Фазор

Complex number representing a particular sine wave

Пример последовательной схемы RLC и соответствующей векторной диаграммы для конкретного ω . Стрелки на верхней диаграмме представляют собой векторы, нарисованные на векторной диаграмме ( показана комплексная плоскость без оси), которые не следует путать со стрелками на нижней диаграмме, которые являются опорной полярностью для напряжений и опорным направлением тока . .

В физике и технике вектор ( сумма фазового вектора ^{[1] [2]} ) представляет собой комплексное число , представляющее синусоидальную функцию , амплитуда которой ( A ) и начальная фаза ( θ ) инвариантны во времени и чья угловая частота ( ω ) фиксированный. Это связано с более общей концепцией, называемой аналитическим представлением ^[3] , которая разлагает синусоиду на произведение комплексной константы и коэффициента, зависящего от времени и частоты. Комплексная константа, которая зависит от амплитуды и фазы, известна как вектор , или комплексная амплитуда , ^{[4] [5]} и (в старых текстах) синор ^[6] или даже комплексор . ^[6]

Обычное применение - анализ установившегося состояния электрической сети, питаемой изменяющимся во времени током , где все сигналы считаются синусоидальными с общей частотой. Векторное представление позволяет аналитику представлять амплитуду и фазу сигнала, используя одно комплексное число. Единственная разница в их аналитических представлениях — это комплексная амплитуда (вектор). Линейную комбинацию таких функций можно представить как линейную комбинацию векторов (известных как векторная арифметика или векторная алгебра ^{[7] : 53} ) и фактора, зависящего от времени/частоты, который у них всех общий.

Происхождение термина «фазор» по праву предполагает, что (диаграмматическое) исчисление, несколько похожее на то, которое возможно для векторов, возможно и для векторов. ^[6] Важной дополнительной особенностью векторного преобразования является то, что дифференцирование и интегрирование синусоидальных сигналов (имеющих постоянную амплитуду, период и фазу) соответствует простым алгебраическим операциям над векторами; Таким образом, векторное преобразование позволяет анализировать (рассчитывать) установившееся состояние переменного тока цепей RLC путем решения простых алгебраических уравнений (хотя и с комплексными коэффициентами) в векторной области вместо решения дифференциальных уравнений (с действительными коэффициентами) во временной области. ^{[8] [9] [a]} Создателем векторного преобразования был Чарльз Протеус Штайнмец, работавший в General Electric в конце 19 века. ^{[10] [11]} Его вдохновил Оливер Хевисайд . Операционное исчисление Хевисайда было изменено так, что переменная p стала jω. Комплексное число j имеет простой смысл: фазовый сдвиг. ^[12]

Опуская некоторые математические детали, векторное преобразование также можно рассматривать как частный случай преобразования Лапласа (ограниченного одной частотой), которое, в отличие от векторного представления, можно использовать для (одновременного) получения переходного отклика RLC-схема. ^{[9] [11]} Однако преобразование Лапласа математически сложнее применить, и усилия могут быть неоправданными, если требуется только анализ устойчивого состояния. ^[11]

Рис 2. При изображении функции на комплексной плоскости вектор, образованный ее мнимой и действительной частями, вращается вокруг начала координат. Его величина равна A , и он совершает один цикл каждые 2 π /ω. θ — это угол, который он образует с положительной действительной осью в момент t = 0 (и в момент t = n 2 π / ω для всех целых значений n ). ${\displaystyle A\cdot e^{i(\omega t+\theta )}}$

Обозначения

Фазорная нотация (также известная как угловая нотация ) — математическая нотация, используемая в электронике и электротехнике . Вектор, полярными координатами которого являются величина и угол , записан ^[13] и может представлять собой либо вектор , либо комплексное число согласно формуле Эйлера с , оба из которых имеют величины 1. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle A\angle \theta .}$ ${\displaystyle 1\angle \theta }$ ${\displaystyle (\cos \theta ,\,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Угол может быть указан в градусах с подразумеваемым преобразованием градусов в радианы . Например, предполагается, что такое вектор или число. ${\displaystyle 1\angle 90}$ ${\displaystyle 1\angle 90^{\circ },}$ ${\displaystyle (0,\,1)}$ ${\displaystyle e^{i\pi /2}=i.}$

