Дифракция

Феномен движения волн

Дифракционная картина красного лазерного луча, проецируемого на пластину после прохождения через небольшое круглое отверстие в другой пластине.

Дифракция – это интерференция или огибание волн вокруг углов препятствия или через отверстие в область геометрической тени препятствия/проема. Дифрагирующий объект или апертура фактически становятся вторичным источником распространяющейся волны. Итальянский ученый Франческо Мария Гримальди придумал слово « дифракция» и первым зафиксировал точные наблюдения этого явления в 1660 году. ^{[1] [2]}

Бесконечно множество точек (показано три) по длине, проецируют фазовые вклады волнового фронта , создавая постоянно меняющуюся интенсивность на регистрирующей пластине. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$

В классической физике явление дифракции описывается принципом Гюйгенса-Френеля , который рассматривает каждую точку распространяющегося волнового фронта как набор отдельных сферических вейвлетов . ^[3] Характерная картина изгиба наиболее выражена, когда волна от когерентного источника (например, лазера) сталкивается с щелью/апертурой, размер которой сопоставим с ее длиной волны , как показано на вставленном изображении. Это происходит из-за сложения или интерференции различных точек волнового фронта (или, что то же самое, каждого вейвлета), которые проходят по путям разной длины к регистрирующей поверхности. Если имеется несколько близко расположенных отверстий (например, дифракционная решетка ), может возникнуть сложная картина различной интенсивности.

Эти эффекты также возникают, когда световая волна проходит через среду с изменяющимся показателем преломления или когда звуковая волна проходит через среду с переменным акустическим импедансом – все волны дифрагируют, ^[4] включая гравитационные волны , ^[5] волны на воде и другие электромагнитные волны , такие как рентгеновские лучи и радиоволны . Более того, квантовая механика также демонстрирует, что материя обладает волнообразными свойствами и, следовательно, подвергается дифракции (которую можно измерить на субатомном и молекулярном уровнях). ^[6]

Степень дифракции зависит от размера зазора. Дифракция максимальна, когда размер зазора аналогичен длине волны. В этом случае, когда волны проходят через зазор, они становятся полукруглыми .

История

Эскиз Томаса Янга о дифракции водных волн на двух щелях, который он представил Королевскому обществу в 1803 году.

Эффекты дифракции света были впервые тщательно изучены и охарактеризованы Франческо Марией Гримальди , который также ввёл термин «дифракция» от латинского diffringere , «разбиваться на части», имея в виду распад света в разных направлениях. Результаты наблюдений Гримальди были опубликованы посмертно в 1665 году. ^{[7] [8] [9]} Исаак Ньютон изучал эти эффекты и объяснял их изгибом световых лучей. Джеймс Грегори (1638–1675) наблюдал дифракционные картины, создаваемые птичьим пером, что фактически было первой открытой дифракционной решеткой . ^[10] Томас Янг провел знаменитый эксперимент в 1803 году, продемонстрировав интерференцию двух близко расположенных щелей. ^[11] Объясняя свои результаты интерференцией волн, исходящих из двух разных щелей, он пришел к выводу, что свет должен распространяться как волны. Огюстен-Жан Френель провел более детальные исследования и расчеты дифракции, обнародованные в 1816 ^[12] и 1818 годах ^[13] и тем самым оказал большую поддержку волновой теории света, выдвинутой Христианом Гюйгенсом ^[14] и получившей новую силу благодаря Янг против теории частиц Ньютона.

Механизм

Дифракция на одной щели в резервуаре с круглой пульсацией

В классической физике дифракция возникает из-за способа распространения волн; это описывается принципом Гюйгенса-Френеля и принципом суперпозиции волн . Распространение волны можно визуализировать, рассматривая каждую частицу передаваемой среды на волновом фронте как точечный источник вторичной сферической волны . Смещение волны в любой последующей точке представляет собой сумму этих вторичных волн. Когда волны складываются вместе, их сумма определяется относительными фазами, а также амплитудами отдельных волн, так что суммарная амплитуда волн может иметь любое значение от нуля до суммы отдельных амплитуд. Следовательно, дифракционные картины обычно имеют ряд максимумов и минимумов.

