Мнимая единица

Главный квадратный корень из −1

Мнимая единица i на комплексной плоскости : Действительные числа условно откладываются на горизонтальной оси, а мнимые числа — на вертикальной.

Мнимая единица или единичное мнимое число ( i ) является решением квадратного уравнения x ² + 1 = 0. Хотя не существует действительного числа с таким свойством, i можно использовать для расширения действительных чисел до так называемых комплексных чисел , используя сложение и умножение . Простой пример использования i в комплексном числе — 2 + 3 i .

Мнимые числа являются важным математическим понятием; они расширяют систему действительных чисел до комплексной системы чисел , в которой существует по крайней мере один корень для каждого непостоянного многочлена (см. Алгебраическое замыкание и Основная теорема алгебры ). Здесь термин «мнимый» используется, поскольку не существует действительного числа, имеющего отрицательный квадрат . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Существует два комплексных квадратных корня из −1: i и − i , так же как существует два комплексных квадратных корня из каждого действительного числа, кроме нуля (который имеет один двойной квадратный корень ).

В контекстах, в которых использование буквы i неоднозначно или проблематично, иногда вместо нее используется буква j . Например, в электротехнике и проектировании систем управления мнимая единица обычно обозначается как j вместо i , поскольку i обычно используется для обозначения электрического тока . ^[1]

Терминология

Квадратные корни из отрицательных чисел называются мнимыми , потому что в ранней современной математике только то, что сейчас называется действительными числами , получаемыми с помощью физических измерений или базовой арифметики, считалось числами вообще — даже к отрицательным числам относились скептически — поэтому квадратный корень из отрицательного числа ранее считался неопределенным или бессмысленным. Название мнимый обычно приписывают Рене Декарту , а Исаак Ньютон использовал этот термин еще в 1670 году. ^{[2] [3]} Обозначение i было введено Леонардом Эйлером . ^[4]

Единица — это неделимое целое, а единица или число единицы — это число один ( 1 ).

Определение

Мнимая единица i определяется исключительно тем свойством, что ее квадрат равен −1: $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$

Если i определить таким образом, то из алгебры непосредственно следует , что i и − i являются квадратными корнями из −1.

Хотя конструкция называется «мнимой», и хотя концепция мнимого числа может быть интуитивно более трудной для понимания, чем концепция действительного числа, конструкция верна с математической точки зрения. Операции с действительными числами можно распространить на мнимые и комплексные числа, рассматривая i как неизвестную величину при манипулировании выражением (и используя определение для замены любого вхождения i ² на −1 ). Высшие целые степени i — это, таким образом , и так далее, циклически проходя через четыре значения 1 , i , −1 и − i . Как и в случае с любым ненулевым действительным числом, i ⁰ = 1. $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}}$$

Как комплексное число, i может быть представлено в прямоугольной форме как 0 + 1 i , с нулевым действительным компонентом и единичным мнимым компонентом. В полярной форме i может быть представлено как 1 × e ^{πi /2} (или просто e ^{πi /2} ), с абсолютным значением (или величиной) 1 и аргументом (или углом) радиан . (Добавление любого целого числа, кратного 2 π, к этому углу также работает.) В комплексной плоскости , которая является специальной интерпретацией декартовой плоскости , i является точкой, расположенной на одну единицу от начала координат вдоль мнимой оси (которая ортогональна действительной оси ). ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

япротив.− я

Будучи квадратным многочленом без кратных корней , определяющее уравнение x ² = −1 имеет два различных решения, которые одинаково допустимы и которые являются аддитивными и мультипликативными обратными друг другу. Хотя два решения являются различными числами, их свойства неразличимы; нет такого свойства, которым обладало бы одно из них, но не обладало бы другое. Одно из этих двух решений обозначено как + i (или просто i ), а другое обозначено как − i , хотя по сути неоднозначно, какое из них какое.

