Когерентное состояние

Определенное квантовое состояние квантового гармонического осциллятора

В физике , в частности в квантовой механике , когерентное состояние — это определенное квантовое состояние квантового гармонического осциллятора , часто описываемое как состояние, динамика которого наиболее близка к колебательному поведению классического гармонического осциллятора . Это был первый пример квантовой динамики , когда Эрвин Шредингер вывел его в 1926 году, ища решения уравнения Шредингера , которые удовлетворяют принципу соответствия . ^[1] Квантовый гармонический осциллятор (и, следовательно, когерентные состояния) возникают в квантовой теории широкого спектра физических систем. ^[2] Например, когерентное состояние описывает колебательное движение частицы, заключенной в квадратичной потенциальной яме (для ранней ссылки см., например, учебник Шиффа ^[3] ). Когерентное состояние описывает состояние в системе, для которого волновой пакет основного состояния смещен относительно начала системы. Это состояние можно связать с классическими решениями, когда частица совершает колебания с амплитудой, эквивалентной смещению.

Эти состояния, выраженные как собственные векторы понижающего оператора и образующие сверхполное семейство, были введены в ранних работах Джона Р. Клаудера , например ^[4]. В квантовой теории света ( квантовой электродинамике ) и других бозонных квантовых теориях поля когерентные состояния были введены в работе Роя Дж. Глаубера в 1963 году и также известны как состояния Глаубера .

Концепция когерентных состояний была значительно абстрагирована; она стала важной темой в математической физике и прикладной математике , с приложениями от квантования до обработки сигналов и обработки изображений (см. Когерентные состояния в математической физике ). По этой причине когерентные состояния, связанные с квантовым гармоническим осциллятором, иногда называют каноническими когерентными состояниями (ККС), стандартными когерентными состояниями , гауссовыми состояниями или состояниями осциллятора.

Когерентные состояния в квантовой оптике

Рисунок 1: Электрическое поле, измеренное оптическим гомодинным детектированием , как функция фазы для трех когерентных состояний, испускаемых лазером Nd:YAG. Количество квантового шума в электрическом поле полностью не зависит от фазы. По мере увеличения напряженности поля, т. е. амплитуды колебаний α когерентного состояния, квантовый шум или неопределенность постоянны и составляют 1/2, и поэтому становятся все менее и менее значительными. В пределе большого поля состояние становится хорошим приближением бесшумной стабильной классической волны. Средние числа фотонов трех состояний сверху вниз составляют ⟨n⟩ =4,2, 25,2, 924,5 ^[5]

Рисунок 2: Колеблющийся волновой пакет, соответствующий второму когерентному состоянию, изображенному на рисунке 1. В каждой фазе светового поля распределение представляет собой гауссово распределение постоянной ширины.

Рисунок 3: Функция Вигнера когерентного состояния, изображенного на рисунке 2. Распределение центрировано на амплитуде состояния α и симметрично относительно этой точки . Рябь вызвана экспериментальными ошибками.

В квантовой оптике когерентное состояние относится к состоянию квантованного электромагнитного поля и т. д. ^{[2] [6] [7],} которое описывает максимальный вид когерентности и классический вид поведения. Эрвин Шредингер вывел его как «минимальную неопределенность » гауссовского волнового пакета в 1926 году, ища решения уравнения Шредингера , которые удовлетворяют принципу соответствия . ^[1] Это состояние минимальной неопределенности с единственным свободным параметром, выбранным для того, чтобы сделать относительную дисперсию (стандартное отклонение в естественных безразмерных единицах) одинаковой для положения и импульса, каждый из которых одинаково мал при высокой энергии.

Далее, в отличие от энергетических собственных состояний системы, временная эволюция когерентного состояния сосредоточена вдоль классических траекторий . Квантовый линейный гармонический осциллятор, а следовательно, и когерентные состояния, возникают в квантовой теории широкого спектра физических систем. Они встречаются в квантовой теории света ( квантовой электродинамике ) и других бозонных квантовых теориях поля .

Хотя гауссовские волновые пакеты с минимальной неопределенностью были хорошо известны, они не привлекали полного внимания, пока Рой Дж. Глаубер в 1963 году не предоставил полное квантово-теоретическое описание когерентности в электромагнитном поле. ^[8] В этом отношении нельзя упускать из виду сопутствующий вклад ECG Sudarshan , ^[9] (однако в статье Глаубера есть примечание, которое гласит: «Использование этих состояний в качестве производящих функций для -квантовых состояний было, однако, сделано Дж. Швингером ^[10] ). Глаубер был вынужден сделать это, чтобы предоставить описание эксперимента Ханбери-Брауна и Твисса , который генерировал очень широкие базовые (сотни или тысячи миль) интерференционные картины , которые можно было использовать для определения диаметров звезд. Это открыло дверь к гораздо более всестороннему пониманию когерентности. (Подробнее см. Квантово-механическое описание.) ${\displaystyle n}$

