Синк-фильтр

Идеальный фильтр нижних частот или усредняющий фильтр

Нормализованная функция sinc , импульсная характеристика синхроимпульсного фильтра и частотная характеристика синхрочастотного фильтра.

Прямоугольная функция , частотная характеристика синхроимпульсного фильтра и импульсная характеристика синхрочастотного фильтра.

При обработке сигналов sinc-фильтр может относиться либо к синхроимпульсному фильтру , импульсная характеристика которого является функцией sinc , а частотная характеристика прямоугольной, либо к синхрочастотному фильтру, импульсная характеристика которого прямоугольна и частотная характеристика является функцией sinc. Называя их в зависимости от того, в каком домене фильтр похож на синк, можно избежать путаницы. Если домен не указан, часто предполагается синхронизация во времени, или, как мы надеемся, контекст может определить правильный домен.

Синк-во-времени

Sinc-in-time — это идеальный фильтр , который удаляет все частотные компоненты выше заданной частоты среза , не ослабляя более низкие частоты, и имеет линейную фазовую характеристику. Таким образом, его можно рассматривать как фильтр с кирпичной стеной или прямоугольный фильтр.

Его импульсная характеристика представляет собой функцию sinc во временной области :

$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$

в то время как его частотная характеристика представляет собой прямоугольную функцию :

${\displaystyle H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|f|=B,\\1,&{\text{if }}|f|<B,\end{cases}}}$

где (представляющая полосу пропускания ) — произвольная частота среза. ${\displaystyle B}$

Его импульсная характеристика определяется обратным преобразованием Фурье его частотной характеристики:

${\displaystyle {\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}}$

где sinc — нормализованная функция sinc .

Кирпичные фильтры

Идеализированный электронный фильтр с полным пропусканием в полосе пропускания, полным затуханием в полосе заграждения и резкими переходами в просторечии известен как «фильтр с кирпичной стеной» (в связи с формой передаточной функции ). Синхронный фильтр представляет собой фильтр нижних частот с кирпичной стенкой, из которого легко конструируются полосовые фильтры с кирпичной стенкой и фильтры верхних частот .

Фильтр нижних частот с отсечкой по кирпичной стене на частоте B _L имеет импульсную характеристику и передаточную функцию, определяемые следующим образом:

${\displaystyle h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

Полосовой фильтр с нижней границей полосы B _L и верхней границей полосы B _H представляет собой всего лишь разницу между двумя такими синхронизирующими фильтрами (поскольку фильтры имеют нулевую фазу, их амплитудные характеристики вычитаются напрямую): ^[1]

${\displaystyle h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)}$

${\displaystyle H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).}$

Фильтр верхних частот с нижней границей полосы B _H представляет собой просто прозрачный фильтр без синхроимпульса, что дает понять, что дельта-функция Дирака является пределом узкого по времени синхроимпульса. :

${\displaystyle h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)}$

${\displaystyle H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).}$

Неосуществимый

Поскольку синхроимпульсный фильтр имеет бесконечную импульсную характеристику как в положительном, так и в отрицательном временном направлении, он не является причинным и имеет бесконечную задержку (т. е. его компактная опора в частотной области вынуждает его временную характеристику не иметь компактного опорного значения). что оно вечно) и бесконечный порядок (т. е. ответ не может быть выражен в виде линейного дифференциального уравнения с конечной суммой). Однако он используется в концептуальных демонстрациях или доказательствах, таких как теорема выборки и формула интерполяции Уиттекера-Шеннона .

Синхронные фильтры должны быть аппроксимированы для реальных (неабстрактных) приложений, обычно путем оконной обработки и усечения идеального синхроимпульсного ядра фильтра , но это снижает его идеальные свойства. Это относится и к другим «кирпичным» фильтрам, построенным с использованием синхронизирующихся по времени фильтров.

Стабильность

Sinc-фильтр не является стабильным с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) . То есть ограниченный вход может давать неограниченный выход, поскольку интеграл абсолютного значения функции sinc бесконечен. Ограниченный ввод, который производит неограниченный вывод, — это sgn(sinc( t )). Другой - sin(2 π Bt ) u ( t ), синусоидальная волна, начинающаяся в момент времени 0, на частоте среза.

Sinc в частотной области

Функция передачи фильтра усредняющего фильтра группы из 4 отсчетов

В простейшей реализации синхрочастотного фильтра используется коробчатая импульсная характеристика для получения простого скользящего среднего (особенно при делении на количество выборок), также известного как фильтр накопления и сброса (в частности, если просто суммировать без деления). ). Его можно смоделировать как КИХ-фильтр со всеми равными коэффициентами. Иногда его используют каскадно для получения скользящих средних более высокого порядка (см. Конечная импульсная характеристика § Пример скользящего среднего и каскадный интегратор-гребенчатый фильтр ). ${\displaystyle N}$

Этот фильтр можно использовать для грубого, но быстрого и легкого понижения дискретизации (так называемого прореживания) в несколько раз . возможности. Его наименьшее затухание в полосе задерживания составляет -13,3 дБ ^[2] , а большинство высокочастотных компонентов затухают лишь немного сильнее этого значения. Фильтр -выборки, дискретизируемый по желанию, псевдоним всех не полностью ослабленных компонентов сигнала, лежащих выше основной полосы частот в диапазоне от постоянного тока до ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f_{S}}$ ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$ ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}.}$

Функция передачи фильтра усредняющего фильтра группы из 32 отсчетов

Выборки обработки группового усредняющего фильтра имеют нули передачи , равномерно расположенные между самым низким нулем и самым высоким нулем в ( частота Найквиста ). Выше частоты Найквиста частотная характеристика зеркально отражается, а затем периодически повторяется выше навсегда. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tfrac {N}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{N}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {f_{S}}{2}}}$ ${\displaystyle f_{S}}$

Величина частотной характеристики (показана на этих графиках) полезна, когда нужно узнать, насколько ослабляются частоты . Хотя функция sinc на самом деле колеблется между отрицательными и положительными значениями, отрицательные значения частотной характеристики просто соответствуют сдвигу фазы на 180 градусов .

Фильтр с обратной синусоидой может использоваться для выравнивания в цифровой области (например, КИХ-фильтр ) или аналоговой области (например, фильтр операционного усилителя ) для противодействия нежелательному затуханию в интересующей полосе частот и обеспечения плоской частотной характеристики. ^[3]

См. Оконную функцию § Прямоугольное окно для применения ядра sinc в качестве простейшей оконной функции.

функция передачи группового усредняющего фильтра на 16 отсчетов, работающего со скоростью входных данных 1 кГц, расширенная до 4-кратной частоты Найквиста

Смотрите также

• Передискретизация Ланцоша
• Псевдонимы
• Сглаживающий фильтр

Рекомендации

1. Марк Оуэн (2007). Практическая обработка сигналов. Издательство Кембриджского университета. п. 81. ИСБН 978-0-521-85478-8.
2. Вербер, Том (30 сентября 2020 г.). «Интуитивный взгляд на скользящее среднее и фильтры CIC». Электроника и т. д… . Архивировано из оригинала 2 апреля 2023 г. Проверено 24 августа 2023 г.
3. «ПРИМЕЧАНИЕ ПО ПРИМЕНЕНИЮ 3853: Методы выравнивания частотной характеристики ЦАП» . Аналоговые устройства . 20 августа 2012 г. Архивировано из оригинала 18 сентября 2023 г. Проверено 02 января 2024 г.

Внешние ссылки

• Цифровые фильтры кирпичной стены и фазовые отклонения
• Кирпичные фильтры