класс Черна

Характеристические классы векторных расслоений

В математике , в частности в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии , классы Черна являются характеристическими классами, связанными с комплексными векторными расслоениями . С тех пор они стали фундаментальными понятиями во многих разделах математики и физики, таких как теория струн , теория Черна–Саймонса , теория узлов , инварианты Громова–Виттена . Классы Черна были введены Шиинг-Шен Черном  (1946).

Геометрический подход

Основная идея и мотивация

Классы Черна являются характеристическими классами . Они являются топологическими инвариантами , связанными с векторными расслоениями на гладком многообразии. На вопрос о том, являются ли два якобы различных векторных расслоения одинаковыми, может быть довольно сложно ответить. Классы Черна предоставляют простой тест: если классы Черна пары векторных расслоений не совпадают, то векторные расслоения различны. Обратное, однако, неверно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, сколько линейно независимых секций имеет векторное расслоение. Классы Черна предлагают некоторую информацию об этом, например, через теорему Римана–Роха и теорему об индексе Атьи–Зингера .

Классы Черна также можно вычислить на практике. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии) классы Черна могут быть выражены как полиномы от коэффициентов формы кривизны .

Строительство

Существуют различные подходы к изучению этой темы, каждый из которых фокусируется на несколько ином аспекте класса Черна.

Первоначальный подход к классам Черна был через алгебраическую топологию: классы Черна возникают через гомотопическую теорию , которая обеспечивает отображение, связанное с векторным расслоением, в классифицирующее пространство ( в данном случае бесконечный грассманиан ). Для любого комплексного векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство такое, что расслоение V равно обратному пути, посредством f , универсального расслоения над классифицирующим пространством, и классы Черна V могут быть, следовательно, определены как обратный путь классов Черна универсального расслоения. В свою очередь, эти универсальные классы Черна могут быть явно записаны в терминах циклов Шуберта .

Можно показать, что для любых двух отображений f , g из M в классифицирующее пространство, чьи обратные проекции являются одним и тем же расслоением V , отображения должны быть гомотопными. Следовательно, обратная проекция любого универсального класса Черна на класс когомологий M должна быть тем же классом. Это показывает, что классы Черна V определены корректно.

Подход Черна использовал дифференциальную геометрию, через подход кривизны, описанный преимущественно в этой статье. Он показал, что более раннее определение было фактически эквивалентно его. Полученная теория известна как теория Черна–Вейля .

Существует также подход Александра Гротендика, показывающий, что аксиоматически нужно определить только случай линейного расслоения.

Классы Черна естественным образом возникают в алгебраической геометрии . Обобщенные классы Черна в алгебраической геометрии могут быть определены для векторных расслоений (или, точнее, локально свободных пучков ) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Черна не требуют, чтобы базовое поле имело какие-либо специальные свойства. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.

Независимо от конкретной парадигмы, интуитивное значение класса Черна касается «обязательных нулей» сечения векторного расслоения: например, теорема, гласящая, что нельзя расчесать мохнатый шар ( теорема о мохнатом шаре ). Хотя это, строго говоря, вопрос о действительном векторном расслоении («волосы» на шаре на самом деле являются копиями действительной прямой), существуют обобщения, в которых волосы являются комплексными (см. пример комплексной теоремы о мохнатом шаре ниже) или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

Более подробное обсуждение см . в теории Черна–Саймонса .

Класс Черна линейных расслоений

(Пусть X — топологическое пространство, имеющее гомотопический тип CW-комплекса . )

Важный особый случай возникает, когда V является линейным расслоением . Тогда единственным нетривиальным классом Черна является первый класс Черна, который является элементом второй группы когомологий X. Поскольку это высший класс Черна, он равен классу Эйлера расслоения.