Единственные различия между + i и − i возникают из-за этой маркировки. Например, по соглашению говорят, что + i имеет аргумент , а − i имеет аргумент, связанный с соглашением о маркировке ориентаций в декартовой плоскости относительно положительной оси x с положительными углами, поворачивающимися против часовой стрелки в направлении положительной оси y . Кроме того, несмотря на знаки, написанные с ними, ни + i, ни − i не являются изначально положительными или отрицательными в том смысле, в каком являются действительные числа. ^[5] ${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$

Более формальное выражение этой неразличимости + i и − i заключается в том, что, хотя комплексное поле уникально (как расширение действительных чисел) с точностью до изоморфизма , оно не уникально с точностью до единственного изоморфизма. То есть, существуют два полевых автоморфизма комплексных чисел , которые сохраняют каждое действительное число фиксированным, а именно тождество и комплексное сопряжение . Подробнее об этом общем явлении см. Группа Галуа . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Матрицы

Используя концепции матриц и умножения матриц , комплексные числа могут быть представлены в линейной алгебре. Действительная единица 1 и мнимая единица i могут быть представлены любой парой матриц I и J, удовлетворяющих соотношениям I ² = I , IJ = JI = J и J ² = − I . Тогда комплексное число a + bi может быть представлено матрицей aI + bJ , и все обычные правила комплексной арифметики могут быть выведены из правил матричной арифметики.

Наиболее распространенным выбором является представление 1 и i с помощью единичной матрицы I размером 2 × 2 и матрицы J ,

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

Тогда произвольное комплексное число a + bi можно представить в виде:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

В более общем случае любая вещественная матрица 2 × 2 со следом , равным нулю, и определителем , равным единице в квадрате, равная − I , может быть выбрана для J. Также могут использоваться матрицы большего размера; например, 1 может быть представлена ​​единичной матрицей 4 × 4 , а i может быть представлена ​​любой из матриц Дирака для пространственных измерений.

Кореньх 2 + 1

Многочлены (взвешенные суммы степеней переменной) являются основным инструментом в алгебре. Многочлены, коэффициенты которых являются действительными числами, образуют кольцо , обозначаемое как алгебраическая структура со сложением и умножением и разделяющее многие свойства с кольцом целых чисел . ${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$

Многочлен не имеет действительных корней , но множество всех действительных многочленов, делящихся на, образует идеал , и поэтому существует фактор-кольцо Это фактор-кольцо изоморфно комплексным числам, а переменная выражает мнимую единицу. ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$ ${\displaystyle x}$

Графическое представление

Комплексные числа можно представить графически, изобразив прямую действительных чисел как горизонтальную ось, а мнимые числа как вертикальную ось декартовой плоскости, называемой комплексной плоскостью . В этом представлении числа 1 и i находятся на одинаковом расстоянии от 0 , с прямым углом между ними. Сложение с комплексным числом соответствует переносу в плоскости, тогда как умножение на комплексное число единичной величины соответствует вращению вокруг начала координат. Каждое преобразование подобия плоскости можно представить комплексно-линейной функцией ${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

Геометрическая алгебра

В геометрической алгебре евклидовой плоскости геометрическое произведение или частное двух произвольных векторов представляет собой сумму скалярной (действительной) части и бивекторной части. (Скаляр — это величина без ориентации, вектор — это величина, ориентированная подобно линии, а бивектор — это величина, ориентированная подобно плоскости.) Квадрат любого вектора является положительным скаляром, представляющим квадрат его длины, в то время как квадрат любого бивектора является отрицательным скаляром.

