Обобщенные координаты

Конфигурация системы относительно другой

В аналитической механике обобщенные координаты представляют собой набор параметров, используемых для представления состояния системы в конфигурационном пространстве . Эти параметры должны однозначно определять конфигурацию системы относительно исходного состояния. ^[1] Обобщенные скорости являются производными по времени обобщенных координат системы. Прилагательное «обобщенный» отличает эти параметры от традиционного использования термина «координата» для обозначения декартовых координат .

Примером обобщенной координаты может служить описание положения маятника с использованием угла маятника относительно вертикали, а не с помощью положения маятника по осям x и y.

Хотя может быть много возможных вариантов выбора обобщенных координат для физической системы, они обычно выбираются для упрощения вычислений, таких как решение уравнений движения для системы. Если координаты независимы друг от друга, число независимых обобщенных координат определяется числом степеней свободы системы. ^{[2] [3]}

Обобщенные координаты объединяются с обобщенными импульсами для получения канонических координат в фазовом пространстве .

Ограничения и степени свободы

Одна обобщенная координата (одна степень свободы) на путях в 2D. Для уникального указания позиций на кривой требуется только одна обобщенная координата. В этих примерах эта переменная — либо длина дуги s , либо угол θ . Наличие обеих декартовых координат ( x , y ) необязательно, поскольку либо x , либо y связаны друг с другом уравнениями кривых. Их также можно параметризовать с помощью s или θ .

Длина дуги s вдоль кривой является законной обобщенной координатой, поскольку положение определено однозначно, но угол θ — нет, поскольку для одного значения θ существует несколько положений .

Обобщенные координаты обычно выбираются для обеспечения минимального числа независимых координат, определяющих конфигурацию системы, что упрощает формулировку уравнений движения Лагранжа . Однако может также случиться, что полезный набор обобщенных координат может быть зависимым , что означает, что они связаны одним или несколькими уравнениями ограничений .

Голономные ограничения

Две обобщенные координаты, две степени свободы на криволинейных поверхностях в 3D. Для указания точек на кривой нужны только два числа ( u , v ) , для каждого случая показана одна возможность. Полные три декартовы координаты ( x , y , z ) не нужны, поскольку любые две определяют третью согласно уравнениям кривых.

Для системы из N частиц в трехмерном реальном координатном пространстве вектор положения каждой частицы можно записать в виде тройки в декартовых координатах :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\end{aligned}}}$

Любой из векторов положения может быть обозначен r _k, где k = 1, 2, …, N обозначает частицы. Голономная связь — это уравнение связи вида для частицы k ^{[4] [a]}

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}$

которая связывает все 3 пространственные координаты этой частицы вместе, поэтому они не являются независимыми. Ограничение может меняться со временем, поэтому время t будет явно появляться в уравнениях ограничений. В любой момент времени любая одна координата будет определяться из других координат, например, если заданы x _k и z _k , то также задан и y _k . Одно уравнение ограничений считается одним ограничением. Если есть ограничения C , каждое имеет уравнение, поэтому будет C уравнений ограничений. Не обязательно одно уравнение ограничений для каждой частицы, и если нет ограничений на систему, то нет и уравнений ограничений.

До сих пор конфигурация системы определялась 3 N величинами, но C координаты можно исключить, по одной координате из каждого уравнения ограничений. Количество независимых координат равно n = 3 N − C . (В измерениях D исходная конфигурация потребовала бы ND координат, а сокращение с помощью ограничений означает n = ND − C ). Идеально использовать минимальное количество координат, необходимое для определения конфигурации всей системы, при этом используя ограничения на систему. Эти величины известны как обобщенные координаты в этом контексте, обозначаемые q _j ( t ) . Удобно собрать их в n - кортеж

${\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))}$

которая является точкой в ​​конфигурационном пространстве системы. Все они независимы друг от друга, и каждая является функцией времени. Геометрически они могут быть длинами вдоль прямых линий, или длинами дуг вдоль кривых, или углами; не обязательно декартовыми координатами или другими стандартными ортогональными координатами . Существует одна для каждой степени свободы , поэтому число обобщенных координат равно числу степеней свободы, n . Степень свободы соответствует одной величине, которая изменяет конфигурацию системы, например, углу маятника или длине дуги, пройденной бусиной вдоль провода.

