Уравнение Лапласа

Уравнение в частных производных второго порядка

В математике и физике уравнение Лапласа представляет собой уравнение в частных производных второго порядка , названное в честь Пьера-Симона Лапласа , который первым изучил его свойства. Часто это пишут как

$${\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}$$

$${\displaystyle \Delta f=0,}$$

оператор Лапласа^{[примечание 1]}дивергенцииградиента ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$

Если правая часть задана как заданная функция, мы имеем ${\displaystyle h(x,y,z)}$

$${\displaystyle \Delta f=h.}$$

Это называется уравнением Пуассона и является обобщением уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона являются простейшими примерами эллиптических уравнений в частных производных . Уравнение Лапласа также является частным случаем уравнения Гельмгольца .

Общая теория решений уравнения Лапласа известна как теория потенциала . Дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнения Лапласа представляют собой гармонические функции ^[1] , которые важны во многих разделах физики, особенно в электростатике, гравитации и гидродинамике . При изучении теплопроводности уравнение Лапласа представляет собой уравнение установившейся теплопроводности . ^[2] В общем, уравнение Лапласа описывает ситуации равновесия или ситуации, которые не зависят явно от времени.

Формы в разных системах координат

В прямоугольных координатах , ^[3]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

В цилиндрических координатах , ^[3]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

В сферических координатах , используя соглашение, ^[3] ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

В более общем смысле, в произвольных криволинейных координатах (ξ ⁱ ) ,

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})}$$

gij _—метрический тензорΓсимволы Кристоффеля

Граничные условия

Уравнение Лапласа на кольце (внутренний радиус r = 2 и внешний радиус R = 4 ) с граничными условиями Дирихле u ( r =2) = 0 и u ( R =4) = 4 sin(5 θ )

Задача Дирихле для уравнения Лапласа состоит в нахождении решения φ в некоторой области D такого, что φ на границе D равна некоторой заданной функции. Поскольку в уравнении теплопроводности появляется оператор Лапласа , одна из физических интерпретаций этой задачи состоит в следующем: зафиксировать температуру на границе области согласно заданному заданию граничного условия. Позвольте теплу течь до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное состояние, в котором температура в каждой точке домена больше не меняется. Распределение температуры внутри будет тогда задано решением соответствующей задачи Дирихле.

Граничные условия Неймана для уравнения Лапласа задают не саму функцию φ на границе D , а ее нормальную производную . Физически это соответствует построению потенциала векторного поля, действие которого известно только на границе D. На примере уравнения теплопроводности это сводится к заданию теплового потока через границу. В частности, на адиабатической границе нормальная производная φ равна нулю.

Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями ; все они аналитичны в области, в которой выполняется уравнение. Если любые две функции являются решениями уравнения Лапласа (или любого линейного однородного дифференциального уравнения), их сумма (или любая линейная комбинация) также является решением. Это свойство, называемое принципом суперпозиции , очень полезно. Например, решения сложных задач можно построить путем суммирования простых решений.

В двух измерениях

Уравнение Лапласа с двумя независимыми переменными в прямоугольных координатах имеет вид

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}$$

Аналитические функции

Действительная и мнимая части комплексной аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. То есть, если z = x + iy и если

$${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$$

f ( z )uvуравнений Коши – Римана :

$${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.}$$

u _xux

$${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.}$$

uvf ( z )

$${\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),}$$

$${\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.}$$

ψ

$${\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy.}$$

φψ

$${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},}$$

ψтеорема Стоксасопряженными гармоническими функциямиrθ

$${\displaystyle \varphi =\log r,}$$

$${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .}$$

Однако угол θ однозначен только в области, не ограничивающей начало координат.

Тесная связь между уравнением Лапласа и аналитическими функциями означает, что любое решение уравнения Лапласа имеет производные всех порядков и может быть разложено в степенной ряд , по крайней мере, внутри круга, не заключающего в себе особенности. Это резко контрастирует с решениями волнового ^{уравнения} , которые обычно имеют ^{меньшую регулярность} .

