stringtranslate.com

LC-контур

LC-контур , также называемый резонансным контуром , контуром резервуара или настроенным контуром , представляет собой электрическую цепь , состоящую из катушки индуктивности , обозначенной буквой L, и конденсатора , обозначенной буквой C, соединенных вместе. Цепь может действовать как электрический резонатор , электрический аналог камертона , запасающий энергию, колеблющуюся на резонансной частоте цепи .

LC-контуры используются либо для генерации сигналов на определенной частоте, либо для выделения сигнала на определенной частоте из более сложного сигнала; эта функция называется полосовым фильтром . Они являются ключевыми компонентами во многих электронных устройствах, в частности, в радиооборудовании, используются в таких схемах, как генераторы , фильтры , тюнеры и частотные смесители .

LC-цепь является идеализированной моделью, поскольку она предполагает отсутствие рассеивания энергии из-за сопротивления . Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери, возникающие из-за небольшого, но ненулевого сопротивления внутри компонентов и соединительных проводов. Целью LC-цепи обычно является колебание с минимальным затуханием , поэтому сопротивление делается как можно меньше. Хотя ни одна практическая цепь не лишена потерь, тем не менее, полезно изучить эту идеальную форму цепи, чтобы обрести понимание и физическую интуицию. Для модели цепи, включающей сопротивление, см. RLC-цепь .

Терминология

Двухэлементная LC-цепь, описанная выше, является простейшим типом индукторно-конденсаторной сети (или LC-сети ). Ее также называют LC-цепью второго порядка [1] [2], чтобы отличать ее от более сложных (более высокого порядка) LC-сетей с большим количеством индуктивностей и конденсаторов. Такие LC-цепи с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одной резонансной частоты .

Порядок сети — это порядок рациональной функции, описывающей сеть в комплексной частотной переменной s . Обычно порядок равен числу элементов L и C в цепи и в любом случае не может превышать это число.

Операция

Анимированная диаграмма, демонстрирующая работу настроенного контура (LC-контура). Конденсатор C хранит энергию в своем электрическом поле E , а индуктор L хранит энергию в своем магнитном поле B ( зеленый ) . Анимация показывает контур в прогрессивных точках колебания. Колебания замедляются; в реальном настроенном контуре заряд может колебаться вперед и назад от тысяч до миллиардов раз в секунду.

LC-контур, колеблющийся на своей собственной резонансной частоте , может хранить электрическую энергию . Смотрите анимацию. Конденсатор хранит энергию в электрическом поле ( E ) между его пластинами в зависимости от напряжения на нем, а индуктор хранит энергию в своем магнитном поле ( B ) в зависимости от тока через него.

Если индуктор подключен к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет вызывать ток через индуктор, создавая вокруг него магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля, поскольку заряд расходуется потоком тока. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, поскольку индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начинать перезаряжать конденсатор напряжением противоположной полярности по отношению к его первоначальному заряду. Из-за закона Фарадея , ЭДС , которая вызывает ток, вызвана уменьшением магнитного поля, таким образом, энергия, необходимая для зарядки конденсатора, извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова будет сохраняться в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, с током, текущим в противоположном направлении через индуктор.

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора через индуктор. Энергия колеблется вперед и назад между конденсатором и индуктором до тех пор, пока (если не пополняется из внешней цепи) внутреннее сопротивление не заставит колебания затухнуть. Действие настроенного контура, известное математически как гармонический осциллятор , похоже на маятник, качающийся вперед и назад, или на воду, плещущуюся вперед и назад в баке; по этой причине контур также называется контуром резервуара . [3] Собственная частота (то есть частота, с которой он будет колебаться, будучи изолированным от любой другой системы, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве случаев настроенный контур является частью более крупного контура, который применяет к нему переменный ток , возбуждая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока является собственной резонансной частотой контура ( собственная частота ниже), возникнет резонанс , и небольшой возбуждающий ток может возбудить колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных контурах электронного оборудования колебания очень быстрые, от тысяч до миллиардов раз в секунду. [ необходима цитата ]

Эффект резонанса

Резонанс возникает, когда LC-контур возбуждается от внешнего источника с угловой частотой ω 0, при которой индуктивное и емкостное сопротивления равны по величине. Частота, при которой это равенство выполняется для конкретного контура, называется резонансной частотой. Резонансная частота LC-контура равна

где Lиндуктивность в генри , а Cемкость в фарадах . Угловая частота ω 0 имеет единицы радианы в секунду.

Эквивалентная частота в единицах герц составляет

Приложения

Резонансный эффект LC-контура имеет множество важных применений в системах обработки сигналов и связи.

