Классический предел

Приближение или восстановление классической механики в некоторых теориях

Классический предел или предел соответствия — это способность физической теории приближаться или «восстанавливать» классическую механику при рассмотрении ее при специальных значениях ее параметров. ^[1] Классический предел используется с физическими теориями, которые предсказывают неклассическое поведение.

Квантовая теория

Эвристический постулат , называемый принципом соответствия, был введен в квантовую теорию Нильсом Бором : по сути, он утверждает, что некий аргумент непрерывности должен применяться к классическому пределу квантовых систем, поскольку значение постоянной Планка , нормализованное действием этих систем, становится очень малым. Часто к этому приближаются с помощью «квазиклассических» методов (ср. приближение ВКБ ). ^[2]

Более строго, ^[3] математическая операция, используемая в классических пределах, представляет собой групповое сокращение , аппроксимирующее физические системы, в которых соответствующее действие намного больше приведенной постоянной Планка ħ , поэтому «параметр деформации» ħ / S можно эффективно принять равным нулю (ср. квантование Вейля ). Таким образом, обычно квантовые коммутаторы (эквивалентно скобкам Мойала ) сводятся к скобкам Пуассона ^[4] при групповом сокращении .

В квантовой механике , из-за принципа неопределенности Гейзенберга , электрон никогда не может находиться в состоянии покоя; он всегда должен иметь ненулевую кинетическую энергию , результат, которого нет в классической механике. Например, если мы рассмотрим что-то очень большое относительно электрона, например, бейсбольный мяч, принцип неопределенности предсказывает, что оно не может иметь нулевую кинетическую энергию, но неопределенность в кинетической энергии настолько мала, что бейсбольный мяч может фактически казаться находящимся в состоянии покоя, и, следовательно, он, по-видимому, подчиняется классической механике. В общем, если большие энергии и большие объекты (относительно размера и уровней энергии электрона) рассматриваются в квантовой механике, результат, по-видимому, подчиняется классической механике. Типичные задействованные числа заполнения огромны: макроскопический гармонический осциллятор с ω  = 2 Гц, m  = 10 г и максимальной амплитудой x ₀  = 10 см имеет S  ≈  E / ω  ≈ mωx ²
₀/2 ≈ 10−4 ^кг  ·м ² /с  =  ħn , так что n  ≃ ¹⁰³⁰ . Далее см. когерентные состояния . Менее ясно, однако, как классический предел применяется к хаотическим системам, полю, известному как квантовый хаос .

Квантовая механика и классическая механика обычно рассматриваются с помощью совершенно разных формализмов: квантовая теория, использующая гильбертово пространство , и классическая механика, использующая представление в фазовом пространстве . Можно привести их в общую математическую структуру различными способами. В формулировке фазового пространства квантовой механики, которая является статистической по своей природе, устанавливаются логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет проводить естественные сравнения между ними, включая нарушения теоремы Лиувилля (гамильтониана) при квантовании. ^{[5] [6]}

В важной статье (1933) Дирак ^[7] объяснил, как классическая механика является возникающим явлением квантовой механики: деструктивная интерференция между путями с неэкстремальными макроскопическими действиями S  »  ħ стирает амплитудные вклады в введенный им интеграл по путям , оставляя экстремальный _{класс действия} S , то есть классический путь действия, в качестве доминирующего вклада, наблюдение, которое Фейнман более подробно развил в своей докторской диссертации 1942 года. ^[8] (Подробнее см. квантовая декогеренция .)

Эволюция ожидаемых значений во времени

Один простой способ сравнить классическую и квантовую механику — рассмотреть эволюцию во времени ожидаемого положения и ожидаемого импульса, которые затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. Квантовые ожидаемые значения удовлетворяют теореме Эренфеста . Для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале , теорема Эренфеста гласит ^[9] ${\displaystyle V}$

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .}$

Хотя первое из этих уравнений согласуется с классической механикой, второе — нет: если бы пара удовлетворяла второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения имела бы вид ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$.

Но в большинстве случаев,

${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )}$.