Частное вектора с самим собой — это скаляр 1 = u / u , и при умножении на любой вектор оставляет его неизменным ( тождественное преобразование ). Частное любых двух перпендикулярных векторов одинаковой величины, J = u / v , которое при умножении поворачивает делитель на четверть оборота в делимое, Jv = u , является единичным бивектором, который возводится в квадрат до −1 , и, таким образом, может быть взято в качестве представителя мнимой единицы. Любая сумма скаляра и бивектора может быть умножена на вектор для его масштабирования и поворота, и алгебра таких сумм изоморфна алгебре комплексных чисел. В этой интерпретации точки, векторы и суммы скаляров и бивекторов являются различными типами геометрических объектов. ^[6]

В более общем смысле, в геометрической алгебре любого многомерного евклидова пространства единичный бивектор любой произвольной плоской ориентации имеет квадрат, равный −1 , поэтому его можно рассматривать как представляющий мнимую единицу i .

Правильное использование

Мнимая единица исторически была написана и все еще используется в некоторых современных работах. Однако, необходимо проявлять большую осторожность при манипулировании формулами, включающими радикалы . Обозначение знака радикала зарезервировано либо для главной функции квадратного корня, которая определена только для вещественного x ≥ 0, либо для главной ветви комплексной функции квадратного корня. Попытка применить правила вычисления главной (вещественной) функции квадратного корня для манипулирования главной ветвью комплексной функции квадратного корня может привести к ложным результатам: ^[7] ${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(incorrect).}}}$$

Как правило, правила расчета и гарантированно действительны только для действительных положительных значений x и y . ^{[8] [9] [10]} ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$

Когда x или y действительны, но отрицательны, этих проблем можно избежать, записывая и манипулируя выражениями типа , а не . Более подробное обсуждение см. в статьях Квадратный корень и Точка ветвления . ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$

Характеристики

Как комплексное число, мнимая единица подчиняется всем правилам комплексной арифметики .

Мнимые целые числа и мнимые числа

При многократном добавлении или вычитании мнимой единицы результатом является некоторое целое число , умноженное на мнимую единицу, т. е. мнимое целое число ; любые такие числа можно сложить, и результатом также будет мнимое целое число:

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

Таким образом, мнимая единица является генератором группы по сложению, а именно бесконечной циклической группы .

Мнимую единицу также можно умножить на любое произвольное действительное число , чтобы получить мнимое число . Эти числа можно изобразить на числовой прямой , мнимой оси , которая как часть комплексной плоскости обычно рисуется с вертикальной ориентацией, перпендикулярной действительной оси, которая рисуется горизонтально.

Гауссовы целые числа

Целочисленные суммы действительной единицы 1 и мнимой единицы i образуют квадратную решетку в комплексной плоскости, называемую гауссовыми целыми числами . Сумма, разность или произведение гауссовых целых чисел также является гауссовым целым числом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

Вращение на четверть оборота

При умножении на мнимую единицу i любое произвольное комплексное число в комплексной плоскости поворачивается на четверть оборота ( радианы ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$ или 90° ) против часовой стрелки . При умножении на − i любое произвольное комплексное число поворачивается на четверть оборота по часовой стрелке. В полярной форме:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

В прямоугольной форме,

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

Целые степени

Степени i повторяются в цикле, который можно выразить с помощью следующего шаблона, где n — любое целое число:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

Таким образом, при умножении i является генератором циклической группы порядка 4, дискретной подгруппы непрерывной круговой группы единичных комплексных чисел при умножении.

Записано как частный случай формулы Эйлера для целого числа n :

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

При тщательном выборе ветвей и главных значений это последнее уравнение может также применяться к произвольным комплексным значениям n , включая такие случаи, как n = i . ^{[ требуется ссылка ]}

Корни

Два квадратных корня i в комплексной плоскости

Как и все ненулевые комплексные числа, имеет два различных квадратных корня , которые являются аддитивными обратными . В полярной форме они ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

В прямоугольной форме они ^[a]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&=\ (1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-(1+i){\big /}{\sqrt {2}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

Возведение любого выражения в квадрат дает $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

Три кубических корня из i в комплексной плоскости

Три кубических корня из i равны ^[12]

