Квадратное пирамидальное число

Количество сложенных шаров в пирамиде

Геометрическое представление квадратно-пирамидального числа 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

В математике пирамидальное число или квадратное пирамидальное число — это натуральное число , которое подсчитывает количество сложенных сфер в пирамиде с квадратным основанием. Изучение этих чисел восходит к Архимеду и Фибоначчи . Они являются частью более широкой темы фигурных чисел , представляющих собой количество точек, образующих регулярные узоры внутри различных фигур.

Помимо подсчета сфер в пирамиде, эти числа можно описать алгебраически как сумму первых положительных квадратных чисел или как значения кубического многочлена . Их можно использовать для решения нескольких других задач подсчета, включая подсчет квадратов в квадратной сетке и подсчет острых треугольников, образованных вершинами нечетного правильного многоугольника . Они равны суммам последовательных тетраэдрических чисел и составляют одну четвертую большего тетраэдрического числа. Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом . ${\displaystyle n}$

История

Пирамидальные числа были одним из немногих типов трехмерных фигурных чисел, изученных в греческой математике в работах Никомаха , Теона Смирнского и Ямвлиха . ^[1] Формулы для суммирования последовательных квадратов для получения кубического многочлена, значениями которого являются квадратные пирамидальные числа, были даны Архимедом , который использовал эту сумму как лемму в рамках изучения объема конуса , [ ^2] и Фибоначчи , как часть более общего решения проблемы нахождения формул для сумм прогрессий квадратов. ^[3] Квадратные пирамидальные числа были также одним из семейств фигурных чисел, изученных японскими математиками периода васан, которые назвали их «kirei saijō suida» (с современными кандзи , 奇零 再乗 蓑深). ^[4]

Та же самая задача, сформулированная как задача подсчета пушечных ядер в квадратной пирамиде, была предложена Уолтером Рэли математику Томасу Харриоту в конце 1500-х годов, когда они оба были в морском путешествии. Говорят, что задача о пушечном ядре , спрашивающая, существуют ли какие-либо квадратные пирамидальные числа, которые также являются квадратными числами, отличными от 1 и 4900, возникла из этого обмена. Эдуард Люка нашел пирамиду из 4900 шаров с квадратным числом шаров, и, сделав задачу о пушечном ядре более широко известной, предположил, что это единственное нетривиальное решение. ^[5] После неполных доказательств Люка и Клода-Серафина Море-Блана, первое полное доказательство того, что других таких чисел не существует, было дано Г. Н. Уотсоном в 1918 году. ^[6]

Формула

Шесть копий квадратной пирамиды с n ступенями можно поместить в прямоугольный параллелепипед размером n ( n + 1)(2n + 1)

Если сферы упакованы в квадратные пирамиды, число слоев которых равно 1, 2, 3 и т. д., то квадратные пирамидальные числа, задающие число сфер в каждой пирамиде, равны: ^{[7] [8]}

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ... .

Эти числа можно вычислить алгебраически следующим образом. Если пирамиду из сфер разложить на ее квадратные слои с квадратным числом сфер в каждом, то общее число сфер можно посчитать как сумму числа сфер в каждом квадрате, и это суммирование можно решить, чтобы получить кубический многочлен , который можно записать несколькими эквивалентными способами: Это уравнение для суммы квадратов является частным случаем формулы Фаульхабера для сумм степеней и может быть доказано методом математической индукции . ^[9] ${\displaystyle P_{n}}$ $${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$ $${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

В более общем смысле, фигурные числа подсчитывают количество геометрических точек, расположенных в правильных узорах внутри определенных фигур. Центры сфер в пирамиде из сфер образуют один из таких узоров, но для многих других типов фигурных чисел не имеет смысла думать о точках как о центрах сфер. ^[8] В современной математике связанные проблемы подсчета точек в целочисленных многогранниках формализуются полиномами Эрхарта . Они отличаются от фигурных чисел тем, что для полиномов Эрхарта точки всегда располагаются в целочисленной решетке , а не имеют расположения, которое более тщательно подогнано к рассматриваемой форме, и форма, в которую они вписываются, представляет собой многогранник с точками решетки в качестве его вершин. В частности, полином Эрхарта L ( P , t ) целочисленного многогранника P является полиномом , который подсчитывает целочисленные точки в копии P , которая расширяется путем умножения всех ее координат на число t . Обычная симметричная форма квадратной пирамиды с единичным квадратом в качестве основания не является целочисленным многогранником, поскольку самая верхняя точка пирамиды, ее вершина, не является целочисленной точкой. Вместо этого многочлен Эрхарта может быть применен к асимметричной квадратной пирамиде P с единичным квадратным основанием и вершиной, которая может быть любой целочисленной точкой на одну единицу выше плоскости основания. Для этого выбора P многочлен Эрхарта пирамиды равен ⁠( т + 1)( т + 2)(2т + 3)/6⁠ = P _{t + 1} . ^[10]

