Квадрик

Геометрическое место нулей многочлена второй степени

В математике квадратичная поверхность или квадратичная гиперповерхность ( квадратичная гиперповерхность в высших размерностях ) является обобщением конических сечений ( эллипсов , парабол и гипербол ). Это гиперповерхность (размерности D ) в ( D + 1) -мерном пространстве, и она определяется как нулевое множество неприводимого многочлена второй степени от D + 1 переменных; например, D = 1 в случае конических сечений. Когда определяющий многочлен не является абсолютно неприводимым , нулевое множество обычно не считается квадрикой, хотя его часто называют вырожденной квадрикой или приводимой квадрикой .

В координатах x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} общая квадрика определяется, таким образом, алгебраическим уравнением ^[1]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{D+1}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{D+1}P_{i}x_{i}+R=0}$

что можно компактно записать в векторной и матричной нотации как:

${\displaystyle xQx^{\mathrm {T} }+Px^{\mathrm {T} }+R=0\,}$

где x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{D +1} ) — вектор- строка , x ^T — транспонированный x ( вектор-столбец), Q — матрица размером ( D + 1) × ( D + 1) , P — вектор-строка размером ( D + 1) , а R — скалярная константа. Значения Q , P и R часто берутся над действительными числами или комплексными числами , но квадрика может быть определена над любым полем .

Квадрика — это аффинное алгебраическое многообразие или, если оно приводимо, аффинное алгебраическое множество . Квадрики также могут быть определены в проективных пространствах ; см. § Нормальная форма проективных квадрик ниже.

Евклидова плоскость

Поскольку размерность евклидовой плоскости равна двум, квадрики в евклидовой плоскости имеют размерность один и, таким образом, являются плоскими кривыми . Они называются коническими сечениями , или кониками .

Окружность ( e  = 0), эллипс ( e  = 0,5), парабола ( e  = 1) и гипербола ( e  = 2) с фиксированным фокусом F и директрисой.

Евклидово пространство

В трехмерном евклидовом пространстве квадрики имеют размерность два и известны как квадратичные поверхности . Их квадратные уравнения имеют вид

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0,}$

где — действительные числа, и хотя бы одно из чисел A , B и C не равно нулю. ${\displaystyle A,B,\ldots ,J}$

Квадратичные поверхности классифицируются и именуются по их форме, которая соответствует орбитам при аффинных преобразованиях . То есть, если аффинное преобразование отображает квадрику на другую, они принадлежат к одному классу и имеют одно и то же имя и много свойств.

Теорема о главной оси показывает, что для любой (возможно, приводимой) квадрики подходящая замена декартовых координат или, что эквивалентно, евклидово преобразование позволяет привести уравнение квадрики к единственной простой форме, на которой класс квадрики виден немедленно. Эта форма называется нормальной формой уравнения, поскольку две квадрики имеют одну и ту же нормальную форму тогда и только тогда, когда существует евклидово преобразование, которое отображает одну квадрику в другую. Нормальные формы следующие:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{1}{z^{2} \over c^{2}}+\varepsilon _{2}=0,}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+\varepsilon _{3}=0}$

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{4}=0,}$

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}+\varepsilon _{5}{y^{2} \over b^{2}},}$

где это 1, –1 или 0, за исключением того, что принимает только значение 0 или 1. ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}}$

Каждая из этих 17 нормальных форм ^[2] соответствует одной орбите при аффинных преобразованиях. В трех случаях нет действительных точек: ( мнимый эллипсоид ), ( мнимый эллиптический цилиндр ) и (пара комплексно сопряженных параллельных плоскостей, приводимая квадрика). В одном случае, мнимом конусе , есть одна точка ( ). Если у одного есть прямая (фактически две комплексно сопряженные пересекающиеся плоскости). Для одного есть две пересекающиеся плоскости (приводимая квадрика). Для одного есть двойная плоскость. Для одного есть две параллельные плоскости (приводимая квадрика). ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=0,\varepsilon _{2}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=1,\varepsilon _{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{3}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{4}=-1,}$

Таким образом, среди 17 нормальных форм есть девять истинных квадрик: конус, три цилиндра (часто называемые вырожденными квадриками) и пять невырожденных квадрик ( эллипсоид , параболоид и гиперболоид ), которые подробно описаны в следующих таблицах. Восемь оставшихся квадрик — это мнимый эллипсоид (без вещественной точки), мнимый цилиндр (без вещественной точки), мнимый конус (единственная вещественная точка) и приводимые квадрики, которые разлагаются на две плоскости; таких разложенных квадрик пять, в зависимости от того, являются ли плоскости различными или нет, параллельными или нет, действительными или комплексно сопряженными.