Первый класс Черна оказывается полным инвариантом , с помощью которого можно классифицировать комплексные линейные расслоения, топологически говоря. То есть, существует биекция между классами изоморфизма линейных расслоений над X и элементами , которая сопоставляет линейному расслоению его первый класс Черна. Более того, эта биекция является групповым гомоморфизмом (и, следовательно, изоморфизмом): тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует сложению во второй группе когомологий. ^{[1] [2]} ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ $${\displaystyle c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');}$$

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфизма) комплексных линейных расслоений по первому классу Черна является грубым приближением к классификации (классов изоморфизма) голоморфных линейных расслоений по линейным классам эквивалентности дивизоров .

Для комплексных векторных расслоений размерности больше единицы классы Черна не являются полным инвариантом.

Конструкции

С помощью теории Черна–Вейля

Для комплексного эрмитова векторного расслоения V комплексного ранга n над гладким многообразием M представители каждого класса Черна (также называемого формой Черна ) расслоения V задаются как коэффициенты характеристического многочлена формы кривизны расслоения V. ${\displaystyle c_{k}(V)}$ ${\displaystyle \Omega }$

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

Определитель находится над кольцом матриц, элементы которых являются полиномами от t с коэффициентами в коммутативной алгебре четных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны V определяется как с ω — формой связности и d — внешней производной , или через то же выражение, в котором ω — калибровочное поле для калибровочной группы V. Скаляр t используется здесь только как неопределенность для генерации суммы из определителя, а I обозначает единичную матрицу n × n . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \Omega }$ $${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$

Сказать, что данное выражение является представителем класса Черна, означает, что «класс» здесь означает с точностью до добавления точной дифференциальной формы . То есть классы Черна являются когомологическими классами в смысле когомологий де Рама . Можно показать, что когомологические классы форм Черна не зависят от выбора связности в V .

Если из тождества матрицы следует, что . Теперь, применяя ряд Маклорена для , получаем следующее выражение для форм Черна: ${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$ ${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$ ${\displaystyle \ln(X+I)}$

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

Через класс Эйлера

Можно определить класс Черна в терминах класса Эйлера. Этот подход представлен в книге Милнора и Сташеффа и подчеркивает роль ориентации векторного расслоения .

Основное наблюдение заключается в том, что комплексное векторное расслоение имеет каноническую ориентацию, в конечном счете, потому что оно связно. Следовательно, мы просто определяем верхний класс Черна расслоения как его класс Эйлера (класс Эйлера базового действительного векторного расслоения) и обрабатываем нижние классы Черна индуктивным способом. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

Точная конструкция выглядит следующим образом. Идея состоит в том, чтобы сделать замену базы, чтобы получить расслоение с рангом на единицу меньше. Пусть будет комплексным векторным расслоением над паракомпактным пространством B . Думая о B как о вложенном в E как о нулевом сечении, пусть и определите новое векторное расслоение: таким образом, что каждое волокно является фактором волокна F из E по линии, натянутой на ненулевой вектор v в F (точка B′ задается волокном F из E и ненулевым вектором на F .) ^[3] Тогда имеет ранг на единицу меньше, чем у E . Из последовательности Гизина для расслоения : мы видим, что является изоморфизмом для . Пусть ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle B'=E\setminus B}$ $${\displaystyle E'\to B'}$$ ${\displaystyle E'}$ ${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$ $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$ ${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$ ${\displaystyle k<2n-1}$ $${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

Затем требуется проделать некоторую работу, чтобы проверить, выполняются ли аксиомы классов Черна для этого определения.

См. также: Изоморфизм Тома .

