Линейная комбинация

Сумма членов, каждый из которых умножен на скаляр

В математике линейная комбинация или суперпозиция — это выражение, построенное из набора членов путем умножения каждого члена на константу и сложения результатов (например, линейной комбинацией x и y будет любое выражение вида ax + by , где a и b — константы). ^{[1] [2] [3] [4]} Концепция линейных комбинаций является центральной в линейной алгебре и смежных областях математики. Большая часть этой статьи посвящена линейным комбинациям в контексте векторного пространства над полем , с некоторыми обобщениями, приведенными в конце статьи.

Определение

Пусть V — векторное пространство над полем K. Как обычно, мы называем элементы V векторами , а элементы K — скалярами . Если v ₁ ,..., v _n — векторы, а a ₁ ,..., a _n — скаляры, то линейная комбинация этих векторов с этими скалярами в качестве коэффициентов равна

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Существует некоторая двусмысленность в использовании термина «линейная комбинация» относительно того, относится ли он к выражению или к его значению. В большинстве случаев значение подчеркивается, как в утверждении «множество всех линейных комбинаций v ₁ ,..., v _n всегда образует подпространство». Однако можно также сказать «две различные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение», и в этом случае ссылка делается на выражение. Тонкое различие между этими использованиями заключается в сути понятия линейной зависимости : семейство F векторов линейно независимо в точности тогда, когда любая линейная комбинация векторов в F (как значение) является уникальной (как выражение). В любом случае, даже если рассматривать их как выражения, все, что имеет значение в линейной комбинации, — это коэффициент каждого v _i ; тривиальные модификации, такие как перестановка членов или добавление членов с нулевым коэффициентом, не создают отдельных линейных комбинаций.

В данной ситуации K и V могут быть указаны явно, или они могут быть очевидны из контекста. В этом случае мы часто говорим о линейной комбинации векторов v ₁ ,..., v _n , с неуказанными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать K ). Или, если S является подмножеством V , мы можем говорить о линейной комбинации векторов в S , где и коэффициенты, и векторы неуказаны, за исключением того, что векторы должны принадлежать множеству S (а коэффициенты должны принадлежать K ). Наконец, мы можем говорить просто о линейной комбинации , где ничего не указано (за исключением того, что векторы должны принадлежать V , а коэффициенты должны принадлежать K ); в этом случае, вероятно, имеется в виду выражение, поскольку каждый вектор в V определённо является значением некоторой линейной комбинации.

Обратите внимание, что по определению линейная комбинация включает в себя только конечное число векторов (за исключением случаев, описанных в разделе § Обобщения). Однако множество S , из которого берутся векторы (если оно упомянуто), все равно может быть бесконечным ; каждая отдельная линейная комбинация будет включать в себя только конечное число векторов. Кроме того, нет причин, по которым n не может быть равно нулю ; в этом случае мы по соглашению заявляем, что результатом линейной комбинации является нулевой вектор в V .

Примеры и контрпримеры

Евклидовы векторы

Пусть поле K будет множеством R действительных чисел , а векторное пространство V будет евклидовым пространством R ³ . Рассмотрим векторы e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) и e ₃ = (0,0,1) . Тогда любой вектор в R ³ является линейной комбинацией e ₁ , e ₂ и  e ₃ .

Чтобы убедиться в этом, возьмем произвольный вектор ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) в R ³ и запишем:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$

Функции

Пусть K будет множеством C всех комплексных чисел , а V будет множеством C _C ( R ) всех непрерывных функций от действительной прямой R до комплексной плоскости C . Рассмотрим векторы (функции) f и g, определенные как f ( t ) := e ^it и g ( t ) := e ^{− it} . (Здесь e — основание натурального логарифма , около 2,71828..., а i — мнимая единица , квадратный корень из −1.) Некоторые линейные комбинации f и g  :

• ${\displaystyle \cos t={\tfrac {1}{2}}\,e^{it}+{\tfrac {1}{2}}\,e^{-it}}$
• ${\displaystyle 2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.}$

С другой стороны, постоянная функция 3 не является линейной комбинацией f и g . Чтобы увидеть это, предположим, что 3 можно записать как линейную комбинацию e ^it и e ^{− it} . Это означает, что существуют комплексные скаляры a и b такие, что ae ^it + be ^{− it} = 3 для всех действительных чисел t . Установка t = 0 и t = π дает уравнения a + b = 3 и a + b = −3 , и очевидно, что этого не может произойти. См. тождество Эйлера .