Определение

Действительная синусоида с постоянной амплитудой, частотой и фазой имеет форму:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ),}$

где только параметр зависит от времени. Включение мнимой составляющей : ${\displaystyle t}$

${\displaystyle i\cdot A\sin(\omega t+\theta )}$

придает ему в соответствии с формулой Эйлера факторинговое свойство, описанное в первом абзаце:

${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta )+i\cdot A\sin(\omega t+\theta )=Ae^{i(\omega t+\theta )}=Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t},}$

действительной частью которого является исходная синусоида. Преимущество комплексного представления состоит в том, что линейные операции с другими комплексными представлениями дают комплексный результат, действительная часть которого отражает те же линейные операции с действительными частями других комплексных синусоид. Более того, все математические вычисления можно выполнить, используя только векторы, и общий множитель повторно вставляется перед действительной частью результата. ${\displaystyle Ae^{i\theta },}$ ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

Функция представляет собой аналитическое представление рисунка 2, изображающего ее как вращающийся вектор в комплексной плоскости. Иногда удобно называть всю функцию вектором [ ^14] , как мы это делаем в следующем разделе. ${\displaystyle Ae^{i(\omega t+\theta )}}$ ${\displaystyle A\cos(\omega t+\theta ).}$

Арифметика

Умножение на константу (скаляр)

Умножение вектора на комплексную константу дает другой вектор. Это означает, что его единственный эффект — изменить амплитуду и фазу основной синусоиды: ${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$ ${\displaystyle Be^{i\phi }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

В электронике это будет представлять собой импеданс , не зависящий от времени. В частности, это не сокращенное обозначение другого вектора. Умножение векторного тока на импеданс дает векторное напряжение. Но произведение двух векторов (или возведение вектора в квадрат) будет представлять собой произведение двух синусоид, что представляет собой нелинейную операцию, создающую новые частотные компоненты. Векторные обозначения могут представлять только системы с одной частотой, такие как линейная система, стимулируемая синусоидой. ${\displaystyle Be^{i\phi }}$

Добавление

Сумма векторов как сложение вращающихся векторов

Сумма нескольких векторов создает еще один вектор. Это связано с тем, что сумма синусоидов одной и той же частоты также является синусоидой этой частоты:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{1}e^{i\theta _{1}}+A_{2}e^{i\theta _{2}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(\left(A_{3}e^{i\theta _{3}}\right)e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&A_{3}\cos(\omega t+\theta _{3}),\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

и, если взять , то : ${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$ ${\displaystyle \theta _{3}}$

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$если с функцией Signum ; ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$если ; ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$если . ${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$

или, посредством закона косинусов на комплексной плоскости (или тригонометрического тождества для разностей углов ):

$${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$

${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

Ключевым моментом является то, что A ₃ и θ ₃ не зависят от ω или t , что делает возможной векторную запись. Зависимость от времени и частоты можно подавить и повторно включить в результат, если между ними используются только те операции, которые создают другой вектор. В угловых обозначениях показанная выше операция записывается:

$${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

Другой способ представления сложения состоит в том, что два вектора с координатами [ A ₁ cos( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] и [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] векторно добавляются для получения результирующего вектора с координатами [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (см. анимацию).

Векторная диаграмма трех волн в условиях идеальной деструктивной интерференции

В физике такое сложение происходит, когда синусоиды конструктивно или деструктивно мешают друг другу. Концепция статического вектора дает полезную информацию для решения таких вопросов: «Какая разность фаз потребуется между тремя одинаковыми синусоидами для идеального подавления?» В этом случае просто представьте, что вы берете три вектора одинаковой длины и размещаете их лицом к хвосту так, чтобы последняя голова совпадала с первым хвостом. Очевидно, что форма, которая удовлетворяет этим условиям, представляет собой равносторонний треугольник , поэтому угол между каждым вектором к следующему составляет 120 ° ( 2 π ⁄ 3  радиан), или одну треть длины волны λ ⁄ 3 . Таким образом, разность фаз между каждой волной также должна составлять 120°, как и в случае трехфазной мощности .