Если из ограничений можно найти столько же независимых переменных, сколько имеется степеней свободы, то их можно использовать в качестве обобщенных координат. ^[5] Вектор положения r _k частицы k является функцией всех n обобщенных координат (и, через них, времени), ^{[6] [7] [8] [5] [nb 1]}

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,}$

а обобщенные координаты можно рассматривать как параметры, связанные с ограничением.

Соответствующие производные по времени от q являются обобщенными скоростями,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))}$

(каждая точка над величиной указывает на одну производную по времени ). Вектор скорости v _k является полной производной r _k по времени

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.}$

и поэтому в общем случае зависит от обобщенных скоростей и координат. Поскольку мы свободны указывать начальные значения обобщенных координат и скоростей по отдельности, обобщенные координаты q _j и скорости dq _j / dt можно рассматривать как независимые переменные .

Неголономные связи

Механическая система может включать ограничения как на обобщенные координаты, так и на их производные. Ограничения такого типа известны как неголономные. Неголономные ограничения первого порядка имеют вид

${\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,}$

Примером такого ограничения является катящееся колесо или лезвие ножа, ограничивающее направление вектора скорости. Неголономные ограничения могут также включать производные следующего порядка, такие как обобщенные ускорения.

Физические величины в обобщенных координатах

Кинетическая энергия

Полная кинетическая энергия системы — это энергия движения системы, определяемая как ^[9]

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

в котором · — скалярное произведение . Кинетическая энергия является функцией только скоростей v _k , а не самих координат r _k . Напротив, важным наблюдением является ^[10]

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

что иллюстрирует, что кинетическая энергия в общем случае является функцией обобщенных скоростей, координат и времени, если ограничения также изменяются со временем, поэтому T = T ( q , d q / dt , t ) .

В случае, если ограничения на частицы не зависят от времени, то все частные производные по времени равны нулю, а кинетическая энергия является однородной функцией степени 2 по обобщенным скоростям.

Тем не менее, для случая, не зависящего от времени, это выражение эквивалентно взятию квадрата линейного элемента траектории для частицы k ,

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

и деление на квадрат дифференциала по времени, dt ² , чтобы получить квадрат скорости частицы k . Таким образом, для не зависящих от времени ограничений достаточно знать элемент линии, чтобы быстро получить кинетическую энергию частиц и, следовательно, лагранжиан . ^[11]

Поучительно рассмотреть различные случаи полярных координат в 2D и 3D, ввиду их частого появления. В 2D полярных координатах ( r , θ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,}$

в трехмерных цилиндрических координатах ( r , θ , z ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,}$

в трехмерных сферических координатах ( r , θ , φ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

Обобщенный импульс

Обобщенный импульс, « канонически сопряженный » с координатой q _i, определяется как

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

Если лагранжиан L не зависит от некоторой координаты q _i , то из уравнений Эйлера–Лагранжа следует, что соответствующий обобщенный импульс будет сохраняющейся величиной , поскольку производная по времени равна нулю , что означает, что импульс является константой движения;

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.}$

Примеры

Бусина на проволоке

Бусина ограничена движением по проводу без трения. Провод оказывает силу реакции C на бусинку, чтобы удерживать ее на проводе. Неограниченная сила N в этом случае — это гравитация. Обратите внимание, что начальное положение провода может приводить к различным движениям.

Для бусины, скользящей по проволоке без трения, подверженной только гравитации в 2d пространстве, ограничение на бусину можно сформулировать в виде f ( r ) = 0 , где положение бусины можно записать r = ( x ( s ), y ( s )) , в котором s — параметр, длина дуги s вдоль кривой от некоторой точки на проволоке. Это подходящий выбор обобщенной координаты для системы. Требуется только одна координата вместо двух, поскольку положение бусины можно параметризовать одним числом, s , а уравнение ограничения связывает две координаты x и y ; любая из них определяется из другой. Сила ограничения — это сила реакции, которую проволока оказывает на бусину, чтобы удерживать ее на проволоке, а не приложенная сила — это сила тяжести, действующая на бусину.

Предположим, что провод меняет свою форму со временем, изгибаясь. Тогда уравнение связи и положение частицы соответственно

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))}$

которые теперь оба зависят от времени t из-за изменения координат, когда провод меняет свою форму. Обратите внимание, что время появляется неявно через координаты и явно в уравнениях ограничений.

Простой маятник

Простой маятник. Поскольку стержень жесткий, положение груза ограничено в соответствии с уравнением f ( x , y ) = 0 , сила ограничения C — это натяжение стержня. Опять же, неограничивающая сила N в этом случае — это сила тяжести.

