Капиллярная волна

Волна на поверхности жидкости, в которой преобладает поверхностное натяжение.

Капиллярные волны (рябь) в воде

Рябь на Лифьорде в Окснесе , Норвегия

Капиллярные волны, возникающие при ударе капель о границу раздела воды и воздуха.

Капиллярная волна — это волна , движущаяся вдоль фазовой границы жидкости, в динамике и фазовой скорости которой преобладают эффекты поверхностного натяжения .

Капиллярные волны широко распространены в природе , и их часто называют рябью . Длина капиллярных волн на воде обычно составляет менее нескольких сантиметров, а фазовая скорость превышает 0,2–0,3 метра в секунду .

Более длинная длина волны на границе раздела жидкости приведет к возникновению гравитационно-капиллярных волн , на которые влияют как эффекты поверхностного натяжения и гравитации , так и инерция жидкости . Обычные гравитационные волны имеют еще большую длину волны.

Когда они возникают под действием легкого ветра на открытой воде, их морское название — волны кошачьей лапы . Легкий бриз, вызывающий такую ​​мелкую рябь, также иногда называют кошачьими лапками. В открытом океане гораздо более крупные поверхностные волны океана ( моря и зыби ) могут возникнуть в результате слияния более мелких волн, вызванных ветром.

Дисперсионное соотношение

Дисперсионное соотношение описывает взаимосвязь между длиной волны и частотой в волнах. Можно провести различие между чистыми капиллярными волнами, в которых полностью преобладают эффекты поверхностного натяжения, и гравитационно-капиллярными волнами, на которые также влияет сила тяжести.

Капиллярные волны, собственно

Дисперсионное уравнение для капиллярных волн имеет вид

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}$

где - угловая частота , поверхностное натяжение , плотность более тяжелой жидкости, плотность более легкой жидкости и волновое число . Длина волны равна Для границы между жидкостью и вакуумом (свободной поверхностью) дисперсионное соотношение сводится к ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.}$

Гравитационно-капиллярные волны

Дисперсия гравитационно-капиллярных волн на поверхности глубокой воды (нулевая плотность верхнего слоя ). Фазовая и групповая скорость, разделенные на как функция обратной относительной длины волны .  • Синие линии (A): фазовая скорость. Красные линии (B): групповая скорость.  • Нарисованные линии: закон дисперсии гравитационно-капиллярных волн.  • Пунктирные линии: закон дисперсии глубоководных гравитационных волн.  • Штрихпунктирные линии: соотношение дисперсии, справедливое для глубоководных капиллярных волн. ${\displaystyle \rho '=0}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{4}]{g\sigma /\rho }}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{\lambda }}{\sqrt {\sigma /(\rho g)}}}$

Когда на капиллярные волны также существенно влияет сила тяжести, их называют гравитационно-капиллярными волнами. Их дисперсионное соотношение для волн на границе раздела двух жидкостей бесконечной глубины выглядит следующим образом: ^{[1] [2]}

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

где – ускорение свободного падения , – массовая плотность двух жидкостей . Множителем первого члена является число Этвуда . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle (\rho >\rho ')}$ ${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$

Гравитационно-волновой режим

Для больших длин волн (маленьких ) важен только первый член и возникают гравитационные волны . В этом пределе волны имеют групповую скорость, составляющую половину фазовой скорости : следуя за гребнем отдельной волны в группе, можно увидеть, как волна появляется в задней части группы, растет и, наконец, исчезает в передней части группы. ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

Капиллярный волновой режим

Более короткие (крупные ) волны (например, 2 мм для границы вода–воздух), являющиеся собственными капиллярными волнами, действуют наоборот: отдельная волна возникает в передней части группы, растет при движении к центру группы и, наконец, исчезает в конце группы. позади группы. В этом пределе фазовая скорость составляет две трети групповой скорости. ${\displaystyle k}$

Минимальная фазовая скорость

Между этими двумя пределами находится точка, в которой дисперсия, вызванная силой тяжести, компенсирует дисперсию, обусловленную капиллярным эффектом. На определенной длине волны групповая скорость равна фазовой скорости и дисперсия отсутствует. Именно на этой же длине волны фазовая скорость гравитационно-капиллярных волн как функция длины волны (или волнового числа) имеет минимум. В волнах с длиной волны, намного меньшей этой критической длины, преобладает поверхностное натяжение, а гравитация намного превышает его. Значение этой длины волны и связанная с ней минимальная фазовая скорость составляют: ^[1] ${\displaystyle \lambda _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}}$

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

Для границы раздела воздух - вода оно составляет 1,7 см (0,67 дюйма) и составляет 0,23 м/с (0,75 фута/с). ^[1] ${\displaystyle \lambda _{m}}$ ${\displaystyle c_{m}}$