LC-цепи ведут себя как электронные резонаторы , которые являются ключевым компонентом во многих приложениях:

Решение во временной области

Законы Кирхгофа

По закону Кирхгофа напряжение V C на конденсаторе плюс напряжение V L на катушке индуктивности должны быть равны нулю:

Аналогично, по закону Кирхгофа , ток через конденсатор равен току через катушку индуктивности:

Из определяющих соотношений для элементов схемы мы также знаем, что

Дифференциальное уравнение

Перестановка и подстановка дает дифференциальное уравнение второго порядка

Параметр ω 0 , резонансная угловая частота , определяется как

Используя это, можно упростить дифференциальное уравнение:

Соответствующее преобразование Лапласа имеет вид

таким образом

где jмнимая единица .

Решение

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения имеет вид

и может быть решено для A и B, учитывая начальные условия. Поскольку экспонента является комплексной , решение представляет собой синусоидальный переменный ток . Поскольку электрический ток I является физической величиной, он должен быть действительным. В результате можно показать, что константы A и B должны быть комплексно сопряженными :

Теперь пусть

Поэтому,

Далее мы можем использовать формулу Эйлера для получения действительной синусоиды с амплитудой I 0 , угловой частотой ω 0 = 1/ЛК , и фазовый угол .

Таким образом, полученное решение становится

Начальные условия

Начальные условия, которые удовлетворяли бы этому результату, следующие:

Последовательная цепь

Последовательная LC-цепь

В последовательной конфигурации LC-цепи катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано здесь. Общее напряжение V на открытых клеммах — это просто сумма напряжения на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе. Ток I в положительной клемме цепи равен току как через конденсатор, так и через катушку индуктивности.

Резонанс

Индуктивное сопротивление увеличивается с ростом частоты, тогда как емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты (определяемой здесь как положительное число). На одной конкретной частоте эти два реактивных сопротивления равны, а напряжения на них равны и противоположны по знаку; эта частота называется резонансной частотой f 0 для данной цепи.

Следовательно, при резонансе,

Решая относительно ω , имеем

которая определяется как резонансная угловая частота контура. Преобразуя угловую частоту (в радианах в секунду) в частоту (в герцах ), получаем

и

в .

В последовательной конфигурации X C и X L компенсируют друг друга. В реальных, а не идеализированных компонентах ток противодействует, в основном, сопротивлению обмоток катушки. Таким образом, ток, подаваемый в последовательный резонансный контур, максимален при резонансе.

Сопротивление

В последовательной конфигурации резонанс возникает, когда комплексное электрическое сопротивление цепи приближается к нулю.

Сначала рассмотрим импеданс последовательной LC-цепи. Общий импеданс определяется суммой индуктивного и емкостного импедансов:

Запишем индуктивное сопротивление как  Z L = jωL и емкостное сопротивление как  Z C = 1/j ω C и подстановка дает

Записывая это выражение под общим знаменателем, получаем

Наконец, определим собственную угловую частоту как

сопротивление становится

где дает реактивное сопротивление индуктора при резонансе.

Числитель подразумевает, что в пределе ω → ± ω 0 общее сопротивление  Z  будет равно нулю, а в противном случае не равно нулю. Поэтому последовательная LC-цепь, соединенная последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевое сопротивление на резонансной частоте LC-цепи.

Параллельная цепь

Параллельная LC-цепь

Когда индуктор (L) и конденсатор (C) соединены параллельно, как показано здесь, напряжение V на открытых клеммах равно как напряжению на индукторе, так и напряжению на конденсаторе. Полный ток I, текущий в положительный вывод цепи, равен сумме тока, текущего через индуктор, и тока, текущего через конденсатор:

Резонанс

Когда X L равен X C , токи двух ветвей равны и противоположны. Они компенсируют друг друга, давая минимальный ток в основной линии (в принципе, нулевой ток). Однако между конденсатором и индуктором циркулирует большой ток. В принципе, этот циркулирующий ток бесконечен, но в действительности ограничен сопротивлением в цепи, в частности сопротивлением в обмотках индуктора. Поскольку общий ток минимален, в этом состоянии общий импеданс максимален.

Резонансная частота определяется выражением

Любой ток ветви не минимален при резонансе, но каждый из них задается отдельно путем деления напряжения источника ( V ) на реактивное сопротивление ( Z ). Следовательно,   I =  В /З  , согласнозакону Ома.

Сопротивление

Тот же анализ можно применить к параллельной LC-цепи. Тогда общее сопротивление определяется как

и после подстановки Z L = j ω L и Z C = 1/j ω C и упрощение, дает

С использованием

это еще больше упрощает

Обратите внимание, что

но для всех других значений ω импеданс конечен.

