Гиперэллиптическая кривая

Рис. 1: График гиперэллиптической кривой , где ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$ $${\displaystyle f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2).}$$

В алгебраической геометрии гиперэллиптическая кривая — это алгебраическая кривая рода g > 1 , заданная уравнением вида где f ( x ) — многочлен степени n = 2 g + 1 > 4 или n = 2 g + 2 > 4 с n различными корнями, а h ( x ) — многочлен степени < g + 2 (если характеристика основного поля не равна 2, можно взять h ( x ) = 0). $${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$$

Гиперэллиптическая функция — это элемент функционального поля такой кривой или якобиева многообразия на кривой; эти два понятия идентичны для эллиптических функций , но различны для гиперэллиптических функций.

Род

Степень многочлена определяет род кривой: многочлен степени 2g + 1 или 2g + 2 дает кривую рода g . Когда степень равна 2g + 1, кривая называется мнимой гиперэллиптической кривой . Между тем, кривая степени 2g + 2 называется действительной гиперэллиптической кривой . Это утверждение о роде остается верным для g = 0 или 1, но эти особые случаи не называются «гиперэллиптическими». В случае g = 1 (если выбрать выделенную точку) такая кривая называется эллиптической кривой .

Формулировка и выбор модели

Хотя эта модель является простейшим способом описания гиперэллиптических кривых, такое уравнение будет иметь особую точку на бесконечности в проективной плоскости . Эта особенность характерна для случая n > 3. Поэтому, давая такое уравнение для задания неособой кривой, почти всегда предполагается, что подразумевается неособая модель (также называемая гладким завершением ), эквивалентная в смысле бирациональной геометрии .

Точнее, уравнение определяет квадратичное расширение C ( x ), и именно это поле функций подразумевается. Особая точка на бесконечности может быть удалена (так как это кривая) с помощью процесса нормализации ( интегрального замыкания ). Оказывается, что после этого существует открытое покрытие кривой двумя аффинными картами: одна уже задана , а другая задана $${\displaystyle y^{2}=f(x)}$$ $${\displaystyle w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).}$$

Карты склеивания между двумя диаграммами задаются с помощью и там, где они определены. $${\displaystyle (x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})}$$ $${\displaystyle (v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),}$$

Фактически предполагается геометрическая стенография, при этом кривая C определяется как разветвленное двойное покрытие проективной прямой , разветвление происходит в корнях f , а также для нечетных n в точке на бесконечности. Таким образом, случаи n = 2g + 1 и 2g + 2 могут быть объединены, поскольку мы могли бы также использовать автоморфизм проективной плоскости, чтобы отодвинуть любую точку разветвления от бесконечности.

Используя формулу Римана–Гурвица

Используя формулу Римана-Гурвица , гиперэллиптическая кривая с родом g определяется уравнением со степенью n = 2g + 2. Предположим, что f  : X → P ¹ — разветвленное накрытие со степенью ветвления 2 , где X — кривая с родом g , а P ¹ — сфера Римана . Пусть g ₁ = g и g ₀ — род P ¹ ( = 0 ), тогда формула Римана-Гурвица оказывается следующей:

${\displaystyle 2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)}$

где s — по всем разветвленным точкам на X. Число разветвленных точек равно n , и в каждой разветвленной точке s мы имеем e _s = 2, поэтому формула становится

${\displaystyle 2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)}$

поэтому n = 2g + 2.

Возникновение и применение

Все кривые рода 2 являются гиперэллиптическими, но для рода ≥ 3 общая кривая не является гиперэллиптической. Это видно эвристически с помощью проверки размерности пространства модулей . Подсчитывая константы, при n = 2g + 2 набор из n точек, подверженных действию автоморфизмов проективной прямой, имеет (2g + 2) − 3 степеней свободы, что меньше, чем 3g − 3, число модулей кривой рода g , если g не равно 2. Гораздо больше известно о гиперэллиптическом локусе в пространстве модулей кривых или абелевых многообразий , ^{[ необходимо разъяснение ],} хотя сложнее продемонстрировать общие негиперэллиптические кривые с помощью простых моделей. ^[1] Одной из геометрических характеристик гиперэллиптических кривых является точка Вейерштрасса . Более подробная геометрия негиперэллиптических кривых изложена в теории канонических кривых , причем каноническое отображение является 2 к 1 на гиперэллиптических кривых, но 1 к 1 в противном случае при g > 2. Тригональные кривые — это те, которые соответствуют извлечению кубического корня, а не квадратного корня из многочлена.

Определение с помощью квадратичных расширений поля рациональных функций применимо для полей вообще, за исключением характеристики 2; во всех случаях доступно геометрическое определение как разветвленного двойного покрытия проективной прямой, если предполагается, что расширение является сепарабельным.

Гиперэллиптические кривые могут использоваться в криптографии на основе гиперэллиптических кривых для криптосистем, основанных на задаче дискретного логарифмирования .

Гиперэллиптические кривые также появляются, составляя целые связные компоненты определенных слоев пространства модулей абелевых дифференциалов. ^[2]

Гиперэллиптичность кривых рода 2 была использована для доказательства гипотезы Громова о площади заполнения в случае заполнений рода =1.

Классификация

Гиперэллиптические кривые данного рода g имеют пространство модулей, тесно связанное с кольцом инвариантов бинарной формы степени 2 g +2. ^{[ указать ]}

История

Гиперэллиптические функции были впервые опубликованы ^{[ нужна ссылка ]} Адольфом Гепелем (1812-1847) в его последней статье Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Абелевы трансценденты первого порядка) (в Journal für die reine und angewandte Mathematik , том 35, 1847). Независимо Иоганн Г. Розенхайн работал над этим вопросом и опубликовал Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (в Mémoires des Savants и т. д., том 11, 1851).

Смотрите также

• Поверхность Больца
• Суперэллиптическая кривая

Ссылки

• «Гиперэллиптическая кривая», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Руководство пользователя по локальной арифметике гиперэллиптических кривых

Примечания

1. Poor, Cris (1996). «Форма Шоттки и гиперэллиптическое место точек». Труды Американского математического общества . 124 (7): 1987–1991. doi : 10.1090/S0002-9939-96-03312-6 . MR  1327038.
2. Концевич, Максим; Зорич, Антон (2003). «Связные компоненты пространств модулей абелевых дифференциалов с предписанными особенностями». Inventiones Mathematicae . 153 (3): 631–678. arXiv : math.GT/0201292 . Bibcode :2003InMat.153..631K. doi :10.1007/s00222-003-0303-x. S2CID  14716447.