Примеры

Комплексное касательное расслоение сферы Римана

Пусть будет сферой Римана : одномерное комплексное проективное пространство . Предположим, что z — голоморфная локальная координата для сферы Римана. Пусть будет пучком комплексных касательных векторов, имеющих вид в каждой точке, где a — комплексное число . Докажем комплексную версию теоремы о волосатом шаре : V не имеет сечения, которое всюду не равно нулю. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle a\partial /\partial z}$

Для этого нам понадобится следующий факт: первый класс Черна тривиального расслоения равен нулю, т.е. $${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

Это доказывается тем фактом, что тривиальное расслоение всегда допускает плоскую связность. Итак, мы покажем, что $${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

Рассмотрим метрику Келера $${\displaystyle h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Легко показать, что кривизна 2-формы задается выражением $${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

Кроме того, по определению первого класса Черна $${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

Мы должны показать, что этот класс когомологий не равен нулю. Достаточно вычислить его интеграл по сфере Римана: после перехода к полярным координатам . По теореме Стокса точная форма интегрировала бы до 0, поэтому класс когомологий не равен нулю. $${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$

Это доказывает, что не является тривиальным векторным расслоением. ${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$

Комплексное проективное пространство

Существует точная последовательность пучков/расслоений: ^[4] где — структурный пучок (т.е. тривиальное линейное расслоение), — скручивающий пучок Серра (т.е. гиперплоскостное расслоение ), а последний ненулевой член — касательный пучок /расслоение. $${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$

Получить указанную выше последовательность можно двумя способами:

1. ^[5] Пусть будут координатами пусть будет канонической проекцией, и пусть . Тогда имеем: ${\displaystyle z_{0},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1},}$ ${\displaystyle \pi \colon \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {CP} ^{n}\setminus \{z_{0}=0\}}$

   $${\displaystyle \pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2}},\,i\geq 1.}$$Другими словами, кокасательный пучок , который является свободным -модулем с базисом , вписывается в точную последовательность ${\displaystyle \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ ${\displaystyle d(z_{i}/z_{0})}$ $${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{\to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,}$$

   где — основание среднего члена. Та же последовательность, очевидно, тогда точна на всем проективном пространстве, а ее двойственность — вышеупомянутая последовательность. ${\displaystyle e_{i}}$
2. Пусть L — прямая в , проходящая через начало координат. Это упражнение по элементарной геометрии , чтобы увидеть, что комплексное касательное пространство к в точке L естественным образом является множеством линейных отображений из L в его дополнение. Таким образом, касательное расслоение можно отождествить с hom-расслоением, где η — векторное расслоение, такое что . Из этого следует: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)}}$ $${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}.}$$

По аддитивности полного класса Черна (т.е. формулы суммы Уитни), где a — канонический генератор группы когомологий ; т.е. отрицательный элемент первого класса Черна тавтологического линейного расслоения (примечание: когда является двойственным к E .) ${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$ $${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$ ${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$ ${\displaystyle E^{*}}$

В частности, для любого , ${\displaystyle k\geq 0}$ $${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

Полином Черна

Полином Черна — это удобный способ систематической обработки классов Черна и связанных с ними понятий. По определению, для комплексного векторного расслоения E полином Черна c _t множества E задается как: $${\displaystyle c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.}$$

Это не новый инвариант: формальная переменная t просто отслеживает степень c _k ( E ). ^[6] В частности, полностью определяется общим классом Черна E : и наоборот. ${\displaystyle c_{t}(E)}$ ${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)}$

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Черна (см. ниже), гласит, что c _t аддитивен в том смысле: Теперь, если — прямая сумма (комплексных) линейных расслоений, то из формулы суммы следует, что: где — первые классы Черна. Корни , называемые корнями Черна E , определяют коэффициенты многочлена: т. е. где σ _k — элементарные симметрические многочлены . Другими словами, думая об a _i как о формальных переменных, c _k «являются» σ _k . Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен, скажем, от t _i , является многочленом от элементарных симметрических многочленов от t _i . Либо по принципу расщепления , либо по теории колец любой многочлен Черна раскладывается на линейные множители после расширения кольца когомологий; E не обязательно должен быть прямой суммой линейных расслоений в предыдущем обсуждении. Вывод таков: $${\displaystyle c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').}$$ ${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ $${\displaystyle c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)}$$ ${\displaystyle a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}(E)}$ $${\displaystyle c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))}$$ ${\displaystyle c_{t}(E)}$

«Можно вычислить любой симметричный многочлен f в комплексном векторном расслоении E, записав f как многочлен от σ _k и затем заменив σ _k на c _k ( E )».