Полиномы

Пусть K — это R , C или любое поле, а V — множество P всех многочленов с коэффициентами, взятыми из поля K. Рассмотрим векторы (многочлены) p ₁  := 1, p ₂  := x + 1 и p ₃  := x ² + x + 1 .

Является ли многочлен x ²  − 1 линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ ? Чтобы выяснить это, рассмотрим произвольную линейную комбинацию этих векторов и попытаемся увидеть, когда она равна искомому вектору x ²  − 1. Выбирая произвольные коэффициенты a ₁ , a ₂ и a ₃ , мы хотим

${\displaystyle a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.}$

Перемножая многочлены, это означает, что

${\displaystyle (a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1}$

и собирая подобные степени x , получаем

${\displaystyle a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).}$

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, поэтому мы можем заключить

${\displaystyle a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.}$

Эту систему линейных уравнений можно легко решить. Во-первых, первое уравнение просто говорит, что a ₃ равно 1. Зная это, мы можем решить второе уравнение относительно a ₂ , что дает −1. Наконец, последнее уравнение говорит нам, что a ₁ также равно −1. Поэтому единственный возможный способ получить линейную комбинацию — с этими коэффициентами. Действительно,

${\displaystyle x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}}$

поэтому x ²  − 1 является линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и  p ₃ .

С другой стороны, что насчет многочлена x ³  − 1? Если мы попытаемся сделать этот вектор линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ , то, следуя тому же процессу, что и раньше, мы получим уравнение

${\displaystyle {\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}}$

Однако, если в этом случае приравнять соответствующие коэффициенты, то уравнение для x ³  будет иметь вид

${\displaystyle 0=1}$

что всегда ложно. Следовательно, это не может работать, и x ³  − 1 не является линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и  p ₃ .

Линейный промежуток

Возьмем произвольное поле K , произвольное векторное пространство V , и пусть v ₁ ,..., v _n будут векторами (в V ). Интересно рассмотреть множество всех линейных комбинаций этих векторов. Это множество называется линейной оболочкой (или просто оболочкой ) векторов, скажем S = { v ₁ , ..., v _n }. Мы записываем оболочку S как span( S ) ^{[5] [6]} или sp( S ):

${\displaystyle \operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.}$

Линейная независимость

Предположим, что для некоторых наборов векторов v ₁ ,..., v _n один вектор может быть записан двумя различными способами как их линейная комбинация:

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ where }}a_{i}\neq b_{i}.}$

Это эквивалентно тому, что, вычитая эти числа ( ), мы говорим, что нетривиальная комбинация равна нулю: ^{[7] [8]} ${\displaystyle c_{i}:=a_{i}-b_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

Если это возможно, то v ₁ ,..., v _n называются линейно зависимыми ; в противном случае они линейно независимы . Аналогично можно говорить о линейной зависимости или независимости произвольного набора S векторов.

Если S линейно независима и размах S равен V , то S является базисом для V.

Аффинные, конические и выпуклые комбинации

Ограничивая коэффициенты, используемые в линейных комбинациях, можно определить связанные с ними понятия аффинной комбинации , конической комбинации и выпуклой комбинации , а также связанные с ними понятия множеств, замкнутых относительно этих операций.

Поскольку это более ограниченные операции, большее количество подмножеств будет замкнуто при их выполнении, поэтому аффинные подмножества, выпуклые конусы и выпуклые множества являются обобщениями векторных подпространств: векторное подпространство также является аффинным подпространством, выпуклым конусом и выпуклым множеством, но выпуклое множество не обязательно должно быть векторным подпространством, аффинным или выпуклым конусом.

Эти концепции часто возникают, когда можно взять определенные линейные комбинации объектов, но не любые: например, распределения вероятностей замкнуты относительно выпуклой комбинации (они образуют выпуклое множество), но не конической или аффинной комбинации (или линейной), а положительные меры замкнуты относительно конической комбинации, но не аффинной или линейной – поэтому мы определяем знаковые меры как линейное замыкание.