В классической оптике свет рассматривается как электромагнитные волны, исходящие от источника. Часто когерентный лазерный свет рассматривается как свет, испускаемый многими такими источниками, находящимися в фазе . На самом деле, картина одного фотона, находящегося в фазе с другим, недействительна в квантовой теории. Лазерное излучение создается в резонансной полости , где резонансная частота полости совпадает с частотой, связанной с атомными электронными переходами, обеспечивающими поток энергии в поле. По мере накопления энергии в резонансном режиме вероятность вынужденного излучения , только в этом режиме, увеличивается. Это положительная обратная связь , в которой амплитуда в резонансном режиме увеличивается экспоненциально, пока некоторые нелинейные эффекты не ограничивают ее. В качестве контрпримера, лампочка излучает свет в континуум мод, и нет ничего, что выделяло бы какую-либо одну моду над другой. Процесс излучения в пространстве и времени весьма случаен (см. тепловой свет ). В лазере , однако, свет излучается в резонансную моду, и эта мода является высококогерентной . Таким образом, лазерный свет идеализируется как когерентное состояние. (Классически мы описываем такое состояние электрическим полем, колеблющимся как стабильная волна. См. рис.1)

Помимо описания лазеров, когерентные состояния также ведут себя удобным образом при описании квантового действия светоделителей : два когерентных входных луча просто преобразуются в два когерентных луча на выходе с новыми амплитудами, заданными классическими формулами электромагнитной волны; ^[11] такое простое поведение не происходит для других входных состояний, включая числовые состояния. Аналогично, если когерентный световой луч частично поглощается, то остаток представляет собой чистое когерентное состояние с меньшей амплитудой, тогда как частичное поглощение света некогерентного состояния создает более сложное статистическое смешанное состояние . ^[11] Тепловой свет можно описать как статистическую смесь когерентных состояний, и типичный способ определения неклассического света заключается в том, что его нельзя описать как простую статистическую смесь когерентных состояний. ^[11]

Собственные энергетические состояния линейного гармонического осциллятора (например, массы на пружинах, колебания решетки в твердом теле, колебательные движения ядер в молекулах или колебания в электромагнитном поле) являются квантовыми состояниями с фиксированным числом. Состояние Фока (например, одиночный фотон) является наиболее частицеподобным состоянием; оно имеет фиксированное число частиц, а фаза неопределенна. Когерентное состояние распределяет свою квантово-механическую неопределенность поровну между канонически сопряженными координатами , положением и импульсом, а относительная неопределенность в фазе [определенная эвристически ] и амплитуде примерно равна и мала при высокой амплитуде.

Квантово-механическое определение

Математически когерентное состояние определяется как (уникальное) собственное состояние оператора уничтожения â с соответствующим собственным значением α . Формально это звучит так: ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

Поскольку â не является эрмитовым , α , в общем случае, является комплексным числом. Записи | α | и θ называются амплитудой и фазой состояния . ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta },}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

В литературе это состояние называется каноническим когерентным состоянием , поскольку существует множество других типов когерентных состояний, как можно увидеть в сопутствующей статье Когерентные состояния в математической физике . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Физически эта формула означает, что когерентное состояние остается неизменным при аннигиляции возбуждения поля или, скажем, заряженной частицы. Собственное состояние оператора аннигиляции имеет пуассоновское распределение чисел, если оно выражено в базисе собственных состояний энергии, как показано ниже. Распределение Пуассона является необходимым и достаточным условием того, что все обнаружения статистически независимы. Сравните это с одночастичным состоянием ( состоянием Фока ): как только обнаружена одна частица, существует нулевая вероятность обнаружения другой. ${\displaystyle |1\rangle }$

Вывод этого выражения будет использовать (нетрадиционно нормализованные) безразмерные операторы X и P , обычно называемые квадратурами поля в квантовой оптике. (См. Обезразмеривание .) Эти операторы связаны с операторами положения и импульса массы m на пружине с константой k ,

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

Рисунок 4: Вероятность обнаружения n фотонов, распределение числа фотонов, когерентного состояния на рисунке 3. Как и необходимо для распределения Пуассона, среднее число фотонов равно дисперсии распределения числа фотонов. Полоски относятся к теории, точки к экспериментальным значениям.

Для оптического поля ,

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

являются действительными и мнимыми компонентами моды электрического поля внутри полости объема . ^[12] ${\displaystyle V}$

С этими (безразмерными) операторами гамильтониан любой системы становится

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

Эрвин Шредингер искал наиболее классические состояния, когда он впервые ввел минимальную неопределенность гауссовых волновых пакетов. Квантовое состояние гармонического осциллятора, которое минимизирует соотношение неопределенности с неопределенностью, равномерно распределенной между X и P, удовлетворяет уравнению

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

и, следовательно,

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1/2~.}$

Таким образом, при условии (∆ X −∆ P ) ² ≥ 0 Шредингер обнаружил, что состояния минимальной неопределенности для линейного гармонического осциллятора являются собственными состояниями ( X + iP ) . Поскольку â есть ( X + iP ) , это можно распознать как когерентное состояние в смысле приведенного выше определения.