В современном квантовомеханическом понимании распространения света через щель (или щели) каждый фотон описывается его волновой функцией , которая определяет распределение вероятностей для фотона: светлые и темные полосы — это области, в которых фотоны с большей или меньшей вероятностью могут оказаться. обнаружен. Волновая функция определяется физическим окружением, таким как геометрия щели, расстояние до экрана и начальные условия при создании фотона. Волновая природа отдельных фотонов (в отличие от волновых свойств, возникающих только в результате взаимодействия между множеством фотонов) была предположена в эксперименте с двумя щелями низкой интенсивности , впервые выполненном Дж. Тейлором в 1909 году. Квантовый подход имеет некоторые поразительные сходства с квантовым подходом. принцип Гюйгенса-Френеля ; основываясь на этом принципе, когда свет проходит через щели и границы, вблизи или вдоль этих препятствий создаются вторичные точечные источники света, а результирующая картина дифракции будет профилем интенсивности, основанным на коллективной интерференции всех этих источников света, которые имеют разные оптические пути. В квантовом формализме это похоже на рассмотрение ограниченных областей вокруг щелей и границ, из которых с большей вероятностью могут возникнуть фотоны, и расчет распределения вероятностей (которое пропорционально результирующей интенсивности классического формализма).

Существуют различные аналитические модели, которые позволяют рассчитывать дифрагированное поле, в том числе уравнение дифракции Кирхгофа-Френеля (полученное из волнового уравнения ), ^[15] дифракционное приближение Фраунгофера уравнения Кирхгофа (применимо к дальнему полю ), уравнение Френеля дифракционное приближение (применимо к ближнему полю ) и формулировка интеграла по траекториям Фейнмана. Большинство конфигураций не могут быть решены аналитически, но могут дать численные решения с помощью методов конечных элементов и граничных элементов .

Качественное понимание многих дифракционных явлений можно получить, рассмотрев, как изменяются относительные фазы отдельных источников вторичных волн, и, в частности, условия, при которых разность фаз равна половине цикла и в этом случае волны будут гасить друг друга. вне.

Простейшими описаниями дифракции являются те, в которых ситуацию можно свести к двумерной задаче. Для волн на воде это уже так; Водные волны распространяются только по поверхности воды. Что касается света, мы часто можем пренебречь одним направлением, если дифрагирующий объект простирается в этом направлении на расстояние, намного превышающее длину волны. В случае света, проходящего через маленькие круглые отверстия, нам придется принять во внимание полную трехмерность задачи.

• 
  Сгенерированная компьютером картина интенсивности, сформированная на экране путем дифракции от квадратной апертуры
• 
  Генерация интерференционной картины на основе двухщелевой дифракции
• 
  Расчетная модель интерференционной картины двухщелевой дифракции
• 
  Оптическая дифрактограмма (лазер, аналог рентгеновской кристаллографии)
• 
  Согласно некоторым анализам, цвета, видимые в паутине , частично обусловлены дифракцией. ^[16]

Примеры

Эффекты дифракции часто наблюдаются в повседневной жизни. Наиболее яркими примерами дифракции являются те, которые связаны со светом; например, близко расположенные дорожки на компакт-диске или DVD действуют как дифракционная решетка , образуя знакомый радужный узор, который можно увидеть при взгляде на диск.

Этот принцип можно распространить на создание решетки со структурой, позволяющей создавать любую желаемую дифракционную картину; Примером может служить голограмма на кредитной карте .

Дифракция в атмосфере на мелких частицах может привести к тому, что вокруг яркого источника света, такого как Солнце или Луна, будет видно яркое кольцо.

Солнечная слава на пару из горячих источников . Слава — это оптическое явление, возникающее в результате обратного рассеяния света (комбинация дифракции, отражения и преломления ) по направлению к источнику облаком капель воды одинакового размера.

Тень твердого объекта, полученная при свете компактного источника, показывает небольшие полосы по краям.

Яркое пятно ( пятно Араго ), видимое в центре тени круглого препятствия, возникает из-за дифракции.

Дифракционные пики — это дифракционные узоры, возникающие из-за некруглой апертуры камеры или опорных стоек телескопа; При нормальном зрении такие всплески могут возникать в результате дифракции на ресницах.

Вид с конца моста Миллениум; Луна восходит над мостом Саутварк. Уличные фонари отражаются в Темзе.

Имитация дифракционных пиков в гексагональных зеркалах телескопа

Пятнистый рисунок , наблюдаемый при падении лазерного света на оптически шероховатую поверхность, также является явлением дифракции. Когда мясные деликатесы кажутся переливающимися , это происходит из-за дифракции мясных волокон. ^[17] Все эти эффекты являются следствием того, что свет распространяется как волна .

Дифракция может происходить на любой волне. Океанские волны рассеиваются вокруг причалов и других препятствий.

Круговые волны, возникающие в результате дифракции от узкого входа в затопленный прибрежный карьер.

Звуковые волны могут преломляться вокруг предметов, поэтому можно услышать чей-то зов, даже спрятавшись за деревом. ^[18]

Дифракция также может быть проблемой в некоторых технических приложениях; он устанавливает фундаментальный предел разрешения камеры, телескопа или микроскопа.

Другие примеры дифракции рассмотрены ниже.