Динамическая модель простого маятника.

Связь между использованием обобщенных координат и декартовых координат для характеристики движения механической системы можно проиллюстрировать, рассмотрев ограниченную динамику простого маятника. ^{[12] [13]}

Простой маятник состоит из массы M, подвешенной к точке опоры так, что она ограничена в движении по окружности радиуса L. Положение массы определяется вектором координат r = ( x , y ), измеренным в плоскости окружности таким образом, что y находится в вертикальном направлении. Координаты x и y связаны уравнением окружности

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

что ограничивает движение M. Это уравнение также обеспечивает ограничение на компоненты скорости,

${\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.}$

Теперь введем параметр θ , который определяет угловое положение M от вертикального направления. Его можно использовать для определения координат x и y , таких что

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).}$

Использование θ для определения конфигурации этой системы позволяет избежать ограничения, накладываемого уравнением окружности.

Обратите внимание, что сила тяжести, действующая на массу m, формулируется в обычных декартовых координатах:

${\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),}$

где g — ускорение свободного падения .

Виртуальная работа гравитации над массой m , движущейся по траектории r, определяется выражением

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

Изменение δ r можно вычислить через координаты x и y или через параметр θ ,

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .}$

Таким образом, виртуальная работа определяется выражением

${\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .}$

Обратите внимание, что коэффициент δ y является y -компонентой приложенной силы. Таким же образом, коэффициент δ θ известен как обобщенная сила вдоль обобщенной координаты θ , заданная как

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .}$

Для завершения анализа рассмотрим кинетическую энергию T массы, используя скорость,

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},}$

так,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Форма принципа виртуальной работы маятника в терминах координат x и y дана Даламбером как:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

Это дает три уравнения

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

в трех неизвестных, x , y и λ .

Используя параметр θ , эти уравнения принимают вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },}$

который становится,

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,}$

или

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

Эта формулировка дает одно уравнение, поскольку имеется один параметр и нет уравнения ограничений.

Это показывает, что параметр θ является обобщенной координатой, которую можно использовать так же, как декартовы координаты x и y, для анализа маятника.

Двойной маятник

Двойной маятник

Преимущества обобщенных координат становятся очевидными при анализе двойного маятника . Для двух масс m _i ( i = 1, 2) пусть r _i = ( x _i , y _i ), i = 1, 2 определяют их две траектории. Эти векторы удовлетворяют двум уравнениям ограничений,

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0}$

и

${\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

Формулировка уравнений Лагранжа для этой системы дает шесть уравнений относительно четырех декартовых координат x _i , y _i ( i = 1, 2) и двух множителей Лагранжа λ _i ( i = 1, 2) , которые возникают из двух уравнений связей.

Теперь введем обобщенные координаты θ _i ( i = 1, 2) , которые определяют угловое положение каждой массы двойного маятника от вертикального направления. В этом случае имеем

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

Сила тяжести, действующая на массы, определяется выражением:

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

где g — ускорение под действием силы тяжести. Таким образом, виртуальная работа силы тяжести над двумя массами, движущимися по траекториям r _i ( i = 1, 2), определяется как

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

Вариации δ r _i ( i = 1, 2) можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

Таким образом, виртуальная работа определяется выражением

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

и обобщенные силы

${\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Вычислите кинетическую энергию этой системы, которая будет равна

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.}$

Уравнение Эйлера–Лагранжа дает два уравнения относительно неизвестных обобщенных координат θ _i ( i = 1, 2), заданных формулой ^[14]

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

и

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

Использование обобщенных координат θ _i ( i = 1, 2) дает альтернативу декартовой формулировке динамики двойного маятника.

Сферический маятник

Сферический маятник: углы и скорости.

Для трехмерного примера сферического маятника с постоянной длиной l, который может свободно качаться в любом угловом направлении под действием силы тяжести, ограничение на грузик маятника можно записать в виде

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,}$

где положение грузика маятника можно записать

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,}$

в котором ( θ , φ ) являются сферическими полярными углами , поскольку груз движется по поверхности сферы. Положение r измеряется вдоль точки подвеса к грузу, который здесь рассматривается как точечная частица . Логичным выбором обобщенных координат для описания движения являются углы ( θ , φ ) . Требуется только две координаты вместо трех, поскольку положение груза может быть параметризовано двумя числами, а уравнение связи связывает три координаты ( x , y , z ) таким образом, что любая из них определяется из двух других.