Используя обозначение для многофотонных состояний, Глаубер охарактеризовал состояние полной когерентности всем порядкам в электромагнитном поле как собственное состояние оператора уничтожения — формально, в математическом смысле, то же самое состояние, которое обнаружил Шредингер. Название когерентное состояние закрепилось после работы Глаубера.

Если неопределенность минимизирована, но не обязательно одинаково сбалансирована между X и P , состояние называется сжатым когерентным состоянием .

Расположение когерентного состояния в комплексной плоскости ( фазовом пространстве ) центрировано в положении и импульсе классического осциллятора фазы θ и амплитуды | α |, заданной собственным значением α (или тем же комплексным значением электрического поля для электромагнитной волны). Как показано на рисунке 5, неопределенность, равномерно распределенная во всех направлениях, представлена ​​диском диаметром 1 ⁄ 2 . При изменении фазы когерентное состояние вращается вокруг начала координат, и диск не искажается и не распространяется. Это самое похожее квантовое состояние, которое может быть на одну точку в фазовом пространстве.

Рисунок 5: Фазовый график когерентного состояния. Это показывает, что неопределенность в когерентном состоянии равномерно распределена во всех направлениях. Горизонтальная и вертикальная оси представляют собой X и P квадратуры поля соответственно (см. текст). Красные точки на оси x очерчивают границы квантового шума на рисунке 1. Для получения более подробной информации см. соответствующий рисунок формулировки фазового пространства .

Поскольку неопределенность (и, следовательно, шум измерения) остается постоянной на уровне 1 ⁄ 2 по мере увеличения амплитуды колебания, состояние ведет себя все больше как синусоидальная волна, как показано на рисунке 1. Более того, поскольку вакуумное состояние является просто когерентным состоянием с α = 0, все когерентные состояния имеют ту же неопределенность, что и вакуум. Поэтому можно интерпретировать квантовый шум когерентного состояния как вызванный флуктуациями вакуума. ${\displaystyle |0\rangle }$

Обозначение не относится к состоянию Фока . Например, когда α = 1 , не следует путать с однофотонным состоянием Фока, которое также обозначается в своей собственной нотации. Выражение с α = 1 представляет собой распределение Пуассона по числу состояний со средним числом фотонов, равным единице. ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle }$

Формальным решением уравнения собственных значений является состояние вакуума, смещенное в положение α в фазовом пространстве, т.е. оно получается путем применения к вакууму унитарного оператора смещения D ( α ) ,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$,

где â = X + iP и â ^† = X - iP .

Это можно легко увидеть, как и практически все результаты, связанные с когерентными состояниями, используя представление когерентного состояния в базисе состояний Фока,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle ~,}$

где - энергия (число) собственных векторов гамильтониана ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)~,}$

и окончательное равенство вытекает из формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа . Для соответствующего распределения Пуассона вероятность обнаружения n фотонов равна

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

Аналогично, среднее число фотонов в когерентном состоянии равно

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

и дисперсия равна

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

То есть, стандартное отклонение обнаруженного числа идет как квадратный корень обнаруженного числа. Так что в пределе большого α эти статистики обнаружения эквивалентны статистике классической устойчивой волны.

Эти результаты применимы к результатам обнаружения на одном детекторе и, таким образом, относятся к когерентности первого порядка (см. степень когерентности ). Однако для измерений, коррелирующих обнаружения на нескольких детекторах, задействована когерентность более высокого порядка (например, корреляции интенсивности, когерентность второго порядка, на двух детекторах). Определение квантовой когерентности Глаубера включает корреляционные функции n-го порядка (когерентность n-го порядка) для всех n . Идеальное когерентное состояние имеет все n-порядки корреляции, равные 1 (когерентное). Оно идеально когерентно для всех порядков.

Коэффициент корреляции второго порядка дает прямую меру степени когерентности состояний фотонов с точки зрения дисперсии статистики фотонов в исследуемом пучке. ^[13] ${\displaystyle g^{2}(0)}$

${\displaystyle ~g^{2}(0)=1+{\frac {{\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)-\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle }{(\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle )^{2}}}=1+{\frac {{\rm {Var}}(n)-{\bar {n}}}{{\bar {n}}^{2}}}}$

В разработке Глаубера видно, что когерентные состояния распределены по закону Пуассона . В случае распределения Пуассона дисперсия равна среднему значению, т.е.

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=1}$.

Коэффициент корреляции второго порядка, равный 1, означает, что фотоны в когерентных состояниях некоррелированы.

Ханбери Браун и Твисс изучали корреляционное поведение фотонов, испускаемых тепловым некогерентным источником, описанное статистикой Бозе-Эйнштейна . Дисперсия распределения Бозе-Эйнштейна равна

${\displaystyle {\rm {Var(n)}}={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=2}$.

Это соответствует корреляционным измерениям Ханбери Брауна и Твисса и иллюстрирует, что фотоны в некогерентных состояниях Бозе-Эйнштейна коррелированы или сгруппированы.