Пример : У нас есть многочлены s _k с и так далее (ср. тождества Ньютона ). Сумма называется характером Черна E , первые несколько членов которого: (мы опускаем E из записи.) $${\displaystyle t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))}$$ ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}}$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!}$$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .}$$

Пример : класс Тодда E определяется как : $${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .}$$

Замечание : Наблюдение, что класс Черна по сути является элементарным симметрическим многочленом, может быть использовано для «определения» классов Черна. Пусть G n _будет бесконечным грассманианом n -мерных комплексных векторных пространств. Это пространство снабжено тавтологичным векторным расслоением ранга , скажем . называется классифицирующим пространством для ранг -векторных расслоений, потому что для любого комплексного векторного расслоения E ранга n над X существует непрерывное отображение такое, что обратный образ в вдоль изоморфен , и это отображение единственно с точностью до гомотопии. Теорема Бореля утверждает, что кольцо когомологий G _n является в точности кольцом симметрических многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметрических многочленов σ _k ; таким образом, обратный образ f _E читается: Затем можно положить: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{n}\to G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle f_{E}:X\to G_{n}}$$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f_{E}}$ $${\displaystyle f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).}$$ $${\displaystyle c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).}$$

Замечание : Любой характеристический класс является полиномом в классах Черна по следующей причине. Пусть будет контравариантным функтором, который CW-комплексу X сопоставляет множество классов изоморфизма комплексных векторных расслоений ранга n над X , а отображению — его обратный образ. По определению характеристический класс является естественным преобразованием из в функтор когомологий Характеристические классы образуют кольцо из-за кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает, что это кольцо характеристических классов является в точности кольцом когомологий G _n : ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]}$ ${\displaystyle H^{*}(-,\mathbb {Z} ).}$ $${\displaystyle \operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].}$$

Формулы расчета

Пусть E — векторное расслоение ранга r и его многочлен Черна. ${\displaystyle c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}}$

• Для двойственного пучка , . [ ^7] ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)}$
• Если L — линейное расслоение, то ^{[8] [9]} и т . д. $${\displaystyle c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}}$$ ${\displaystyle c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r}$ $${\displaystyle c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.}$$
• Для корней Черна [ ^10] В частности , ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).}$
• Например, ^[11] для , ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(E)}$

  когда , ${\displaystyle r=2}$ ${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},}$

  когда , ${\displaystyle r=3}$ ${\displaystyle c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.}$

(ср. класс Сегре#Пример 2. )

Применение формул

Мы можем использовать эти абстрактные свойства для вычисления остальных классов Черна линейных расслоений на . Напомним, что показ . Затем, используя тензорные степени, мы можем связать их с классами Черна для любого целого числа. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$

Характеристики

Если задано комплексное векторное расслоение E над топологическим пространством X , классы Черна E являются последовательностью элементов когомологий X . K -й класс Черна E , который обычно обозначается как c _k ( E ) , является элементом когомологий X с целыми коэффициентами. Можно также определить полный класс Черна $${\displaystyle H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),}$$ $${\displaystyle c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .}$$

Поскольку значения находятся в группах целочисленных когомологий, а не в когомологиях с действительными коэффициентами, эти классы Черна немного более точны, чем в римановом примере. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Классическое аксиоматическое определение

Классы Черна удовлетворяют следующим четырем аксиомам:

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$для всех Е.
2. Естественность: Если является непрерывным и f *E является векторным расслоением E , то . ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$
3. Формула суммы Уитни : Если — еще одно комплексное векторное расслоение, то классы Черна прямой суммы задаются следующим образом: ${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle E\oplus F}$ $${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$ $${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. Нормализация: Полный класс Черна тавтологического линейного расслоения над равен 1− H , где H является двойственной по Пуанкаре гиперплоскостью . ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$