Существует тесная связь между степенным рядом и рядом Фурье . Если разложить функцию f в степенной ряд внутри круга радиуса R , это означает, что

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},}$$

$${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}.}$$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],}$$

fформулы нескольких углов

Поток жидкости

Пусть величины u и v — горизонтальная и вертикальная составляющие поля скорости стационарного несжимаемого безвихревого течения в двух измерениях. Условие непрерывности несжимаемого течения состоит в том, что

$${\displaystyle u_{x}+v_{y}=0,}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.}$$

ψ

$${\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy,}$$

функцией токалиний токаψ

$${\displaystyle \psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u,}$$

ψφψпотенциалом скорости

$${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$

Электростатика

Согласно уравнениям Максвелла , электрическое поле ( u , v ) в двух измерениях пространства, независимое от времени, удовлетворяет условию

$${\displaystyle \nabla \times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {0} ,}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=\rho ,}$$

ρ

$${\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy,}$$

φ

$${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$

$${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,}$$

уравнение Пуассона

В трех измерениях

Фундаментальное решение

Фундаментальное решение уравнения Лапласа удовлетворяет условию

$${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z'),}$$

дельта-функция Дирака δ( x ′, y ′, z ′)распределениеслабое решениеположительный операторu

$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.}$$

Уравнение Лапласа не меняется при вращении координат, и, следовательно, мы можем ожидать, что фундаментальное решение может быть получено среди решений, которые зависят только от расстояния r от исходной точки. Если мы выберем объем в виде шара радиуса a вокруг точки источника, то из теоремы о дивергенции Гаусса следует, что

$${\displaystyle -1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}{dr}}\,dS=\left.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right|_{r=a}.}$$

Следует, что

$${\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}},}$$

r

$${\displaystyle u={\frac {1}{4\pi r}}.}$$

Обратите внимание, что с противоположным соглашением о знаках (используемым в физике ) это потенциал , создаваемый точечной частицей для силы закона обратных квадратов , возникающей при решении уравнения Пуассона . Аналогичный аргумент показывает, что в двух измерениях

$${\displaystyle u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.}$$

log( r )натуральный логарифмпотенциалстокомточечная частицауравнений Эйлеранесжимаемом потоке

функция Грина

Функция Грина — это фундаментальное решение , которое также удовлетворяет подходящему условию на границе S объема V. Например,

$${\displaystyle G(x,y,z;x',y',z')}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla G=-\delta (x-x',y-y',z-z')\qquad {\text{in }}V,}$$

$${\displaystyle G=0\quad {\text{if}}\quad (x,y,z)\qquad {\text{on }}S.}$$

Теперь, если u — любое решение уравнения Пуассона в V :

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=-f,}$$

и u принимает граничные значения g на S , то мы можем применить тождество Грина (следствие теоремы о дивергенции), которое утверждает, что

$${\displaystyle \iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS.\,}$$

Обозначения u _n и G _n обозначают нормальные производные на S . Ввиду условий, которым удовлетворяют u и G , этот результат упрощается до

$${\displaystyle u(x',y',z')=\iiint _{V}Gf\,dV+\iint _{S}G_{n}g\,dS.\,}$$

Таким образом, функция Грина описывает влияние на ( x ', y ', z ') данных f и g . Для случая внутренней части сферы радиуса a функция Грина может быть получена посредством отражения (Зоммерфельд, 1949): точка источника P на расстоянии ρ от центра сферы отражается вдоль своей радиальной линии к a точка P' , которая находится на расстоянии

$${\displaystyle \rho '={\frac {a^{2}}{\rho }}.\,}$$

Обратите внимание: если P находится внутри сферы, то P′ будет вне сферы. Функция Грина тогда определяется выражением

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi R}}-{\frac {a}{4\pi \rho R'}},\,}$$

RP,R ′Pинтегральная формула Пуассонаρθφсферические координатыP. θg

$${\displaystyle u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi '}$$

$${\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

( θ , φ )( θ ′, φ ′)uu

Сферические гармоники Лапласа

Действительные (лапласовские) сферические гармоники Y _ℓ ^m для ℓ = 0,..., 4 (сверху вниз) и m = 0,..., ℓ (слева направо). Зональные, секторальные и тессеральные гармоники изображены вдоль крайнего левого столбца, главной диагонали и в других местах соответственно. (Гармоники отрицательного порядка будут показаны повернутыми вокруг оси z относительно гармоник положительного порядка.) ${\displaystyle Y_{\ell }^{-m}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$

Уравнение Лапласа в сферических координатах : ^[4]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

Рассмотрим задачу поиска решений вида f ( р , θ , φ ) знак равно р ( р ) Y ( θ , φ ) . В результате разделения переменных в результате применения уравнения Лапласа получаются два дифференциальных уравнения:

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

Второе уравнение можно упростить, если предположить, что Y имеет вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Повторное применение разделения переменных ко второму уравнению уступает место паре дифференциальных уравнений.

