кривая Лоренца

Графическое изображение распределения дохода или богатства

Типичная кривая Лоренца

В экономике кривая Лоренца — графическое представление распределения дохода или богатства . Она была разработана Максом О. Лоренцом в 1905 году для представления неравенства распределения богатства .

Кривая представляет собой график, показывающий долю общего дохода или богатства, которую получают нижние x % людей, хотя это не строго верно для конечной популяции (см. ниже). Она часто используется для представления распределения доходов , где она показывает для нижних x % домохозяйств, какой процент ( y %) от общего дохода они имеют. Процент домохозяйств откладывается на оси x , процент дохода на оси y . Ее также можно использовать для отображения распределения активов . При таком использовании многие экономисты считают ее мерой социального неравенства .

Эта концепция полезна при описании неравенства между размерами особей в экологии ^[1] и в исследованиях биоразнообразия , где кумулятивная доля видов отображается в зависимости от кумулятивной доли особей. ^[2] Она также полезна в бизнес-моделировании : например, в потребительском финансировании , чтобы измерить фактический процент y % просрочек, приписываемых x % людей с худшими показателями риска . Кривые Лоренца также применялись в эпидемиологии и общественном здравоохранении , например, для измерения неравенства пандемий как распределения национальной кумулятивной заболеваемости (y%), создаваемой населением, проживающим в районах (x%), ранжированных по отношению к их локальной скорости эпидемической атаки . ^[3]

Объяснение

Вывод кривой Лоренца и коэффициента Джини для мирового дохода в 2011 году

Данные 2005 года.

Точки на кривой Лоренца представляют собой утверждения, например: «20% самых бедных домохозяйств имеют 10% от общего дохода».

Идеально равное распределение доходов было бы таким, при котором каждый человек имел бы одинаковый доход. В этом случае нижние N % общества всегда имели бы N % дохода. Это можно изобразить прямой линией y = x ; называемой «линией идеального равенства».

Напротив, совершенно неравное распределение будет таким, при котором один человек имеет весь доход, а все остальные не имеют ничего. В этом случае кривая будет на y = 0% для всех x < 100% и y = 100% при x = 100%. Эта кривая называется «линией совершенного неравенства».

Коэффициент Джини — это отношение площади между линией совершенного равенства и наблюдаемой кривой Лоренца к площади между линией совершенного равенства и линией совершенного неравенства. Чем выше коэффициент, тем более неравномерно распределение. На диаграмме справа это задается отношением A / ( A + B ), где A и B — площади областей, как отмечено на диаграмме.

Определение и расчет

Кривая Лоренца для распределения богатства в США в 2016 году, показывающая отрицательное богатство и олигархию

Кривая Лоренца — это вероятностный график ( график P–P ), сравнивающий распределение переменной с гипотетическим равномерным распределением этой переменной. Обычно его можно представить функцией L ( F ), где F , кумулятивная часть населения, представлена ​​горизонтальной осью, а L , кумулятивная часть общего богатства или дохода, представлена ​​вертикальной осью.

Кривая L не обязательно должна быть плавно возрастающей функцией F. Например, для распределения богатства могут существовать олигархии или люди с отрицательным богатством. ^[4]

Для дискретного распределения Y, заданного значениями y ₁ , ..., y _n в неубывающем порядке ( y _i ≤ y _{i +1} ) и их вероятностями, кривая Лоренца представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию, соединяющую точки ( F _i , L _i ), i = 0 до n , где F ₀ = 0, L ₀ = 0, и для i = 1 до n : ${\displaystyle f(y_{j}):=\Pr(Y=y_{j})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\\S_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\\L_{i}&:={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

Когда все y _i равновероятны с вероятностями 1/ n, это упрощается до $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&={\frac {i}{n}}\\S_{i}&={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{i}\;y_{j}\\L_{i}&={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

Для непрерывного распределения с функцией плотности вероятности f и кумулятивной функцией распределения F кривая Лоренца L задается как: где обозначает среднее значение. Кривая Лоренца L ( F ) затем может быть построена как параметрическая функция x : L ( x ) против F ( x ). В других контекстах вычисляемая здесь величина известна как распределение со смещением по длине (или смещением по размеру); она также играет важную роль в теории восстановления. $${\displaystyle L(F(x))={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$$ ${\displaystyle \mu }$