Аксиоматический подход Гротендика

В качестве альтернативы Александр Гротендик  (1958) заменил их несколько меньшим набором аксиом:

• Естественность: (То же, что и выше)
• Аддитивность: Если — точная последовательность векторных расслоений, то . ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ ${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$
• Нормализация: Если E — линейное расслоение , то где — класс Эйлера лежащего в его основе действительного векторного расслоения. ${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$

Используя теорему Лере–Хирша, он показывает , что полный класс Черна произвольного комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определен в терминах первого класса Черна тавтологически определенного линейного расслоения.

А именно, вводя проективизацию комплексного векторного расслоения ранга n E → B как расслоение на B , расслоение которого в любой точке является проективным пространством расслоения E _b . Полное пространство этого расслоения снабжено его тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначим , и первый класс Черна ограничивает на каждом расслоении до минус (дуального по Пуанкаре) класса гиперплоскости, которая охватывает когомологии расслоения, ввиду когомологий комплексных проективных пространств . ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$

Классы, таким образом, образуют семейство классов окружающих когомологий, ограничиваясь базисом когомологий волокна. Теорема Лере–Хирша утверждает, что любой класс в может быть записан однозначно как линейная комбинация 1, a , a ² , ..., a ^{n −1} с классами на базе в качестве коэффициентов. $${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$ ${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$

В частности, можно определить классы Черна E в смысле Гротендика, обозначаемые путем расширения класса , с помощью соотношения: ${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$ ${\displaystyle -a^{n}}$ $${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

Затем можно проверить, совпадает ли это альтернативное определение с любым другим предпочтительным определением, или использовать предыдущую аксиоматическую характеристику.

Высший класс Черна

Фактически, эти свойства однозначно характеризуют классы Черна. Они подразумевают, среди прочего:

• Если n — комплексный ранг V , то для всех k > n . Таким образом, полный класс Черна заканчивается. ${\displaystyle c_{k}(V)=0}$
• Старший класс Черна V ( где n — ранг V ) всегда равен классу Эйлера базового действительного векторного расслоения. ${\displaystyle c_{n}(V)}$

В алгебраической геометрии

Аксиоматическое описание

Существует еще одна конструкция классов Черна, которые принимают значения в алгебро-геометрическом аналоге кольца когомологий, кольце Чжоу .

Пусть — неособое квазипроективное многообразие размерности . Можно показать, что существует уникальная теория классов Черна, которая сопоставляет алгебраическое векторное расслоение элементам , называемым классами Черна, с многочленом Черна , удовлетворяющим следующему (аналогично аксиоматическому подходу Гротендика). ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$ ${\displaystyle c_{t}(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}}$

1. Если для делителя Картье имеем , то . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle c_{t}(E)=1+Dt}$
2. Если — морфизм, то . ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle c_{i}(f^{*}E)=f^{*}c_{i}(E)}$
3. Если — точная последовательность векторных расслоений на , то справедлива формула суммы Уитни: . ${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E')c_{t}(E'')}$

Нормальная последовательность

Вычисление характеристических классов для проективного пространства образует основу для многих вычислений характеристических классов, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия существует короткая точная последовательность ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ $${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

Квинтика трехкратная

Например, рассмотрим неособую квинтику в трехмерном пространстве . Ее нормальное расслоение задается как и у нас есть короткая точная последовательность ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(5)}$ $${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0}$$

Пусть обозначает класс гиперплоскости в . Тогда формула суммы Уитни дает нам, что ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A^{\bullet }(X)}$ $${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))=(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}}$$

Поскольку кольцо Чжоу гиперповерхности трудно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в . Это дает нам, что ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=\left(1+5h+10h^{2}+10h^{3}\right)\left(1-5h+25h^{2}-125h^{3}\right)\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}}$$