Однощелевая дифракция

2D-дифракция на одной щели с анимацией изменения ширины

Численная аппроксимация картины дифракции от щели шириной четыре длины волны с падающей плоской волной. Видны главный центральный луч, нули и развороты фаз.

График и изображение дифракции на одной щели

Длинная щель бесконечно малой ширины, освещенная светом, преломляет свет на серию круговых волн, а волновой фронт, выходящий из щели, представляет собой цилиндрическую волну однородной интенсивности в соответствии с принципом Гюйгенса- Френеля .

Освещенная щель, ширина которой превышает длину волны, создает интерференционные эффекты в пространстве после щели. Предполагая, что щель ведет себя так, как если бы она имела большое количество точечных источников, равномерно распределенных по ширине щели, можно рассчитать эффекты интерференции. Анализ этой системы упрощается, если рассматривать свет одной длины волны. Если падающий свет когерентен , все эти источники имеют одинаковую фазу. Свет, падающий в данную точку пространства после щели, состоит из вкладов каждого из этих точечных источников, и если относительные фазы этих вкладов изменяются на или более, мы можем ожидать обнаружения минимумов и максимумов в дифрагированном свете. Такие разности фаз вызваны различиями в длинах путей, на которых вкладывающие лучи достигают точки из щели. ${\displaystyle 2\pi }$

Мы можем найти угол, при котором достигается первый минимум в дифрагированном свете, используя следующие рассуждения. Свет от источника, расположенного у верхнего края щели, деструктивно интерферирует с источником, расположенным в середине щели, когда разность хода между ними равна . Точно так же источник чуть ниже верха щели будет разрушительно мешать источнику, расположенному чуть ниже середины щели под тем же углом. Мы можем продолжить эти рассуждения по всей высоте щели и прийти к выводу, что условие деструктивной интерференции для всей щели такое же, как и условие деструктивной интерференции между двумя узкими щелями, расположенными на расстоянии друг от друга, равном половине ширины щели. Разница хода примерно такая , что минимальная интенсивность возникает под углом, определяемым формулой ${\displaystyle \lambda /2}$ ${\displaystyle {\frac {d\sin(\theta )}{2}}}$ ${\displaystyle \theta _{\text{min}}}$

$${\displaystyle d\,\sin \theta _{\text{min}}=\lambda ,}$$

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta _{\text{min}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Аналогичный аргумент можно использовать, чтобы показать, что если мы представим, что щель разделена на четыре, шесть, восемь частей и т. д., минимумы будут получены под углами, определяемыми выражением ${\displaystyle \theta _{n}}$

$${\displaystyle d\,\sin \theta _{n}=n\lambda ,}$$

${\displaystyle n}$

Не существует такого простого аргумента, который позволил бы нам найти максимумы дифракционной картины. Профиль интенсивности можно рассчитать с помощью уравнения дифракции Фраунгофера как

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {d\pi }{\lambda }}\sin \theta \right),}$$

( ),,ненормированный sinc функция ${\displaystyle I(\theta )}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}}$

Этот анализ применим только к дальнему полю ( дифракция Фраунгофера ), то есть на расстоянии, значительно превышающем ширину щели.

Судя по приведенному выше профилю интенсивности , интенсивность будет мало зависеть от , следовательно, волновой фронт, выходящий из щели, будет напоминать цилиндрическую волну с азимутальной симметрией; Если бы , только имело бы заметную интенсивность, следовательно, волновой фронт, выходящий из щели, напоминал бы волновой фронт геометрической оптики . ${\displaystyle d\ll \lambda }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\gg \lambda }$ ${\displaystyle \theta \approx 0}$

Когда угол падения света на щель не равен нулю (что вызывает изменение длины пути ), профиль интенсивности в режиме Фраунгофера (т.е. в дальнем поле) становится: ${\displaystyle \theta _{\text{i}}}$

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left[{\frac {d\pi }{\lambda }}(\sin \theta \pm \sin \theta _{\text{i}})\right]}$$

Выбор знака плюс/минус зависит от определения угла падения . ${\displaystyle \theta _{\text{i}}}$

2-щелевая (вверху) и 5-щелевая дифракция красного лазерного луча

Дифракция красного лазера на дифракционной решетке.

Дифрактограмма лазера с длиной волны 633 нм через сетку из 150 щелей.

Дифракционная решетка

Дифракционная решетка

Дифракционная решетка – это оптический компонент с регулярным рисунком. Форма света, дифрагированного решеткой, зависит от структуры элементов и количества присутствующих элементов, но все решетки имеют максимумы интенсивности под углами θ _m , которые определяются уравнением решетки

$${\displaystyle d\left(\sin {\theta _{m}}\pm \sin {\theta _{i}}\right)=m\lambda ,}$$

${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m}$

Свет, дифрагированный решеткой, находится путем суммирования света, дифрагированного от каждого из элементов, и, по сути, представляет собой свертку дифракционных и интерференционных картин.

