Физика элементарных частиц и теория представлений

Существует естественная связь между физикой частиц и теорией представлений , как впервые отметил в 1930-х годах Юджин Вигнер . ^[1] Она связывает свойства элементарных частиц со структурой групп Ли и алгебр Ли . Согласно этой связи, различные квантовые состояния элементарной частицы приводят к неприводимому представлению группы Пуанкаре . Более того, свойства различных частиц, включая их спектры , могут быть связаны с представлениями алгебр Ли, соответствующими «приближенным симметриям» Вселенной.

Общая картина

Симметрии квантовой системы

В квантовой механике любое конкретное одночастичное состояние представляется как вектор в гильбертовом пространстве . Чтобы понять, какие типы частиц могут существовать, важно классифицировать возможности для разрешенных симметриями и их свойствами. Пусть будет гильбертовым пространством, описывающим конкретную квантовую систему, и пусть будет группой симметрий квантовой системы. В релятивистской квантовой системе, например, может быть группой Пуанкаре , тогда как для атома водорода может быть группой вращения SO(3) . Состояние частицы более точно характеризуется связанным проективным гильбертовым пространством , также называемым лучевым пространством , поскольку два вектора, которые отличаются ненулевым скалярным множителем, соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, представленному лучом в гильбертовом пространстве, которое является классом эквивалентности в и, при естественном отображении проекции , элементом . ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ $G$ $G$ $G$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$

По определению симметрии квантовой системы существует групповое действие на . Для каждого существует соответствующее преобразование . Более конкретно, если — некоторая симметрия системы (скажем, поворот вокруг оси x на 12°), то соответствующее преобразование — это отображение на лучевом пространстве. Например, при вращении неподвижной (с нулевым импульсом) частицы со спином 5 вокруг ее центра — это вращение в трехмерном пространстве (элемент ) , в то время как — оператор, область определения и область действия которого — это пространство возможных квантовых состояний этой частицы, в этом примере — проективное пространство, связанное с 11-мерным комплексным гильбертовым пространством . $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g\in G$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $g$ $\mathrm {SO(3)}$ $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$

Каждое отображение сохраняет, по определению симметрии, лучевое произведение на , индуцированное скалярным произведением на ; согласно теореме Вигнера , это преобразование происходит из унитарного или антиунитарного преобразования . Обратите внимание, однако, что ассоциированное с данным не является уникальным, а является уникальным только с точностью до фазового множителя . Таким образом, композиция операторов должна отражать закон композиции в , но только с точностью до фазового множителя: $V(g)$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ ${\mathcal {H}}$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ $U(g)$ ${\mathcal {H}}$ $U(g)$ $V(g)$ $U(g)$ $G$

U(gh)=e^{i\theta }U(g)U(h)

где будет зависеть от и . Таким образом, отображение, отправляющее в, является проективным унитарным представлением , или, возможно, смесью унитарного и антиунитарного, если является несвязным. На практике антиунитарные операторы всегда связаны с симметрией обращения времени . $\theta$ $g$ $h$ $g$ $U(g)$ $G$ $G$

Обычные и проективные представления

Физически важно, что в общем случае не обязательно должно быть обычным представлением ; может оказаться невозможным выбрать фазовые множители в определении для устранения фазовых множителей в их законе композиции. Электрон, например, является частицей со спином в половину; его гильбертово пространство состоит из волновых функций на со значениями в двумерном спинорном пространстве. Действие на спинорном пространстве является только проективным: оно не исходит из обычного представления . Однако существует связанное обычное представление универсального покрытия на спинорном пространстве. ^[2] $U(\cdot )$ $G$ $U(g)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathrm {SO(3)}$ $\mathrm {SO(3)}$ $\mathrm {SU(2)}$ $\mathrm {SO(3)}$

Для многих интересных классов групп теорема Баргмана гласит, что каждое проективное унитарное представление группы происходит из обычного представления универсальной оболочки группы . На самом деле, если конечномерна, то независимо от группы каждое проективное унитарное представление группы происходит из обычного унитарного представления группы . ^[3] Если бесконечномерна, то для получения желаемого вывода необходимо сделать некоторые алгебраические предположения (см. ниже). В этом случае результатом является теорема Баргмана . ^[4] К счастью, в решающем случае группы Пуанкаре теорема Баргмана применима. ^[5] (См. классификацию Вигнера представлений универсальной оболочки группы Пуанкаре.) $G$ $G$ ${\tilde {G}}$ $G$ ${\mathcal {H}}$ $G$ $G$ ${\tilde {G}}$ ${\mathcal {H}}$ $G$