Используя теорему Гаусса-Бонне, мы можем интегрировать класс для вычисления характеристики Эйлера. Традиционно это называется классом Эйлера . Это связано с тем, что класс может быть представлен пятью точками (по теореме Безу ). Затем характеристику Эйлера можно использовать для вычисления чисел Бетти для когомологий с помощью определения характеристики Эйлера и теоремы Лефшеца о гиперплоскости. ${\displaystyle c_{3}({\mathcal {T}}_{X})}$ $${\displaystyle \int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200}$$ ${\displaystyle h^{3}}$ ${\displaystyle X}$

Гиперповерхности степени d

Если — гладкая гиперповерхность степени , то у нас есть короткая точная последовательность, дающая соотношение , которое мы можем затем вычислить как Давая полный класс Черна. В частности, мы можем найти, что — спиновое 4-многообразие, если — четное, поэтому каждая гладкая гиперповерхность степени является спиновым многообразием . ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0}$$ $${\displaystyle c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 4-d}$ ${\displaystyle 2k}$

Приблизительные понятия

Персонаж Черна

Классы Черна могут быть использованы для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Черна ch определяется как

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

В более общем случае, если — прямая сумма линейных расслоений с первыми классами Черна, то характер Черна определяется аддитивно. ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

Это можно переписать так: ^[13]

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

Это последнее выражение, обоснованное применением принципа расщепления , принимается в качестве определения ch(V) для произвольных векторных расслоений V.

Если для определения классов Черна используется связь, когда базой является многообразие (т. е. теория Черна–Вейля ), то явная форма характера Черна имеет вид где Ω — кривизна связи. $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$

Характер Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. В частности, он подчиняется следующим тождествам:

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

Как указано выше, используя аксиому аддитивности Гротендика для классов Черна, первое из этих тождеств можно обобщить, чтобы утверждать, что ch является гомоморфизмом абелевых групп из K-теории K ( X ) в рациональные когомологии X . Второе тождество устанавливает тот факт, что этот гомоморфизм также уважает произведения в K ( X ), и поэтому ch является гомоморфизмом колец.

Характер Черна используется в теореме Хирцебруха–Римана–Роха .

Числа Черна

Если мы работаем с ориентированным многообразием размерности , то любое произведение классов Черна полной степени (т. е. сумма индексов классов Черна в произведении должна быть ) может быть сопряжено с классом гомологии ориентации (или «проинтегрировано по многообразию»), чтобы получить целое число, число Черна векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существует три линейно независимых числа Черна, заданных как , , и . В общем случае, если многообразие имеет размерность , число возможных независимых чисел Черна равно числу разбиений . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{1}^{3}}$ ${\displaystyle c_{1}c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$

Числа Черна касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Черна многообразия и являются важными инвариантами.

Обобщенные теории когомологий

Существует обобщение теории классов Черна, в котором обычные когомологии заменяются обобщенной теорией когомологий . Теории, для которых такое обобщение возможно, называются комплексно-ориентируемыми . Формальные свойства классов Черна остаются теми же, с одним существенным отличием: правило, вычисляющее первый класс Черна тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Черна сомножителей, — это не (обычное) сложение, а скорее формальный групповой закон .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии существует похожая теория классов Черна векторных расслоений. Существует несколько вариаций в зависимости от того, в каких группах лежат классы Черна:

• Для комплексных многообразий классы Черна могут принимать значения в обычных когомологиях, как указано выше.
• Для многообразий над общими полями классы Черна могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии или l-адические когомологии .
• Для многообразий V над общими полями классы Черна также могут принимать значения в гомоморфизмах групп Чжоу CH(V): например, первый класс Черна линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH( V ) в CH( V ), уменьшающим степени на 1. Это соответствует тому факту, что группы Чжоу являются своего рода аналогом групп гомологии, а элементы групп когомологии можно рассматривать как гомоморфизмы групп гомологии с использованием произведения шапок .