Когда два или более параметров канонического уравнения равны, получается квадрика вращения , которая остается инвариантной при вращении вокруг оси (или бесконечного числа осей, в случае сферы).

Определение и основные свойства

Аффинная квадрика — это множество нулей многочлена второй степени. Если не указано иное, предполагается, что многочлен имеет действительные коэффициенты, а нули — это точки в евклидовом пространстве . Однако большинство свойств остаются верными, когда коэффициенты принадлежат любому полю , а точки принадлежат аффинному пространству . Как обычно в алгебраической геометрии , часто бывает полезно рассматривать точки над алгебраически замкнутым полем, содержащим коэффициенты многочлена, как правило, комплексные числа , когда коэффициенты действительны.

Многие свойства становится проще сформулировать (и доказать), расширяя квадрику до проективного пространства с помощью проективного завершения , состоящего из добавления точек на бесконечности . Технически, если

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

— многочлен второй степени, определяющий аффинную квадрику, тогда ее проективное пополнение определяется путем гомогенизации p в

${\displaystyle P(X_{0},\ldots ,X_{n})=X_{0}^{2}\,p\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)}$

(это многочлен, поскольку степень p равна двум). Точки проективного пополнения — это точки проективного пространства, проективные координаты которых равны нулям P.

Итак, проективная квадрика — это множество нулей в проективном пространстве однородного многочлена второй степени.

Поскольку описанный выше процесс гомогенизации можно обратить вспять, установив X ₀ = 1 :

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})\,,}$

часто бывает полезно не отличать аффинную квадрику от ее проективного завершения и говорить об аффинном уравнении или проективном уравнении квадрики. Однако это не идеальная эквивалентность; обычно это тот случай, когда будут включены точки с , которые также не являются решениями , поскольку эти точки в проективном пространстве соответствуют точкам «на бесконечности» в аффинном пространстве. ${\displaystyle P(\mathbf {X} )=0}$ ${\displaystyle X_{0}=0}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$

Уравнение

Квадрика в аффинном пространстве размерности n — это множество нулей многочлена степени 2. То есть это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

где многочлен p имеет вид

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i,0}+a_{0,i})x_{i}+a_{0,0}\,,}$

для матрицы с и пробега от 0 до . Когда характеристика поля коэффициентов не равна двум, как правило, предполагается; эквивалентно . Когда характеристика поля коэффициентов равна двум, как правило, предполагается, когда ; эквивалентно является верхним треугольным . ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}$ ${\displaystyle A=A^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle a_{i,j}=0}$ ${\displaystyle j<i}$ ${\displaystyle A}$

Уравнение можно сократить, так как матричное уравнение

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} =0\,,}$

с

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1&x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}\,.}$

Уравнение проективного завершения почти идентично:

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {X} =0,}$

с

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}.}$

Эти уравнения определяют квадрику как алгебраическую гиперповерхность размерности n – 1 и степени два в пространстве размерности n .

Квадрика называется невырожденной, если ее матрица обратима . ${\displaystyle A}$

Невырожденная квадрика неособа в том смысле, что ее проективное пополнение не имеет особой точки (цилиндр неособ в аффинном пространстве, но является вырожденной квадрикой, имеющей особую точку на бесконечности).

Особыми точками вырожденной квадрики являются точки, проективные координаты которых принадлежат нулевому пространству матрицы A.

Квадрика приводима тогда и только тогда, когда ранг A равен единице (случай двойной гиперплоскости) или двум (случай двух гиперплоскостей).