На рисунке показан свет, преломляющийся на 2-элементной и 5-элементной решетках с одинаковыми шагами решеток; видно, что положение максимумов одинаковое, но детальная структура интенсивностей различна.

Созданный компьютером образ диска Эйри.

Сгенерированная компьютером картина дифракции света от круглого отверстия диаметром 0,5 микрометра на длине волны 0,6 микрометра (красный свет) на расстояниях 0,1–1 см с шагом 0,1 см. Можно видеть, как изображение перемещается из области Френеля в область Фраунгофера, где виден узор Эйри.

Круглая апертура

Дифракцию плоской волны, падающей на круглую апертуру, в дальней зоне часто называют диском Эйри . Изменение интенсивности в зависимости от угла определяется выражением

$${\displaystyle I(\theta )=I_{0}\left({\frac {2J_{1}(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }}\right)^{2},}$$

функция Бесселя ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle J_{1}}$

Общая апертура

Волна, исходящая из точечного источника, имеет амплитуду в месте , которое определяется решением волнового уравнения в частотной области для точечного источника ( уравнение Гельмгольца ), ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +k^{2}\psi =\delta (\mathbf {r} ),}$$

оператор Лапласасферической системе координат ${\displaystyle \delta (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi ).}$$

(См. del в цилиндрических и сферических координатах .) Путем прямой подстановки можно легко показать, что решением этого уравнения является скалярная функция Грина , которая в сферической системе координат (и с использованием физического соглашения о времени ) равна ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$

$${\displaystyle \psi (r)={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}.}$$

Это решение предполагает, что источник дельта-функции находится в начале координат. Если источник расположен в произвольной точке источника, обозначенной вектором, а точка поля расположена в точке , то мы можем представить скалярную функцию Грина (для произвольного местоположения источника) как ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

Следовательно, если электрическое поле падает на апертуру, поле, создаваемое этим распределением апертуры, определяется поверхностным интегралом ${\displaystyle E_{\mathrm {inc} }(x,y)}$

$${\displaystyle \Psi (r)\propto \iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')~{\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dx'\,dy',}$$

О расчете полей области Фраунгофера

где точка источника в апертуре задается вектором

$${\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} .}$$

В дальнем поле, где можно использовать приближение параллельных лучей, функция Грина

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}},}$$

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} |\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}}$$

Выражение для поля дальней зоны (область Фраунгофера) принимает вид

$${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {\hat {r}} )}\,dx'\,dy'.}$$

Теперь, поскольку

$${\displaystyle \mathbf {r} '=x'\mathbf {\hat {x}} +y'\mathbf {\hat {y}} }$$

$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \phi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta ~\sin \phi ~\mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} ,}$$

$${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-ik\sin \theta (\cos \phi x'+\sin \phi y')}\,dx'\,dy'.}$$

Сдача в аренду

$${\displaystyle k_{x}=k\sin \theta \cos \phi }$$

$${\displaystyle k_{y}=k\sin \theta \sin \phi \,,}$$

преобразования Фурье

$${\displaystyle \Psi (r)\propto {\frac {e^{ikr}}{4\pi r}}\iint \limits _{\mathrm {aperture} }\!\!E_{\mathrm {inc} }(x',y')e^{-i(k_{x}x'+k_{y}y')}\,dx'\,dy',}$$

В дальней зоне / области Фраунгофера это становится пространственным преобразованием Фурье распределения апертуры. Принцип Гюйгенса, примененный к апертуре, просто говорит, что картина дифракции в дальнем поле представляет собой пространственное преобразование Фурье формы апертуры, и это прямой побочный продукт использования приближения параллельных лучей, которое идентично созданию плоскости. волновое разложение полей плоскости апертуры (см. Фурье-оптика ).

Распространение лазерного луча

То, как изменяется профиль лазерного луча по мере его распространения, определяется дифракцией. Когда весь излучаемый луч имеет плоский, пространственно когерентный волновой фронт, он приближается к гауссову профилю луча и имеет наименьшую расходимость для данного диаметра. Чем меньше выходной луч, тем быстрее он расходится. Уменьшить расходимость лазерного луча можно, сначала расширив его одной выпуклой линзой , а затем коллимировав второй выпуклой линзой, фокус которой совпадает с фокусом первой линзы. Полученный пучок имеет больший диаметр и, следовательно, меньшую расходимость. Расходимость лазерного луча может быть уменьшена ниже дифракции гауссовского луча или даже обращена в сторону схождения, если показатель преломления среды распространения увеличивается с интенсивностью света. ^[19] Это может привести к эффекту самофокусировки .

