В математике карта или картографирование — это функция в общем смысле. [1] Эти термины могли возникнуть из процесса создания географической карты : отображения поверхности Земли на листе бумаги. [2]
Термин «карта» может использоваться для различения некоторых специальных типов функций, таких как гомоморфизмы . Например, линейная карта — это гомоморфизм векторных пространств , в то время как термин «линейная функция» может иметь это значение или может означать линейный многочлен . [3] [4] В теории категорий карта может относиться к морфизму . [2] Термин «преобразование» может использоваться взаимозаменяемо, [2] но «преобразование» часто относится к функции из множества в себя. Есть также несколько менее распространенных применений в логике и теории графов .
Во многих разделах математики термин « карта » используется для обозначения функции , [5] [6] [7] иногда с определенным свойством, имеющим особое значение для этого раздела. Например, «карта» — это « непрерывная функция » в топологии , « линейное преобразование » в линейной алгебре и т. д.
Некоторые авторы, такие как Серж Ланг [ 8], используют термин «функция» только для обозначения отображений, в которых область значений представляет собой набор чисел (т. е. подмножество R или C ), и резервируют термин «отображение» для более общих функций.
Карты определенных видов получили специальные названия. К ним относятся гомоморфизмы в алгебре , изометрии в геометрии , операторы в анализе и представления в теории групп . [2]
В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции , используемую для создания дискретных динамических систем .
Частичная карта — это частичная функция . Связанные термины, такие как домен , кодомен , инъективный и непрерывный , могут применяться в равной степени к картам и функциям с тем же значением. Все эти использования могут применяться к «картам» как к общим функциям или как к функциям со специальными свойствами.
В теории категорий «карта» часто используется как синоним « морфизма » или «стрелки», которая является функцией, уважающей структуру, и, таким образом, может подразумевать большую структуру, чем «функция». [9] Например, морфизм в конкретной категории (т. е. морфизм, который можно рассматривать как функцию) несет с собой информацию о своей области (источник морфизма) и своей кодомене (цель ). В широко используемом определении функции , является подмножеством, состоящим из всех пар для . В этом смысле функция не охватывает множество , которое используется в качестве кодомена; функцией определяется только диапазон .