Альтернативно, для кумулятивной функции распределения F ( x ) с обратной величиной x ( F ) кривая Лоренца L ( F ) напрямую задается выражением: $${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{0}^{F}x(F_{1})\,dF_{1}}{\int _{0}^{1}x(F_{1})\,dF_{1}}}}$$

Обратный x ( F ) может не существовать, поскольку кумулятивная функция распределения имеет интервалы постоянных значений. Однако предыдущая формула все еще может применяться путем обобщения определения x ( F ): где inf — это инфимум . $${\displaystyle x(F_{1})=\inf\{y:F(y)\geq F_{1}\}}$$

Пример кривой Лоренца см. в разделе Распределение Парето .

Характеристики

Практический пример кривой Лоренца: кривые Лоренца Дании, Венгрии и Намибии

Кривая Лоренца всегда начинается в точке (0,0) и заканчивается в точке (1,1).

Кривая Лоренца не определена, если среднее значение распределения вероятностей равно нулю или бесконечности.

Кривая Лоренца для распределения вероятностей является непрерывной функцией . Однако кривые Лоренца, представляющие разрывные функции, могут быть построены как предел кривых Лоренца распределений вероятностей, примером чего является линия совершенного неравенства.

Информация в кривой Лоренца может быть обобщена с помощью коэффициента Джини и коэффициента асимметрии Лоренца . ^[1]

Кривая Лоренца не может подняться выше линии идеального равенства.

Кривая Лоренца, которая никогда не опускается ниже второй кривой Лоренца и хотя бы один раз проходит выше нее, имеет доминирование Лоренца над второй кривой. ^[5]

Если измеряемая переменная не может принимать отрицательных значений, то кривая Лоренца:

• не может опуститься ниже черты совершенного неравенства,
• увеличивается .​

Однако следует отметить, что кривая Лоренца для чистой стоимости активов изначально будет отрицательной, поскольку у некоторых людей чистая стоимость активов отрицательна из-за долгов.

Кривая Лоренца инвариантна при положительном масштабировании. Если X — случайная величина, то для любого положительного числа c случайная величина c X имеет ту же кривую Лоренца, что и X.

Кривая Лоренца переворачивается дважды, один раз около F = 0,5 и один раз около L = 0,5, отрицанием. Если X — случайная величина с кривой Лоренца L _X ( F ), то − X имеет кривую Лоренца:

Л _{− Х} = 1 − Л _Х (1 −  Ж )

Кривая Лоренца изменяется при переносах так, что разрыв равенства F  −  L ( F ) изменяется пропорционально отношению исходного и переведенного средних значений. Если X — случайная величина с кривой Лоренца L _X ( F ) и средним значением μ _X , то для любой константы c ≠ − μ _X , X + c имеет кривую Лоренца, определяемую следующим образом: $${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))}$$

Для кумулятивной функции распределения F ( x ) со средним значением μ и (обобщенной) обратной величиной x ( F ), тогда для любого F с 0 < F < 1:

• Если кривая Лоренца дифференцируема: $${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}}={\frac {x(F)}{\mu }}}$$
• Если кривая Лоренца дважды дифференцируема, то функция плотности вероятности f ( x ) существует в этой точке и: $${\displaystyle {\frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,}$$
• Если L ( F ) непрерывно дифференцируема, то касательная к L ( F ) параллельна линии полного равенства в точке F ( μ ). Это также точка, в которой зазор равенства F  −  L ( F ), вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией полного равенства, является наибольшим. Размер зазора равен половине относительного среднего абсолютного отклонения : $${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{mean absolute deviation}}{2\,\mu }}}$$

Смотрите также

• Распределение (экономика)
• Распределение богатства
• Экономика благосостояния
• Показатели неравенства доходов
• Коэффициент Джини
• Индекс Гувера (он же индекс Робина Гуда)
• ROC-анализ
• Социальное обеспечение (политология)
• Экономическое неравенство
• Закон Ципфа
• Распределение Парето
• Среднее отклонение
• Кривая Слона