Когда волновой фронт излучаемого луча имеет возмущения, только длину поперечной когерентности (где возмущение волнового фронта составляет менее 1/4 длины волны) следует рассматривать как гауссовский диаметр луча при определении расходимости лазерного луча. Если поперечная длина когерентности в вертикальном направлении больше, чем в горизонтальном, то расходимость лазерного луча в вертикальном направлении будет меньше, чем в горизонтальном.

Визуализация, ограниченная дифракцией

Диск Эйри вокруг каждой из звезд в апертуру телескопа 2,56 м можно увидеть на этом удачном изображении двойной звезды Зета Боэтиса .

Способность системы визуализации разрешать детали в конечном итоге ограничивается дифракцией . Это связано с тем, что плоская волна, падающая на круглую линзу или зеркало, дифрагирует, как описано выше. Свет не фокусируется в точке, а образует диск Эйри, имеющий центральное пятно в фокальной плоскости, радиус которого (измеренный до первого нуля) равен

$${\displaystyle \Delta x=1.22\lambda N,}$$

-числопараксиальногоугловое разрешение ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle N\gg 1}$

$${\displaystyle \theta \approx \sin \theta =1.22{\frac {\lambda }{D}},}$$

зрачка ${\displaystyle D}$

Каждый из двух точечных источников будет создавать узор Эйри – см. фотографию двойной звезды. По мере сближения точечных источников узоры начнут перекрываться и в конечном итоге сольются, образуя единый узор, и в этом случае два точечных источника не могут быть разрешены на изображении. Критерий Рэлея указывает , что два точечных источника считаются «разрешенными», если расстояние между двумя изображениями составляет не менее радиуса диска Эйри, т. е. если первый минимум одного совпадает с максимумом другого.

Таким образом, чем больше апертура линзы по сравнению с длиной волны, тем выше разрешение системы формирования изображения. Это одна из причин, по которой астрономическим телескопам требуются большие объективы, а также почему объективам микроскопов требуется большая числовая апертура (большой диаметр апертуры по сравнению с рабочим расстоянием) для получения максимально возможного разрешения.

Пятнистые узоры

Пятнистый рисунок, видимый при использовании лазерной указки, является еще одним явлением дифракции. Это результат суперпозиции множества волн с разными фазами, которые возникают, когда лазерный луч освещает шероховатую поверхность. Они складываются, образуя результирующую волну, амплитуда и, следовательно, интенсивность которой изменяются случайным образом.

Принцип Бабине

Принцип Бабине — полезная теорема, утверждающая, что дифракционная картина от непрозрачного тела идентична дифракционной картине от отверстия того же размера и формы, но с разной интенсивностью. Это означает, что условия интерференции одиночного препятствия будут такими же, как и условия для одиночной щели.

".mw-parser-output .vanchor>:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}Острие ножа "

Эффект острия лезвия или дифракция острия лезвия — это усечение части падающего излучения , которое попадает на резкое и четко определенное препятствие, такое как горный хребет или стена здания. Эффект «острого лезвия» объясняется принципом Гюйгенса-Френеля , который гласит, что четко определенное препятствие для электромагнитной волны действует как вторичный источник и создает новый волновой фронт . Этот новый волновой фронт распространяется в геометрическую область тени препятствия.

Дифракция на острие ножа является результатом « проблемы полуплоскости », первоначально решенной Арнольдом Зоммерфельдом с использованием формулировки спектра плоских волн. Обобщением задачи полуплоскости является «задача о клине», решаемая как краевая задача в цилиндрических координатах. Решение в цилиндрических координатах было затем распространено на оптический режим Джозефом Б. Келлером , который ввел понятие коэффициентов дифракции в своей геометрической теории дифракции (ГТД). Патхак и Куюмджян расширили (сингулярные) коэффициенты Келлера с помощью равномерной теории дифракции (UTD).

• Дифракция на острой металлической кромке
• Дифракция на мягкой апертуре с градиентом проводимости по ширине изображения.

Узоры

В верхней половине этого изображения показана картина дифракции луча He-Ne лазера на эллиптической апертуре. Нижняя половина представляет собой двумерное преобразование Фурье, приблизительно восстанавливающее форму апертуры.

О дифракции в целом можно сделать несколько качественных наблюдений:

• Угловое расстояние между деталями дифракционной картины обратно пропорционально размерам объекта, вызывающего дифракцию. Другими словами: чем меньше преломляющий объект, тем «шире» получаемая дифракционная картина, и наоборот. (Точнее, это относится к синусам углов .)
• Углы дифракции инвариантны при масштабировании; т. е. зависят только от отношения длины волны к размеру дифрагирующего объекта.
• Когда дифрагирующий объект имеет периодическую структуру, например, в дифракционной решетке, детали обычно становятся более резкими. На третьем рисунке, например, показано сравнение рисунка с двумя прорезями с рисунком, образованным пятью прорезями, причем оба набора прорезей имеют одинаковое расстояние между центром одной прорези и следующей.