Если уронить небольшой камень или каплю в жидкость, волны распространяются за пределы расширяющегося круга покоящейся жидкости; этот круг представляет собой каустику , соответствующую минимальной групповой скорости. ^[3]

Вывод

Как выразился Ричард Фейнман , « [волны на воде], которые легко увидеть каждому и которые обычно используются в качестве примера волн в начальных курсах [...], являются наихудшим примером [...]; у них есть все сложности, которые могут иметь волны » ^[4] . Таким образом, вывод общего дисперсионного уравнения весьма сложен. ^[5]

Есть три вклада в энергию: гравитация, поверхностное натяжение и гидродинамика . Первые две представляют собой потенциальные энергии и отвечают за два члена в скобках, как ясно из появления и . Для гравитации предполагается, что плотность жидкостей постоянна (т. е. несжимаема), а также (волны недостаточно высоки, чтобы гравитация могла существенно измениться). Для поверхностного натяжения отклонения от плоскостности (измеряемые по производным поверхности) должны быть небольшими. Для обычных волн оба приближения достаточно хороши. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle g}$

Третий вклад связан с кинетическими энергиями жидкостей. Он наиболее сложен и требует гидродинамической основы. Снова задействована несжимаемость (которая выполняется, если скорость волн намного меньше скорости звука в среде), а также безвихревость потока - тогда поток является потенциальным . Обычно это также хорошие приближения для обычных ситуаций.

Полученное уравнение для потенциала (которое является уравнением Лапласа ) может быть решено с использованием соответствующих граничных условий. С одной стороны, скорость должна исчезать значительно ниже поверхности (в случае «глубокой воды», который мы рассматриваем, в противном случае получается более сложный результат, см. Поверхностные волны океана ). С другой стороны, ее вертикальная составляющая должна соответствовать движению поверхности. Этот вклад в конечном итоге отвечает за добавку за скобками, что приводит к тому, что все режимы являются дисперсионными, как при низких значениях , так и при высоких (за исключением одного значения, при котором две дисперсии компенсируются). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Смотрите также

• Капиллярное действие
• Дисперсия (волны на воде)
• Жидкостная труба
• Поверхностная волна океана
• Тепловая капиллярная волна
• Двухфазный поток
• Волнообразная рябь

Галерея

• 
  Рябь на воде, создаваемая водомерками
• 
  Легкий ветерок колеблется по поверхности воды озера

Примечания

1. Lamb (1994), §267, стр. 458–460.
2. Дингеманс (1997), раздел 2.1.1, с. 45.
   Филлипс (1977), раздел 3.2, с. 37.
3. Фалькович, Г. (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков . Издательство Кембриджского университета. Раздел 3.1 и Упражнение 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.
4. Р.П. Фейнман , Р.Б. Лейтон и М. Сэндс (1963). Фейнмановские лекции по физике . Аддисон-Уэсли. Том I, главы 51-4.
5. Более подробное описание см., например, в Safran (1994).
6. Лэмб (1994), §174 и §230.
7. Lamb (1994), §266.
8. Лэмб (1994), §61.
9. Лэмб (1994), §20
10. Лэмб (1994), §230.
11. Уизем, Великобритания (1974). Линейные и нелинейные волны . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-94090-9.См. раздел 11.7.
12. Лорд Рэлей (JW Strutt) (1877). «На прогрессивных волнах». Труды Лондонского математического общества . 9 : 21–26. дои : 10.1112/plms/s1-9.1.21.Перепечатано в качестве приложения в: Theory of Sound 1 , MacMillan, 2-е исправленное издание, 1894 г.

Рекомендации

• Лонге-Хиггинс, MS (1963). «Генерация капиллярных волн крутыми гравитационными волнами». Журнал механики жидкости . 16 (1): 138–159. Бибкод : 1963JFM....16..138L. дои : 10.1017/S0022112063000641. ISSN  1469-7645. S2CID  119740891.
• Лэмб, Х. (1994). Гидродинамика (6-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-45868-9.
• Филлипс, О.М. (1977). Динамика верхних слоев океана (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29801-6.
• Дингеманс, М.В. (1997). Распространение волн воды по неровному дну . Расширенная серия по океанской инженерии. Том. 13. World Scientific, Сингапур. стр. 2 части, 967 страниц. ISBN 981-02-0427-2.
• Сафран, Сэмюэл (1994). Статистическая термодинамика поверхностей, границ раздела и мембран . Аддисон-Уэсли.
• Туфилларо, Северная Каролина; Рамшанкар, Р.; Голлуб, JP (1989). «Переход порядок-беспорядок в капиллярной ряби». Письма о физических отзывах . 62 (4): 422–425. Бибкод : 1989PhRvL..62..422T. doi : 10.1103/PhysRevLett.62.422. ПМИД  10040229.

Внешние ссылки

• Запись о капиллярных волнах на sklogwiki