Кванты, подчиняющиеся статистике Ферми-Дирака, антикоррелированы. В этом случае дисперсия равна

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=0}$.

Антикорреляция характеризуется коэффициентом корреляции второго порядка =0.

Работа Роя Дж. Глаубера была вызвана результатами Ханбери-Брауна и Твисса, которые создавали дальние (сотни или тысячи миль) интерференционные картины первого порядка с использованием флуктуаций интенсивности (отсутствие когерентности второго порядка) с узкополосными фильтрами (частичная когерентность первого порядка) на каждом детекторе. (Можно представить, в течение очень коротких промежутков времени, почти мгновенную интерференционную картину от двух детекторов, из-за узкополосных фильтров, которая танцует хаотично из-за сдвига относительной разности фаз. С помощью счетчика совпадений танцующая интерференционная картина была бы сильнее в моменты повышенной интенсивности [общей для обоих лучей], и эта картина была бы сильнее фонового шума.) Почти вся оптика была связана с когерентностью первого порядка. Результаты Ханбери-Брауна и Твисса побудили Глаубера рассмотреть когерентность более высокого порядка, и он придумал полное квантово-теоретическое описание когерентности для всех порядков в электромагнитном поле (и квантово-теоретическое описание сигнала плюс шум). Он ввел термин когерентное состояние и показал, что они возникают, когда классический электрический ток взаимодействует с электромагнитным полем.

При α ≫ 1 , из рисунка 5, простая геометрия дает Δθ | α | = 1/2. Из этого следует, что существует компромисс между числовой неопределенностью и фазовой неопределенностью, Δθ Δn = 1/2, который иногда интерпретируется как соотношение числовой-фазовой неопределенности; но это не формальное строгое соотношение неопределенности: в квантовой механике нет однозначно определенного оператора фазы. ^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21]}

Волновая функция когерентного состояния

Динамика когерентного состояния для в единицах длины гармонического осциллятора , показывающая плотность вероятности и квантовую фазу (цвет). ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {10}}}$ ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega }}}$ ${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}}$

Чтобы найти волновую функцию когерентного состояния, минимально неопределенный волновой пакет Шредингера, проще всего начать с гейзенберговской картины квантового гармонического осциллятора для когерентного состояния . Обратите внимание, что ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

Когерентное состояние является собственным состоянием оператора уничтожения в картине Гейзенберга .

Легко видеть, что в картине Шредингера то же самое собственное значение

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

происходит,

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$.

В координатных представлениях, полученных в результате работы с , это равносильно дифференциальному уравнению: ${\displaystyle \langle x|}$

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

которая легко решается, чтобы получить

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

где θ(t) — еще не определенная фаза, которую следует зафиксировать, потребовав, чтобы волновая функция удовлетворяла уравнению Шредингера.

Из этого следует, что

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

так что σ — начальная фаза собственного значения.

Среднее положение и импульс этого «минимального пакета волн Шредингера» ψ ^(α) таким образом колеблются так же, как и в классической системе ,

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle ={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\cos(\sigma -\omega t)~,}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}(t)\rangle ={\sqrt {2m\hbar \omega }}\Im [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {2m\hbar \omega }}\sin(\sigma -\omega t)~.}$

Плотность вероятности остается гауссовой, центрированной на этом колеблющемся среднем значении,

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

Математические характеристики канонических когерентных состояний

Описанные до сих пор канонические когерентные состояния обладают тремя свойствами, которые взаимно эквивалентны, поскольку каждое из них полностью определяет состояние , а именно: ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

1. Они являются собственными векторами оператора уничтожения :   . ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$
2. Они получаются из вакуума путем применения унитарного оператора смещения :   . ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$
3. Это состояния (сбалансированной) минимальной неопределенности:   . ${\displaystyle \Delta X=\Delta P={\sqrt {\frac {\hbar }{2}}}\,}$

Каждое из этих свойств может привести к обобщениям, в общем отличающимся друг от друга (см. статью « Когерентные состояния в математической физике » для некоторых из них). Мы подчеркиваем, что когерентные состояния имеют математические характеристики, которые сильно отличаются от характеристик фоковского состояния ; например, два различных когерентных состояния не ортогональны,

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(связано с тем, что они являются собственными векторами несамосопряженного оператора уничтожения â ).

Таким образом, если осциллятор находится в квантовом состоянии, он также с ненулевой вероятностью находится в другом квантовом состоянии (но чем дальше состояния расположены друг от друга в фазовом пространстве, тем ниже вероятность). Однако, поскольку они подчиняются соотношению замыкания, любое состояние можно разложить на множество когерентных состояний. Следовательно, они образуют сверхполный базис , в котором можно диагонально разложить любое состояние. Это предпосылка для представления Глаубера–Сударшана P. ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$

Это отношение замыкания может быть выражено посредством разрешения оператора тождества I в векторном пространстве квантовых состояний,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

Это разрешение тождества тесно связано с преобразованием Сигала–Баргмана .