Обобщенные координаты и виртуальная работа

Принцип виртуальной работы гласит, что если система находится в статическом равновесии, то виртуальная работа приложенных сил равна нулю для всех виртуальных перемещений системы из этого состояния, то есть δ W = 0 для любого изменения δ r . ^[15] При формулировке в терминах обобщенных координат это эквивалентно требованию, чтобы обобщенные силы для любого виртуального перемещения были равны нулю, то есть F _i = 0 .

Пусть силы в системе F _j ( j = 1, 2, …, m ) приложены к точкам с декартовыми координатами r _j ( j = 1, 2, …, m ) , тогда виртуальная работа, создаваемая виртуальным смещением из положения равновесия, определяется выражением

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}.}$

где δ r _j ( j = 1, 2, …, m ) обозначают виртуальные перемещения каждой точки тела.

Теперь предположим, что каждое δ r _j зависит от обобщенных координат q _i ( i = 1, 2, …, n ) , тогда

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}={\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\delta {q}_{1}+\ldots +{\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\delta {q}_{n},}$

и

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\right)\delta {q}_{1}+\ldots +\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\right)\delta {q}_{n}.}$

N терминов​

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

являются обобщенными силами, действующими на систему. Кейн ^[16] показывает, что эти обобщенные силы также могут быть сформулированы в терминах отношения производных по времени,

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

где v _j — скорость точки приложения силы F _j .

Для того чтобы виртуальная работа была равна нулю для произвольного виртуального перемещения, каждая из обобщенных сил должна быть равна нулю, то есть

${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad F_{i}=0,i=1,\ldots ,n.}$

Смотрите также

• Канонические координаты
• Гамильтонова механика
• Виртуальная работа
• Ортогональные координаты
• Криволинейные координаты
• Массовая матрица
• Матрица жесткости
• Обобщенные силы

Примечания

1. Некоторые авторы, например, Хэнд и Финч, принимают форму вектора положения частицы k , как показано здесь, в качестве условия голономности ограничения этой частицы.

1. Некоторые авторы устанавливают уравнения связей постоянными для удобства с некоторыми уравнениями связей (например, маятники), другие устанавливают их равными нулю. Это не имеет значения, поскольку константу можно вычесть, чтобы получить ноль на одной стороне уравнения. Кроме того, в уравнениях Лагранжа первого рода нужны только производные.

Ссылки

1. Гинзберг 2008, стр. 397, §7.2.1 Выбор обобщенных координат
2. Фарид М. Л. Амируш (2006). "§2.4: Обобщенные координаты". Основы динамики многих тел: теория и приложения . Springer. стр. 46. ISBN 0-8176-4236-6.
3. Флориан Шек (2010). "§5.1 Многообразия обобщенных координат". Механика: от законов Ньютона к детерминированному хаосу (5-е изд.). Springer. стр. 286. ISBN 978-3-642-05369-6.
4. Голдштейн, Пул и Сафко 2002, стр. 12
5. Kibble & Berkshire 2004, стр. 232
6. Торби 1984, стр. 260
7. Голдштейн, Пул и Сафко 2002, стр. 13
8. Хэнд и Финч 1998, стр. 15
9. Торби 1984, стр. 269
10. Голдштейн, Пул и Сафко 2002, стр. 25
11. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 8
12. Гринвуд, Дональд Т. (1987). Принципы динамики (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9.
13. Ричард Фицпатрик, Ньютоновская динамика.
14. Эрик В. Вайсштейн, Двойной маятник, scienceworld.wolfram.com. 2007 год
15. Торби 1984
16. TR Kane и DA Levinson, Динамика: теория и приложения, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1985

Библиография цитируемых источников

• Гинсберг, Джерри Х. (2008). Инженерная динамика (3-е изд.). Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88303-0.
• Голдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз; Сафко, Джон (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско, Калифорния: Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3.
• Хэнд, Луис Н.; Финч, Джанет Д. (1998). Аналитическая механика . Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0521575720.
• Kibble, TWB ; Berkshire, FH (2004). Классическая механика (5-е изд.). River Edge NJ: Imperial College Press . ISBN 1860944248.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1976). Механика (Третье изд.). Оксфорд. ISBN 978-0750628969.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Продвинутая динамика для инженеров . Серия HRW по машиностроению. Соединенные Штаты Америки: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.