В математике эквивалентные определения используются двумя несколько различными способами. Во-первых, в рамках конкретной математической теории (например, евклидовой геометрии ) понятие (например, эллипс или минимальная поверхность ) может иметь более одного определения. Эти определения эквивалентны в контексте заданной математической структуры ( евклидово пространство , в данном случае). Во-вторых, математическая структура может иметь более одного определения (например, топологическое пространство имеет не менее семи определений ; упорядоченное поле имеет не менее двух определений ).
В первом случае эквивалентность двух определений означает, что математический объект (например, геометрическое тело) удовлетворяет одному определению тогда и только тогда, когда он удовлетворяет другому определению.
В последнем случае значение эквивалентности (между двумя определениями структуры) более сложно, поскольку структура более абстрактна, чем объект. Многие различные объекты могут реализовывать одну и ту же структуру.
Натуральные числа могут быть реализованы как 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {0, 1} = {{ }, {{ }}}, 3 = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} и так далее; или альтернативно как 0 = { }, 1 = {0} ={{ }}, 2 = {1} = {{{ }}} и так далее. Это две разные, но изоморфные реализации натуральных чисел в теории множеств. Они изоморфны как модели аксиом Пеано , то есть тройки ( N ,0, S ), где N — множество, 0 — элемент N , а S (называемая функцией-последователем ) — отображение N в себя (удовлетворяющее соответствующим условиям). В первой реализации S ( n ) = n ∪ { n }; во второй реализации S ( n ) = { n }. Как подчеркивается в задаче идентификации Бенацеррафа , две реализации различаются в своем ответе на вопрос, 0 ∈ 2; однако, это не законный вопрос о натуральных числах (поскольку отношение ∈ не предусмотрено соответствующей сигнатурой(ями), см. следующий раздел). [подробнее 1] Аналогично, различные, но изоморфные реализации используются для комплексных чисел .
Функция преемника S на натуральных числах приводит к арифметическим операциям , сложению и умножению, и общему порядку, тем самым наделяя N упорядоченной полукольцевой структурой. Это пример выведенной структуры. Упорядоченная полукольцевая структура ( N , +, ·, ≤) выводится из структуры Пеано ( N , 0, S ) с помощью следующей процедуры: n + 0 = n , m + S ( n ) = S ( m + n ), m · 0 = 0, m · S ( n ) = m + ( m · n ), и m ≤ n тогда и только тогда, когда существует k ∈ N, такое что m + k = n . И наоборот, структура Пеано выводится из упорядоченной полукольцевой структуры следующим образом: S ( n ) = n + 1, а 0 определяется как 0 + 0 = 0. Это означает, что две структуры на N эквивалентны с помощью двух процедур.
Две изоморфные реализации натуральных чисел, упомянутые в предыдущем разделе, изоморфны как тройки ( N ,0, S ), то есть структуры одной и той же сигнатуры (0, S ), состоящие из постоянного символа 0 и унарной функции S. Упорядоченная полукольцевая структура ( N ,+,·,≤) имеет другую сигнатуру (+,·,≤), состоящую из двух бинарных функций и одного бинарного отношения. Понятие изоморфизма не применяется к структурам с разными сигнатурами. В частности, структура Пеано не может быть изоморфна упорядоченному полукольцу. Однако упорядоченное полукольцо, выведенное из структуры Пеано, может быть изоморфно другому упорядоченному полукольцу. Такое отношение между структурами с разными сигнатурами иногда называют криптоморфизмом .
Структура может быть реализована в рамках теории множеств ZFC или другой теории множеств, такой как NBG , NFU , ETCS. [1] В качестве альтернативы структура может рассматриваться в рамках логики первого порядка , логики второго порядка , логики высшего порядка , теории типов , теории гомотопических типов и т. д. [подробнее 2]
Согласно Бурбаки , шкала множеств на данном множестве X состоит из всех множеств, возникающих из X путем взятия декартовых произведений и степенных множеств в любой комбинации конечное число раз. Примеры: X ; X × X ; P ( X ); P ( P ( X × X ) × X × P ( P ( X ))) × X . (Здесь A × B — произведение A и B , а P ( A ) — степенное множество A .) В частности, пара (0, S ), состоящая из элемента 0 ∈ N и унарной функции S : N → N , принадлежит N × P ( N × N ) (так как функция является подмножеством декартового произведения ). Тройка (+, ·, ≤), состоящая из двух бинарных функций N × N → N и одного бинарного отношения на N, принадлежит P ( N × N × N ) × P ( N × N × N ) × P ( N × N ). Аналогично, каждая алгебраическая структура на множестве принадлежит соответствующему множеству в шкале множеств на X .