Другая особенность заключается в том, что не имеет собственного элемента (в то время как â не имеет собственного элемента). Следующее равенство является ближайшей формальной заменой и оказывается полезным для технических вычислений, ^[22] ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle \langle \alpha |=\left({\partial \over \partial \alpha }+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle \langle \alpha |~.}$

Это последнее состояние известно как «состояние Агарвала» или когерентное состояние с добавлением фотона и обозначается как ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

Нормализованные состояния Агарвала порядка n можно выразить как ^[23] ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$

Вышеуказанное разрешение тождества может быть получено (ограничившись одним пространственным измерением для простоты) путем взятия матричных элементов между собственными состояниями положения, , с обеих сторон уравнения. С правой стороны это немедленно дает δ(xy) . С левой стороны то же самое получается путем вставки ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

из предыдущего раздела (время произвольно), затем интегрируем по , используя представление Фурье дельта-функции , а затем выполняем гауссовский интеграл по . ${\displaystyle \Im (\alpha )}$ ${\displaystyle \Re (\alpha )}$

В частности, гауссовское состояние волнового пакета Шредингера следует из явного значения

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}{e^{-{\frac {1}{2}}{(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )-i\Re (\alpha )\Im (\alpha )}}~.}$

Разрешение идентичности может быть также выражено в терминах положения и импульса частицы. Для каждого измерения координат (используя адаптированную нотацию с новым значением для ), ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

отношение замыкания когерентных состояний гласит:

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

Это можно вставить в любое квантово-механическое математическое ожидание, связав его с некоторым квазиклассическим интегралом фазового пространства и объяснив, в частности, происхождение нормировочных множителей для классических статистических сумм , согласующихся с квантовой механикой. ${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$

Помимо того, что когерентное состояние является точным собственным состоянием операторов аннигиляции, оно является приблизительным общим собственным состоянием положения и импульса частицы. Снова ограничиваясь одним измерением,

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

Погрешность этих приближений измеряется неопределенностями положения и импульса,

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

Тепловое когерентное состояние

Одномодовое тепловое когерентное состояние ^[24] создается путем смещения теплового смешанного состояния в фазовом пространстве , по прямой аналогии со смещением вакуумного состояния с целью создания когерентного состояния. Матрица плотности когерентного теплового состояния в операторном представлении имеет вид

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\dagger }(\alpha ),}$

где — оператор смещения , который генерирует когерентное состояние с комплексной амплитудой , и . Статистическая сумма равна ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

Используя разложение оператора тождества по состояниям Фока , определение оператора плотности можно выразить в следующем виде ${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D(\alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

где обозначает смещенное состояние Фока . Заметим, что если температура стремится к нулю, то мы имеем ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

что является матрицей плотности для когерентного состояния. Среднее число фотонов в этом состоянии можно рассчитать следующим образом

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

где для последнего члена мы можем записать

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{(1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

В результате мы находим

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

где — среднее число фотонов , рассчитанное по отношению к тепловому состоянию. Здесь мы определили, для простоты записи, ${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}O\},}$

и мы пишем явно

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

В пределе получаем , что согласуется с выражением для оператора матрицы плотности при нулевой температуре. Аналогично дисперсию числа фотонов можно оценить как ${\displaystyle \beta \to \infty }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^{2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

с . Мы делаем вывод, что второй момент не может быть развязан с тепловым и квантовым моментами распределения, в отличие от среднего значения (первого момента). В этом смысле статистика фотонов смещенного теплового состояния не описывается суммой статистики Пуассона и статистики Больцмана . Распределение начального теплового состояния в фазовом пространстве расширяется в результате когерентного смещения. ${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^{2}}$