Геометрическое перечисление

Все 14 квадратов в сетке 3×3 (4×4 вершины)

Помимо подсчета сфер в пирамиде, эти числа можно использовать для решения нескольких других задач подсчета. Например, распространенная математическая головоломка включает подсчет квадратов в большой квадратной сетке n на n . ^[11] Это количество можно получить следующим образом:

• Количество квадратов 1 × 1 в сетке равно n ² .
• Количество квадратов 2 × 2 в сетке равно ( n − 1) ^2. Их можно подсчитать, подсчитав все возможные верхние левые углы квадратов 2 × 2 .
• Число квадратов k × k (1 ≤ k ≤ n ) в сетке равно ( n − k + 1) ^2. Их можно подсчитать, подсчитав все возможные верхние левые углы квадратов k × k .

Из этого следует, что количество квадратов в квадратной сетке n × n равно: ^[12] То есть, решение головоломки дается n -ным квадратным пирамидальным числом. ^[7] Количество прямоугольников в квадратной сетке дается квадратами треугольных чисел . ^[13] $${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$$

Квадратное пирамидальное число также подсчитывает острые треугольники , образованные вершинами -стороннего правильного многоугольника . Например, равносторонний треугольник содержит только один острый треугольник (сам), правильный пятиугольник имеет пять острых золотых треугольников внутри себя, правильный семиугольник имеет 14 острых треугольников двух форм и т. д. ^[7] Более абстрактно, когда перестановки строк или столбцов матрицы считаются эквивалентными, количество матриц с неотрицательными целыми коэффициентами, сумма которых составляет , для нечетных значений , является квадратным пирамидальным числом. ^[14] ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle (2n+1)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Отношения к другим фигурным числам

Квадратная пирамида из пушечных ядер в замке Рай в Англии

4900 шаров, расположенных в виде квадратной пирамиды со стороной 24 и квадрата со стороной 70

Задача о пушечном ядре требует размеров пирамид из пушечных ядер, которые также могут быть разложены так, чтобы образовать квадратный массив, или, что эквивалентно, какие числа являются как квадратными, так и квадратно-пирамидальными. Помимо 1, есть только одно другое число, которое обладает этим свойством: 4900, которое является как 70-м квадратным числом, так и 24-м квадратно-пирамидальным числом. ^[6]

Квадратные пирамидальные числа можно выразить как суммы биномиальных коэффициентов : ^{[15] [16]} $${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}={\binom {n+1}{2}}+2{\binom {n+1}{3}}.}$$

Биномиальные коэффициенты, встречающиеся в этом представлении, являются тетраэдрическими числами , и эта формула выражает квадратное пирамидальное число как сумму двух тетраэдрических чисел таким же образом, как квадратные числа являются суммами двух последовательных треугольных чисел . ^{[8] [15]} Если тетраэдр отражается относительно одной из его граней, две копии образуют треугольную бипирамиду . Квадратные пирамидальные числа также являются фигурными числами треугольных бипирамид, и эту формулу можно интерпретировать как равенство между квадратными пирамидальными числами и треугольными бипирамидальными числами. ^[7] Аналогично, отражение квадратной пирамиды относительно ее основания дает октаэдр, из чего следует, что каждое октаэдрическое число является суммой двух последовательных квадратных пирамидальных чисел. ^[17]

Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными числами другим образом: точки из четырех копий одной и той же квадратной пирамиды можно переставить, чтобы сформировать один тетраэдр с вдвое большим количеством точек вдоль каждого ребра. То есть, ^[18] $${\displaystyle 4P_{n}=Te_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Чтобы увидеть это, расположите каждую квадратную пирамиду так, чтобы каждый слой находился непосредственно над предыдущим слоем, например, высоты будут равны

4321332122211111

Затем четыре из них можно соединить столбом высотой 4 , чтобы получилась ровная квадратная пирамида со слоями . ${\displaystyle 4,16,36,\dots }$

Каждый слой представляет собой сумму последовательных треугольных чисел, т.е. , которые в сумме дают тетраэдрическое число. ${\displaystyle (1+3),(6+10),(15+21),\dots }$

Другие свойства

Чередующийся ряд дробей единиц с квадратными пирамидальными числами в качестве знаменателей тесно связан с формулой Лейбница для π , хотя он сходится быстрее. Он: ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&=1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac {1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\approx 0.849556.\\\end{aligned}}}$$

В теории приближений последовательности нечетных чисел, суммы нечетных чисел (квадратные числа), суммы квадратных чисел (квадратные пирамидальные числа) и т. д. образуют коэффициенты в методе преобразования чебышевских приближений в многочлены . ^[20]