Дифракция волн материи

Согласно квантовой теории, каждая частица обладает волновыми свойствами и поэтому может дифрагировать. Дифракция электронов и нейтронов — один из весомых аргументов в пользу квантовой механики. Длина волны, связанная с частицей, называется длиной волны де Бройля.

$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}\,,}$$

постоянная Планкаимпульс ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$

Дифракция волн материи наблюдалась для мелких частиц, таких как электроны, нейтроны, атомы и даже большие молекулы. Короткая длина волны этих материальных волн делает их идеально подходящими для изучения атомной кристаллической структуры твердых тел, небольших молекул и белков.

Брэгговская дифракция

Следуя закону Брэгга , каждая точка (или отражение ) на этой дифракционной картине образуется в результате конструктивной интерференции рентгеновских лучей, проходящих через кристалл. Эти данные можно использовать для определения атомной структуры кристалла.

Дифракция от большой трехмерной периодической структуры, такой как многие тысячи атомов в кристалле, называется дифракцией Брэгга . Это похоже на то, что происходит при рассеянии волн на дифракционной решетке . Брэгговская дифракция является следствием интерференции волн, отражающихся от множества различных кристаллических плоскостей. Условие конструктивной интерференции определяется законом Брэгга :

$${\displaystyle m\lambda =2d\sin \theta ,}$$

порядок ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle m}$

Дифракция Брэгга может осуществляться с использованием либо электромагнитного излучения с очень короткой длиной волны, такого как рентгеновские лучи , либо волн материи, таких как нейтроны (и электроны ), длина волны которых порядка (или намного меньше) межатомного расстояния. ^[20] Полученная картина дает информацию о разделении кристаллографических плоскостей , что позволяет сделать вывод о кристаллической структуре. ${\displaystyle d}$

Для полноты картины: дифракция Брэгга является пределом для большого числа атомов с рентгеновскими лучами или нейтронами и редко применима для дифракции электронов или твердых частиц в диапазоне размеров менее 50 нанометров. ^[20]

Согласованность

Описание дифракции основано на интерференции волн, исходящих из одного и того же источника и проходящих разными путями к одной и той же точке экрана. В этом описании разница в фазе между волнами, прошедшими разные пути, зависит только от эффективной длины пути. При этом не учитывается тот факт, что волны, пришедшие на экран одновременно, были излучены источником в разное время. Начальная фаза, с которой источник излучает волны, может меняться со временем непредсказуемым образом. Это означает, что волны, излучаемые источником в моменты времени, находящиеся слишком далеко друг от друга, больше не могут образовывать постоянную интерференционную картину, поскольку соотношение между их фазами больше не зависит от времени. ^{[21] : 919}

Длина, на которой коррелирует фаза светового луча, называется длиной когерентности . Чтобы возникла интерференция, разность длин путей должна быть меньше длины когерентности. Иногда это называют спектральной когерентностью, поскольку она связана с наличием в волне различных частотных составляющих. В случае света, излучаемого атомным переходом , длина когерентности связана со временем жизни возбужденного состояния, из которого атом совершил переход. ^{[22] : 71–74  [23] : 314–316}

Если волны излучаются из протяженного источника, это может привести к некогерентности в поперечном направлении. Если посмотреть на поперечное сечение луча света, то длина, на которой коррелирует фаза, называется длиной поперечной когерентности. В случае эксперимента Янга с двумя щелями это означало бы, что если длина поперечной когерентности меньше расстояния между двумя щелями, результирующая картина на экране будет выглядеть как две дифракционные картины с одной щелью. ^{[22] : 74–79.}

В случае таких частиц, как электроны, нейтроны и атомы, длина когерентности связана с пространственной протяженностью волновой функции, описывающей частицу. ^{[24] : 107}

Приложения

Дифракция перед разрушением

В 2010-х годах появился новый способ изображения отдельных биологических частиц с использованием ярких рентгеновских лучей, генерируемых рентгеновскими лазерами на свободных электронах . Эти фемтосекундные импульсы позволят (потенциально) визуализировать отдельные биологические макромолекулы. Благодаря этим коротким импульсам можно будет предотвратить радиационное повреждение и получить дифракционные картины отдельных биологических макромолекул. ^{[25] [26]}

Смотрите также

• Чувствительный к углу пиксель
• Атмосферная дифракция
• Брокенский призрак
• Переливчатость облаков
• Когерентная дифракционная визуализация
• Дифракция от щелей
• Дифракционный шип
• Дифракция против интерференции
• Дифракционный солнечный парус
• Дифрактометр
• Динамическая теория дифракции
• Электронная дифракция
• Дифракция Фраунгофера
• имидж-сканер Френеля
• Число Френеля
• зона Френеля
• Функция распределения точек
• Порошковая дифракция
• Квазиоптика
• Преломление
• Отражение
• Дифракция Шефера – Бергмана
• Проклятие истонченного массива
• Методы рассеяния рентгеновских лучей