Неалгебраические структуры на множестве X часто включают в себя множества подмножеств X (то есть подмножества P ( X ), другими словами, элементы P ( P ( X ))). Например, структура топологического пространства , называемая топологией на X , рассматриваемая как множество «открытых» множеств ; или структура измеримого пространства, рассматриваемая как σ-алгебра «измеримых» множеств; обе являются элементами P ( P ( X )). Это структуры второго порядка. [2]
Более сложные неалгебраические структуры объединяют алгебраическую составляющую и неалгебраическую составляющую. Например, структура топологической группы состоит из топологии и структуры группы. Таким образом, она принадлежит произведению P ( P ( X )) и другого («алгебраического») множества в шкале; это произведение снова является множеством в шкале.
Если заданы два множества X , Y и биекция f : X → Y , то строятся соответствующие биекции между масштабными множествами. А именно, биекция X × X → Y × Y переводит ( x 1 , x 2 ) в ( f ( x 1 ), f ( x 2 )); биекция P ( X ) → P ( Y ) переводит подмножество A из X в его образ f ( A ) в Y ; и так далее, рекурсивно: масштабное множество является либо произведением масштабных множеств, либо степенным множеством масштабного множества, применяется одна из двух конструкций.
Пусть ( X , U ) и ( Y , V ) — две структуры одной и той же сигнатуры. Тогда U принадлежит масштабному множеству S X , а V принадлежит соответствующему масштабному множеству S Y . Используя биекцию F : S X → S Y , построенную из биекции f : X → Y , можно определить:
Это общее понятие изоморфизма обобщает многие менее общие понятия, перечисленные ниже.
На самом деле, Бурбаки предусматривает две дополнительные особенности. Во-первых, можно использовать несколько множеств X 1 , ..., X n (так называемые главные базовые множества), а не одно множество X . Однако эта особенность малополезна. Все перечисленные выше элементы используют одно главное базовое множество. Во-вторых, можно использовать так называемые вспомогательные базовые множества E 1 , ..., E m . Эта особенность широко используется. Действительно, структура векторного пространства предусматривает не только сложение X × X → X , но и скалярное умножение R × X → X (если R — поле скаляров). Таким образом, R — вспомогательное базовое множество (называемое также «внешним» [3] ). Шкала множеств состоит из всех множеств, возникающих из всех базовых множеств (как главных, так и вспомогательных) путем взятия декартовых произведений и степенных множеств. Тем не менее, отображение f (возможно, изоморфизм) действует только на X ; вспомогательные множества наделены тождественными отображениями. (Однако случай n главных множеств приводит к n картам.)
Несколько утверждений, сформулированных Бурбаки без упоминания категорий, можно легко переформулировать на языке теории категорий . Сначала немного терминологии.
Предложение. [7] Каждая схема построения эшелона приводит к функтору из Set* в себя.
В частности, группа перестановок множества X действует на каждое масштабное множество S X .
Для того чтобы сформулировать еще одно предложение, необходимо понятие «виды структур», поскольку ступенчатая схема построения дает только предварительную информацию о структуре. Например, коммутативные группы и (произвольные) группы — это два разных вида одной и той же ступенчатой схемы построения. Другой пример: топологические пространства и измеримые пространства. Они различаются так называемой аксиомой вида. Эта аксиома представляет собой конъюнкцию всех требуемых свойств, таких как «умножение ассоциативно» для групп или «объединение открытых множеств является открытым множеством» для топологических пространств.
Предложение. [8] Каждый вид структур приводит к функтору из Set* в себя.
Пример. Для видов групп функтор F отображает множество X в множество F ( X ) всех групповых структур на X . Для видов топологических пространств функтор F отображает множество X в множество F ( X ) всех топологий на X . Морфизм F ( f ) : F ( X ) → F ( Y ), соответствующий биекции f : X → Y , является переносом структур. Топологии на Y биективно соответствуют топологиям на X . То же самое справедливо для групповых структур и т. д.
