Двойной конус и полярный конус

Концепции выпуклого анализа

Множество C и его двойственный конус C ^* .

Множество C и его полярный конус C ^o . Двойственный конус и полярный конус симметричны друг другу относительно начала координат.

Двойственный конус и полярный конус — тесно связанные понятия в выпуклом анализе , разделе математики .

Двойной конус

В векторном пространстве

Двойственный конус C ^* подмножества C в линейном пространстве X над действительными числами , например, евклидовом пространстве R ⁿ , с двойственным пространством X ^* есть множество

${\displaystyle C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},}$

где - дуальность сопряжения между X и X ^* , т.е. . ${\displaystyle \langle y,x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y,x\rangle =y(x)}$

C ^* всегда является выпуклым конусом , даже если C не является ни выпуклым , ни конусом .

В топологическом векторном пространстве

Если X — топологическое векторное пространство над действительными или комплексными числами, то двойственный конус подмножества C ⊆ X — это следующий набор непрерывных линейных функционалов на X :

${\displaystyle C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{ for all }}x\in C\right\}}$, ^[1]

которая является полярой множества - C . ^[1] Независимо от того, что такое C , будет выпуклым конусом. Если C ⊆ {0}, то . ${\displaystyle C^{\prime }}$ ${\displaystyle C^{\prime }=X^{\prime }}$

В гильбертовом пространстве (внутренний двойственный конус)

В качестве альтернативы многие авторы определяют двойственный конус в контексте реального гильбертова пространства (такого как Rn ^, снабженного евклидовым скалярным произведением) как то, что иногда называют внутренним двойственным конусом .

${\displaystyle C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.}$

Характеристики

Используя это последнее определение для C ^* , мы получаем, что когда C является конусом, выполняются следующие свойства: ^[2]

• Ненулевой вектор y принадлежит C ^* тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

1. y — нормаль в начале гиперплоскости , поддерживающей C.
2. y и C лежат по одну сторону от этой опорной гиперплоскости.

• C ^* замкнуто и выпукло .
• ${\displaystyle C_{1}\subseteq C_{2}}$подразумевает . ${\displaystyle C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}}$
• Если C имеет непустую внутреннюю часть, то C ^* является заостренным , т.е. C* не содержит ни одной прямой целиком.
• Если C — конус и замыкание C заостренное, то C ^* имеет непустую внутренность.
• C ^** — замыкание наименьшего выпуклого конуса, содержащего C (следствие теоремы об отделении гиперплоскостей )

Самодвойственные конусы

Конус C в векторном пространстве X называется самодвойственным, если X может быть снабжен внутренним произведением ⟨⋅,⋅⟩ таким образом, что внутренний двойственный конус относительно этого внутреннего произведения равен C . ^[3] Те авторы, которые определяют двойственный конус как внутренний двойственный конус в реальном гильбертовом пространстве, обычно говорят, что конус является самодвойственным, если он равен своему внутреннему двойственному. Это немного отличается от приведенного выше определения, которое допускает изменение внутреннего произведения. Например, приведенное выше определение делает конус в R ⁿ с эллипсоидальным основанием самодвойственным, потому что внутреннее произведение можно изменить, чтобы сделать основание сферическим, а конус со сферическим основанием в R ⁿ равен своему внутреннему двойственному.

Неотрицательный ортант R ⁿ и пространство всех положительно полуопределенных матриц являются самодвойственными, как и конусы с эллипсоидальным основанием (часто называемые «сферическими конусами», «конусами Лоренца» или иногда «морожеными рожками»). Таковы все конусы в R ³ , основанием которых является выпуклая оболочка правильного многоугольника с нечетным числом вершин. Менее регулярным примером является конус в R ^{3 , основанием которого является «дом»: выпуклая оболочка квадрата и точка вне квадрата, образующая равносторонний треугольник} ( соответствующей высоты) с одной из сторон квадрата.

Полярный конус

Поляра замкнутого выпуклого конуса C является замкнутым выпуклым конусом C ^o , и наоборот.

Для множества C в X полярный конус C — это множество ^[4]

${\displaystyle C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.}$

Видно, что полярный конус равен отрицательному значению двойственного конуса, т.е. C ^o = − C ^* .

Для замкнутого выпуклого конуса C в X полярный конус эквивалентен полярному множеству для C. ^[5 ]

Смотрите также

• Биполярная теорема
• Полярный набор

Ссылки

1. Schaefer & Wolff 1999, стр. 215–222.
2. Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Cambridge University Press. стр. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Получено 15 октября 2011 г. .
3. Иохум, Бруно, «Cônes autopolaires et algèbres de Jordan», Springer, 1984.
4. Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. С. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.
5. Aliprantis, CD; Border, KC (2007). Анализ бесконечных измерений: Путеводитель для путешествующих автостопом (3-е изд.). Springer. стр. 215. doi :10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0.

Библиография

• Болтянский, В.Г.; Мартини, Х.; Солтан, П. (1997). Экскурсии в комбинаторную геометрию . Нью-Йорк: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
• Goh, CJ; Yang, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационных неравенствах . Лондон; Нью-Йорк: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Ramm, AG (2000). Shivakumar, PN; Strauss, AV (ред.). Теория операторов и ее приложения . Providence, RI: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1990-9.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.