантового когерентного анализа. Классическая оптическая когерентность становится классическим пределом квантовой когерентности первого порядка; Более высокая степень когерентности приводит ко многим явлениям в квантовой оптике .

Макроскопическая квантовая когерентность

Квантовая когерентность макроскопического масштаба приводит к новым явлениям, так называемым макроскопическим квантовым явлениям . Например, лазер , сверхпроводимость и сверхтекучесть являются примерами высококогерентных квантовых систем, эффекты которых очевидны на макроскопическом уровне. Макроскопическая квантовая когерентность (недиагональный дальний порядок, ODLRO) ^{[24] [25]} для сверхтекучести и лазерного света связана с когерентностью первого порядка (1-тела)/ODLRO, тогда как сверхпроводимость связана со вторым согласованность заказов/ОДЛРО. (Для фермионов, таких как электроны, возможны только четные порядки когерентности / ODLRO.) Для бозонов конденсат Бозе-Эйнштейна является примером системы, демонстрирующей макроскопическую квантовую когерентность через множественное занятое одночастичное состояние.

Классическое электромагнитное поле демонстрирует макроскопическую квантовую когерентность. Самый очевидный пример — несущая сигнала для радио и телевидения. Они удовлетворяют квантовому описанию когерентности Глаубера .

Квантовая когерентность как ресурс

Недавно М.Б. Пленио и его коллеги построили оперативную формулировку квантовой когерентности как теории ресурсов. Они ввели монотоны когерентности, аналогичные монотонам запутанности. ^[26] Было показано, что квантовая когерентность эквивалентна квантовой запутанности ^[27] в том смысле, что когерентность можно точно описать как запутанность, и наоборот, что каждая мера запутанности соответствует мере когерентности.

Приложения

Голография

Когерентные суперпозиции оптических волновых полей включают голографию. Голографические фотографии использовались как произведения искусства и как трудные для подделки защитные этикетки.

Неоптические волновые поля

Дальнейшие приложения касаются когерентной суперпозиции неоптических волновых полей . Например, в квантовой механике рассматривается поле вероятности, которое связано с волновой функцией (интерпретация: плотность амплитуды вероятности). Здесь приложения касаются, среди прочего, будущих технологий квантовых вычислений и уже доступной технологии квантовой криптографии . Дополнительно рассматриваются задачи следующего подраздела. ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$

Модальный анализ

Когерентность используется для проверки качества измеряемых передаточных функций (FRF). Низкая когерентность может быть вызвана плохим соотношением сигнал/шум и/или неадекватным частотным разрешением.

Смотрите также

• Атомная когерентность
• Длина когерентности  - расстояние, на котором распространяющаяся волна сохраняет определенную степень когерентности.
• Когерентные состояния  - особое квантовое состояние квантового гармонического осциллятора.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Ширина линии лазера  – спектральная ширина линии лазерного луча.
• Измерение в квантовой механике  - Взаимодействие квантовой системы с классическим наблюдателем.
• Проблема измерения  - Теоретическая проблема квантовой физики
• Монохроматическое излучение  - Электромагнитное излучение с одной постоянной частотой.
• Функция взаимной согласованности
• Оптическое гетеродинное обнаружение
• Квантовая биология  - Применение квантовой механики и теоретической химии к биологическим объектам и проблемам.
• Квантовый эффект Зенона  - явление квантового измерения
• Волновая суперпозиция  - фундаментальный принцип физики, утверждающий, что физические решения линейных систем линейны.Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Рекомендации