Нормальная форма проективных квадрик

В реальном проективном пространстве по закону инерции Сильвестра невырожденная квадратичная форма P ( X ) может быть приведена к нормальной форме

${\displaystyle P(X)=\pm X_{0}^{2}\pm X_{1}^{2}\pm \cdots \pm X_{D+1}^{2}}$

с помощью подходящего проективного преобразования (нормальные формы для сингулярных квадрик могут иметь как нули, так и ±1 в качестве коэффициентов). Для двумерных поверхностей (размерность D  = 2) в трехмерном пространстве существует ровно три невырожденных случая:

${\displaystyle P(X)={\begin{cases}X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\\X_{0}^{2}+X_{1}^{2}-X_{2}^{2}-X_{3}^{2}\end{cases}}}$

Первый случай — пустое множество.

Второй случай порождает эллипсоид, эллиптический параболоид или гиперболоид из двух листов, в зависимости от того, пересекает ли выбранная плоскость на бесконечности квадрику в пустом множестве, в точке или в невырожденной конике соответственно. Все они имеют положительную гауссову кривизну .

Третий случай порождает гиперболический параболоид или гиперболоид одной полосы, в зависимости от того, пересекает ли его плоскость на бесконечности по двум линиям или по невырожденной конике соответственно. Это дважды линейчатые поверхности отрицательной гауссовой кривизны.

Вырожденная форма

${\displaystyle X_{0}^{2}-X_{1}^{2}-X_{2}^{2}=0.\,}$

генерирует эллиптический цилиндр, параболический цилиндр, гиперболический цилиндр или конус в зависимости от того, пересекает ли его плоскость на бесконечности точку, линию, две линии или невырожденную конику соответственно. Это однолинейчатые поверхности нулевой гауссовой кривизны.

Мы видим, что проективные преобразования не смешивают гауссовы кривизны разного знака. Это справедливо для общих поверхностей. ^[3]

В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики становятся неотличимыми друг от друга.

Рациональная параметризация

Если задана неособая точка A квадрики, то прямая, проходящая через A , либо касается квадрики, либо пересекает квадрику ровно в одной другой точке (как обычно, прямая, содержащаяся в квадрике, рассматривается как касательная, поскольку она содержится в касательной гиперплоскости ). Это означает, что прямые, проходящие через A и не касающиеся квадрики, находятся во взаимно однозначном соответствии с точками квадрики, которые не принадлежат касательной гиперплоскости в точке A . Выражение точек квадрики через направление соответствующей прямой дает параметрические уравнения следующих видов.

В случае конических сечений (квадратичных кривых) эта параметризация устанавливает биекцию между проективным коническим сечением и проективной прямой ; эта биекция является изоморфизмом алгебраических кривых . В более высоких размерностях параметризация определяет бирациональное отображение , которое является биекцией между плотными открытыми подмножествами квадрики и проективным пространством той же размерности (рассматриваемая топология является обычной в случае действительной или комплексной квадрики или топологией Зарисского во всех случаях). Точки квадрики, которые не находятся в образе этой биекции, являются точками пересечения квадрики и ее касательной гиперплоскости в точке A.

В аффинном случае параметризация представляет собой рациональную параметризацию вида

${\displaystyle x_{i}={\frac {f_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{f_{0}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n,}$

где — координаты точки квадрики, — параметры, а — многочлены степени не выше второй. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n}}$

В проективном случае параметризация имеет вид

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

где — проективные координаты точки квадрики, — параметры, а — однородные многочлены второй степени. ${\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}}$ ${\displaystyle F_{0},\ldots ,F_{n}}$

Переход от одной параметризации к другой осуществляется путем подстановки и ${\displaystyle x_{i}=X_{i}/X_{0},}$ ${\displaystyle t_{i}=T_{i}/T_{n}\,:}$

${\displaystyle F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})=T_{n}^{2}\,f_{i}\!{\left({\frac {T_{1}}{T_{n}}},\ldots ,{\frac {T_{n-1}}{T_{n}}}\right)}.}$

Для вычисления параметризации и доказательства того, что степени таковы, как утверждается, можно поступить следующим образом в аффинном случае. Аналогично можно поступить и в проективном случае.