Линейные и аффинные комбинации могут быть определены над любым полем (или кольцом), но конические и выпуклые комбинации требуют понятия «положительны» и, следовательно, могут быть определены только над упорядоченным полем (или упорядоченным кольцом ), как правило, действительными числами.

Если разрешить только скалярное умножение, но не сложение, то получится (не обязательно выпуклый) конус ; часто ограничивают определение, разрешая только умножение на положительные скаляры.

Все эти концепции обычно определяются как подмножества окружающего векторного пространства (за исключением аффинных пространств, которые также рассматриваются как «векторные пространства, забывающие начало координат»), а не аксиоматизируются независимо.

Теория операд

Более абстрактно, на языке теории операд можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой (бесконечная прямая сумма , так что только конечное число членов не равны нулю; это соответствует взятию только конечных сумм), что параметризует линейные комбинации: например , вектор соответствует линейной комбинации . Аналогично можно рассматривать аффинные комбинации, конические комбинации и выпуклые комбинации как соответствующие подоперадам, где сумма членов равна 1, все члены неотрицательны или и то, и другое соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается под бытием или стандартным симплексом, являющимся модельными пространствами, и такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь подоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle (2,3,-5,0,\dots )}$ ${\displaystyle 2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

С этой точки зрения мы можем рассматривать линейные комбинации как наиболее общий вид операций над векторным пространством. Утверждение, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, в точности соответствует утверждению, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейными комбинациями.

Базовые операции сложения и скалярного умножения, а также существование аддитивного тождества и аддитивных обратных не могут быть объединены более сложным способом, чем общая линейная комбинация: базовые операции представляют собой порождающий набор для операды всех линейных комбинаций.

В конечном счете, этот факт лежит в основе полезности линейных комбинаций при изучении векторных пространств.

Обобщения

Если V — топологическое векторное пространство , то может быть способ придать смысл некоторым бесконечным линейным комбинациям, используя топологию V. Например, мы могли бы говорить о a ₁ v ₁  + a ₂ v ₂  + a ₃ v ₃  + ⋯, продолжающихся вечно. Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл; мы называем их сходящимися , когда они имеют. Разрешение большего количества линейных комбинаций в этом случае также может привести к другой концепции диапазона, линейной независимости и базиса. Статьи о различных разновидностях топологических векторных пространств более подробно рассматривают это.

Если K — коммутативное кольцо, а не поле, то все, что было сказано выше о линейных комбинациях, обобщается на этот случай без изменений. Единственное отличие состоит в том, что мы называем такие пространства V модулями, а не векторными пространствами. Если K — некоммутативное кольцо, то концепция по-прежнему обобщается, с одной оговоркой: поскольку модули над некоммутативными кольцами существуют в левой и правой версиях, наши линейные комбинации также могут существовать в любой из этих версий, в зависимости от того, что подходит для данного модуля. Это просто вопрос выполнения скалярного умножения на правильной стороне.

Более сложный поворот происходит, когда V является бимодулем над двумя кольцами, K _L и K _R. В этом случае наиболее общая линейная комбинация выглядит как

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}}$

где a ₁ ,..., a _n принадлежат K _L , b ₁ ,..., b _n принадлежат K _R , а v ₁ ,…, v _n принадлежат V .

Смотрите также

• Взвешенная сумма

Цитаты

1. Стрэнг (2016) стр. 3, § 1.1
2. Лэй, Лэй и Макдональд (2016) стр. 28, гл. 1
3. Акслер (2015) стр. 28, § 2.3
4. nLab (2015) Линейные комбинации.
5. Акслер (2015) стр. 29-30, §§ 2.5, 2.8
6. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 9, § 1.2.3
7. Акслер (2015) стр. 32-33, §§ 2.17, 2.19
8. Кацнельсон и Кацнельсон (2008), с. 14, § 1.3.2

Ссылки

Учебник

• Axler, Sheldon Jay (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . doi :10.1007/978-3-319-11080-6. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Lay, David C.; Lay, Steven R.; McDonald, Judi J. (2016). Линейная алгебра и ее приложения (5-е изд.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
• Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (5-е изд.). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Веб

• «Линейные комбинации». nLab . 27 октября 2015 г. . Получено 16 февраля 2021 г. .

Внешние ссылки

• Линейные комбинации и диапазон: Понимание линейных комбинаций и диапазонов векторов, khanacademy.org.