Когерентные состояния конденсатов Бозе-Эйнштейна

• Конденсат Бозе –Эйнштейна (БЭК) представляет собой совокупность атомов-бозонов, которые находятся в одном и том же квантовом состоянии. ^[25] В термодинамической системе основное состояние становится макроскопически занятым ниже критической температуры — примерно, когда тепловая длина волны де Бройля больше межатомного расстояния. Считается, что сверхтекучесть в жидком гелии-4 связана с конденсацией Бозе–Эйнштейна в идеальном газе. Но ⁴ He имеет сильные взаимодействия, и фактор структуры жидкости (статистика 2-го порядка) играет важную роль. Использование когерентного состояния для представления сверхтекучего компонента ⁴ He дало хорошую оценку фракций конденсата/неконденсата в сверхтекучести, что согласуется с результатами рассеяния медленных нейтронов. ^{[26] [27] [28]} Большинство особых сверхтекучих свойств вытекают непосредственно из использования когерентного состояния для представления сверхтекучего компонента, который действует как макроскопически занятое состояние одного тела с четко определенной амплитудой и фазой по всему объему. (Сверхтекучий компонент ⁴ He изменяется от нуля при температуре перехода до 100% при абсолютном нуле. Но доля конденсата составляет около 6% ^[29] при температуре абсолютного нуля, T=0K.)
• На раннем этапе изучения сверхтекучести Пенроуз и Онзагер предложили метрику («параметр порядка») для сверхтекучести. ^[30] Она была представлена ​​макроскопическим факторизованным компонентом (макроскопическим собственным значением) в матрице приведенной плотности первого порядка. Позднее ЧН Янг ^[31] предложил более обобщенную меру макроскопической квантовой когерентности, названную «внедиагональным дальним порядком» (ODLRO), ^[31] , которая включала как фермионные, так и бозонные системы. ODLRO существует всякий раз, когда в матрице приведенной плотности любого порядка есть макроскопически большой факторизованный компонент (собственное значение). Сверхтекучесть соответствует большому факторизованному компоненту в матрице приведенной плотности первого порядка. (И все матрицы приведенной плотности более высокого порядка ведут себя аналогично.) Сверхпроводимость включает в себя большой факторизованный компонент в матрице приведенной плотности второго порядка (« электронная пара Купера »).
• Матрицы приведенной плотности, используемые для описания макроскопической квантовой когерентности в сверхтекучих жидкостях, формально совпадают с корреляционными функциями, используемыми для описания порядков когерентности в излучении. Оба являются примерами макроскопической квантовой когерентности. Макроскопически большой когерентный компонент плюс шум в электромагнитном поле, как дано описанием Глаубера «сигнал плюс шум», формально совпадает с макроскопически большим сверхтекучим компонентом плюс нормальным жидким компонентом в двухжидкостной модели сверхтекучести.
• Повседневное электромагнитное излучение, такое как радио- и телевизионные волны, также является примером почти когерентных состояний (макроскопической квантовой когерентности). Это должно «заставить задуматься» относительно общепринятого разграничения квантового и классического.
• Когерентность в сверхтекучести не следует приписывать какому-либо подмножеству атомов гелия; это своего рода коллективное явление, в котором участвуют все атомы (аналогично куперовскому спариванию в сверхпроводимости, как указано в следующем разделе).

Когерентные электронные состояния в сверхпроводимости

• Электроны являются фермионами, но когда они объединяются в пары Купера , они действуют как бозоны, и поэтому могут коллективно образовывать когерентное состояние при низких температурах. Это спаривание на самом деле происходит не между электронами, а в состояниях, доступных электронам, движущимся в эти состояния и из них. ^[32] Спаривание Купера относится к первой модели сверхпроводимости. ^[33]
• Эти когерентные состояния являются частью объяснения таких эффектов, как квантовый эффект Холла в низкотемпературных сверхпроводящих полупроводниках.

Обобщения

• Согласно Гилмору и Переломову, которые показали это независимо, построение когерентных состояний можно рассматривать как проблему в теории групп , и, таким образом, когерентные состояния могут быть связаны с группами, отличными от группы Гейзенберга , что приводит к каноническим когерентным состояниям, обсуждавшимся выше. ^{[34] [35] [36] [37]} Более того, эти когерентные состояния могут быть обобщены до квантовых групп . Эти темы, со ссылками на оригинальные работы, подробно обсуждаются в Когерентные состояния в математической физике .

• В квантовой теории поля и теории струн — обобщение когерентных состояний на случай, когда бесконечное число степеней свободы используется для определения вакуумного состояния с другим значением вакуумного ожидания по сравнению с исходным вакуумом.
• В одномерных квантовых системах многих тел с фермионными степенями свободы возбужденные состояния с низкой энергией можно аппроксимировать как когерентные состояния оператора бозонного поля, который создает возбуждения частица-дырка. Этот подход называется бозонизацией .
• Гауссовские когерентные состояния нерелятивистской квантовой механики можно обобщить до релятивистских когерентных состояний частиц Клейна-Гордона и Дирака. ^{[38] [39] [40]}
• Когерентные состояния также появлялись в работах по петлевой квантовой гравитации или для построения (полу)классической канонической квантовой общей теории относительности. ^{[41] [42]}

Смотрите также

• Когерентные состояния в математической физике
• Квантовая теория поля
• Квантовая оптика
• Квантовый усилитель
• Электромагнитное поле
• Степень согласованности

Внешние ссылки

• Квантовые состояния светового поля
• Состояния Глаубера: когерентные состояния квантового гармонического осциллятора
• Измерение когерентного состояния с помощью интерактивной статистики фотонов