В частности, множество всех структур данного вида на данном множестве инвариантно относительно действия группы перестановок на соответствующем масштабном множестве S X и является неподвижной точкой действия группы на другом масштабном множестве P ( S X ). Однако не все неподвижные точки этого действия соответствуют видам структур. [подробнее 5]
При наличии двух видов Бурбаки определяет понятие «процедура выведения» (структуры второго вида из структуры первого вида). [9] Пара взаимно обратных процедур выведения приводит к понятию «эквивалентные виды». [10]
Пример. Структура топологического пространства может быть определена как топология открытого множества или, альтернативно, как топология закрытого множества . Две соответствующие процедуры вывода совпадают; каждая из них заменяет все заданные подмножества X их дополнениями . В этом смысле это два эквивалентных вида.
В общем определении Бурбаки процедура вывода может включать изменение основного базового множества(й), но этот случай здесь не рассматривается. На языке теории категорий получается следующий результат.
Предложение. [10] Эквивалентность между двумя видами структур приводит к естественному изоморфизму между соответствующими функторами.
Однако, в общем случае, не все естественные изоморфизмы между этими функторами соответствуют эквивалентностям между видами. [подробнее 6]
На практике не делается различий между эквивалентными видами структур. [10]
Обычно текст, основанный на натуральных числах (например, статья « простое число »), не указывает используемое определение натуральных чисел. Аналогично, текст, основанный на топологических пространствах (например, статья « гомотопия » или « индуктивная размерность »), не указывает используемое определение топологического пространства. Таким образом, возможно (и весьма вероятно), что читатель и автор интерпретируют текст по-разному, в соответствии с разными определениями. Тем не менее, коммуникация успешна, что означает, что такие разные определения можно считать эквивалентными.
Человек, знакомый с топологическими пространствами, знает основные отношения между окрестностями, сходимостью, непрерывностью, границей, замыканием, внутренностью, открытыми множествами, замкнутыми множествами и ему не нужно знать, что некоторые из этих понятий являются «первичными», предусмотренными в определении топологического пространства, в то время как другие являются «вторичными», характеризуемыми в терминах «первичных» понятий. Более того, зная, что подмножества топологического пространства сами являются топологическими пространствами, а также произведениями топологических пространств, человек способен построить некоторые новые топологические пространства независимо от определения.
Таким образом, на практике топология на множестве рассматривается как абстрактный тип данных , который предоставляет все необходимые понятия (и конструкторы ), но скрывает различие между «первичными» и «вторичными» понятиями. То же самое относится и к другим видам математических структур. «Интересно, что формализация структур в теории множеств — это та же задача, что и формализация структур для компьютеров». [14]
Как уже упоминалось, эквивалентность между двумя видами структур приводит к естественному изоморфизму между соответствующими функторами. Однако « естественный » не означает « канонический ». Естественное преобразование, как правило, не является уникальным.
Пример. Рассмотрим снова две эквивалентные структуры для натуральных чисел. Одна из них — «структура Пеано» (0, S ), другая — структура (+, ·, ≤) упорядоченного полукольца. Если множество X наделено обеими структурами, то, с одной стороны, X = { a 0 , a 1 , a 2 , ... }, где S ( a n ) = a n +1 для всех n и 0 = a 0 ; и с другой стороны, X = { b 0 , b 1 , b 2 , ... }, где b m + n = b m + b n , b m · n = b m · b n , и b m ≤ b n тогда и только тогда, когда m ≤ n . Требуя, чтобы a n = b n для всех n , получаем каноническую эквивалентность между двумя структурами. Однако можно также потребовать a 0 = b 1 , a 1 = b 0 и a n = b n для всех n > 1, получив таким образом другой, неканонический, естественный изоморфизм. Более того, каждая перестановка набора индексов { 0, 1, 2, ... } приводит к естественному изоморфизму; их несчетно много!
Другой пример. Структура (простого) графа на множестве вершин V = {1, 2, ..., n} может быть описана с помощью его матрицы смежности , (0,1)-матрицы размера n × n (с нулями на диагонали). В более общем смысле, для произвольного V может быть использована функция смежности на V × V. Каноническая эквивалентность задается правилом: «1» означает «связанный» (с ребром), «0» означает «не связан». Однако может быть использовано другое правило: «0» означает «связанный», «1» означает «не связанный», что приводит к другой, естественной, но не канонической эквивалентности. В этом примере каноничность является скорее вопросом соглашения. Но вот худший случай. Вместо «0» и «1» можно использовать, скажем, две возможные ориентации плоскости R2 ( «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки»). В этом случае трудно выбрать каноническое правило!
«Естественный» — это четко определенное математическое понятие, но оно не гарантирует уникальности. «Канонический» — гарантирует, но в целом более или менее условен. Последовательный выбор канонических эквивалентностей — неизбежный компонент эквивалентных определений математических структур.
{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ).