Конус

Геометрическая форма

Прямой круговой конус и косой круговой конус

Двойной конус (не показан бесконечно протяженным)

3D модель конуса

Конус — это трехмерная геометрическая фигура , плавно сужающаяся от плоского основания (часто, хотя и не обязательно , круглого) к точке, называемой вершиной или вершиной .

Конус образован набором отрезков , полупрямых или линий, соединяющих общую точку, вершину, со всеми точками на основании, которое находится в плоскости , не содержащей вершину. В зависимости от автора основание может быть ограничено кругом , любой одномерной квадратичной формой на плоскости, любой замкнутой одномерной фигурой или любым из вышеперечисленного плюс все замкнутые точки. Если замкнутые точки включены в основание, конус является твердым объектом ; в противном случае это двумерный объект в трехмерном пространстве. В случае твердым объектом граница, образованная этими линиями или частичными линиями, называется боковой поверхностью ; если боковая поверхность неограниченна, это коническая поверхность .

В случае отрезков прямой конус не простирается за пределы основания, а в случае полупрямых он простирается бесконечно далеко. В случае прямых конус простирается бесконечно далеко в обоих направлениях от вершины, в этом случае его иногда называют двойным конусом. Любая половина двойного конуса с одной стороны вершины называется гребнем .

Ось конуса — это прямая линия (если таковая имеется), проходящая через вершину, относительно которой основание (и весь конус) имеет круговую симметрию .

В общем смысле в элементарной геометрии конусы считаются прямыми круговыми , где круговой означает, что основание представляет собой круг , а прямой означает, что ось проходит через центр основания под прямым углом к ​​его плоскости. ^[1] Если конус прямой круговой, пересечение плоскости с боковой поверхностью является коническим сечением . В общем случае, однако, основание может иметь любую форму ^[2] , а вершина может лежать где угодно (хотя обычно предполагается, что основание ограничено и, следовательно, имеет конечную площадь , и что вершина лежит вне плоскости основания). В отличие от прямых конусов, наклонные конусы, в которых ось проходит через центр основания не перпендикулярно. ^[3]

Башня управления воздушным движением в форме конуса, аэропорт Шарджи.

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой .

В зависимости от контекста «конус» может также означать выпуклый конус или проективный конус .

Конусы также можно обобщить до более высоких измерений .

Дополнительная терминология

Периметр основания конуса называется «директрисой», а каждый из отрезков между директрисой и вершиной является «образующей» или «образующей линией» боковой поверхности. (О связи между этим значением термина «директриса» и директрисой конического сечения см. Сферы Данделена .)

«Радиус основания» кругового конуса — это радиус его основания; часто его просто называют радиусом конуса. Апертура прямого кругового конуса — это максимальный угол между двумя образующими; если образующая образует угол θ с осью, апертура равна 2 θ . В оптике угол θ называетсяполовинный угол конуса, чтобы отличить его от отверстия.

Иллюстрация из «Математических проблем...», опубликованных в Acta Eruditorum , 1734 г.

Конус, усеченный наклонной плоскостью

Конус с областью, включающей его вершину, отсекаемой плоскостью, называется усеченным конусом ; если плоскость усечения параллельна основанию конуса, он называется усеченным конусом . ^[1] Эллиптический конус — это конус с эллиптическим основанием. ^[1] Обобщенный конус — это поверхность, образованная множеством прямых, проходящих через вершину и каждую точку на границе (см. также визуальную оболочку ).

Измерения и уравнения

Объем

Доказательство без слов , что объем конуса равен трети цилиндра такого же диаметра и высоты.

Объем любого конического тела равен одной трети произведения площади основания на высоту ^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{B}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$

В современной математике эта формула может быть легко вычислена с помощью исчисления — это, с точностью до масштабирования, интеграл Без использования исчисления формула может быть доказана путем сравнения конуса с пирамидой и применения принципа Кавальери — в частности, путем сравнения конуса с (вертикально масштабированной) правильной квадратной пирамидой, которая образует одну треть куба. Эта формула не может быть доказана без использования таких бесконечно малых аргументов — в отличие от двумерных формул для многогранной площади, хотя и похожей на площадь круга — и, следовательно, допускала менее строгие доказательства до появления исчисления, причем древние греки использовали метод исчерпывания . Это по сути содержание третьей проблемы Гильберта — точнее, не все многогранные пирамиды являются ножницеобразными (могут быть разрезаны на конечные части и переставлены в другие), и, таким образом, объем не может быть вычислен исключительно с использованием аргумента разложения. ^[5] $${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}}$$

Центр масс

Центр масс конического тела однородной плотности находится на расстоянии одной четверти расстояния от центра основания до вершины, на прямой линии, соединяющей их.

Прямой круговой конус

Объем

Для кругового конуса с радиусом r и высотой h основание представляет собой круг площадью , поэтому формула для объема принимает вид ^[6] ${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

Высота наклона

Наклонная высота прямого кругового конуса — это расстояние от любой точки на окружности его основания до вершины через отрезок прямой вдоль поверхности конуса. Она определяется как , где — радиус основания, а — высота. Это можно доказать с помощью теоремы Пифагора . ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна , где — радиус окружности в основании конуса, а — наклонная высота конуса. ^[4] Площадь поверхности нижней окружности конуса такая же, как и для любой окружности, . Таким образом, общая площадь поверхности прямого кругового конуса может быть выражена следующим образом: ${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \pi r^{2}}$

• Радиус и высота

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(площадь основания плюс площадь боковой поверхности; термин — наклонная высота) ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

где — радиус, — высота. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

Полная площадь поверхности прямого кругового конуса, заданного радиусом 𝑟 и высотой наклонной плоскости ℓ

• Радиус и высота наклона

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

где — радиус, — наклонная высота. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

• Окружность и высота наклона

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

где - длина окружности, - высота наклона. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ell }$

• Угол и высота при вершине

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

где — угол при вершине, — высота. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$

Круговой сектор

Круговой сектор получается путем разворачивания поверхности одной из граней конуса:

• радиус R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• длина дуги L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• центральный угол φ в радианах

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

Форма уравнения

Поверхность конуса можно параметризовать как

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

где — угол «вокруг» конуса, — «высота» вдоль конуса. ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$

Прямой сплошной круговой конус с высотой и отверстием , ось которого является осью координат, а вершина — началом координат, параметрически описывается как ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

где диапазон составляет , , и , соответственно. ${\displaystyle s,t,u}$ ${\displaystyle [0,\theta )}$ ${\displaystyle [0,2\pi )}$ ${\displaystyle [0,h]}$

В неявной форме это же тело определяется неравенствами

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

где

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

В более общем случае прямой круговой конус с вершиной в начале координат, осью параллельной вектору и отверстием , задается неявным векторным уравнением , где ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2\theta }$ ${\displaystyle F(u)=0}$

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$

${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

где , а обозначает скалярное произведение . ${\displaystyle u=(x,y,z)}$ ${\displaystyle u\cdot d}$

Эллиптический конус

Эллиптическая конусная квадратичная поверхность

В декартовой системе координат эллиптический конус является геометрическим местом уравнения вида ^[7]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

Это аффинный образ прямого кругового единичного конуса с уравнением Из того факта, что аффинный образ конического сечения является коническим сечением того же типа (эллипс, парабола,...), получаем: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$

• Любое плоское сечение эллиптического конуса является коническим сечением.

Очевидно, что любой прямой круговой конус содержит окружности. Это также верно, но менее очевидно, в общем случае (см. круговое сечение ).

Пересечение эллиптического конуса с концентрической сферой является сферической коникой .

Проективная геометрия

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого находится в бесконечности, что визуально соответствует цилиндру в перспективе, кажущемуся конусом, направленным в небо.

В проективной геометрии цилиндр — это просто конус , вершина которого находится в бесконечности. ^[8] Интуитивно понятно, что если оставить основание фиксированным и взять предел, когда вершина стремится к бесконечности, то получится цилиндр, угол стороны которого увеличивается как arctan , в пределе образуя прямой угол . Это полезно при определении вырожденных коник , которые требуют рассмотрения цилиндрических коник.

По мнению Дж. Б. Холстеда , конус создается аналогично конике Штейнера, только с проекцией и осевыми пучками (не в перспективе), а не проективными диапазонами, используемыми для коники Штейнера:

«Если два конпунктуальных несопрямолинейных осевых пучка проективны, но не перспективны, то пересечения соотнесенных плоскостей образуют «коническую поверхность второго порядка» или «конус». ^[9]

Обобщения

Определение конуса может быть расширено до более высоких измерений; см. выпуклый конус . В этом случае говорят, что выпуклое множество C в действительном векторном пространстве является конусом (с вершиной в начале координат), если для каждого вектора x из C и каждого неотрицательного действительного числа a вектор ax принадлежит C. ^[2] В этом контексте аналоги круговых конусов обычно не являются специальными; на самом деле часто интересуются многогранными конусами . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Еще более общим понятием является топологический конус , который определяется в произвольных топологических пространствах.

Смотрите также

• Биконус
• Конус (линейная алгебра)
• Цилиндр (геометрия)
• Демокрит
• Обобщенная коническая
• Гиперболоид
• Список фигур
• Пирометрический конус
• Квадрик
• Вращение осей
• Линейчатая поверхность
• Перевод осей

Примечания

1. Джеймс, RC ; Джеймс, Гленн (1992-07-31). Математический словарь. Springer Science & Business Media. стр. 74–75. ISBN 9780412990410.
2. Grünbaum, Convex Polytopes , второе издание, стр. 23.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Конус». MathWorld .
4. Alexander, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (2014-01-01). Элементарная геометрия для студентов колледжей. Cengage Learning. ISBN 9781285965901.
5. Хартшорн, Робин (11.11.2013). Геометрия: Евклид и далее. Springer Science & Business Media. Глава 27. ISBN 9780387226767.
6. Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (2006-01-01). Исчисление: одна переменная. Springer Science & Business Media. Глава 8. ISBN 9781931914598.
7. Проттер и Морри (1970, стр. 583)
8. Доулинг, Линней Вейланд (1917-01-01). Проективная геометрия. McGraw-Hill book Company, Incorporated.
9. GB Halsted (1906) Синтетическая проективная геометрия , стр. 20

Ссылки

• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Конус». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Двойной конус». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенный конус». MathWorld .
• Интерактивный вращающийся конус от Maths Is Fun
• Бумажная модель конуса
• Площадь боковой поверхности косого конуса
• Разрезание конуса Интерактивная демонстрация пересечения конуса с плоскостью