Ссылки

1. Шредингер, Э. (1926). «Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik». Die Naturwissenschaften (на немецком языке). 14 (28). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 664–666. Бибкод : 1926NW.....14..664S. дои : 10.1007/bf01507634. ISSN  0028-1042. S2CID  34680073.
2. JR Klauder и B. Skagerstam, Coherent States , World Scientific, Сингапур, 1985.
3. Л. И. Шифф, Квантовая механика , McGraw Hill, Нью-Йорк, 1955.
4. Клаудер, Джон Р. (1960). «Вариант действия и квантование Фейнмана спинорных полей в терминах обычных c-чисел». Annals of Physics . 11 (2). Elsevier BV: 123–168. Bibcode : 1960AnPhy..11..123K. doi : 10.1016/0003-4916(60)90131-7. ISSN  0003-4916.
5. Breitenbach, G.; Schiller, S.; Mlynek, J. (1997). "Измерение квантовых состояний сжатого света" (PDF) . Nature . 387 (6632). Springer Nature: 471–475. Bibcode :1997Natur.387..471B. doi :10.1038/387471a0. ISSN  0028-0836. S2CID  4259166.
6. Чжан, Вэй-Мин; Фэн, Да Сюань; Гилмор, Роберт (1990-10-01). «Когерентные состояния: теория и некоторые приложения». Reviews of Modern Physics . 62 (4). Американское физическое общество (APS): 867–927. Bibcode : 1990RvMP...62..867Z. doi : 10.1103/revmodphys.62.867. ISSN  0034-6861.
7. JP. Gazeau , Когерентные состояния в квантовой физике , Wiley-VCH, Берлин, 2009.
8. Глаубер, Рой Дж. (1963-09-15). «Когерентные и некогерентные состояния поля излучения». Physical Review . 131 (6). Американское физическое общество (APS): 2766–2788. Bibcode : 1963PhRv..131.2766G. doi : 10.1103/physrev.131.2766. ISSN  0031-899X.
9. Сударшан, ECG (1963-04-01). «Эквивалентность полуклассических и квантово-механических описаний статистических световых пучков». Physical Review Letters . 10 (7). Американское физическое общество (APS): 277–279. Bibcode : 1963PhRvL..10..277S. doi : 10.1103/physrevlett.10.277. ISSN  0031-9007.
10. Швингер, Джулиан (1953-08-01). «Теория квантованных полей. III». Physical Review . 91 (3). Американское физическое общество (APS): 728–740. Bibcode : 1953PhRv...91..728S. doi : 10.1103/physrev.91.728. ISSN  0031-899X.
11. Леонхардт, Ульф (1997). Измерение квантового состояния света . Cambridge University Press. ISBN 9780521497305.
12. "Плотность энергии полей". www.sjsu.edu . Архивировано из оригинала 2016-01-02.
13. Пирсолл, Томас П., «Квантовая фотоника, 2-е изд.», Springer Nature, Хам, Швейцария, 2020, стр. 287 и далее.
14. Л. Сасскинд и Дж. Глогауэр, Квантово-механический оператор фазы и времени, Физика 1 (1963) 49.
15. Каррутерс, П.; Нието, Майкл Мартин (1968-04-01). «Фазовые и угловые переменные в квантовой механике». Reviews of Modern Physics . 40 (2). Американское физическое общество (APS): 411–440. Bibcode : 1968RvMP...40..411C. doi : 10.1103/revmodphys.40.411. ISSN  0034-6861. S2CID  121002585.
16. Барнетт, SM; Пегг, DT (1989). «О эрмитовом оптическом фазовом операторе». Журнал современной оптики . 36 (1). Informa UK Limited: 7–19. Bibcode : 1989JMOp...36....7B. doi : 10.1080/09500348914550021. ISSN  0950-0340.
17. Буш, П.; Грабовски, М.; Лахти, П.Дж. (1995). «Кто боится измерений POV? Унифицированный подход к наблюдаемым квантовым фазам». Annals of Physics . 237 (1). Elsevier BV: 1–11. Bibcode : 1995AnPhy.237....1B. doi : 10.1006/aphy.1995.1001. ISSN  0003-4916.
18. Додонов, В.В. (2002-01-08).«Неклассические» состояния в квантовой оптике: «сжатый» обзор первых 75 лет». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика . 4 (1). Издательство IOP: R1–R33. doi : 10.1088/1464-4266/4/1/201. ISSN  1464-4266.
19. В. В. Додонов и В. И. Манько (ред.), Теория неклассических состояний света , Taylor \& Francis, Лондон, Нью-Йорк, 2003.
20. Vourdas, A (2006-02-01). «Аналитические представления в квантовой механике». Journal of Physics A: Mathematical and General . 39 (7). IOP Publishing: R65–R141. doi :10.1088/0305-4470/39/7/r01. ISSN  0305-4470.
21. JP. Gazeau, Когерентные состояния в квантовой физике , Wiley-VCH, Берлин, 2009.
22. Скалли, Марлан О.; Зубайри, М. Сухаил (1997). Квантовая оптика . Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. стр. 67. ISBN 9780521435956.
23. Агарвал, Г.С.; Тара, К. (1991-01-01). «Неклассические свойства состояний, генерируемых возбуждениями в когерентном состоянии». Physical Review A. 43 ( 1): 492–497. Bibcode : 1991PhRvA..43..492A. doi : 10.1103/PhysRevA.43.492. PMID  9904801.