Требование, упомянутое выше, состоит в том, что алгебра Ли не допускает нетривиального одномерного центрального расширения. Это имеет место тогда и только тогда, когда вторая группа когомологий тривиальна. В этом случае все еще может быть верно, что группа допускает центральное расширение дискретной группой. Но расширения дискретными группами являются покрытиями . Например, универсальное покрытие связано с через фактор с центральной подгруппой, являющейся центром себя, изоморфным фундаментальной группе покрытой группы. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $G$ $G$ ${\tilde {G}}$ $G$ $G\approx {\tilde {G}}/\Gamma$ $\Gamma$ ${\tilde {G}}$

Таким образом, в благоприятных случаях квантовая система будет нести унитарное представление универсального покрытия группы симметрии . Это желательно, поскольку с ним гораздо проще работать, чем с невекторным пространством . Если представления можно классифицировать, становится доступно гораздо больше информации о возможностях и свойствах . ${\tilde {G}}$ $G$ ${\mathcal {H}}$ $\mathrm {P} {\mathcal {H}}$ ${\tilde {G}}$ ${\mathcal {H}}$

Дело Гейзенберга

Пример, в котором теорема Баргмана неприменима, возникает из квантовой частицы, движущейся в . Группа трансляционных симметрий связанного фазового пространства, , является коммутативной группой . В обычной квантово-механической картине симметрия не реализуется унитарным представлением . В конце концов, в квантовой обстановке трансляции в пространстве положений и трансляции в пространстве импульсов не коммутируют. Эта неспособность коммутировать отражает неспособность операторов положения и импульса — которые являются бесконечно малыми генераторами трансляций в пространстве импульсов и пространстве положений соответственно — коммутировать. Тем не менее, трансляции в пространстве положений и трансляции в пространстве импульсов действительно коммутируют с точностью до фазового множителя. Таким образом, у нас есть четко определенное проективное представление , но оно не происходит из обычного представления , хотя и является односвязным. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$ $\mathbb {R} ^{2n}$

В этом случае для получения обычного представления необходимо перейти к группе Гейзенберга , которая является нетривиальным одномерным центральным расширением . $\mathbb {R} ^{2n}$

Группа Пуанкаре

Группа трансляций и преобразований Лоренца образует группу Пуанкаре , и эта группа должна быть симметрией релятивистской квантовой системы (пренебрегая эффектами общей теории относительности , или, другими словами, в плоском пространстве-времени ). Представления группы Пуанкаре во многих случаях характеризуются неотрицательной массой и полуцелым спином (см. классификацию Вигнера ); это можно рассматривать как причину того, что частицы имеют квантованный спин. (Заметим, что на самом деле существуют и другие возможные представления, такие как тахионы , инфрачастицы и т. д., которые в некоторых случаях не имеют квантованного спина или фиксированной массы.)

Другие симметрии

Хотя симметрии пространства-времени в группе Пуанкаре особенно легко визуализировать и поверить, существуют также другие типы симметрий, называемые внутренними симметриями . Одним из примеров является цвет SU(3) , точная симметрия, соответствующая непрерывному взаимозамене трех цветов кварка .

Алгебры Ли против групп Ли

Многие (но не все) симметрии или приближенные симметрии образуют группы Ли . Вместо того, чтобы изучать теорию представлений этих групп Ли, часто предпочтительнее изучать тесно связанную теорию представлений соответствующих алгебр Ли, которые обычно проще вычислить.

Теперь представления алгебры Ли соответствуют представлениям универсального покрытия исходной группы. ^[6] В конечномерном случае — и в бесконечномерном случае, при условии применения теоремы Баргмана — неприводимые проективные представления исходной группы соответствуют обычным унитарным представлениям универсального покрытия. В этих случаях вычисления на уровне алгебры Ли являются подходящими. Это касается, в частности, изучения неприводимых проективных представлений группы вращений SO(3). Они находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными представлениями универсального покрытия SU(2) группы SO(3) . Представления SU(2) тогда находятся во взаимно однозначном соответствии с представлениями ее алгебры Ли su(2), которая изоморфна алгебре Ли so(3) группы SO(3).

Таким образом, подведем итог: неприводимые проективные представления SO(3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями ее алгебры Ли so(3). Двумерное представление "спин 1/2" алгебры Ли so(3), например, не соответствует обычному (однозначному) представлению группы SO(3). (Этот факт является источником утверждений о том, что "если вы повернете волновую функцию электрона на 360 градусов, вы получите отрицательную исходную волновую функцию".) Тем не менее, представление спина 1/2 действительно приводит к четко определенному проективному представлению SO(3), что является всем, что требуется физически.

Приблизительные симметрии

Хотя вышеприведенные симметрии считаются точными, другие симметрии являются лишь приблизительными.

Гипотетический пример

В качестве примера того, что означает приближенная симметрия, предположим, что экспериментатор живет внутри бесконечного ферромагнетика с намагниченностью в некотором определенном направлении. Экспериментатор в этой ситуации обнаружил бы не один, а два различных типа электронов: один со спином вдоль направления намагниченности, с немного меньшей энергией (и, следовательно, меньшей массой), и один со спином анти-выровненным, с большей массой. Наша обычная вращательная симметрия SO(3) , которая обычно связывает электрон со спином вверх с электроном со спином вниз, в этом гипотетическом случае стала только приблизительной симметрией, связывающей различные типы частиц друг с другом.

Общее определение

В общем, приближенная симметрия возникает, когда есть очень сильные взаимодействия, которые подчиняются этой симметрии, наряду с более слабыми взаимодействиями, которые не подчиняются. В приведенном выше примере с электронами два «типа» электронов ведут себя одинаково под действием сильных и слабых сил , но по-разному под действием электромагнитной силы .

Пример: изоспиновая симметрия

Примером из реального мира является изоспиновая симметрия , группа SU(2) , соответствующая сходству между верхними и нижними кварками . Это приблизительная симметрия: хотя верхние и нижние кварки идентичны в том, как они взаимодействуют под действием сильной силы , они имеют разные массы и разные электрослабые взаимодействия. Математически существует абстрактное двумерное векторное пространство

{\text{up quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\qquad {\text{down quark}}\rightarrow {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

и законы физики приблизительно инвариантны относительно применения к этому пространству унитарного преобразования с детерминантом 1 : ^[7]

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto A{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\quad {\text{where }}A{\text{ is in }}SU(2)

Например, превратил бы все верхние кварки во вселенной в нижние кварки и наоборот. Некоторые примеры помогают прояснить возможные эффекты этих преобразований: $A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Когда эти унитарные преобразования применяются к протону , он может быть преобразован в нейтрон или в суперпозицию протона и нейтрона, но не в какие-либо другие частицы. Таким образом, преобразования перемещают протон по двумерному пространству квантовых состояний. Протон и нейтрон называются « изоспиновым дублетом », математически аналогично тому, как ведет себя частица со спином ½ при обычном вращении.
Когда эти унитарные преобразования применяются к любому из трех пионов (
π⁰
,
π⁺
, и
π⁻
), он может превратить любой из пионов в любой другой, но не в любую непионную частицу. Таким образом, преобразования перемещают пионы по трехмерному пространству квантовых состояний. Пионы называются « изоспиновским триплетом », математически аналогично тому, как ведет себя частица со спином 1 при обычном вращении.
Эти преобразования не оказывают никакого эффекта на электрон , поскольку он не содержит ни верхних, ни нижних кварков. Электрон называется изоспиновым синглетом, математически аналогично тому, как ведет себя частица со спином 0 при обычном вращении.

В общем случае частицы образуют изоспиновые мультиплеты , которые соответствуют неприводимым представлениям алгебры Ли SU(2) . Частицы в изоспиновом мультиплете имеют очень похожие, но не идентичные массы, поскольку верхние и нижние кварки очень похожи, но не идентичны.

Пример: симметрия вкуса

Изоспиновую симметрию можно обобщить до ароматической симметрии , группы SU(3), соответствующей сходству между верхними кварками , нижними кварками и странными кварками . ^[7] Это, опять же, приблизительная симметрия, нарушенная разницей масс кварков и электрослабыми взаимодействиями — на самом деле, это худшее приближение, чем изоспин, из-за заметно большей массы странного кварка.

Тем не менее, частицы действительно можно аккуратно разделить на группы, которые образуют неприводимые представления алгебры Ли SU(3) , как впервые заметил Мюррей Гелл-Манн и независимо от него Юваль Нееман .

Смотрите также

Примечания

↑ Вигнер получил Нобелевскую премию по физике в 1963 году «за вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, в частности, за открытие и применение фундаментальных принципов симметрии»; см. также Теорема Вигнера , Классификация Вигнера .
^ Холл 2015 Раздел 4.7
^ Холл 2013 Теорема 16.47
^ Баргманн, В. (1954). «О унитарном лучевом представлении непрерывных групп». Ann. of Math . 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR 1969831.
^ Вайнберг 1995 Глава 2, Приложение A и B.
^ Холл 2015 Раздел 5.7
^ ab Конспект лекций профессора Марка Томсона

Ссылки

Коулмен, Сидней (1985) Аспекты симметрии: избранные лекции Эрике Сиднея Коулмена . Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-26706-4 .
Джорджи, Ховард (1999) Алгебры Ли в физике элементарных частиц . Рединг, Массачусетс: Perseus Books. ISBN 0-7382-0233-9 .
Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.
Стернберг, Шломо (1994) Теория групп и физика . Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-24870-1 . Особенно стр. 148–150.
Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, том 1: Основы . Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-55001-7.Особенно приложения А и Б к главе 2.

Внешние ссылки

Баез, Джон К.; Уэрта, Джон (2010). «Алгебра теорий великого объединения». Bull. Am. Math. Soc . 47 (3): 483–552. arXiv : 0904.1556 . doi :10.1090/S0273-0979-10-01294-2. S2CID 2941843.