Другими словами, это показывает, что:

$${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

В примере с тремя волнами разность фаз между первой и последней волной составила 240°, а для двух волн деструктивная интерференция происходит при 180°. В пределе множества волн векторы должны образовывать круг деструктивной интерференции, так чтобы первый вектор был почти параллелен последнему. Это означает, что для многих источников деструктивная интерференция возникает, когда первая и последняя волны различаются на 360 градусов, то есть на полную длину волны . Вот почему при дифракции на одной щели минимумы возникают, когда свет от дальнего края проходит на полную длину волны дальше, чем свет от ближнего края. ${\displaystyle \lambda }$

Поскольку одиночный вектор вращается против часовой стрелки, его кончик в точке A повернется на один полный оборот на 360 ° или 2 π  радиан, что соответствует одному полному циклу. Если длину его движущегося кончика перенести на график с разными угловыми интервалами во времени, как показано выше, будет нарисован синусоидальный сигнал, начиная слева с нулевым временем. Каждая позиция по горизонтальной оси указывает время, прошедшее с нулевого времени, t = 0 . Когда вектор горизонтален, кончик вектора представляет углы 0°, 180° и 360°.

Аналогично, когда кончик вектора вертикальен, он представляет положительное пиковое значение ( + A _max ) при 90 ° или π ⁄ 2 и отрицательное пиковое значение ( − A _max ) при 270 ° или 3 π ⁄ 2 . Тогда ось времени сигнала представляет угол в градусах или радианах, на который переместился вектор. Таким образом, мы можем сказать, что вектор представляет собой масштабированное значение напряжения или тока вращающегося вектора, который «заморожен» в какой-то момент времени ( t ), а в нашем примере выше он находится под углом 30 °.

Иногда, когда мы анализируем переменные сигналы, нам может потребоваться знать положение вектора, представляющего переменную величину в определенный момент времени, особенно когда мы хотим сравнить два разных сигнала на одной оси. Например, напряжение и ток. В приведенной выше форме сигнала мы предположили, что сигнал начинается в момент времени t = 0 с соответствующим фазовым углом в градусах или радианах.

Но если второй сигнал начинается слева или справа от этой нулевой точки, или если мы хотим представить в векторной форме связь между двумя формами сигнала, тогда нам нужно будет принять во внимание эту разность фаз Φ сигнала . . Рассмотрим диаграмму ниже из предыдущего урока «Разница фаз».

Дифференциация и интеграция

Производная по времени или интеграл вектора создает другой вектор. ^[б] Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Следовательно, в векторном представлении производная синусоиды по времени становится просто умножением на константу . ${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$

Аналогично, интегрирование вектора соответствует умножению на Фактор, зависящий от времени, не затрагивается. ${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$ ${\displaystyle e^{i\omega t},}$

Когда мы решаем линейное дифференциальное уравнение с помощью векторной арифметики, мы просто выносим на множители все члены уравнения и повторно вставляем их в ответ. Например, рассмотрим следующее дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе в RC-цепи : ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

Когда источник напряжения в этой цепи синусоидальный:

$${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

мы можем заменить ${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$

${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$ ${\displaystyle V_{\text{c}}}$

В векторной сокращенной записи дифференциальное уравнение сводится к:

$${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

Вывод

Поскольку это должно выполняться для всех , а именно: отсюда следует, что: ${\displaystyle t}$ ${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$

Также легко заметить, что:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

Подставив их в уравнения 1 и 2 , умножив уравнение 2 на и сложив оба уравнения, получим: ${\displaystyle i,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}}$$

Решение векторного напряжения конденсатора дает:

$${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

Как мы видели, умножение коэффициента представляет собой разницу амплитуды и фазы относительно и ${\displaystyle V_{\text{s}}}$ ${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$ ${\displaystyle V_{\text{P}}}$ ${\displaystyle \theta .}$

В форме полярных координат первый член последнего выражения имеет вид:

$${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$

${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$

Поэтому:

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

Соотношение векторов

Величина, называемая комплексным импедансом , представляет собой отношение двух векторов, которое не является вектором, поскольку не соответствует синусоидально изменяющейся функции.