24. Оз-Фогт, Дж.; Манн, А.; Ревзен, М. (1991). «Термические когерентные состояния и термически сжатые состояния». Журнал современной оптики . 38 (12). Informa UK Limited: 2339–2347. Bibcode : 1991JMOp...38.2339O. doi : 10.1080/09500349114552501. ISSN  0950-0340.
25. MH Anderson, JR Ensher, MR Matthews, CE Wieman и EA Cornell, Наблюдение конденсации Бозе-Эйнштейна в разбавленном атомном паре, Science 269, 198 (1995).
26. Хайленд, Г.Дж.; Роулендс, Г.; Каммингс, Ф.В. (1970). «Предложение по экспериментальному определению равновесной доли конденсата в сверхтекучем гелии». Physics Letters A. 31 ( 8). Elsevier BV: 465–466. Bibcode : 1970PhLA...31..465H. doi : 10.1016/0375-9601(70)90401-9. ISSN  0375-9601.
27. Mayers, J. (2004-04-01). "Конденсация Бозе–Эйнштейна, фазовая когерентность и двухжидкостное поведение в ⁴ He". Physical Review Letters . 92 (13). Американское физическое общество (APS): 135302. Bibcode : 2004PhRvL..92m5302M. doi : 10.1103/physrevlett.92.135302. ISSN  0031-9007. PMID  15089620.
28. Mayers, J. (2006-07-26). "Конденсация Бозе–Эйнштейна и поведение двух жидкостей в ⁴ He". Physical Review B. 74 ( 1). Американское физическое общество (APS): 014516. Bibcode : 2006PhRvB..74a4516M. doi : 10.1103/physrevb.74.014516. ISSN  1098-0121.
29. Олинто, AC (1987-04-01). «Конденсатная фракция в сверхтекучем He4». Physical Review B. 35 ( 10). Американское физическое общество (APS): 4771–4774. Bibcode : 1987PhRvB..35.4771O. doi : 10.1103/physrevb.35.4771. ISSN  0163-1829. PMID  9940648.
30. Пенроуз, Оливер; Онзагер, Ларс (1956-11-01). «Конденсация Бозе–Эйнштейна и жидкий гелий». Physical Review . 104 (3). Американское физическое общество (APS): 576–584. Bibcode : 1956PhRv..104..576P. doi : 10.1103/physrev.104.576. ISSN  0031-899X.
31. Yang, CN (1962-10-01). «Концепция недиагонального дальнего порядка и квантовые фазы жидкого Не и сверхпроводников». Reviews of Modern Physics . 34 (4). Американское физическое общество (APS): 694–704. Bibcode : 1962RvMP...34..694Y. doi : 10.1103/revmodphys.34.694. ISSN  0034-6861.
32. [см. главу Джона Бардина в: Cooperative Phenomena, ред. Х. Хакен и М. Вагнер (Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, 1973)]
33. Бардин, Дж.; Купер, Л. Н.; Шриффер, Дж. Р. (1957-12-01). «Теория сверхпроводимости». Physical Review . 108 (5). Американское физическое общество (APS): 1175–1204. Bibcode : 1957PhRv..108.1175B. doi : 10.1103/physrev.108.1175 . ISSN  0031-899X.
34. А. М. Переломов, Когерентные состояния для произвольных групп Ли, Commun. Math. Phys. 26 (1972) 222-236; arXiv: math-ph/0203002.
35. А. Переломов, Обобщенные когерентные состояния и их приложения , Springer, Берлин, 1986.
36. Гилмор, Роберт (1972). «Геометрия симметризованных состояний». Annals of Physics . 74 (2). Elsevier BV: 391–463. Bibcode : 1972AnPhy..74..391G. doi : 10.1016/0003-4916(72)90147-9. ISSN  0003-4916.
37. Гилмор, Р. (1974). «О свойствах когерентных состояний» (PDF) . Мексиканская физика . 23 (1–2): 143–187.
38. Г. Кайзер, Квантовая физика, теория относительности и комплексное пространство-время: на пути к новому синтезу , Северная Голландия, Амстердам, 1990.
39. ST Ali, JP. Antoine и JP. Gazeau, Когерентные состояния, вейвлеты и их обобщения , Springer-Verlag, Нью-Йорк, Берлин, Гейдельберг, 2000.
40. Анастопулос, Харис (2004-08-25). «Обобщенные когерентные состояния для спиновых релятивистских частиц». Журнал физики A: Mathematical and General . 37 (36): 8619–8637. arXiv : quant-ph/0312025 . Bibcode : 2004JPhA...37.8619A. doi : 10.1088/0305-4470/37/36/004. ISSN  0305-4470. S2CID  119064935.
41. Аштекар, Абхай; Левандовски, Ежи; Марольф, Дональд; Мурао, Жозе; Тиманн, Томас (1996). «Преобразования когерентных состояний для пространств связей». Журнал функционального анализа . 135 (2): 519–551. arXiv : gr-qc/9412014 . doi : 10.1006/jfan.1996.0018 . ISSN  0022-1236.
42. Sahlmann, H.; Thiemann, T.; Winkler, O. (2001). «Когерентные состояния для канонической квантовой общей теории относительности и бесконечное расширение тензорного произведения». Nuclear Physics B . 606 (1–2). Elsevier BV: 401–440. arXiv : gr-qc/0102038 . Bibcode :2001NuPhB.606..401S. doi :10.1016/s0550-3213(01)00226-7. ISSN  0550-3213. S2CID  17857852.