Пусть q — квадратный многочлен, определяющий квадрику, а — вектор координат данной точки квадрики (то есть, пусть — вектор координат точки квадрики, которая должна быть параметризована, а — вектор, определяющий направление, используемое для параметризации (направления, последняя координата которых равна нулю, здесь не учитываются; это означает, что некоторые точки аффинной квадрики не параметризованы; часто говорят, что они параметризованы точками, находящимися на бесконечности в пространстве параметров). Точками пересечения квадрики и проходящей через нее линии направления являются такие точки , что ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots a_{n})}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0).}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},\ldots ,t_{n-1},1)}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

для некоторого значения скаляра Это уравнение второй степени в , за исключением значений таких, что прямая касается квадрики (в этом случае степень равна единице, если прямая не включена в квадрику, или уравнение становится в противном случае). Коэффициенты и имеют соответственно степень не выше одной и две в Поскольку постоянный коэффициент равен , уравнение становится линейным при делении на , а его единственным решением является частное от деления многочлена степени не выше одной на многочлен степени не выше двух. Подстановка этого решения в выражение для одного дает искомую параметризацию в виде дробей многочленов степени не выше двух. ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle 0=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {t} .}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} )=0,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$

Пример: круг и сферы

Рассмотрим квадратное уравнение

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}-1=0.}$

Ибо это единичная окружность ; ибо это единичная сфера ; в более высоких измерениях это единичная гиперсфера . ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle n=3}$

Точка принадлежит квадрике (выбор этой точки среди других подобных точек — лишь вопрос удобства). Итак, уравнение предыдущего раздела принимает вид ${\displaystyle \mathbf {a} =(0,\ldots ,0,-1)}$ ${\displaystyle q(\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} )=0}$

${\displaystyle (\lambda t_{1}^{2})+\cdots +(\lambda t_{n-1})^{2}+(1-\lambda )^{2}-1=0.}$

Раскрывая квадраты, упрощая постоянные члены, разделив на и решив, получаем ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle \lambda ,}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {2}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.}$

Подставляя это и упрощая выражение последней координаты, получаем параметрическое уравнение ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {t} }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}={\frac {2t_{1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\\vdots \\x_{n-1}={\frac {2t_{n-1}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}\\x_{n}={\frac {1-t_{1}^{2}-\cdots -t_{n-1}^{2}}{1+t_{1}^{2}+\cdots +t_{n-1}^{2}}}.\end{cases}}}$

Путем гомогенизации получаем проективную параметризацию

${\displaystyle {\begin{cases}X_{0}=T_{1}^{2}+\cdots +T_{n}^{2}\\X_{1}=2T_{1}T_{n}\\\vdots \\X_{n-1}=2T_{n-1}T_{n}\\X_{n}=T_{n}^{2}-T_{1}^{2}-\cdots -T_{n-1}^{2}.\end{cases}}}$

Прямая проверка показывает, что это индуцирует биекцию между точками квадрики такими, что и точками такими, что в проективном пространстве параметров. С другой стороны, все значения такие, что и дают точку ${\displaystyle X_{n}\neq -X_{0}}$ ${\displaystyle T_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle (T_{1},\ldots ,T_{n})}$ ${\displaystyle T_{n}=0}$ ${\displaystyle T_{1}^{2}+\cdots +T_{n-1}^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle A.}$

В случае конических сечений ( ) существует ровно одна точка с и существует биекция между окружностью и проективной прямой. ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle T_{n}=0.}$

Для существует много точек с и, следовательно, много значений параметров для точки С другой стороны, другие точки квадрики, для которых (и, следовательно, ) не могут быть получены ни при каком значении параметров. Эти точки являются точками пересечения квадрики и ее касательной плоскости в В этом конкретном случае эти точки имеют недействительные комплексные координаты, но достаточно изменить один знак в уравнении квадрики, чтобы получить действительные точки, которые не получаются при результирующей параметризации. ${\displaystyle n>2,}$ ${\displaystyle T_{n}=0,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X_{n}=-X_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}=-1}$ ${\displaystyle A.}$