Если, например, потенциал кубический, то — квадратичный, и в этом случае речь идет о различии между и , которые отличаются на . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \langle X^{2}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X\rangle ^{2}}$ ${\displaystyle (\Delta X)^{2}}$

Исключение возникает в случае, когда классические уравнения движения линейны, то есть когда является квадратичным и является линейным. В этом особом случае и действительно согласуются. В частности, для свободной частицы или квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно следуют решениям уравнений Ньютона. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, это то, что ожидаемое положение и импульс будут приблизительно следовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки , то и будут почти одинаковыми, поскольку оба будут приблизительно равны . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут оставаться очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной в положении. ^[10] ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

Теперь, если начальное состояние очень локализовано по положению, оно будет очень разбросано по импульсу, и поэтому мы ожидаем, что волновая функция быстро разбросается, и связь с классическими траекториями будет потеряна. Однако, когда постоянная Планка мала, возможно иметь состояние, которое хорошо локализовано как по положению, так и по импульсу. Небольшая неопределенность в импульсе гарантирует, что частица останется хорошо локализованной по положению в течение длительного времени, так что ожидаемое положение и импульс продолжат близко следовать классическим траекториям в течение длительного времени.

Относительность и другие деформации

Другие известные деформации в физике включают:

• Деформация классической ньютоновской механики в релятивистскую ( специальную теорию относительности ) с параметром деформации v / c ; классический предел включает малые скорости, поэтому v / c  → 0 , и системы, по-видимому, подчиняются ньютоновской механике.
• Аналогично для деформации ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда/характеристическая размерность мы обнаруживаем, что объекты снова, по-видимому, подчиняются классической механике (плоское пространство), когда масса объекта, умноженная на квадрат длины Планка, намного меньше его размера и размеров решаемой задачи. См. предел Ньютона .
• Волновую оптику можно также рассматривать как деформацию лучевой оптики для параметра деформации λ / a .
• Аналогично термодинамика деформируется в статистическую механику с параметром деформации 1 / N.

Смотрите также

• Классическая плотность вероятности
• Теорема Эренфеста
• Уравнения Маделунга
• интеграл Френеля
• Математическая формулировка квантовой механики
• Квантовый хаос
• Квантовая декогеренция
• Квантовый предел
• Полуклассическая физика
• Преобразование Вигнера-Вейля
• ВКБ-приближение

Ссылки

1. Бом, Д. (1989). Квантовая теория. Dover Publications . ISBN 9780486659695.
2. Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Т. 3 (3-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
3. Хепп, К. (1974). «Классический предел для квантово-механических корреляционных функций». Сообщения по математической физике . 35 (4): 265–277. Bibcode :1974CMaPh..35..265H. doi :10.1007/BF01646348. S2CID  123034390.
4. Curtright, TL; Zachos, CK (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Asia Pacific Physics Newsletter . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . doi : 10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.
5. Bracken, A.; Wood, J. (2006). «Полуквантовая и полуклассическая механика для простых нелинейных систем». Physical Review A. 73 ( 1): 012104. arXiv : quant-ph/0511227 . Bibcode : 2006PhRvA..73a2104B. doi : 10.1103/PhysRevA.73.012104. S2CID  14444752.
6. Напротив, в менее известном подходе, представленном в 1932 году Купманом и фон Нейманом , динамика классической механики была сформулирована в терминах операционального формализма в гильбертовом пространстве , формализма, традиционно используемого для квантовой механики.
   • Купман, БО ; фон Нейман, Дж. (1932). «Динамические системы непрерывных спектров». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 18 (3): 255–263. Bibcode : 1932PNAS...18..255K. doi : 10.1073/pnas.18.3.255 . PMC  1076203. PMID  16587673 .
   • Мауро, Д. (2003). «Темы теории Купмана-фон Неймана». arXiv : quant-ph/0301172 .
   • Брэкен, А. Дж. (2003). «Квантовая механика как приближение к классической механике в гильбертовом пространстве». Journal of Physics A . 36 (23): L329–L335. arXiv : quant-ph/0210164 . doi :10.1088/0305-4470/36/23/101. S2CID  15505801.
7. Дирак, ПАМ (1933). «Лагранжиан в квантовой механике» (PDF) . Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion . 3 : 64–72.
8. Фейнман, РП (1942). Принцип наименьшего действия в квантовой механике (диссертация на степень доктора философии). Принстонский университет .

   Воспроизведено в Feynman, RP (2005). Brown, LM (ред.). Тезис Фейнмана: новый подход к квантовой теории . World Scientific . ISBN 978-981-256-380-4.

9. Холл 2013 Раздел 3.7.5
10. Холл 2013 стр. 78

• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, ISBN 978-1461471158