1. М.Борн; Э. Вольф (1999). Принципы оптики (7-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-64222-4.
2. Рюдигер, Пашотта. «Статья о когерентности в Энциклопедии фотоники RP». Энциклопедия фотоники RP . Проверено 7 июня 2023 г.
3. Вольф, Эмиль (2007). Введение в теорию когерентности и поляризации света . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521822114. ОСЛК  149011826.
4. Борн, Макс; Вольф, Эмиль (1993). Основы оптики: электромагнитная теория распространения, интерференции и дифракции света (6-е изд., переиздание (с исправлениями) изд.). Оксфорд: Пергамон Пресс. ISBN 978-0-08-026481-3.
5. Хехт (1998). Оптика (3-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 554–574. ISBN 978-0-201-83887-9.
6. Шин. К, Хаммонд. Дж. Основы обработки сигналов для инженеров по звуку и вибрации . Джон Уайли и сыновья, 2008.
7. Рольф Г. Винтер; Эфраим М. Стейнберг (2008). «Согласованность». ДоступНаука . МакГроу-Хилл . дои : 10.1036/1097-8542.146900.
8. Лаудон, Родни (2000). Квантовая теория света . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-850177-0.
9. Леонард Мандель; Эмиль Вольф (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-41711-2.
10. Арвинд Маратай (1982). Элементы теории оптической когерентности . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-56789-9.
11. Hecht, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-8053-8566-3.
12. Пэн, Ж.-Л.; Лю, Т.-А.; Шу, Р.-Х. (2008). «Оптический частотомер на основе двух волоконных лазерных гребен с синхронизацией мод». Прикладная физика Б . 92 (4): 513. Бибкод : 2008ApPhB..92..513P. дои : 10.1007/s00340-008-3111-6. S2CID  121675431.
13. Кристофер Джерри; Питер Найт (2005). Введение в квантовую оптику . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-52735-4.
14. Этот рисунок необходимо изменить, поскольку на этом рисунке зеленая волна на самом деле не является копией красной волны; обе являются монохроматическими волнами с немного разными частотами. Правильная фигура будет комбинацией ЛЧМ-волны и ее задержанной копии, соответствующей фигуре и текущему описанию фигуры.
15. Салех, Тейч. Основы фотоники . Уайли.
16. Гудман (1985). Статистическая оптика (1-е изд.). Уайли-Интерсайенс. стр. 210, 221. ISBN. 978-0-471-01502-4.
17. Ходжман, СС; Далл, Р.Г.; Мэннинг, АГ; Болдуин, KGH; Траскотт, AG (2011). «Прямое измерение дальней когерентности третьего порядка в бозе-эйнштейновских конденсатах». Наука . 331 (6020): 1046–1049. Бибкод : 2011Sci...331.1046H. дои : 10.1126/science.1198481. PMID  21350171. S2CID  5336898.
18. Пинкок, С. (25 февраля 2011 г.). «Крутой лазер заставляет атомы двигаться во времени». Азбука науки . Новости ABC онлайн . Проверено 2 марта 2011 г.
19. Селим, Махмуд А.; Ву, Фань О.; Пириалакос, Георгиос Г.; Хаджавихан, Мерседе; Христодулидес, Деметриос (01 марта 2023 г.). «Когерентные свойства света в сильномногомодовых нелинейных параболических волокнах в условиях оптического равновесия». Оптические письма . 48 (5): 1208–1211. arXiv : 2212.10063 . дои : 10.1364/OL.483282. ISSN  1539-4794. PMID  36857250. S2CID  254877557.
20. Стрельцов, Александр; Адессо, Херардо; Пленио, Мартин Б. (30 октября 2017 г.). «Коллоквиум: Квантовая когерентность как ресурс». Обзоры современной физики . 89 (4): 041003. arXiv : 1609.02439 . doi : 10.1103/RevModPhys.89.041003. ISSN  0034-6861. S2CID  62899253.
21. Адамс, CS; Сигел, М; Млынек, Дж. (май 1994 г.). «Атомная оптика». Отчеты по физике . 240 (3): 143–210. дои : 10.1016/0370-1573(94)90066-3 .
22. Кронин, Александр Д.; Шмидмайер, Йорг; Причард, Дэвид Э. (28 июля 2009 г.). «Оптика и интерферометрия атомов и молекул». Обзоры современной физики . 81 (3): 1051–1129. doi : 10.1103/RevModPhys.81.1051. hdl : 1721.1/52372 . ISSN  0034-6861. S2CID  28009912.
23. Глаубер, Рой Дж. (15 июня 1963). «Квантовая теория оптической когерентности». Физический обзор . 130 (6): 2529–2539. дои : 10.1103/PhysRev.130.2529 . ISSN  0031-899X.
24. Пенроуз, О.; Онсагер, Л. (1956). «Конденсация Бозе-Эйнштейна и жидкий гелий». Физ. Преподобный . 104 (3): 576–584. Бибкод : 1956PhRv..104..576P. doi : 10.1103/physrev.104.576.
25. Ян, Китай (1962). «Концепция недиагонального дальнего порядка и квантовых фаз жидкого гелия и сверхпроводников». Преподобный Мод. Физ . 34 (4): 694–704. Бибкод : 1962RvMP...34..694Y. doi : 10.1103/revmodphys.34.694.
26. Баумграц, Т.; Крамер, М.; Пленио, МБ (2014). «Количественная согласованность». Физ. Преподобный Летт . 113 (14): 140401. arXiv : 1311.0275 . Бибкод : 2014PhRvL.113n0401B. doi : 10.1103/physrevlett.113.140401. PMID  25325620. S2CID  45904642.
27. Тан, КС; Чон, Х. (2018). «Запутанность как симметричная часть коррелированной когерентности». Физ. Преподобный Летт . 121 (22): 220401. arXiv : 1805.10750 . Бибкод : 2018PhRvL.121v0401T. doi : 10.1103/PhysRevLett.121.220401. PMID  30547638. S2CID  51690149.

Внешние ссылки

• Доктор Небесный Череп (3 сентября 2008 г.). «Основы оптики: когерентность». Черепа в звездах .