Ссылки

1. Федерико, Паскуале Джозеф (1982), «Пирамидальные числа», Декарт о многогранниках: исследование «De solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, т. 4, Springer, стр. 89–91, doi :10.1007/978-1-4612-5759-2, ISBN 978-1-4612-5761-5
2. Архимед , О коноидах и сфероидах , Лемма к предложению 2, и О спиралях , Предложение 10. См. «Лемма к предложению 2», Труды Архимеда , перевод Т. Л. Хита , Издательство Кембриджского университета, 1897, стр. 107–109 .
3. Фибоначчи (1202), Liber Abaci , гл. II.12. См. Liber Abaci Фибоначчи , перевод Лоренса Э. Сиглера, Springer-Verlag, 2002, стр. 260–261, ISBN 0-387-95419-8
4. Янагихара, Китизи (ноябрь 1918 г.), «О дадзюту или арифметическом ряде высших порядков, изучаемом васанистами», Tohoku Mathematical Journal , 14 (3–4): 305–324
5. Паркер, Мэтт (2015), «Форма корабля», Что делать и делать в четвертом измерении: путешествие математика сквозь нарциссические числа, оптимальные алгоритмы знакомств, по крайней мере два вида бесконечности и многое другое , Нью-Йорк: Farrar, Straus and Giroux, стр. 56–59, ISBN 978-0-374-53563-6, г-н  3753642
6. Anglin, WS (1990), «Загадка квадратной пирамиды», The American Mathematical Monthly , 97 (2): 120–124, doi :10.1080/00029890.1990.11995558, JSTOR  2323911
7. Sloane, N. J. A. (ред.), "Последовательность A000330 (квадратные пирамидальные числа)", Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
8. Бейлер, AH (1964), Recreations in the Theory of Numbers , Dover, стр. 194–195, ISBN 0-486-21096-0
9. Хопкрофт, Джон Э .; Мотвани, Раджив ; Ульман, Джеффри Д. (2007), Введение в теорию автоматов, языки и вычисления (3-е изд.), Pearson/Addison Wesley, стр. 20, ISBN 9780321455369
10. Бек, М.; Де Лоера, JA ; Девелин, М .; Пфейфл, Дж.; Стэнли, RP (2005), «Коэффициенты и корни многочленов Эрхарта», Целочисленные точки в многогранниках — геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация , Contemporary Mathematics, т. 374, Провиденс, Род-Айленд, стр. 15–36, arXiv : math/0402148 , MR  2134759{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
11. Даффин, Джанет; Пэтчетт, Мэри; Адамсон, Энн; Симмонс, Нил (ноябрь 1984 г.), «Старые квадраты — новые грани», Математика в школе , 13 (5): 2–4, JSTOR  30216270
12. Робитайл, Дэвид Ф. (май 1974), «Математика и шахматы», The Arithmetic Teacher , 21 (5): 396–400, doi :10.5951/AT.21.5.0396, JSTOR  41190919
13. Стайн, Роберт Г. (1971), «Комбинаторное доказательство того, что », Mathematics Magazine , 44 (3): 161–162, doi :10.2307/2688231, JSTOR  2688231 ${\displaystyle \textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}}$
14. Бабкок, Бен; Ван Туил, Адам (2013), «Возвращаясь к распространяющимся и покрывающим числам», The Australasian Journal of Combinatorics , 56 : 77–84, arXiv : 1109.5847 , MR  3097709
15. Conway, John H. ; Guy, Richard (1998), «Числа квадратной пирамиды», The Book of Numbers , Springer, стр. 47–49, ISBN 978-0-387-97993-9
16. Грассл, Ричард (июль 1995 г.), «79.33 Квадраты подходят!», The Mathematical Gazette , 79 (485): 361–364, doi :10.2307/3618315, JSTOR  3618315, S2CID  187946568
17. Чаглаян, Гюнхан; Буддо, Хорас (сентябрь 2014 г.), «Тетраэдрические числа», Учитель математики , 108 (2): 92–97, doi :10.5951/mathteacher.108.2.0092, JSTOR  10.5951/mathteacher.108.2.0092
18. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2015), «Вызов 2.13», Математическая космическая одиссея: стереометрия в 21 веке , The Dolciani Mathematical Expositions, т. 50, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 43, 234, ISBN 978-0-88385-358-0, г-н  3379535
19. Фернхоу, Алан (ноябрь 2006 г.), «90.67 Серия для 'бита'", Заметки, Математическая газета , 90 (519): 460–461, doi : 10.1017/S0025557200180337 , JSTOR  40378200, S2CID  113711266
20. Меньшиков, ГГ; Заездный, А.М. (1966), "Рекуррентные формулы, упрощающие построение аппроксимирующих степенных полиномов", Журнал вычислительной математики и математической физики , 6 : 360–363, MR  0196353; переведено на английский язык как Заездный, AM; Меньшиков, ГГ (январь 1966), "Рекуррентные формулы, упрощающие построение аппроксимирующих степенных полиномов", Журнал вычислительной математики и математической физики СССР , 6 (2): 234–238, doi :10.1016/0041-5553(66)90072-3

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратное пирамидальное число», MathWorld