Рекомендации

1. Франческо Мария Гримальди, Physico mathesis de lumine, coloribus, et iride, aliisque Attachis libri duo (Болонья («Бономия»), Италия: Витторио Бонати, 1665), стр. 2. Архивировано 1 декабря 2016 г. в Wayback Machine :

   Оригинал  : Nobis alius quartus modus illuxit, quem nunc proponimus, vocamusque; дифракционно, quia advertimus lumen aliquando diffringi, hoc est partes eius multiplici dissectione separatas per idem tamen medium in diversa ulterius procedere, eo modo, quem mox declarabimus.

   Перевод  : Он осветил нам другой, четвертый путь, который мы теперь открываем и называем «дифракцией» [т. е. раскалыванием], потому что мы иногда наблюдаем распад света; то есть части соединения [т. е. луча света], разделенные разделением, продвигаются через среду дальше, но в разных [направлениях], как мы вскоре покажем.

2. Каджори, Флориан «История физики в ее элементарных разделах, включая эволюцию физических лабораторий». Архивировано 1 декабря 2016 г. в компании Wayback Machine MacMillan, Нью-Йорк, 1899 г.
3. Беспроводная связь: принципы и практика, серия «Коммуникационная инженерия и новые технологии Prentice Hall», TS Rappaport, Prentice Hall, 2002, стр. 126
4. Сурьянараяна, К.; Нортон, М. Грант (29 июня 2013 г.). Рентгеновская дифракция: практический подход. Springer Science & Business Media. п. 14. ISBN 978-1-4899-0148-4. Проверено 7 января 2023 г.
5. Коккотас, Костас Д. (2003). «Физика гравитационных волн». Энциклопедия физических наук и технологий : 67–85. дои : 10.1016/B0-12-227410-5/00300-8. ISBN 9780122274107.
6. Юффманн, Томас; Милич, Адриана; Мюлльнерич, Михаэль; Асенбаум, Питер; Цукерник, Александр; Тюксен, Йенс; Мэр Марсель; Чешновский, Ори; Арндт, Маркус (25 марта 2012 г.). «Визуализация квантовой интерференции одиночных молекул в реальном времени». Природные нанотехнологии . 7 (5): 297–300. arXiv : 1402.1867 . Бибкод : 2012NatNa...7..297J. дои : 10.1038/nnano.2012.34. ISSN  1748-3395. PMID  22447163. S2CID  5918772.
7. Франческо Мария Гримальди, Physico-mathesis de lumine, coloribus, et iride, aliisque adnexis… [Приложена физическая математика света, цвета, радуги и других вещей…] (Болонья («Bonomia»), (Италия): Витторио Бонати, 1665), стр. 1–11. Архивировано 1 декабря 2016 г. в Wayback Machine : «Propositio I. Lumen propagatur seu difffunditur non solum Directe, refracte, ac reflexe, sed etiam alio quodam quarto modo, дифракции». (Предложение 1. Свет распространяется или распространяется не только прямолинейно, путем преломления и отражения, но и несколько иным четвертым путем: путем дифракции.) На с. 187, Гримальди также обсуждает интерференцию света от двух источников: «Propositio XXII. Lumen aliquando per sui communicationem reddit obscuriorem superficiem corporis aliunde, ac prius illustratam». (Предложение 22. Иногда свет в результате своего прохождения затемняет поверхность тела, [которая была] предварительно освещена другим [источником].)
8. Жан Луи Обер (1760). Мемуары по истории наук и изящных искусств. Париж: Отпечаток. де САС; Чез Э. Гано. стр. 149. Дифракция Гримальди 0–1800.
9. Сэр Дэвид Брюстер (1831). Трактат по оптике. Лондон: Лонгман, Рис, Орм, Браун и Грин и Джон Тейлор. стр. 95.
10. Письмо Джеймса Грегори Джону Коллинзу от 13 мая 1673 года. Перепечатано в: « Переписка ученых семнадцатого века…» , изд. Стивен Джордан Риго (Оксфорд, Англия: Oxford University Press , 1841), том. 2, стр. 251–255, особенно стр. 254. Архивировано 1 декабря 2016 г. в Wayback Machine .
11. Томас Янг (1 января 1804 г.). «Бекерианская лекция: Эксперименты и расчеты по физической оптике». Философские труды Лондонского королевского общества . 94 : 1–16. Бибкод : 1804RSPT...94....1Y. дои : 10.1098/rstl.1804.0001 . S2CID  110408369.. (Примечание: эта лекция была прочитана перед Королевским обществом 24 ноября 1803 года.)