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$

$${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

для некоторого числа m . Априори m является комплексной константой, но поскольку Φ должна быть периодической функцией , период которой делит 2 π нацело , m обязательно является целым числом, а Φ является линейной комбинацией комплексных экспонент e ^{± imφ} . Функция решения Y ( θ , φ ) регулярна в полюсах сферы, где θ = 0, π . Наложение этой закономерности на решение Θ второго уравнения в граничных точках области представляет собой задачу Штурма–Лиувилля , которая заставляет параметр λ иметь вид λ = ℓ ( ℓ + 1) для некоторого неотрицательного целого числа с ℓ ≥ | м | ; это также объясняется ниже с точки зрения орбитального углового момента . Кроме того, замена переменных t = cos θ преобразует это уравнение в уравнение Лежандра , решение которого кратно соответствующему многочлену Лежандра P _ℓ ^m (cos θ ) . Наконец, уравнение для R имеет решения вида R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{- ℓ - 1} ; требуя, чтобы решение было регулярным во всей R ³ силы B = 0 . ^{[заметка 2]}

Здесь предполагалось, что решение имеет специальный вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Для данного значения ℓ существует 2 ℓ + 1 независимых решений этого вида, по одному на каждое целое число m с − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Эти угловые решения являются произведением тригонометрических функций , представленных здесь в виде комплексной экспоненты , и связанных с ними полиномов Лежандра:

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Здесь Y _ℓ ^m называется сферической гармонической функцией степени ℓ и порядка m , P _ℓ ^m — ассоциированный полином Лежандра , N — константа нормализации, а θ и φ представляют широту и долготу соответственно. В частности, широта θ или полярный угол колеблется от 0 на Северном полюсе до π /2 на экваторе, до π на Южном полюсе, а долгота φ или азимут может принимать все значения с 0 ≤ φ. < 2 π . Для фиксированного целого числа ℓ каждое решение Y ( θ , φ ) проблемы собственных значений

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$

линейнуюY _ℓ ^mr ^ℓ Y ( θ , φ )однородного полиноманиже2 ℓ + 1

Общее решение уравнения Лапласа в шаре с центром в начале координат представляет собой линейную комбинацию сферических гармонических функций, умноженных на соответствующий масштабный коэффициент r ^ℓ ,

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

f _ℓ ^mr ^ℓ Y _ℓ ^mтвердые гармоникишаре

$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

Вместо этого для выбираются сплошные гармоники с отрицательными степенями . В этом случае необходимо разложить решение известных областей в ряд Лорана (около ), а не в ряд Тейлора (около ), чтобы сопоставить условия и найти . ${\displaystyle r>R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$

Электростатика

Пусть – электрическое поле, – плотность электрического заряда, – диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Тогда закон Гаусса для электричества (первое уравнение Максвелла) в дифференциальной форме гласит ^[5] ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

Теперь электрическое поле можно выразить как отрицательный градиент электрического потенциала : ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}$$

^[5] ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E} }$$

Подставляя это соотношение в закон Гаусса, мы получаем уравнение Пуассона для электричества ^[5]

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

В частном случае области без источников уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа для электрического потенциала. ^[5] ${\displaystyle \rho =0}$

Если на границе области задан электростатический потенциал , то он определяется однозначно. Если окружен проводящим материалом с заданной плотностью заряда и известен общий заряд , то он также уникален. ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$

Потенциал, который не удовлетворяет уравнению Лапласа вместе с граничным условием, является недействительным электростатическим потенциалом.