Коллекторы со структурой

Теория классов Черна приводит к инвариантам кобордизма для почти комплексных многообразий .

Если M — почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение — комплексное векторное расслоение. Таким образом, классы Черна многообразия M определяются как классы Черна его касательного расслоения. Если M также компактно и имеет размерность 2 d , то каждый моном полной степени 2 d в классах Черна может быть сопоставлен с фундаментальным классом M , что дает целое число, число Черна многообразия M . Если M ′ — другое почти комплексное многообразие той же размерности, то оно кобордантно M тогда и только тогда, когда числа Черна многообразия M ′ совпадают с числами M .

Теория также распространяется на вещественные симплектические векторные расслоения посредством совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют хорошо определенный класс Черна.

Арифметические схемы и диофантовы уравнения

(См. геометрию Аракелова )

Смотрите также

• класс Понтрягина
• класс Штифель–Уитни
• класс Эйлера
• класс Сегре
• исчисление Шуберта
• Квантовый эффект Холла
• Локализованный класс Черна

Примечания

1. Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг (1995). Дифференциальные формы в алгебраической топологии (Corr. 3. print. ed.). Нью-Йорк [ua]: Springer. стр. 267ff. ISBN 3-540-90613-4.
2. Хэтчер, Аллен . "Векторные расслоения и К-теория" (PDF) . Предложение 3.10.
3. Примечание редакции: наша нотация отличается от нотации Милнора-Сташеффа, но кажется более естественной.
4. Эту последовательность иногда называют последовательностью Эйлера .
5. Хартшорн, Глава II. Теорема 8.13.
6. В кольце-теоретическом термине существует изоморфизм градуированных колец: где слева — кольцо когомологий четных членов, η — кольцевой гомоморфизм, который игнорирует градуировку, а x однороден и имеет степень | x |. $${\displaystyle H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} ))[t],x\mapsto xt^{|x|/2}}$$
7. Фултон, Замечание 3.2.3. (а)
8. Фултон, Замечание 3.2.3. (б)
9. Фултон, Пример 3.2.2.
10. Фултон, Замечание 3.2.3. (c)
11. Используйте, например, WolframAlpha для раскрытия многочлена, а затем используйте тот факт, что являются элементарными симметричными многочленами в 's. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$
12. Хартшорн, Приложение А. 3 класса Черна.
13. (См. также § Полином Черна.) Заметим, что когда V является суммой линейных расслоений, классы Черна V могут быть выражены как элементарные симметрические полиномы в , В частности, с одной стороны, в то время как с другой стороны Следовательно, тождества Ньютона могут быть использованы для повторного выражения степенных сумм в ch( V ) выше исключительно в терминах классов Черна V , что дает заявленную формулу. ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$ $${\displaystyle c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(V)&=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})\\&=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})\\&=\prod _{i=1}^{n}(1+x_{i})\\&=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}}$$

Ссылки

• Черн, Шиинг-Шен (1946), «Характеристические классы эрмитовых многообразий», Annals of Mathematics , Вторая серия, 47 (1): 85–121, doi :10.2307/1969037, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969037
• Фултон, У. (29 июня 2013 г.). Теория пересечения. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-02421-8.
• Гротендик, Александр (1958), «Теория классов Черна», Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 137–154, doi : 10.24033/bsmf.1501 , ISSN  0037-9484, MR  0116023
• Хартшорн, Робин (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0.
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7(Содержит очень краткий вводный обзор классов Черна).
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии, Издательство Чикагского университета, ISBN 9780226511832
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Annals of Mathematics Studies, т. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Уолтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

Внешние ссылки

• Векторные пучки и теория К – загружаемая книга Аллена Хэтчера , находящаяся в процессе написания . Содержит главу о характеристических классах.
• Дитер Кочик , Числа Черна алгебраических многообразий