12. Френель, Огюстен-Жан (1816), «Mémoire sur la diffraction de la lumière» («Мемуары о дифракции света»), Annales de Chimie et de Physique , vol. 1, стр. 239–81 (март 1816 г.); перепечатано как «Deuxième Mémoire…» («Вторые мемуары…») в Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , vol. 1 (Париж: Imprimerie Impériale, 1866), стр. 89–122. (Редакция «Первого мемуара», представленного 15 октября 1815 г.)
13. Френель, Огюстен-Жан (1818 г.), «Mémoire sur la diffraction de la lumière» («Мемуары о дифракции света»), депонированы 29 июля 1818 г., «коронованы» 15 марта 1819 г., опубликованы в Mémoires de l'Académie Royale. des Sciences de l'Institut de France , vol.  V (за 1821 и 1822 гг., напечатано в 1826 г.), стр. 339–475; перепечатано в Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel , vol. 1 (Париж: Imprimerie Impériale, 1866), стр. 247–364; частично переведено как «Мемуары премии Френеля о дифракции света», в книге Х. Крю (редактор), « Волновая теория света: мемуары Гюйгенса, Янга и Френеля» , American Book Company, 1900, стр. 81–144. (Впервые опубликовано только в виде отрывков в Annales de Chimie et de Physique , том 11 (1819), стр. 246–96, 337–78.)
14. Кристиан Гюйгенс, Traité de la lumiere… Архивировано 16 июня 2016 г. в Wayback Machine (Лейден, Нидерланды: Питер ван дер Аа, 1690), Глава 1. Со стр. 15. Архивировано 1 декабря 2016 г. в Wayback Machine : «J'ay donc monstré de quelle façon l'on peut concevoir que la lumiere s'etend Successivement par des ondes spheriques,…» (Таким образом, я показал, каким образом можно представьте, что свет распространяется последовательно сферическими волнами…) (Примечание: Гюйгенс опубликовал свой «Трактат» в 1690 году; однако в предисловии к своей книге Гюйгенс утверждает, что в 1678 году он впервые передал свою книгу Французской королевской академии наук.)
15. Бейкер, Б.Б. и Копсон, ET (1939), Математическая теория принципа Гюйгенса , Оксфорд, стр. 36–40.
16. Дитрих Завиша. «Оптическое воздействие на паутину» . Проверено 21 сентября 2007 г.
17. Арумугам, Надя (9 сентября 2013 г.). «Разъяснение еды: почему некоторые мясные деликатесы переливаются?». Сланец . Группа «Сланец» . Архивировано из оригинала 10 сентября 2013 года . Проверено 9 сентября 2013 г.
18. Эндрю Нортон (2000). Динамические поля и волны физики. ЦРК Пресс. п. 102. ИСБН 978-0-7503-0719-2.
19. Цзяо, РЮ; Гармир, Э.; Таунс, Швейцария (1964). «Самозахват оптических лучей». Письма о физических отзывах . 13 (15): 479–482. Бибкод : 1964PhRvL..13..479C. doi : 10.1103/PhysRevLett.13.479.
20. Джон М. Коули (1975) Дифракционная физика (Северная Голландия, Амстердам) ISBN 0-444-10791-6 
21. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005), Основы физики (7-е изд.), США: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 978-0-471-23231-5
22. Грант Р. Фаулз (1975). Введение в современную оптику . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-65957-2.
23. Хехт, Юджин (2002). Оптика (4-е изд.). Соединенные Штаты Америки: Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-8053-8566-3.
24. Аяхико Ичимия; Филип И. Коэн (13 декабря 2004 г.). Дифракция быстрых электронов на отражение. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45373-8. Архивировано из оригинала 16 июля 2017 года.
25. Нойце, Ричард; Воутс, Ремко; ван дер Спол, Дэвид; Векерт, Эдгар; Хайду, Янош (август 2000 г.). «Потенциал биомолекулярной визуализации с помощью фемтосекундных рентгеновских импульсов». Природа . 406 (6797): 752–757. Бибкод : 2000Natur.406..752N. дои : 10.1038/35021099. ISSN  1476-4687. PMID  10963603. S2CID  4300920.
26. Чепмен, Генри Н.; Калеман, Карл; Тимнеану, Никусор (17 июля 2014 г.). «Дифракция перед разрушением». Философские труды Королевского общества B: Биологические науки . 369 (1647): 20130313. doi :10.1098/rstb.2013.0313. ПМК 4052855 . ПМИД  24914146. 

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике Vol. Я Ч. 30: Дифракция
• «Рассеяние и дифракция». Кристаллография . Международный союз кристаллографии .
• Использование компакт-диска в качестве дифракционной решетки на Youtube