Рациональные точки

Квадрика определена над полем , если коэффициенты ее уравнения принадлежат Когда — поле рациональных чисел , можно предположить, что коэффициенты являются целыми числами , очистив знаменатели . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Точка квадрики, определённой над полем, называется рациональной над , если её координаты принадлежат Рациональная точка над полем действительных чисел называется действительной точкой. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Рациональная точка над называется просто рациональной точкой . Очищая знаменатели, можно предположить и предполагается в общем случае, что проективные координаты рациональной точки (в квадрике, определенной над ) являются целыми числами. Также, очищая знаменатели коэффициентов, можно предположить в общем случае, что все коэффициенты уравнения квадрики и многочлены, встречающиеся в параметризации, являются целыми числами. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Нахождение рациональных точек проективной квадратичной функции равносильно решению диофантова уравнения .

Для заданной рациональной точки A над квадрикой над полем F параметризация, описанная в предыдущем разделе, обеспечивает рациональные точки, когда параметры находятся в F , и, наоборот, каждая рациональная точка квадрики может быть получена из параметров в F , если точка не находится в касательной гиперплоскости в точке A.

Из этого следует, что если квадрика имеет рациональную точку, то у нее есть много других рациональных точек (бесконечно много, если F бесконечна), и эти точки можно алгоритмически сгенерировать, как только станет известна одна из них.

Как сказано выше, в случае проективных квадрик, определенных над параметризацией, она принимает вид ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle X_{i}=F_{i}(T_{1},\ldots ,T_{n})\quad {\text{for }}i=0,\ldots ,n,}$

где — однородные многочлены второй степени с целыми коэффициентами. Из-за однородности можно рассматривать только параметры, которые являются взаимно простыми целыми числами. Если — уравнение квадрики, решение этого уравнения называется примитивным , если его компоненты являются взаимно простыми целыми числами. Примитивные решения находятся во взаимно однозначном соответствии с рациональными точками квадрики ( с точностью до смены знака всех компонентов решения). Непримитивные целые решения получаются путем умножения примитивных решений на произвольные целые числа; поэтому они не заслуживают специального изучения. Однако многократно взаимно простые параметры могут давать непримитивные решения, и, возможно, придется делить на наибольший общий делитель, чтобы получить соответствующее примитивное решение. ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle Q(X_{0},\ldots ,X_{n})=0}$

Пифагоровы тройки

Это хорошо иллюстрируется пифагоровыми тройками . Пифагорова тройка — это тройка положительных целых чисел, такая что Пифагорова тройка является примитивной , если являются взаимно простыми, или, что эквивалентно, если любая из трех пар и является взаимно простым. ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle (b,c)}$ ${\displaystyle (a,c)}$

Выбор вышеуказанного метода обеспечивает параметризацию ${\displaystyle A=(-1,0,1),}$

${\displaystyle {\begin{cases}a=m^{2}-n^{2}\\b=2mn\\c=m^{2}+n^{2}\end{cases}}}$

для квадратного уравнения (имена переменных и параметров меняются с приведенных выше на общепринятые при рассмотрении пифагоровых троек). ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

Если m и n — взаимно простые целые числа, то полученная тройка — пифагорова тройка. Если одно из m и n четное, а другое нечетное, то эта полученная тройка является примитивной; в противном случае m и n оба нечетные, и примитивная тройка получается путем деления на 2. ${\displaystyle m>n>0,}$

Подводя итог, примитивные пифагоровы тройки с четными числами получаются как ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2},}$

с m и n взаимно простыми целыми числами, такими, что одно из них четное и (это формула Евклида ). Примитивные пифагоровы тройки с нечетным получаются как ${\displaystyle m>n>0}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad b=mn,\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}},}$

где m и n — взаимно простые нечетные целые числа, такие, что ${\displaystyle m>n>0.}$

Поскольку замена a и b преобразует пифагорову тройку в другую пифагорову тройку, только один из двух случаев достаточен для получения всех примитивных пифагорових троек.