Таким образом, параллельный LC-контур, подключенный последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий бесконечное сопротивление на резонансной частоте LC-контура, в то время как параллельный LC-контур, подключенный параллельно нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр .

решение Лапласа

Цепь LC можно решить с помощью преобразования Лапласа .

Начнем с определения соотношения между током и напряжением на конденсаторе и катушке индуктивности обычным способом:

и

Затем, применяя законы Кирхгофа, мы можем прийти к дифференциальным уравнениям, определяющим систему

С начальными условиями и

Приводя следующие определения,

и

дает

Теперь применим преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа превратило наше дифференциальное уравнение в алгебраическое уравнение. Решение для V в области s (частотной области) намного проще, а именно.

Которую можно преобразовать обратно во временную область с помощью обратного преобразования Лапласа:

Для второго слагаемого необходима эквивалентная дробь :

Для второго слагаемого необходима эквивалентная дробь :

Окончательный член зависит от точной формы входного напряжения. Два распространенных случая — это ступенчатая функция Хевисайда и синусоида . Для ступенчатой ​​функции Хевисайда мы получаем

Для случая синусоидальной функции на входе получаем:

где — амплитуда и частота приложенной функции.

Используя метод частичных дробей:

Упрощение с обеих сторон

Решаем уравнение относительно A, B и C:

Подставим значения A, B и C:

Выделим константу и воспользуемся эквивалентными дробями для корректировки отсутствия числителя:

Выполним обратное преобразование Лапласа над каждым слагаемым:

Используя начальные условия в решении Лапласа:

История

Первое доказательство того, что конденсатор и катушка индуктивности могут производить электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари . [6] [7] Он обнаружил, что когда лейденская банка разряжалась через провод, намотанный вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно сделал вывод, что это было вызвано затухающим колебательным разрядным током в проводе, который менял намагниченность иглы туда и обратно, пока он не становился слишком малым, чтобы оказывать эффект, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к тому же выводу, по-видимому, независимо. [8] [9]

Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и вывел его резонансную частоту. [6] [8] [9] Британский исследователь радио Оливер Лодж , разряжая большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который производил музыкальный тон от искры при разряде. [8] В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, произведенную резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив визуальное доказательство колебаний. [6] [8] [9] В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл рассчитал эффект приложения переменного тока к контуру с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. [6] Первый пример кривой электрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его пионерской статье об открытии радиоволн, показывающей длину искры, которую можно получить с помощью его детекторов с искровым зазором LC-резонатора, как функцию частоты. [6]

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтоническими банками» около 1889 года. [6] [8] Он поместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из лейденской банки, соединенной с регулируемой одновитковой катушкой с искровым зазором. Когда высокое напряжение от индукционной катушки было подано на один настроенный контур, создавая искры и, таким образом, колебательные токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда контуры были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочитали термин « синтония » для этого эффекта, но в конечном итоге термин « резонанс » прижился. [6] Первое практическое использование LC-контуров было в 1890-х годах в радиопередатчиках с искровым зазором , чтобы позволить приемнику и передатчику быть настроенными на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, которая позволяла настраиваться, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони . [6]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Макаров, Сергей Н.; Людвиг, Рейнхольд; Битар, Стивен Дж. (2016). Практическая электротехника. Springer. С. X-483. ISBN 9783319211732.
  2. ^ Дорф, Ричард К.; Свобода, Джеймс А. (2010). Введение в электрические цепи, 8-е изд. John Wiley and Sons. стр. 368. ISBN 9780470521571.
  3. ^ Рао, Б. Висвесвара и др. (2012). Анализ электронных цепей. Индия: Pearson Education India. стр. 13.6. ISBN 978-9332511743.
  4. ^ "Что такое акцепторная схема?". qsstudy.com . Физика.].
  5. ^ "rejector circuit". Oxford Dictionaries. English . Архивировано из оригинала 20 сентября 2018 года . Получено 20 сентября 2018 года .
  6. ^ abcdefgh Бланчард, Джулиан (октябрь 1941 г.). «История электрического резонанса». Bell System Technical Journal . 20 (4). США: American Telephone & Telegraph Co.: 415–433. doi :10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID  51669988. Получено 29.03.2011 .
  7. ^ Савари, Феликс (1827). «Воспоминания о чувстве». Annales de Chimie et de Physique . 34 . Париж: Массон: 5–37.
  8. ^ abcde Кимбалл, Артур Лаланн (1917). Учебник физики для колледжей (2-е изд.). Нью-Йорк: Henry Hold. С. 516–517.
  9. ^ abc Huurdeman, Антон А. (2003). Всемирная история телекоммуникаций. США: Wiley-IEEE. стр. 199–200. ISBN 0-471-20505-2.

Внешние ссылки