Гравитация

Пусть – гравитационное поле, плотность массы и гравитационная постоянная. Тогда закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме имеет вид ^[7] ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

Гравитационное поле консервативно и поэтому может быть выражено как отрицательный градиент гравитационного потенциала:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {g} &=-\nabla V,\\\nabla \cdot \mathbf {g} &=\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V,\\\implies \nabla ^{2}V&=-\nabla \cdot \mathbf {g} .\end{aligned}}}$$

Используя дифференциальную форму закона гравитации Гаусса, мы имеем

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=4\pi G\rho ,}$$

^[7]

В пустом пространстве, и у нас есть ${\displaystyle \rho =0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=0,}$$

В метрике Шварцшильда

С. Персидес ^[8] решил уравнение Лапласа в пространстве-времени Шварцшильда на гиперповерхностях постоянного t . Используя канонические переменные r , θ , φ , решение имеет вид

$${\displaystyle \Psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{l}(\theta ,\varphi ),}$$

Y _l ( θ , φ )сферическая гармоническая функция

$${\displaystyle R(r)=(-1)^{l}{\frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}{(2l)!}}P_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right)+(-1)^{l+1}{\frac {2(2l+1)!}{(l)!^{2}r_{s}^{l+1}}}Q_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right).}$$

Здесь P _l и Q _l — функции Лежандра первого и второго рода соответственно, а r _s — радиус Шварцшильда . Параметр l — произвольное неотрицательное целое число.

Смотрите также

• 6-сферные координаты — система координат, при которой уравнение Лапласа становится R -разделимым.
• Уравнение Гельмгольца , общий случай уравнения Лапласа.
• Сферическая гармоника
• Квадратурные домены
• Потенциальная теория
• Потенциальный поток
• Преобразование Бейтмана
• Теорема Эрншоу использует уравнение Лапласа, чтобы показать, что стабильная статическая ферромагнитная подвеска невозможна.
• Вектор Лапласа
• Фундаментальное решение

Примечания

1. Символ дельты, Δ, также часто используется для обозначения конечного изменения некоторой величины, например, . Его использование для представления лапласиана не следует путать с этим использованием. ${\displaystyle \Delta x=x_{1}-x_{2}}$
2. Физические приложения часто принимают решение, которое исчезает на бесконечности, что делает A = 0 . Это не влияет на угловую часть сферических гармоник.

Рекомендации

1. Стюарт, Джеймс. Исчисление: ранние трансценденталисты . 7-е изд., Брукс/Коул, Cengage Learning, 2012. Глава 14: Частные производные. п. 908. ISBN  978-0-538-49790-9 .
2. Зилл, Деннис Дж. и Майкл Р. Каллен. Дифференциальные уравнения с краевыми задачами . 8-е издание / изд., Брукс/Коул, Cengage Learning, 2013. Глава 12: Краевые задачи в прямоугольных координатах. п. 462. ISBN 978-1-111-82706-9 . 
3. Гриффитс, Дэвид Дж. Введение в электродинамику . 4-е изд., Pearson, 2013. Внутренняя передняя обложка. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
4. Подход к сферическим гармоникам, использованный здесь, можно найти в (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
5. Гриффитс, Дэвид Дж. Введение в электродинамику . 4-е изд., Пирсон, 2013. Глава 2: Электростатика. п. 83-4. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
6. Гриффитс, Дэвид Дж. Введение в электродинамику . 4-е изд., Пирсон, 2013. Глава 3: Потенциалы. п. 119-121. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
7. Чиконе, К.; Машхун, Б. (20 ноября 2011 г.). «Нелокальная гравитация: модифицированное уравнение Пуассона». Журнал математической физики . 53 (4): 042501. arXiv : 1111.4702 . дои : 10.1063/1.3702449. S2CID  118707082.
8. Персидес, С. (1973). «Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве-времени Шварцшильда». Журнал математического анализа и приложений . 43 (3): 571–578. Бибкод : 1973JMAA...43..571P. дои : 10.1016/0022-247X(73)90277-1 .

Источники

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том I , Wiley-Interscience.
• Зоммерфельд, А. (1949). Уравнения в частных производных в физике . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• Захманоглу, ЕС; То, Дейл В. (1986). Введение в уравнения в частных производных с приложениями . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 9780486652511.

дальнейшее чтение

• Эванс, LC (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0772-9.
• Петровский, ИГ (1967). Уравнения в частных производных . Филадельфия: У. Б. Сондерс.
• Полянин А.Д. (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-299-2.

Внешние ссылки

• «Уравнение Лапласа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнение Лапласа (частные решения и краевые задачи) в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Примеры начально-краевых задач с использованием уравнения Лапласа с сайта exampleproblems.com.
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Лапласа». Математический мир .
• Узнайте, как краевые задачи, определяемые уравнением Лапласа, можно решить численно методом граничных элементов.