Проективные квадрики над полями

Определение проективной квадрики в вещественном проективном пространстве (см. выше) может быть формально адаптировано путем определения проективной квадрики в n -мерном проективном пространстве над полем . Чтобы избежать работы с координатами, проективная квадрика обычно определяется, начиная с квадратичной формы на векторном пространстве. ^[4]

Квадратичная форма

Пусть будет полем и векторным пространством над . Отображение из в такое, что ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

(Q1) для любых и . ${\displaystyle \;q(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{2}q({\vec {x}})\;}$ ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in V}$

(Q2) — билинейная форма . ${\displaystyle \;f({\vec {x}},{\vec {y}}):=q({\vec {x}}+{\vec {y}})-q({\vec {x}})-q({\vec {y}})\;}$

называется квадратичной формой . Билинейная форма симметрична . ${\displaystyle f}$

В случае билинейной формы имеет место , т.е. и взаимно определяются единственным образом. В случае (что означает: ) билинейная форма обладает свойством , т.е. является симплектической . ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=2q({\vec {x}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle 1+1=0}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {x}})=0}$ ${\displaystyle f}$

Для и ( является основой ) имеет знакомую форму ${\displaystyle V=K^{n}\ }$ ${\displaystyle \ {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}\quad }$ ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\ldots ,{\vec {e}}_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \ q}$

${\displaystyle q({\vec {x}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}x_{i}x_{k}\ {\text{ with }}\ a_{ik}:=f({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{k})\ {\text{ for }}\ i\neq k\ {\text{ and }}\ a_{ii}:=q({\vec {e}}_{i})\ }$и

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=\sum _{1=i\leq k}^{n}a_{ik}(x_{i}y_{k}+x_{k}y_{i})}$.

Например:

${\displaystyle n=3,\quad q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2},\quad f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$

н-мерное проективное пространство над полем

Пусть будет поле, , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle V_{n+1}}$( n + 1) - мерное векторное пространство над полем ${\displaystyle K,}$

${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle }$одномерное подпространство, созданное ${\displaystyle {\vec {0}}\neq {\vec {x}}\in V_{n+1}}$ ,

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \mid {\vec {x}}\in V_{n+1}\},\ }$множество точек ,

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{{\text{2-dimensional subspaces of }}V_{n+1}\},\ }$набор линий .

${\displaystyle P_{n}(K)=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}})\ }$является n -мерным проективным пространством над . ${\displaystyle K}$

Множество точек, содержащихся в -мерном подпространстве, является -мерным подпространством . Двумерное подпространство является плоскостью . ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

В случае -мерного подпространства оно называется гиперплоскостью . ${\displaystyle \;n>3\;}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Проективная квадрика

Квадратичная форма на векторном пространстве определяет квадрику в связанном проективном пространстве как множество точек, таких что . То есть, ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle V_{n+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}},}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle q({\vec {x}})=0}$

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid q({\vec {x}})=0\}.}$

Примеры в .: ${\displaystyle P_{2}(K)}$
(E1): Для получаем конику . (E2): Для получаем пару прямых с уравнениями и , соответственно. Они пересекаются в точке ; ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle x_{1}=0}$ ${\displaystyle x_{2}=0}$ ${\displaystyle \langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle }$

Для приведенных ниже соображений предполагается, что . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}\neq \emptyset }$

Полярное пространство

Для точки множество ${\displaystyle P=\langle {\vec {p}}\rangle \in {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle P^{\perp }:=\{\langle {\vec {x}}\rangle \in {\mathcal {P}}\mid f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\}}$

называется полярным пространством ( относительно ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$

Если для всех , то получаем . ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }={\mathcal {P}}}$

Если хотя бы для одного , уравнение является нетривиальным линейным уравнением, которое определяет гиперплоскость. Следовательно ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle \;f({\vec {p}},{\vec {x}})=0\;}$

${\displaystyle P^{\perp }}$является либо гиперплоскостью , либо . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Пересечение с линией

При пересечении произвольной прямой с квадрикой могут иметь место следующие случаи: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

а) и называется внешней линией ${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=\emptyset \;}$ ${\displaystyle g}$

б) и называется прямой в квадрике ${\displaystyle g\subset {\mathcal {Q}}\;}$ ${\displaystyle g}$

в) и называется касательной линией ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1\;}$ ${\displaystyle g}$

г) и называется секущей линией . ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2\;}$ ${\displaystyle g}$