Приложения

Окружные законы

С помощью векторов методы решения цепей постоянного тока можно применять для решения линейных цепей переменного тока. ^[а]

Закон Ома для резисторов

Резистор не имеет временных задержек и, следовательно , не меняет фазу сигнала, поэтому V = IR остается действительным.

Закон Ома для резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов.

V = IZ , где Z — комплексный импеданс .

Законы цепи Кирхгофа

Работайте с напряжениями и токами как с комплексными векторами.

В цепи переменного тока у нас есть активная мощность ( P ), которая представляет собой среднюю мощность в цепи, и реактивную мощность ( Q ), которая указывает на мощность, текущую туда и обратно. Мы также можем определить комплексную мощность S = P + jQ и полную мощность , которая является величиной S. Степенной закон для цепи переменного тока, выраженный в векторах, тогда S = VI ^* (где I ^* - комплексно-сопряженное число I , а величины векторов напряжения и тока V и I - это среднеквадратичные значения напряжения и тока, соответственно).

Учитывая это, мы можем применять методы анализа резистивных цепей с векторами для анализа одночастотных линейных цепей переменного тока, содержащих резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности . Многочастотные линейные цепи переменного тока и цепи переменного тока с различными формами сигналов можно анализировать для определения напряжений и токов путем преобразования всех форм сигналов в компоненты синусоидальной волны (с использованием ряда Фурье ) с величиной и фазой, а затем анализируя каждую частоту отдельно, как это разрешено теоремой суперпозиции . Этот метод решения применим только к синусоидальным входным сигналам и к решениям, находящимся в установившемся состоянии, т. е. после того, как все переходные процессы затухли. ^[15]

Эта концепция часто используется для представления электрического импеданса . В этом случае фазовый угол представляет собой разность фаз между напряжением, приложенным к импедансу, и током, протекающим через него.

Энергетика

При анализе трехфазных систем переменного тока обычно набор векторов определяется как три комплексных кубических корня из единицы , графически представленных в виде единичных величин под углами 0, 120 и 240 градусов. Рассматривая величины многофазной цепи переменного тока как векторы, можно упростить симметричные схемы, а несимметричные схемы можно рассматривать как алгебраическую комбинацию симметричных компонентов . Этот подход значительно упрощает работу, необходимую для электрических расчетов падения напряжения, потока мощности и токов короткого замыкания. В контексте анализа энергосистем фазовый угол часто указывается в градусах , а величина - в среднеквадратичном значении, а не в пиковой амплитуде синусоиды.

Метод синхрофазоров использует цифровые инструменты для измерения векторов, представляющих напряжения системы передачи в широко распространенных точках сети передачи. Различия между векторами указывают на поток мощности и стабильность системы.

Телекоммуникации: аналоговые модуляции

A: векторное представление амплитудной модуляции, B: альтернативное представление амплитудной модуляции, C: векторное представление частотной модуляции, D: альтернативное представление частотной модуляции

Изображение вращающегося кадра с использованием вектора может быть мощным инструментом для понимания аналоговых модуляций, таких как амплитудная модуляция (и ее варианты ^[16] ) и частотная модуляция .

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$

Вектор имеет длину , вращается против часовой стрелки со скоростью оборотов в секунду и в определенный момент времени составляет угол по отношению к положительной действительной оси. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \theta }$

Тогда форму сигнала можно рассматривать как проекцию этого вектора на действительную ось. Модулированный сигнал представлен этим вектором (несущая) и двумя дополнительными векторами (векторами модуляции). Если модулирующий сигнал представляет собой один тон формы , где – глубина модуляции, а – частота модулирующего сигнала, то для амплитудной модуляции два вектора модуляции определяются выражением: ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