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

Для общего положительного целого числа n корни степени n из i равны, для k = 0, 1, ..., n − 1, Значение, связанное с k = 0, является главным корнем степени n из i . Набор корней равен соответствующему набору корней из единицы, повернутых главным корнем степени n из i . Это вершины правильного многоугольника , вписанного в комплексную единичную окружность . $${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$

Экспонента и логарифм

Комплексная экспоненциальная функция связывает комплексное сложение в области с комплексным умножением в кодомене. Действительные значения в области представляют масштабирование в кодомене (умножение на действительный скаляр), где 1 представляет умножение на e , в то время как мнимые значения в области представляют вращение в кодомене (умножение на единичное комплексное число), где i представляет вращение на 1 радиан. Таким образом, комплексная экспонента является периодической функцией в мнимом направлении с периодом 2 πi и изображением 1 в точках 2 kπi для всех целых чисел k , действительным кратным решетки мнимых целых чисел.

Комплексную экспоненту можно разбить на четные и нечетные компоненты, гиперболические функции cosh и sinh или тригонометрические функции cos и sin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

Формула Эйлера раскладывает экспоненту мнимого числа, представляющего поворот:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

Этот факт можно использовать, помимо прочего, для демонстрации, по-видимому, противоречащего интуиции результата, который является действительным числом. ^[13] ${\displaystyle i^{i}}$

Частное coth z = cosh z / sinh z при соответствующем масштабировании можно представить в виде разложения бесконечной дроби как суммы обратных функций, преобразованных в мнимые целые числа: ^[14] $${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

Другие функции, основанные на комплексной экспоненте, хорошо определены с мнимыми входами. Например, число, возведенное в степень ni, равно: $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

Поскольку экспонента является периодической, ее обратная функция комплексный логарифм является многозначной функцией , причем каждое комплексное число в области соответствует нескольким значениям в области значений, отделенным друг от друга любым целым числом, кратным 2 πi . Один из способов получения однозначной функции — рассматривать область значений как цилиндр , а комплексные значения, разделенные любым целым числом, кратным 2 πi, рассматривать как одно и то же значение; другой способ — взять область значений как риманову поверхность, состоящую из нескольких копий комплексной плоскости, сшитых вместе вдоль отрицательной действительной оси как разрез ветви , причем каждая ветвь в области значений соответствует одной бесконечной полосе в области значений. ^[15] Функции, зависящие от комплексного логарифма, поэтому зависят от тщательного выбора ветви для четкого определения и оценки.

Например, если выбрать любую ветвь, то когда x — положительное действительное число, ${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$ $${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

Факториал

Факториал мнимой единицы i чаще всего задается в терминах гамма-функции, оцененной по формуле 1 + i : ^[16]

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

Величина и аргумент этого числа таковы: ^[17]

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$

Смотрите также

• Гиперболическая единица
• Правый версор в кватернионах

Примечания

1. Чтобы найти такое число, можно решить уравнение ( x + iy ) ² = i , где x и y — действительные параметры, которые необходимо определить, или, что эквивалентно, x ² + 2 ixy - y ² = i . Поскольку действительные и мнимые части всегда разделены, мы перегруппируем члены, x ² - y ² + 2 ixy = 0 + i . Приравнивая коэффициенты , разделяя действительную часть и мнимую часть, мы получаем систему из двух уравнений: Подставляя в первое уравнение, получаем Поскольку x — действительное число, это уравнение имеет два действительных решения для x и . Подставляя любой из этих результатов в уравнение 2 xy = 1 по очереди, мы получим соответствующий результат для y . Таким образом, квадратные корни из i — это числа и . ^[11] $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$ $${\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$