Доказательство: Пусть будет прямой, которая пересекается в точке и является второй точкой на . Из этого следует I) В случае уравнение выполняется и оно выполняется для любого . Следовательно, либо для любого , либо для любого , что доказывает б) и б'). II) В случае получается и уравнение имеет ровно одно решение . Следовательно: , что доказывает в). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \;U=\langle {\vec {u}}\rangle \;}$ ${\displaystyle \;V=\langle {\vec {v}}\rangle \;}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \;q({\vec {u}})=0\;}$
${\displaystyle q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q(x{\vec {u}})+q({\vec {v}})+f(x{\vec {u}},{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})\;.}$
${\displaystyle g\subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})=0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})\neq 0\;}$ ${\displaystyle x\in K}$
${\displaystyle g\not \subset U^{\perp }}$ ${\displaystyle f({\vec {u}},{\vec {v}})\neq 0}$ ${\displaystyle \;q(x{\vec {u}}+{\vec {v}})=q({\vec {v}})+xf({\vec {u}},{\vec {v}})=0\;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

Кроме того, доказательство показывает:

Прямая, проходящая через точку, является касательной тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle g\subset P^{\perp }}$

ф-радикальный,д-радикальный

В классических случаях или существует только один радикал, поскольку и и тесно связаны. В случае квадрика не определяется (см. выше) и поэтому приходится иметь дело с двумя радикалами: ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f}$

а) — проективное подпространство. называется f -радикалом квадрики . ${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{P\in {\mathcal {P}}\mid P^{\perp }={\mathcal {P}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

б) называется единичным радикалом или -радикалом . ${\displaystyle {\mathcal {S}}:={\mathcal {R}}\cap {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

в) В случае, если у кого-то есть . ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}}$

Квадрика называется невырожденной, если . ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\emptyset }$

Примеры в ${\displaystyle P_{2}(K)}$ (см. выше):
(E1): Для (коники) билинейная форма есть В случае полярных пространств никогда не бывает . Следовательно . В случае билинейной формы сводится к и . Следовательно В этом случае f -радикал есть общая точка всех касательных, так называемый узел . В обоих случаях и квадрика (коника) невырождена . (E2): Для (пары прямых) билинейная форма есть и точка пересечения. В этом примере квадрика вырождена . ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}-2x_{3}y_{3}\;.}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {S}}=\emptyset }$
${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle \notin {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\neq {\mathcal {S}}=\emptyset \;.}$
${\displaystyle S=\emptyset }$
${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}\;}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {y}})=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\langle (0,0,1)^{\text{T}}\rangle ={\mathcal {S}}\;,}$

Симметрии

Квадрика — довольно однородный объект:

Для любой точки существует инволютивная центральная коллинеация с центром и . ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}\;}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma _{P}({\mathcal {Q}})={\mathcal {Q}}}$

Доказательство: Благодаря полярности пространство является гиперплоскостью. ${\displaystyle P\notin {\mathcal {Q}}\cup {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$

Линейное отображение

${\displaystyle \varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{q({\vec {p}})}}{\vec {p}}}$

индуцирует инволюционную центральную коллинеацию с осью и центром , которая оставляет инвариантным. В случае отображение производит знакомую форму с и для любого . ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P^{\perp }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$
${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \;\varphi :{\vec {x}}\rightarrow {\vec {x}}-2{\frac {f({\vec {p}},{\vec {x}})}{f({\vec {p}},{\vec {p}})}}{\vec {p}}\;}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {p}})=-{\vec {p}}}$ ${\displaystyle \;\varphi ({\vec {x}})={\vec {x}}\;}$ ${\displaystyle \langle {\vec {x}}\rangle \in P^{\perp }}$

Замечание:

а) Внешняя прямая, касательная или секущая отображаются инволюцией на внешнюю, касательную и секущую прямую соответственно. ${\displaystyle \sigma _{P}}$

б) точечно фиксируется . ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$

д-подпространства и индекс квадрики

Подпространство называется -подпространством , если ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\;}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \;{\mathcal {U}}\subset {\mathcal {Q}}\;}$

Например: точки на сфере или линии на гиперболоиде (см. ниже).