Ссылки

1. Damgaard, Christian; Jacob Weiner (2000). «Описание неравенства в размере растений или плодовитости». Ecology . 81 (4): 1139–1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.
2. Виттеболле, Ливен и др. (2009). «Начальная равномерность сообщества благоприятствует функциональности при селективном стрессе». Nature . 458 (7238): 623–626. Bibcode :2009Natur.458..623W. doi :10.1038/nature07840. PMID  19270679. S2CID  4419280.
3. Нгуен, Куанг Д.; Чанг, Шерил Л.; Джамерлан, Кристина М.; Прокопенко, Михаил (2023). «Измерение неравномерного распределения тяжести пандемии в годы переписи, варианты беспокойства и вмешательства». Показатели здоровья населения . 21 (17): 17. doi : 10.1186/s12963-023-00318-6 . PMC 10613397. PMID  37899455 . 
4. Ли, Цзе; Богосян, Брюс М.; Ли, Чэнли (14 февраля 2018 г.). «Модель аффинного богатства: основанная на агентах модель обмена активами, которая допускает агентов с отрицательным богатством, и ее эмпирическая проверка». arXiv : 1604.02370v2 . {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
5. Бишоп, Джон А.; Формби, Джон П.; Смит, У. Джеймс (1991). «Доминирование Лоренца и благосостояние: изменения в распределении доходов в США, 1967-1986». Обзор экономики и статистики . 73 (1): 134–139. doi :10.2307/2109695. ISSN  0034-6535. JSTOR  2109695.

Дальнейшее чтение

• Лоренц, Миссури (1905). «Методы измерения концентрации богатства». Публикации Американской статистической ассоциации . 9 (70). Публикации Американской статистической ассоциации, т. 9, № 70: 209–219. Bibcode : 1905PAmSA...9..209L. doi : 10.2307/2276207. JSTOR  2276207. S2CID  154048722.
• Gastwirth, Joseph L. (1972). «Оценка кривой Лоренца и индекса Джини». The Review of Economics and Statistics . 54 (3). The Review of Economics and Statistics, Vol. 54, No. 3: 306–316. doi :10.2307/1937992. JSTOR  1937992.
• Чакраварти, SR (1990). Индексы этических социальных показателей . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-52274-3.
• Ананд, Судхир (1983). Неравенство и бедность в Малайзии . Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 0-19-520153-1.

Внешние ссылки

• Архивировано WIID 13.03.2011 в Wayback Machine : База данных о неравенстве доходов в мире, источник информации о неравенстве, собранной WIDER (Всемирный институт исследований экономики развития, часть Университета ООН)
• glcurve: модуль Stata для построения кривой Лоренца (введите «findit glcurve» или «ssc install glcurve» в командной строке Stata для установки)
• Бесплатное дополнение к STATA для расчета показателей неравенства и бедности
• Бесплатное онлайн-программное обеспечение (калькулятор) вычисляет коэффициент Джини, строит кривую Лоренца и вычисляет множество других показателей концентрации для любого набора данных.
• Бесплатный калькулятор: онлайн и загружаемые скрипты ( Python и Lua ) для неравенств Аткинсона, Джини и Гувера
• Пользователи программного обеспечения для анализа данных R могут установить пакет «ineq», который позволяет вычислять различные индексы неравенства, включая Джини, Аткинсона и Тейла.
• Пакет неравенства MATLAB Архивировано 2008-10-04 на Wayback Machine , включая код для вычисления индексов Джини, Аткинсона, Тейла и для построения кривой Лоренца. Доступно много примеров.
• Полный раздаточный материал о кривой Лоренца, включающий различные приложения, в том числе электронную таблицу Excel для построения графиков кривых Лоренца и расчета коэффициентов Джини, а также коэффициентов вариации.
• LORENZ 3.0 — это блокнот Mathematica , который рисует образцы кривых Лоренца и вычисляет коэффициенты Джини и коэффициенты асимметрии Лоренца на основе данных в таблице Excel.