Два вектора модуляции фазированы так, что их векторная сумма всегда находится в фазе с вектором несущей. Альтернативное представление — это два вектора, вращающиеся навстречу друг другу вокруг конца вектора несущей со скоростью относительно вектора несущей. То есть, ${\displaystyle f_{m}}$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

Частотная модуляция представляет собой аналогичное представление, за исключением того, что модулирующие векторы не находятся в фазе с несущей. В этом случае векторная сумма модулирующих векторов сдвигается на 90° от фазы несущей. Строго говоря, представление частотной модуляции требует дополнительных небольших векторов модуляции в и т. д., но для большинства практических целей они игнорируются, поскольку их эффект очень мал. ${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$

Смотрите также

• Синфазные и квадратурные составляющие
  • Диаграмма созвездия
• Аналитический сигнал — обобщение векторов для изменяющихся во времени амплитуды, фазы и частоты.
  • Сложный конверт
• Фазовый коэффициент , вектор единичной величины

Сноски

1. Включая анализ цепей переменного тока. ^{[7] : 53}
2. Это означает , что комплексная экспонента является собственной функцией оператора производной. ${\textstyle {\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},}$

Рекомендации

1. Хью Фокс; Уильям Болтон (2002). Математика для инженеров и технологов . Баттерворт-Хайнеманн. п. 30. ISBN 978-0-08-051119-1.
2. Clay Rawlins (2000). Basic AC Circuits (2nd ed.). Newnes. p. 124. ISBN 978-0-08-049398-5.
3. Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
4. K. S. Suresh Kumar (2008). Electric Circuits and Networks. Pearson Education India. p. 272. ISBN 978-81-317-1390-7.
5. Kequian Zhang; Dejie Li (2007). Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics (2nd ed.). Springer Science & Business Media. p. 13. ISBN 978-3-540-74296-8.
6. J. Hindmarsh (1984). Electrical Machines & their Applications (4th ed.). Elsevier. p. 58. ISBN 978-1-4832-9492-6.
7. Gross, Charles A. (2012). Fundamentals of electrical engineering. Thaddeus Adam Roppel. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4398-9807-9. OCLC 863646311.
8. William J. Eccles (2011). Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals. Morgan & Claypool Publishers. p. 51. ISBN 978-1-60845-668-0.
9. Richard C. Dorf; James A. Svoboda (2010). Introduction to Electric Circuits (8th ed.). John Wiley & Sons. p. 661. ISBN 978-0-470-52157-1.
10. Allan H. Robbins; Wilhelm Miller (2012). Circuit Analysis: Theory and Practice (5th ed.). Cengage Learning. p. 536. ISBN 978-1-285-40192-8.
11. Won Y. Yang; Seung C. Lee (2008). Circuit Systems with MATLAB and PSpice. John Wiley & Sons. pp. 256–261. ISBN 978-0-470-82240-1.
12. Basil Mahon (2017). The Forgotten Genius of Oliver Heaviside (1st ed.). Prometheus Books Learning. p. 230. ISBN 978-1-63388-331-4.
13. Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Electric circuits (8th ed.). Prentice Hall. p. 338. ISBN 978-0-13-198925-2., Chapter 9, page 338
14. Singh, Ravish R (2009). "Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities". Electrical Networks. Mcgraw Hill Higher Education. p. 4.13. ISBN 978-0070260962.
15. Clayton, Paul (2008). Introduction to electromagnetic compatibility. Wiley. p. 861. ISBN 978-81-265-2875-2.
16. de Oliveira, H.M. and Nunes, F.D. About the Phasor Pathways in Analogical Amplitude Modulations. International Journal of Research in Engineering and Science (IJRES) Vol.2, N.1, Jan., pp.11-18, 2014. ISSN 2320-9364

Further reading

• Douglas C. Giancoli (1989). Physics for Scientists and Engineers. Prentice Hall. ISBN 0-13-666322-2.
• Dorf, Richard C.; Tallarida, Ronald J. (1993-07-15). Pocket Book of Electrical Engineering Formulas (1 ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. pp. 152–155. ISBN 0849344735.

External links

• Phasor Phactory
• Visual Representation of Phasors
• Polar and Rectangular Notation
• Phasor in Telecommunication