Любые два максимальных -подпространства имеют одинаковую размерность . ^[5] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$

Пусть - размерность максимального -подпространства, тогда ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Целое число называется индексом . ${\displaystyle \;i:=m+1\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Теорема: (БЮКЕНХАУТ) ^[6]

Для индекса невырожденной квадрики справедливо следующее : ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K)}$

${\displaystyle i\leq {\frac {n+1}{2}}}$.

Пусть — невырожденная квадрика в , а ее индекс. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{n}(K),n\geq 2}$ ${\displaystyle i}$

В случае квадрики она называется сферой (или овалом , если ). ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle n=2}$

В случае квадрики она называется гиперболоидом (однополостным). ${\displaystyle i=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Примеры:

а) Квадрика в форме является невырожденной с индексом 1. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{2}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}\;}$

б) Если многочлен неприводим над , то квадратичная форма порождает невырожденную квадрику в индекса 1 (сфера). Например: неприводим над (но не над  !). ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+a_{0}\xi +b_{0}\;}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}^{2}+a_{0}x_{1}x_{2}+b_{0}x_{2}^{2}-x_{3}x_{4}\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;p(\xi )=\xi ^{2}+1\;}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

в) В квадратичной форме порождает гиперболоид . ${\displaystyle P_{3}(K)}$ ${\displaystyle \;q({\vec {x}})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}\;}$

Обобщение квадрик: квадратичные множества

Неразумно формально распространять определение квадрик на пространства над настоящими телами (кольцами деления). Поскольку это привело бы к получению секущих, несущих более 2 точек квадрики, что полностью отличается от обычных квадрик. ^{[7] [8] [9]} Причина в следующем утверждении.

Теловое кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда любое уравнение имеет не более двух решений. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{2}+ax+b=0,\ a,b\in K}$

Существуют обобщения квадрик: квадратичные множества . ^[10] Квадратичное множество — это множество точек проективного пространства с теми же геометрическими свойствами, что и квадрика: каждая линия пересекает квадратичное множество не более чем в двух точках или содержится в этом множестве.

Смотрите также

• Квадрика Клейна
• Вращение осей
• Суперквадрики
• Перевод осей

Ссылки

1. Квадрики Сильвио Леви в «Геометрических формулах и фактах», отрывок из 30-го издания CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , CRC Press , из Геометрического центра Миннесотского университета
2. Стюарт Венит и Уэйн Бишоп, Элементарная линейная алгебра (четвертое издание) , International Thompson Publishing, 1996.
3. С. Лазебник и Дж. Понсе, «Локальная проективная форма гладких поверхностей и их очертания» (PDF) ., Предложение 1
4. Бойтельспехер/Розенбаум стр.158
5. Бойтельпахер/Розенбаум, стр.139.
6. Ф. Букенхаут: Квадратичные ансамбли Espace Projective , Math. Тейчр. 110 (1969), с. 306-318.
7. Р. Арци : Коника в плоскостях Муфанг ${\displaystyle y=x^{2}}$ , Aequat.Mathem. 6 (1971), с. 31-35
8. Э. Берц: Кегельшнитте в Desarguesschen Ebenen , Math. Цайтшр. 78 (1962), с. 55-8
9. внешняя ссылка Э. Хартманн: Плоская круговая геометрия , стр. 123
10. Бойтельспехер/Розенбаум: стр. 135

Библиография

• М. Аден: Геометрия , Springer, Берлин, 2002, ISBN 978-3-540-43498-6 , с. 200. 
• М. Бергер: Задачники по математике , ISSN 0941-3502, Springer New York, стр. 79–84.
• А. Бойтельспехер, У. Розенбаум: Проективная геометрия , Vieweg + Teubner, Брауншвейг, 1992, ISBN 3-528-07241-5 , стр. 159. 
• П. Дембовски: Конечные геометрии , Springer, 1968, ISBN 978-3-540-61786-0 , стр. 43. 
• Исковских, В.А. (2001) [1994], «Квадрик», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Вайсштейн, Эрик В. "Quadric". MathWorld .

Внешние ссылки

• Интерактивные 3D-модели Java всех квадрических поверхностей
• Конспект лекций Плоская круговая геометрия, введение в плоскости Мёбиуса, Лагерра и Минковского, стр. 117