Ссылки

1. Стаббингс, Джордж Вилфред (1945). Элементарные векторы для инженеров-электриков . Лондон: I. Pitman. С. 69.
   Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Wiley. стр. 49. ISBN 0-471-19826-9.
2. Сильвер, Дэниел С. (ноябрь–декабрь 2017 г.). «Новый язык математики». American Scientist . 105 (6): 364–371. doi :10.1511/2017.105.6.364.
3. "мнимое число" . Оксфордский словарь английского языка (Электронная правка). Oxford University Press . (Требуется подписка или членство в участвующем учреждении.)
4. Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики. John Wiley & Sons . С. 439–445. ISBN 978-0-471-54397-8.
5. Доксиадес, Апостолос К.; Мазур, Барри (2012). Круги нарушены: взаимодействие математики и повествования (иллюстрированное издание). Princeton University Press. стр. 225. ISBN 978-0-691-14904-2– через Google Книги.
6. Интерпретация мнимой единицы как отношения двух перпендикулярных векторов была предложена Германом Грассманом в предисловии к его Ausdehnungslehre 1844 года; позднее Уильям Клиффорд понял, что это отношение можно интерпретировать как бивектор.
   Хестенес, Дэвид (1996). «Видение Грассмана» (PDF) . В Шубринге, Г. (ред.). Герман Гюнтер Грассманн (1809–1877) . Спрингер. дои : 10.1007/978-94-015-8753-2_20.
7. Банч, Брайан (2012). Математические заблуждения и парадоксы (иллюстрированное издание). Courier Corporation. стр. 31-34. ISBN 978-0-486-13793-3– через Google Книги.
8. Крамер, Артур (2012). Математика для электричества и электроники (4-е изд.). Cengage Learning. стр. 81. ISBN 978-1-133-70753-0– через Google Книги.
9. Пиччиотто, Анри; Ва, Анита (1994). Алгебра: темы, инструменты, концепции (ред. для учителей). Анри Пиччиотто. стр. 424. ISBN 978-1-56107-252-1– через Google Книги.
10. Нахин, Пол Дж. (2010). Воображаемая история: история «i» [квадратный корень из минус одного]. Princeton University Press. стр. 12. ISBN 978-1-4008-3029-9– через Google Книги.
11. "Чему равен квадратный корень из i?". Сеть математики Университета Торонто . Получено 26 марта 2007 г.
12. Зилл, Деннис Г.; Шанахан, Патрик Д. (2003). Первый курс комплексного анализа с приложениями. Бостон: Джонс и Бартлетт. С. 24–25. ISBN 0-7637-1437-2. OCLC  50495529.
13. "i в степени i — это действительное число — математические забавные факты". math.hmc.edu . Получено 22 августа 2024 г.
14. Эйлер выразил разложение тригонометрического котангенса на части как ${\textstyle \pi \cot \pi z={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{z-1}}+{\frac {1}{z+1}}+{\frac {1}{z-2}}+{\frac {1}{z+2}}+\cdots .}$
    Варадараджан, ВС (2007). «Эйлер и его работа о бесконечных рядах». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 44 (4): 515–539. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01175-5 .
15. Gbur, Greg (2011). Математические методы для оптической физики и техники. Cambridge University Press. С. 278–284. ISBN 978-0-511-91510-9.
16. Иван, М.; Торнбер, Н.; Коуба, О.; Консталес, Д. (2013). «Arggh! Факториал глаза . . . Arg(i!)». American Mathematical Monthly . 120 : 662–665. doi :10.4169/amer.math.monthly.120.07.660. S2CID  24405635.
    Слоан, NJA (ред.). "Десятичное разложение действительной части i!", последовательность A212877; и "Десятичное разложение отрицаемой мнимой части i!", последовательность A212878. Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
17. Sloane, NJA (ред.). "Десятичное разложение абсолютного значения i!", последовательность A212879; и "Десятичное разложение отрицаемого аргумента i!", последовательность A212880. Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.

Дальнейшее чтение

• Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая история: История i [квадратный корень из минус единицы] . Чичестер: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1– через Archive.org.

Внешние ссылки

• Эйлер, Леонард . "Мнимые корни многочленов". Архивировано из оригинала 16 декабря 2019 г. Получено 29 ноября 2012 г.в "Convergence". mathdl.maa.org . Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинала 13 июля 2007 г.